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导数在数列极限中的应用数列极限是数学中一种重要的概念，它可以帮助我们理解数学关系的本质，以及不同类型的数量间的联系。
导数在数列极限中也扮演着重要的角色。
其主要作用是描述数列中变化量的大小，从而使我们能够更好地分析数列的特征。
一般而言，导数可以是正数、负数或零。
当导数为正数时，数列的变化量是增大的，而当导数为负数时，数列的变化量是减小的。
此外，当导数为零时，数列的变化量是不变的。
这就是导数在数列极限中的应用函数的变化率可以用它来表示。
在数学分析中，导数还可以用来分析数列的特征。
例如，给定一个数列，当其第一项的导数大于零时，该数列一定是单调递增的；反之，当其第一项的导数小于等于零时，该数列一定是单调递减的。
此外，当一个数列的第二项的导数大于零时，该数列的变化量会越来越快，而当其第二项的导数小于零时，该数列的变化量会越来越慢。
这种性质很重要，因为它可以帮助我们更好地理解数列特征，从而使我们能够对特定数列进行更有效的分析。
此外，在研究极限和连续函数时，导数也可以发挥重要作用。
我们知道，连续函数在极限中是无穷小量，如果我们知道连续函数的导数值，那么就可以算出该函数的递增量，从而更好地理解其变化特征。
另外，导数在应用极限的概念时也有重要的作用。
在某些情况下，我们可以用导数来计算一个函数的极限。
这一点非常重要，因为极限有助于我们确定数列的构成以及数量的变化趋势。
总之，导数在数列极限中发挥着重要的作用。
它不仅可以帮助我们了解数列的特性，还可以用来计算连续函数的极限。
对于数学家而言，导数就像一个分析数学关系的桥梁，使我们能够理解更多的数学知识。
综上所述，导数是一种重要的数学概念，它在数列极限中的应用十分广泛。
要想更好地了解数列特征，必须熟练掌握导数的概念和计算方法，以及对导数的运用等方面的知识。
导数与极限的应用由于极限与导数是高等数学的重要研究内容，因此，在近年来的自主招生考试中经常出现.导数与极限有着紧密的联系，利用极限可以求导数，利用导数也可以求一些特殊的极限.下面结合具体例子浅谈导数与极限的应用.导数定义：f′（x0）=limx0f（x0+x）-f（x0）x=limx0yx=limx0f（x）-f（x0）x-x0.一、对于一些分段函数，可以用极限判断导数的存在性例1 已知f（x）=x+2|x|+1，求f（x）的导数.解：f（x）=x+2|x|+1=x2+2x+1，x>01，x=0x2-2x+1，x因为这是分段函数，所以需对函数进行分段求导.当x>0时，f′（x）=2x+2；当x由于f（0+x）-f（0）x=（x）2+2xx，x>0（x）2-2xx，x>0因此f′+（0）=limx0+（x）2+2xx=2，f′-（0）=limx0-（x）2-2xx=-2.因为f′-（x）≠f′+（x），所以函数f（x）在x=0处不可导.因此当x>0时，f′（x）=2x+2；当x二、导数本身就是一种极限，可以用导数的定义和结果求一些极限例2 若函数g（x）在x=b处可导，且g′（b）=B，g（b）=0.求：（1）limx0g（b+x）x；（2）limx0g（b-6x）x+g（3x+b）2x.解：（1）limx0g（b+x）x=limx0g（b+x）-0x=limx0g（b+x）-g（b）x=g′（b）=B.（2）limx0g（b-6x）x+g（3x+b）2x=limx0g（b-6x）-0x+g（b+3x）-0x=limx0g（b-6x）-g（b）x+g（b+3x）-g（b）2x=limx0-6（g（b-6x）-g（b））-6x+32×（g（b+3x）-g（b））3x=-6limx0g（b-6x）-g（b）-6x+32limx0g（b+3x）-g（b）3x=-6g′（x）+32g′（x）=-92B.三、利用导数与微分求近似值由导数定义可知，f（x0+x）≈f（x0）+f′（x0）x.我们可以用这个公式求近似值.例3 求（1）37；（2）cos31π90.解：（1）由于37=36+1，故可取f（x）=x，f′（x）=12x，x0=36，x=1，于是f（37）=f（36+1）=36+f′（36）x=6+1236=6+112≈6.083.（2）由于cos31π90=cosπ3+1π90，故可取f（x）=cosx，f′（x）=-sinx，x0=π3，x=π90，于是f31π90=cosπ3+π90=cosπ3-sin π3π90=12-3π180≈0.4698.四、对于一些没有给出解析式的函数，可以用导数定义求导和极限例4 已知奇函数f（x）在其定义域R上可导，则f（x）的导数f′（x）在定义域R上为偶函数.证明：由于函数f（x）在定义域R上为奇函数，则对任意的x∈R，均有-f（x）=f（-x），-f（x+x）=f（-x-x）.于是可得f′（x）=limx0f（x+x）-f（x）x=limx0f（x）-f（x+x）-x=limx0f（-x-x）-f（x）-x=f′（-x）.故f（x）的导数f′（x）在定义域R上为偶函数.例5 设函数f（x）在定义域R上可导，且对任意的x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）f（y）.若f′（0）=1，证明对任意的x∈R，都有f （x）=f′（x）.证明：令x=y=0，则f（0）=f（0）f（0），可知f（0）=0或f（0）=1.若f（0）=0，则f（x）=f（0+x）=f（0）f（x）=0，这与f′（0）=1矛盾.由此可知f′（0）=1.f（x）=limx0f（x+x）-f（x）x=limx0f（x）f（x）-f（x）x=limx0f（x）（f（x）-1）xlimx0f（x）f（x+0）-f（0）x=f（x）limx0f（0+x）-f（0）x=f′（x）故f（x）=f′（x）.。
引言极限是研究变量的变化趋势的基本工具。
在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数的连续、导数、定积分和无穷级数等都是建立在极限的基本之上的。
极限的思想和方法产生某些实际问题的精确解，并且对数学在实际中的应用也有着重要的作用。
因此研究生考试往往把求极限问题作为考核的一个重点，而在不同的函数类型条件下所采用的求极限的技巧是各不相同的，因此大家要学会判断极限的类型，熟练和灵活的掌握各种技巧的应用。
本文主要介绍了导数在求极限中的基本应用，包括导数定义法，L ’Hospital 法则，Taylor 展式法及微分中值定理在求极限中的应用。
旨在让大家掌握各种导数方法适用的函数类型，要注意的事项及它的一些推广结论。
达到能灵活运用导数方法去求解一些极限问题以使问题简单化的目的。
第1章导数在求极限中的基本应用1.1导数定义法这种极限求法主要针对所给的极限不易求，但是函数满足导数定义的形式且能够确定的变化趋向的极限易求出时，可以用此法比较方便的求出极限.定义若函数()y f x =在其定义域中的一点0x 处极限存在，则称在0x 处可导，称此极限值为()f x 在0x 处的导数，记为0()f x '.显然，()f x 在0x 处的导数还有如下的等价定义形式：000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-.下面通过两个例子让大家逐步领悟导数定义法的内涵例1求极限tan sin 0limsin b x b xx xαα+-→-.解由于tan sin tan sin tan sin tan sin sin b x b xb x b b b xx xxxxαααααα+-+----=+.所以，tan sin tan sin 0tan limlimlimsin tan sin sin b x b xb x b b b xx x x xxxxxαααααα+-+-→→→---=+ln ln 2ln b b b αααααα=+=.例2(本题选自《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第二版.)设(0)f k '=，试证00()()lim a b f b f a k b a-+→→-=-.证明（希望把极限式写成导数定义中的形式）（拟合法思想：把要证的极限值k 写成与此式相似的形式） 两式相减，可得因0a -→，0b +→，所以有0b a >>，1a bb a b a<--又因(0)f k '=，故当0a -→，0b +→时右端极限为零，原极限获证.1.2L ’Hospital 法则本节主要总结了L ’Hospital 法则在求未定式极限中的应用，需要注意的问题，并深入分析了使用L ’Hospital 法则时实质是对无穷小或无穷大进行降阶.另外还指出L ’Hospital 法则与其他极限方法如无穷小的替换的结合.1. L ’Hospital 法则L ’Hospital 法则作为Cauchy 中值定理的重要应用，在计算未定式极限中扮演了十分重要的角色，这是因为对于未定式极限来讲极限是否存在，等于多少是不能用极限的四则运算法则解得的，而通过对分子分母求导再求极限能够很有效的计算出未定式的极限. 关于未定式：在计算一个分式函数的极限时，常常会遇到分子分母都趋于零或都趋于无穷大的情况，由于这是无法使用“商的极限等于极限的商”的法则，运算将遇到很大的困难.事实上，这是极限可能存在也可能不存在.当极限存在时极限值也会有各种各样的可能.我们称这种类型的极限为0未定型或∞∞未定型.事实上，未定型除以上两种类型外还有0⋅∞，∞-∞，1∞，00，0∞等类型. L ’Hospital 法则： 定理[]4若函数f 和g 满足:①0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；②在点0x 的某空心邻域00()U x 内可导，且()0g x '≠； ③0()lim()x x f x A g x →'='(A 可为有限数或∞)； 则00()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 注：以上结论在0x x ±→，或是x →∞（包括+∞和-∞）时也是成立的.2. L ’Hospital 法则的应用a) L ’Hospital 法则能处理的基本未定型极限是00型或∞∞型例1求lim n x x x e λ→∞（n 为正整数，0λ>）.（∞∞型）解连续使用L ’Hospital 法则n 次122(1)!lim lim lim lim 0n n n x x xn x x x x x x nx n n x n e e e e λλλλλλλ--→∞→∞→∞→∞-===⋅⋅⋅==. 从以上例中可看出L ’Hospital 法则的实质是对无穷小或无穷大进行降阶. 下面再看两个L ’Hospital 法则在解含有变限积分问题中的应用.例2求03(1cos )limxx t dt x→-⎰.分析：因为0(1cos )x t dt -⎰可导从而连续，所以此问题属于0型，可用L ’Hospital 法则求解.解032(1cos )(1cos )limlim03xx x t dt t dt x x →→--==⎰⎰.例3求极限110()lim x x f t x dt t αα++→⎰，其中0α>，()f x 为闭区间[]0,1上的连续函数. 解111100()()lim lim 1x x x x f t dt f t t x dt t x αααα++++→→=⎰⎰因0x →时，1x α单调递减趋于+∞， 使用L ’Hospital 法则，则111110001()()()()(0)lim lim lim lim 11xxx x x x f t f x dt f t f x f t x x dt tx xααααααααα+++++++→→→→+-====-⎰⎰. （2）在使用L ’Hospital 法则时，必须验证条件是否满足①所求的极限是否未定型极限；②求完导数后极限是否存在.其中第二条容易忽略.例4设()f x 为可导函数，(0)(0)1f f '==，求极限0(sin )1limsin x f x x→-.解0(sin )1limsin x f x x →-00cos (sin )lim lim (sin )(0)1cos x x x f x f x f x→→'⋅''====. （此题不能用L ’Hospital 法则求解，错误出在题目中没有给出在处连续的条件，所以不知道的极限是否存在，即不满足条件②，题目中只是说在处可导，而定理中要求在的某个邻域中可导） 当求导后的极限不存在时，原极限仍可能有极限，所以求导后极限不存在只能说明此时L ’Hospital 法则失效，不能说原式无极限.（3）对于其他未定型或极限0⋅∞、∞-∞、1∞、00、0∞等类型，可分别通过做商、通分、取对数转化成00型或∞∞型的极限，再使用L ’Hospital 法则.例5求极限1lim(1)tan2x x x π→-.解2111121122lim(1)tanlimlimlim sin 22cotcsc222x x x x xx x x x xπππππππ→→→→---====-.注：这是将0⋅∞型转化成了00型，如果选择不当把它化成∞∞型，则解题过程将会比较复杂.转化时一般规律是选择求导后式子简单的那种类型.例6求极限01limcot x x x→-.解将它改写成1cos sin cot sin x x x x x x x--=就化成了∞∞型，于是有01limcot x x x →-2000cos sin sin cos sin cos lim lim lim 0sin 2x x x x x x x x x x x xx x x x→→→---====. “1∞、00、0∞”可以通过如下转化化成型或型：例7 求极限2lim (arctan )x x x π→+∞.（1∞型）解因为2lim ln(arctan )2lim (arctan )x x x xx x eππ→+∞→+∞=而2lnarctan 2lim ln(arctan )lim1x x x x x xππ→+∞→+∞=所以22lim ln(arctan )2lim (arctan )x x x xx x eeπππ→+∞-→+∞==.例8 求极限1ln 0lim(cot )xx x +→.（0∞型）解因为当0x +→时tan x x :，所以0ln 111lim 1ln ln ln ln 00011lim (cot )lim ()lim ()tan x xxxx xx x x x e e x x+→+++--→→→====.（4）利用L ’Hospital 法则求数列极限——Stolz 公式Stolz 公式可以说是数列的L ’Hospital 法则，它对求数列的极限很有用. 定理1[4]（∞∞型的Stolz 公式） 设{}n x 严格递增（即n N ∀∈有1n n x x +<）且lim n n x →∞=+∞，若①11limn n n n n y y a x x -→∞--=-（有限数），则lim n n nya x →∞=；②a 为+∞或-∞，结论仍然成立.定理2[4]（0型的Stolz 公式）设n →∞时0n y →，{}n x 严格单调下降趋于零，若11limn n n n n y y a x x -→∞--=-，则limnn ny a x →∞=（其中a 为有限数，+∞或-∞）. 例9 求极限limln n n n →∞.解由于1lim lim 1ln x x x x x→+∞→+∞==+∞，所以limln n nn→∞=+∞. 例10证明1121lim 1p p p p n n n p +→∞++⋅⋅⋅+=+（p 为自然数）.证11112(1)lim lim (1)p p p pp p p n n n n nn n +++→∞→∞++⋅⋅⋅++=+- 1(1)1lim (1)1(1)12p n pp n p p p p n n →∞-+==+++++⋅⋅⋅+. 下面说明Stolz 公式必要时可以重复使用例11 02ln nk nk n CS n ==∑（其中(1)(1)12kn n n n k C k-⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅），求lim n n S →∞.解因2n 单调递增趋于+∞，可应用Stolz 公式（再次使用Stolz 公式）1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1limlim(21)(21)22nn n n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+--.例12 求极限121112122223222lim()()()212121n n n n n ---→∞⋅⋅⋅---.解先取对数，再取极限.令121112122223222lim()()()212121n n n n n n x ---→∞=⋅⋅⋅---应用Stolz 公式故,原式1lim 2n n x →∞==.（5）L ’Hospital 法则与其他方法相结合使用，如与无穷小相结合.例13求极限22201cos lim sin x x x x →-.解422240011cos 12lim lim sin 2x x xx x x x →→-==. 有个别题目在使用L ’Hospital 法则时会出现循环现象，此时不能用L ’Hospital 法则求解，如下面一例.例14求极限lim x xx x x e e e e --→+∞-+.解221lim lim11x x xx x xx x e e e e e e ----→+∞→+∞--==++. 第2章Taylor 展式在求极限问题中的应用本节介绍运用Taylor 公式求解一些较复杂的未定型的函数极限及中值点的极限、无穷远处的极限.定理1[4]（带Peano 余项的Taylor 公式）设()f x 在0x 处有n 阶导数，则存在0x 的一个邻域，对于该邻域中的任一点x ，成立 其中余项()()n r x 满足()0()(())n n r x o x x =- 定理2[4]（带Lagrange 余项的Taylor 公式）设()f x 在[],a b 上有n 阶连续导数，且在(,)a b 上有1n +阶导数.设[]0,x a b ∈为一定点，则对于任意[],x a b ∈，成立其中余项()()n r x 满足(1)()10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+，ξ在x 和0x 之间. 注：函数()f x 在0x =处的Taylor 公式又称为函数()f x 的Maclaurin 公式. 几个常用函数的Maclaurin 公式:（为了便于书写，我们写出带Peano 余项的Taylor 公式）①231()2!3!!nxn x x x e x o x n =++++⋅⋅⋅++;②352122sin (1)()3!5!(21)!n nn x x x x x o x n ++=-+-⋅⋅⋅+-++; ③24221cos 1(1)()2!4!(2)!n n n x x x x o x n +=-+-⋅⋅⋅+-+; ④230123(1)()()()()()()n n nx x x x x o x αααααα+=++++⋅⋅⋅++ 其中α为任意实数，(1)(1)()!k k k αααα-⋅⋅⋅-+=，并规定0()1α=；⑤2341ln(1)(1)()234nn n x x x x x x o x n -+=-+-⋅⋅⋅+-+； ⑥3521122arctan (1)()3521n n n x x x x x o x n +-+=-+-⋅⋅⋅+-++. 1.用Taylor 公式巧解未定型极限由于L ’Hospital 法则的实质是对分子分母进行降阶，这意味着当遇到分子分母都是较高阶的情况时，必须多次应用L ’Hospital 法则，遇到分子分母有带根号项时，会越微分形式会越复杂.而用公式则可进一步到位，所以在求解未定型极限时，应该灵活使用公式法解决.从而避免应用法则出现的解题困难. 例1求极限2240cos limx x x e x -→-.解这是个0未定型极限问题，如果使用L ’Hospital 法则，则分子分母需求导四次，但若使用Taylor公式，则44401()112lim 12x x o x x →-+==-. 例2求极限0x →解这也是个0未定型的极限问题，因2441()624x x o x =-+，4224sin ln(1sin )sin (sin )2x x x o x +=-+用324sin [()]6x x x o x =-+代入，即有42245ln(1sin )()6x x x o x +=-+于是240ln(1sin )1)lim x x x→+- 424244405[()]6[()]76624lim 12x x x x x o x o x x →-+--+==-. 2.用Taylor 公式求中值点的极限例3（《本题选自数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第2版.第251页） 设（1）()f x 在00(,)x x δδ-+内是n 阶连续可微函数，此处0δ>； （2）当2,3,(1)k n =⋅⋅⋅-时，有()0()0n f x =但是(1)0()0n f x +≠； （3）当0h δ≠<时有000()()(())f x h f x f x h h hθ+-'=+①其中0()1h θ<<证明：lim ()h h θ→∞=证我们要设法从①式中解出()h θ，为此我们将①式左边的0()f x h +及右边的0(())f x h h θ'+在0x 处展开.由条件（2）知12,(0,1)θθ∃∈使得于是①式变成从而()h θ=因12,()(0,1)h θθθ∈，利用()()n f x的连续性，可得lim ()h h θ→∞=注：此题若用L ’Hospital 法则做将不胜其烦.例4设()()()()(),(01)!n n h f x h f x hf x f x h n θθ'+=++⋅⋅⋅++<<， 且(1)()0n f x +≠，证明：01lim 1h n θ→=+. 提示：1()(1)1()()()()()()!(1)!n n n n n h h f x h f x hf x f x f x o h n n +++'+=++⋅⋅⋅++++ 从而有()()(1)()()()()1n n n f x h f x h hf x o h h n θθθ++-=++. 证明2()11()()()()()2!!n n f x h f x hf x f x h f x h h n θ'''+=+++⋅⋅⋅++ 另0,h →得到(1)(1)01lim ()()1n n h f x f x n θ++→⋅=+，再由(1)()0n f x +≠，两边消去(1)()n f x +，即得到01lim 1h n θ→=+.3.用Taylor 公式求无穷远处的极限例5（《本题选自数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第2版.第249页）设函数()x ϕ在[)0,+∞上二次连续可微，如果lim ()x x ϕ→+∞存在，且()x ϕ''在[)0,+∞上有界，试证：lim ()0x x ϕ→+∞'=.证明要证明lim ()0x x ϕ→+∞'=，即要证明：0,0ε∀>∃∆>当0∆>时()x ϕε'<利用Taylor 公式，210,()()()()2h x h x x h h ϕϕϕϕξ'''∀>+=++即11()[()()]()2x x h x h h ϕϕϕϕξ'''=+--①记lim ()x A x ϕ→+∞=因ϕ''有界，所以，0M ∃>使得()x M ϕ''≤,（对x a ∀≥）故由①知211()(()())2x x h A A x Mh h ϕϕϕ'≤+-+-+②对0ε∀>，首先可取0h >充分小，使得2122Mh ε<，然后将h 固定，因lim ()x x A ϕ→+∞=，所以0∃∆>，当0x >时，从而由②式，即得()22x εεϕε'<+=.第3章微分中值定理在求极限问题中的应用微分中值定理是Role 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理和Taylor 中值定理的统称。
引言极限是研究变量的变化趋势的基本工具。
在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数的连续、导数、定积分和无穷级数等都是建立在极限的基本之上的。
极限的思想和方法产生某些实际问题的精确解，并且对数学在实际中的应用也有着重要的作用。
因此研究生考试往往把求极限问题作为考核的一个重点，而在不同的函数类型条件下所采用的求极限的技巧是各不相同的，因此大家要学会判断极限的类型，熟练和灵活的掌握各种技巧的应用。
本文主要介绍了导数在求极限中的基本应用，包括导数定义法，L' Hospital 法则，Taylor 展式法及微分中值定理在求极限中的应用。
旨在让大家掌握各种导数方法适用的函数类型，要注意的事项及它的一些推广结论。
达到能灵活运用导数方法去求解一些极限问题以使问题简单化的目的。
例1求极限limb -tanx b _sin X a -asin x解由于b-lanx b -sinxct -a b tanx b , b b-sinxta n x= -------------------------- r ------------------ sin x tan x sin x sin x所以, limx—0b -tanx b -sinxa _asin xb -tanx b b b -sinxa —a tan x.. □ -a二lim limx 0 tan x sin x x 2tan x sin x第1章导数在求极限中的基本应用1.1导数定义法这种极限求法主要针对所给的极限不易求，但是函数满足导数定义的形式且能够确定的变化趋向的极限易求出时，可以用此法比较方便的求出极限.定义若函数y = f (x)在其定义域中的一点X)处极限也y r f (X o+也X)- f(X o)lim lim - —u0 .)x 匸J-：x存在，则称在X o处可导，称此极限值为f (X)在X-处的导数，记为f(X o).显然，f(X) 在X o处的导数还有如下的等价定义形式：f（X）- f（X-）X — X-F面通过两个例子让大家逐步领悟导数定义法的内涵=：b l n 二心b l n「- 2-b l n〉.例2 (本题选自《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第二版.)设 f (0) = k，试证lim f(b)「f(a) = k.证明(希望把极限式写成导数定义中的形式)f(b) -f (a) b -a(拟合法思想：把要证的极限值 k 写成与此式相似的形式)0<f(b)-f(a) _k .：：： b |f(b)-f(O) b -a|b -a|| b -ka f(a)-f(O)b -a a因 a > 0-，a bb — a b — ab f(b)-f(0) a f(a)-f(O) b -a b b -a aab —a两式相减，可得又因f (0) =k ，故当a > 0 - b > 0 •时右端极限为零，原极限获证.1.2 L ' Hospital 法则本节主要总结了 L ' Hospital 法则在求未定式极限中的应用，需要注意的 问题，并深入分析了使用L ' Hospital 法则时实质是对无穷小或无穷大进行降阶 另外还指出L ' Hospital 法则与其他极限方法如无穷小的替换的结合.1. L ' Hospital 法则L ' Hospital 法则作为Cauchy 中值定理的重要应用，在计算未定式极限中扮 演了十分重要的角色，这是因为对于未定式极限来讲极限是否存在，等于多少是 不能用极限的四则运算法则解得的，而通过对分子分母求导再求极限能够很有效 的计算出未定式的极限. 关于未定式：在计算一个分式函数的极限时，常常会遇到分子分母都趋于零或都趋于无穷 大的情况，由于这是无法使用“商的极限等于极限的商”的法则，运算将遇到很 大的困难.事实上，这是极限可能存在也可能不存在.当极限存在时极限值也会旳有各种各样的可能.我们称这种类型的极限为-未定型或未定型.事实上，未°°b > 0 ■，所以有b 0 a ，nnJlim 二=lim 竺x x, e'X二limHim 半X .； ： ,-0 .求lim x )0x m 0x0 (1 -cost)dt3x例 3 求极限 lim.x'.xf^dt ，其中0，f (x)为闭区间1.0,11上的连续函数.定型除以上两种类型外还有0.：二_：：, 1：, 00, ::0等类型. L ' Hospital 法则： 定理和若函数f 和g 满足：① lim f (x) = lim g(x) = 0 ；^Xo^^0② 在点X 的某空心邻域u 0(x 。
补充习题1.1.11、判定下列函数奇偶性？A ．)12sin()(++=x x x fB ．)1ln()(2++=x x x f C ．xe x xf x-=)( D ．xxx x f sin 1)(2⋅-=2、判断下列说法是否正确(1)复合函数y=f[g(x)]的定义域即为u= g(x) 的定义域.(2)若y=y(u)为偶函数，u=u(x)为奇函数，则y=y[u(x)] 为偶函数. (3) 设⎩⎨⎧<+≥=010)(x x x xx f ，由于y=x 和y=x+1都是初等函数，所以f(x) 是初等函数.(4)设y=arcsinu,u=2x +2,这两个函数可以复合成一个函数y=arcsin(2x +2). 3、下列函数的定义域：(1)211xx y --=； (2)⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin x x xy 4、设)(x f y =的定义域为[]2,1,求)ln 1(x f -的定义域.5、指出下列初等函数由哪些基本初等函数复合而成？(1)xey 12sin=; (2)))1ln(arccos(2-=x y . (3)y=)35(si n 2+x6、将下列函数复合成一个函数(1)y=sinu,u=v ,v=2x-1 (2)y=lgu,u=1+v,v=2x补充习题1.1.21、.用铁皮做一个容积为的圆柱形罐头筒，试将它的全面积表示成底半径的函数，并确定此函数的定义域.2、某厂生产产品1000吨，定价为130元/吨.当售出量不超过700吨时，按原定价出售；超过700吨的部分按原价的九折出售.试将销售收入表示成销售量的函数.3、某手表厂生产一只手表的可变成本为15元，每天的固定成本为2000元。
如果每只手表的出厂价为20元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少只手表？补充习题1.2.11、下列函数f(x)在x 的何种趋势时是无穷小量？在x 的何种趋势时f(x)是无穷大量？ （1）f(x)=12-+x x ; (2) f(x)=lgx (3) f(x)=222xx +2、利用无穷小量的性质，求下列函数的极限 （1）xx x 1sinlim 2→ （2）x xx arctan 1lim∞→（3）11lim1-+→x x x （4）xx x x 1cos)2(lim 2+→补充习题 1.2.2.1求下列函数的极限1．)1311(lim 31xxx ---→ 2. 1392lim323++-∞→x x x x3. 231lim 221+--→x x x x 4. )1(lim 22+-+∞→x x x x5 xxx 3s i n lim 2x +→ 6. xx x 3sin )21ln(lim+→7 . xe xx 3tan 1lim-→ 8. xx arcsin 13-1limx -→补充习题 1.2.2.2求下列函数的极限1.xx x x sin 2cos 1lim-→ 2. xx x 1tanlim ∞→3. 3sinlim22xx x → 4 xx xx )3lim +∞→（5. xx x x )11lim +-∞→（6. ]ln )2[ln(lim n n n n -+∞→补充习题 1.2.2.31、求函数321)(2--+=x x x x f 的连续区间，并求极限)(lim 0x f x →,)(lim 3x f x →及)(lim 3x f x -→。
极限与导数之间的关系
h应是一个具体的，有限小的变化量，并不是无穷小。
用具体有限小的变化量去描述导数，里面就用到了极限的思想极限的定义：一个变量逼近另一个变量
求函数x^3在x=2处的导数，就是下面的函数。
我们把他先看做关于h的函数，并画出图像。
可以看到当h=0时，函数值在这个点没有定义，x=0是个间断点。
但是根据图像可算得当x 趋向于0时，函数值趋向于12。
x从0点的左右两端趋于0
从而得到极限的定义：你总能在极限点的附近，离0点距离为某的塔的取值范围内，找到一系列的取值点，使得范围内任意一取值点，他的函数值都处在距离为12的E的范围内。
无论E多么小，总能找到其对应的的塔的值。
那么这个12就是极限。
洛必达法则求解极限
其实洛必达法则就是用的导数的定义。
在计算未定式0/0型时，可以对分子分母分别求导，然后求得这个点的导数值之比，就是式子的极限值。
先来看这个函数，想要知道在X=1处的函数值，但是没有办法带入，怎么办呢？
我们可以把他看做上下两个不同的函数，先求出上面函数在
x=1时的函数变化率
得到当x->1时图像sinπx与dx成比例，即函数的变化率是个常数-πdx
同理，求得上面的函数x^2-1的函数变化率是2dx
求得函数极限
在趋于某个点时，两个函数之比可以认为是各自在这个点的导数值，这也是这个式子的极限值的精确值
变化量dx越小，比值越精确。
导数极限定理
导数极限定理：
1、首先函数在一点处的导数和在该点处导函数的极限是两个不同的概念，前者是直接用导数定义求，后者是利用求导公式求出导函数的表达式后再求该点处的极限，两者完全可以不相等。
例如
f(x)=x^2*sin(1/x)在x=0处的导数等于0，但其导函数在x=0处的极限不存在。
但是在相当普遍的情况下，二者又是相等的，这个事实的本质上就是由导数极限定理所保证的。
2、导数极限定理是说：如果f(x)在x0的某领域内连续，在x0的去心邻域内可导，且导函数在x0处的极限存在（等于a），则f(x)在x0处的导数也存在并且等于a。
这个定理的重要之处在于，不事先要求f在x0处可导，而根据导函数的极限存在就能推出在该点可导，也就是说，导函数如果在某点极限存在，那么在该点导函数一定是连续的，而这正是一般函数所不具备的性质。
3、利用无穷小的性质求函数的极限
性质1：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
性质2：常数与无穷小的乘积是无穷小。
性质3：有限个无穷小相加、相减及相乘仍旧无穷小。
导数在数列极限中的应用数列极限是数学中一个重要的概念。
它可以用来描述渐近演化和分析数字运动，从而对数学和物理问题进行建模。
通常，求解数列极限所需要的主要工作是确定它的收敛进度、确定它是否有极限值，以及求出其具体值。
在这一过程中，导数发挥着极为重要的作用。
导数在极限的应用中可以说是无处不在，大多数的极限问题，如极限的唯一性定理，都需要导数的运用。
导数是一种描述现有数据的函数，可以让我们快速求得函数的斜率，而且可以更进一步通过斜率来求出极限值。
有时，通过极限的定义可以把求导数转化成求极限的问题，这样就能更进一步理解数列极限以及它们之前的关系。
除此之外，导数在数列极限中还可以用来验证一个序列是不是连续或是分段连续的。
例如，如果一个函数f除外某个点x0外在x0附近可以连续导数，那么就可以说明f在x0处是连续的。
而如果函数f在x0处的导数不存在，那么就可以说明f在x0处是分段连续的。
这一点也可以用来验证极限的存在性，如果一个序列在极限处的导数存在，那么就可以说明极限存在。
此外，导数在极限中还可以用来确定函数的单调性，这种方法叫做代数极限法。
如果在某个点处函数的导数为正，则说明该函数在该点处是单调递增的；如果在某个点处函数的导数为负，则说明该函数在该点处是单调递减的；如果有极限存在，而且该极限等于函数的某处的定值，则说明该函数是有界的；如果极限不存在，则说明该函数是无界的。
通过以上分析，可以看出，导数在数列极限中发挥着重要的作用，它可以用来解决许多实际问题，特别是极限的存在性和函数的单调性，它们可以用来确定函数的行为。
在这方面，导数比极限更易于理解和应用，所以在数列极限中，它给了我们更多的思考空间。
导数的应用(极限)专题导数是微积分中一个重要的概念，具有广泛的应用。
本文将介绍导数在极限计算中的应用。
极限的定义极限是函数在某一点附近的值的趋近情况。
对于函数f(x)，当自变量x趋近于某个特定值时，如果函数值f(x)无论怎么接近这个值，始终趋近于一个确定的数L，那么我们称函数f(x)在这个特定值处的极限为L。
数学上常用符号表示为：\lim_{x \to a} f(x) = L导数与极限导数是函数在某一点的变化率，用来描述函数在该点的斜率。
当我们计算导数时，实际上就是计算函数在该点的极限。
导数可以帮助我们研究函数的变化特性。
极限的性质极限具有一些重要的性质，利用这些性质可以简化极限计算的过程。
下面是一些常用的极限性质：1. 极限的唯一性：如果一个函数在某一点的极限存在，则该极限是唯一的。
2. 极限的四则运算：对于两个函数f(x)和g(x)，如果它们在某一点都有极限，那么它们的和、差、积、商的极限也存在，并且可以通过这些极限计算得出。
3. 极限与函数的连续性：如果一个函数在某一点处的极限存在，并且与该点处的函数值相等，那么该函数在该点处是连续的。
导数在极限计算中的应用导数在极限计算中有广泛的应用，下面是一些常见的应用场景：1. 极限的计算：利用导数的定义，我们可以通过计算导数来求解某些极限。
2. 切线与切线方程：利用导数，我们可以求解曲线在某一点的切线方程。
切线是曲线在该点附近的线性近似。
3. 极值点：导数可以帮助我们确定函数的极值点，包括极大值点和极小值点。
极值点是函数取得最大或最小值的点。
4. 曲线的凸性与凹性：根据导数的正负可以判断曲线的凹凸性质。
具体而言，如果导数在某一区间上始终大于零，那么曲线在该区间上是凸的；如果导数在某一区间上始终小于零，那么曲线在该区间上是凹的。
5. 渐进线与渐近图：利用导数的性质，我们可以确定某些函数的渐进线和渐近图，这些线和图可以帮助我们了解函数的整体特性。
以上是导数在极限计算中的一些应用内容，导数作为微积分的基础概念，在实际问题的求解中具有重要的意义。
例谈导数的几个简单的应用王耀辉高中阶段学习导数以后，常常把导数作为研究函数单调性、极大（小）值、最大（小）值和解决生活中优化问题等来运用．实际上，它还有其他方面更多的应用．本文就根据高中学过的一些内容，列举了导数的几个简单的应用，供读者学习时参考．1．利用导数的定义求极限 在一些教辅资料、高考题中，出现了一类特殊极限求值问题，最常见的是00型，感觉不好求．若能灵活运用导数的定义，问题便会迎刃而解．例1．求值：（1）0sin lim x x x →，（2）0ln(1)lim x x x→+． 解：（1）根据导数的定义，该式实际上为求函数()sin f x x =在点0x =处的导数． 所以00sin sin sin 0lim =lim x x x x x x→→-00(sin )|cos |cos 01x x x x =='====． （2）根据导数的定义，该式实际上为求函数()ln(1)f x x =+在点0x =处的导数． 所以000ln(1)1lim=[ln(1)]||11x x x x x x x ==→+'+==+． 例2．（2010年全国卷文科21题）设函数2()(1)x f x x e ax =--．若当0x ≥时()0f x ≥，求实数a 的取值范围．解：由已知得()(1)x f x x e ax =--≥0（x ≥0），即1x e ax --≥0（x ≥0）， 当0x =时，a R ∈；当0x >时，分离参数得1x e a x -≤（0x >），令1()x e g x x-=（0x >），求导得21()x x xe e g x x-+'=（0x >），再令()1x x h x xe e =-+（0x >），则()0x h x xe '=>（0x >），∴()1x x h x xe e =-+在(0,)+∞上递增，∴()(0)0h x h >=，∴()0g x '>，∴1()x e g x x-=在(0,)+∞上递增．∴0()lim ()x g x g x →>，所以0lim ()x a g x →≤．因为00001lim ()=lim =lim 0x x x x x e e e g x xx →→→---00()||1x x x x e e =='===，所以1a ≤． 综上所述，实数a 的取值范围为1a ≤．2．利用函数极值点导数为零的性质，在三角函数中求值例3．已知()sin 2cos 2()f x a x x a R =+∈图像的一条对称轴方程为2x π=，则a 的值为（ ）A ．12B C ．3 D ．2 解析：由于三角函数的对称轴与其曲线的交点为极值点，所以由()2cos 22sin 2f x a x x '=-，得()2cos 2sin =0266f a πππ'=-，故3a =． 例4．已知函数()cos f x x x =的图像向左平移ϕ(0)ϕ>个单位所得图像对应的函数为偶函数，则ϕ的最小值是（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π解析：设函数()f x 图像向左平移ϕ(0)ϕ>个单位后的函数解析式为：()cos())g x x x ϕϕ=++，由于()g x 为偶函数，所以(0)0g '=．又()sin())g x x x ϕϕ'=-+-+，所以sin 0ϕϕ-=，tan ϕ=ϕ的最小值为23π．例5．已知2cos sin x x -=，求tan x 的值．解析：设()2cos sin f x x x =-，则曲线()2cos sin f x x x =-过点(,t ．由于2cos sin )x x x x -=+cos cos sin )x x ϕϕ=+)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==所以函数()2cos sin f x x x =-在点(,t 处取极小值，导数为零．即()2sin cos 0f t t t '=--=，所以1tan 2t =-，从而1tan 2x =-．3．导数在数列求和中的应用例6．已知数列{}n a 的通项为12n n a n -=⋅，求数列{}n a 前n 项的和n S ．解析：令2x =，则11ni i i x -=⋅∑1()n i i x ='=∑12(1)1(1)=1(1)nn n x x n x n x x x +'⎡⎤--++⋅=⎢⎥--⎣⎦所以n S 121(1)22=(12)n n n n +-+⋅+⋅-1=1(1)22n nn n +-+⋅+⋅4．导数在二项式中的应用例7．证明：1231232n n n n n n C C C nC n -+++⋯+=⋅．证明：令012233(1)n n nn n n n n x C C x C x C x C x +=+++++…，对等式两边求导，得：1121321(1)23n n n n n n n n x C C x C x nC x --+=++++…， 令1x =，代入上式即得1123223n n n n n n n C C C nC -⋅=+++⋯+，即1231232n n n n n n C C C nC n -+++⋯+=⋅．5．导数在三角恒等变换公式中的应用在三角恒等变换公式中，公式多，不易记，应用导数可以将这些恒等式进行沟通．（1）两角和、差的三角函数公式cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+（），①视α为变量，β为常量，对等式①两边求导，得sin()sin cos cos sin αβαβαβ--=-+即sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-，②反过来，视α为变量，β为常量，对等式②两边求导，得cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+（）故利用上述求导方法有：cos cos cos sin sin αβαβαβ±=（）αα对求导对求导sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±（2）二倍角公式 22cos 2cos sin ααα=-αα对求导对求导sin 22sin cos ααα=（3）积化和差公式 1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ⋅=++- αα对求导对求导1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=++-， 1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ⋅=+-- αα对求导对求导1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=-+--． 当然，导数的应用不只这些，本文只是抛砖引玉，有兴趣的读者还可以继续探索．。
导数与极限的关系
导数（Derivative）与极限（Limit）是微积分学里面的两
个重要概念，它们之间是紧密相关的，我们可以用极限来定义导数。
什么是极限？极限是定义在实数集上的函数在某点上取得的值，它可以表示在该点的某一个方向上某个变量的取值趋于某一特定值的情形。
极限定义了一个变量的趋势。
什么是导数？导数是一个函数在某一点的斜率，它表示某个变量随着另一个变量的变化率，可以用来描述变量的变化趋势。
极限与导数的关系是：导数可以用极限的方法来定义。
具体来说，导数可以表示为函数f（x）在x0点的斜率，可用极
限来定义：lim(x->x0) (f(x) - f(x0)) / (x - x0)
这里，极限表示的是当x趋于x0时，函数f（x）在x0点的斜率，而这个斜率就是函数f（x）的导数。
极限和导数的关系是双向的，不仅可以用极限来定义导数，也可以用导数来求极限。
比如：lim(x->x0) f(x)
这里，可以将f（x）用它的导数来表示：f(x) = f(x0) +
f'(x0) * (x - x0) + ...
用它的导数来表示，当x趋于x0时，f（x）趋于f（x0）。
由此可见，极限与导数之间是紧密相关的，极限可以用来定义导数，而导数可以用来求极限。
极限可以用来描述变量的变化趋势，而导数可以用来表示变量的变化率，它们可以互相转换，是微积分学的重要概念。
用两个重要极限导数公式推导导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某点处的变化率。
在求导过程中，有两个重要的极限公式被广泛应用，它们分别是极限的定义和导数的定义。
首先，我们来看极限的定义。
极限的定义表达了当自变量趋近于某个值时，函数取值的趋势。
具体而言，若对于任意给定的正数ε，存在与自变量a的距离δ，使得当x满足| x - a| < δ时，函数f(x)与L之差的绝对值小于ε，即| f(x) - L| < ε，那么我们称函数f(x)在x趋近于a时的极限为L。
其次，我们来探讨导数的定义。
导数定义了一个函数在某个点处的变化率，也就是斜率。
具体而言，对于函数y = f(x)，如果存在极限lim(x -> a) [f(x) - f(a)] / (x - a)，则称函数f(x)在点a可导，记作f'(a)。
这个极限值就是那个点a的导数，表示函数在这个点处的变化率。
通过极限的定义和导数的定义，我们可以求出函数在某点处的变化率。
具体而言，如果一个函数在某一点x0处可导，则在该点处的导数等于函数在该点处的切线的斜率。
计算公式为y = f(x0) +f'(x0)(x - x0)。
在数学和物理等领域中，导数的概念被广泛应用。
例如，在计算机科学中，我们可以使用导数来确定算法运行时间的复杂度。
在自然科学领域中，我们可以使用导数来计算物质在空间中的速度和加速度。
总之，通过极限的定义和导数的定义，我们可以求出函数在某点处的变化率，这是微积分中一个非常重要的概念。
理解这两个极限公式的应用，可以帮助我们更好地掌握微积分的知识，以此应用于各种实际问题中。
极限和导数的关系
导数与极限的关系：极限只是一个数，x趋向于x0的极限=f(x0)。
而导数则是瞬时变化率，是函数在该点x0的斜率，导数比极限多了一个表达“过程”的部分。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率，极限是一种“变化状态”的描述，此变量永远趋近的值A叫做“极限值”。
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导，因此导数也是一种极限。
导数的求导法则
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下：
1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
版权所有翻印必究/考研数学：利用导数求极限极限是研究变量变化趋势的基本工具，在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数的连续、导数、定积分等都是建立在极限的基础之上的，因此考试往往把求极限问题作为考核的一个重点，而在不同的函数类型下所采用的求极限的技巧是各不相同的，因此大家要学会判断极限的类型，熟练而又灵活的掌握各种技巧的应用。
本文主要介绍了利用导数求极限与已知极限求导数的基本应用。
旨在让大家达到能灵活运用导数方法去求解一些极限问题从而达到使问题简单化的目的。
一、导数定义法求极限这种极限求法主要针对所给的极限不易求，但是所求函数满足导数定义的形式，此时可以用导数定义法比较方便的求出极限。
定义设函数()f x 在0x 的某领域内有定义，给自变量0x 在0x 处加上增量x ∆，相应的得到因变量0x 的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-.如果极限0000()()limlim x x f x x f x y x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则称函数在0x 处可导，将该极限值称为函数在0x 处的导数。
记作()0f x '.例1、设函数()f x ，其中()10f =，()11f '=，求极限lim ()2x x xf x →∞+.解：根据函数()f x 在1x =处的导数的定义：()0(1)(1)1lim x f x f f x∆→+∆-'=∆所以2(1(1)222lim (lim (1lim 2(1)22222x x x f f x x x xf xf f x x x x →∞→∞→∞---+'=-=⋅=-⋅=-+++-+ 版权所有翻印必究二、已知极限求导数求导的本质是求极限，在求极限的过程中，力求使已知极限的结构形式转换为所求极限的形式是顺利求导的关键。
因此，导数与极限的考查可以是已知导数求极限，也可以通过极限去求导数。
例2、已知()f x 在2x =处可导，22()lim 24x f x x →=-，求()2f 及()2f '。
导数值和极限值的关系
导数和极限是微积分中的重要概念，它们之间有着密切的联系。
导数表示函数在某一点处的切线斜率，即函数在该点的变化率。
导数描述了函数在一点附近的局部性质。
而极限是描述某一变量在无限接近某一点时的行为，是函数在某一点处的极限值。
导数和极限的关系在于，如果一个函数在某一点的导数存在，那么该点的导数值就是该函数在该点处的极限值。
也就是说，函数在该点的导数就是描述该变量在趋近于这一特定点时行为的一种方式。
以一个简单的例子来说明：考虑函数f(x) = x²在点x=0处的行为。
我们知道，当x趋近于0时，f(x)趋近于0。
这个极限值就是函数在x=0处的导数值，即f'(0) = 2×0 = 0。
因此，可以说导数是极限的一种特殊情况，即当自变量的增量趋于零时，函数值的增量与自变量的增量的比值的极限就是导数。
这种特殊情况的极限就是导数，而一般的极限可能并不具有这种特性。
引言极限是研究变量的变化趋势的基本工具。
在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数的连续、导数、定积分和无穷级数等都是建立在极限的基本之上的。
极限的思想和方法产生某些实际问题的精确解，并且对数学在实际中的应用也有着重要的作用。
因此研究生考试往往把求极限问题作为考核的一个重点，而在不同的函数类型条件下所采用的求极限的技巧是各不相同的，因此大家要学会判断极限的类型，熟练和灵活的掌握各种技巧的应用。
本文主要介绍了导数在求极限中的基本应用，包括导数定义法，L ’Hospital 法则，Taylor 展式法及微分中值定理在求极限中的应用。
旨在让大家掌握各种导数方法适用的函数类型，要注意的事项及它的一些推广结论。
达到能灵活运用导数方法去求解一些极限问题以使问题简单化的目的。
第1章导数在求极限中的基本应用1.1导数定义法这种极限求法主要针对所给的极限不易求，但是函数满足导数定义的形式且能够确定的变化趋向的极限易求出时，可以用此法比较方便的求出极限.定义若函数()y f x =在其定义域中的一点0x 处极限存在，则称在0x 处可导，称此极限值为()f x 在0x 处的导数，记为0()f x '.显然，()f x 在0x 处的导数还有如下的等价定义形式：000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-.下面通过两个例子让大家逐步领悟导数定义法的内涵例1求极限tan sin 0limsin b x b xx xαα+-→-.解由于tan sin tan sin tan sin tan sin sin b x b xb x b b b xx xxxxαααααα+-+----=+.所以，tan sin tan sin 0tan limlimlimsin tan sin sin b x b xb x b b b xx x x xxxxxαααααα+-+-→→→---=+ln ln 2ln b b b αααααα=+=.例2(本题选自《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第二版.)设(0)f k '=，试证00()()lim a b f b f a k b a-+→→-=-.证明（希望把极限式写成导数定义中的形式）（拟合法思想：把要证的极限值k 写成与此式相似的形式） 两式相减，可得因0a -→，0b +→，所以有0b a >>，1a bb a b a<--又因(0)f k '=，故当0a -→，0b +→时右端极限为零，原极限获证.1.2L ’Hospital 法则本节主要总结了L ’Hospital 法则在求未定式极限中的应用，需要注意的问题，并深入分析了使用L ’Hospital 法则时实质是对无穷小或无穷大进行降阶.另外还指出L ’Hospital 法则与其他极限方法如无穷小的替换的结合.1. L ’Hospital 法则L ’Hospital 法则作为Cauchy 中值定理的重要应用，在计算未定式极限中扮演了十分重要的角色，这是因为对于未定式极限来讲极限是否存在，等于多少是不能用极限的四则运算法则解得的，而通过对分子分母求导再求极限能够很有效的计算出未定式的极限. 关于未定式：在计算一个分式函数的极限时，常常会遇到分子分母都趋于零或都趋于无穷大的情况，由于这是无法使用“商的极限等于极限的商”的法则，运算将遇到很大的困难.事实上，这是极限可能存在也可能不存在.当极限存在时极限值也会有各种各样的可能.我们称这种类型的极限为0未定型或∞∞未定型.事实上，未定型除以上两种类型外还有0⋅∞，∞-∞，1∞，00，0∞等类型. L ’Hospital 法则： 定理[]4若函数f 和g 满足:①0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；②在点0x 的某空心邻域00()U x 内可导，且()0g x '≠； ③0()lim()x x f x A g x →'='(A 可为有限数或∞)； 则00()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 注：以上结论在0x x ±→，或是x →∞（包括+∞和-∞）时也是成立的.2. L ’Hospital 法则的应用a) L ’Hospital 法则能处理的基本未定型极限是00型或∞∞型例1求lim n x x x e λ→∞（n 为正整数，0λ>）.（∞∞型）解连续使用L ’Hospital 法则n 次122(1)!lim lim lim lim 0n n n x x xn x x x x x x nx n n x n e e e e λλλλλλλ--→∞→∞→∞→∞-===⋅⋅⋅==. 从以上例中可看出L ’Hospital 法则的实质是对无穷小或无穷大进行降阶. 下面再看两个L ’Hospital 法则在解含有变限积分问题中的应用.例2求03(1cos )limxx t dt x→-⎰.分析：因为0(1cos )x t dt -⎰可导从而连续，所以此问题属于0型，可用L ’Hospital 法则求解.解032(1cos )(1cos )limlim03xx x t dt t dt x x →→--==⎰⎰.例3求极限110()lim x x f t x dt t αα++→⎰，其中0α>，()f x 为闭区间[]0,1上的连续函数. 解111100()()lim lim 1x x x x f t dt f t t x dt t x αααα++++→→=⎰⎰因0x →时，1x α单调递减趋于+∞， 使用L ’Hospital 法则，则111110001()()()()(0)lim lim lim lim 11xxx x x x f t f x dt f t f x f t x x dt tx xααααααααα+++++++→→→→+-====-⎰⎰. （2）在使用L ’Hospital 法则时，必须验证条件是否满足①所求的极限是否未定型极限；②求完导数后极限是否存在.其中第二条容易忽略.例4设()f x 为可导函数，(0)(0)1f f '==，求极限0(sin )1limsin x f x x→-.解0(sin )1limsin x f x x →-00cos (sin )lim lim (sin )(0)1cos x x x f x f x f x→→'⋅''====. （此题不能用L ’Hospital 法则求解，错误出在题目中没有给出在处连续的条件，所以不知道的极限是否存在，即不满足条件②，题目中只是说在处可导，而定理中要求在的某个邻域中可导） 当求导后的极限不存在时，原极限仍可能有极限，所以求导后极限不存在只能说明此时L ’Hospital 法则失效，不能说原式无极限.（3）对于其他未定型或极限0⋅∞、∞-∞、1∞、00、0∞等类型，可分别通过做商、通分、取对数转化成00型或∞∞型的极限，再使用L ’Hospital 法则.例5求极限1lim(1)tan2x x x π→-.解2111121122lim(1)tanlimlimlim sin 22cotcsc222x x x x xx x x x xπππππππ→→→→---====-.注：这是将0⋅∞型转化成了00型，如果选择不当把它化成∞∞型，则解题过程将会比较复杂.转化时一般规律是选择求导后式子简单的那种类型.例6求极限01limcot x x x→-.解将它改写成1cos sin cot sin x x x x x x x--=就化成了∞∞型，于是有01limcot x x x →-2000cos sin sin cos sin cos lim lim lim 0sin 2x x x x x x x x x x x xx x x x→→→---====. “1∞、00、0∞”可以通过如下转化化成型或型：例7 求极限2lim (arctan )x x x π→+∞.（1∞型）解因为2lim ln(arctan )2lim (arctan )x x x xx x eππ→+∞→+∞=而2lnarctan 2lim ln(arctan )lim1x x x x x xππ→+∞→+∞=所以22lim ln(arctan )2lim (arctan )x x x xx x eeπππ→+∞-→+∞==.例8 求极限1ln 0lim(cot )xx x +→.（0∞型）解因为当0x +→时tan x x :，所以0ln 111lim 1ln ln ln ln 00011lim (cot )lim ()lim ()tan x xxxx xx x x x e e x x+→+++--→→→====.（4）利用L ’Hospital 法则求数列极限——Stolz 公式Stolz 公式可以说是数列的L ’Hospital 法则，它对求数列的极限很有用. 定理1[4]（∞∞型的Stolz 公式） 设{}n x 严格递增（即n N ∀∈有1n n x x +<）且lim n n x →∞=+∞，若①11limn n n n n y y a x x -→∞--=-（有限数），则lim n n nya x →∞=；②a 为+∞或-∞，结论仍然成立.定理2[4]（0型的Stolz 公式）设n →∞时0n y →，{}n x 严格单调下降趋于零，若11limn n n n n y y a x x -→∞--=-，则limnn ny a x →∞=（其中a 为有限数，+∞或-∞）. 例9 求极限limln n n n →∞.解由于1lim lim 1ln x x x x x→+∞→+∞==+∞，所以limln n nn→∞=+∞. 例10证明1121lim 1p p p p n n n p +→∞++⋅⋅⋅+=+（p 为自然数）.证11112(1)lim lim (1)p p p pp p p n n n n nn n +++→∞→∞++⋅⋅⋅++=+- 1(1)1lim (1)1(1)12p n pp n p p p p n n →∞-+==+++++⋅⋅⋅+. 下面说明Stolz 公式必要时可以重复使用例11 02ln nk nk n CS n ==∑（其中(1)(1)12kn n n n k C k-⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅），求lim n n S →∞.解因2n 单调递增趋于+∞，可应用Stolz 公式（再次使用Stolz 公式）1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1limlim(21)(21)22nn n n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+--.例12 求极限121112122223222lim()()()212121n n n n n ---→∞⋅⋅⋅---.解先取对数，再取极限.令121112122223222lim()()()212121n n n n n n x ---→∞=⋅⋅⋅---应用Stolz 公式故,原式1lim 2n n x →∞==.（5）L ’Hospital 法则与其他方法相结合使用，如与无穷小相结合.例13求极限22201cos lim sin x x x x →-.解422240011cos 12lim lim sin 2x x xx x x x →→-==. 有个别题目在使用L ’Hospital 法则时会出现循环现象，此时不能用L ’Hospital 法则求解，如下面一例.例14求极限lim x xx x x e e e e --→+∞-+.解221lim lim11x x xx x xx x e e e e e e ----→+∞→+∞--==++. 第2章Taylor 展式在求极限问题中的应用本节介绍运用Taylor 公式求解一些较复杂的未定型的函数极限及中值点的极限、无穷远处的极限.定理1[4]（带Peano 余项的Taylor 公式）设()f x 在0x 处有n 阶导数，则存在0x 的一个邻域，对于该邻域中的任一点x ，成立 其中余项()()n r x 满足()0()(())n n r x o x x =- 定理2[4]（带Lagrange 余项的Taylor 公式）设()f x 在[],a b 上有n 阶连续导数，且在(,)a b 上有1n +阶导数.设[]0,x a b ∈为一定点，则对于任意[],x a b ∈，成立其中余项()()n r x 满足(1)()10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+，ξ在x 和0x 之间. 注：函数()f x 在0x =处的Taylor 公式又称为函数()f x 的Maclaurin 公式. 几个常用函数的Maclaurin 公式:（为了便于书写，我们写出带Peano 余项的Taylor 公式）①231()2!3!!nxn x x x e x o x n =++++⋅⋅⋅++;②352122sin (1)()3!5!(21)!n nn x x x x x o x n ++=-+-⋅⋅⋅+-++; ③24221cos 1(1)()2!4!(2)!n n n x x x x o x n +=-+-⋅⋅⋅+-+; ④230123(1)()()()()()()n n nx x x x x o x αααααα+=++++⋅⋅⋅++ 其中α为任意实数，(1)(1)()!k k k αααα-⋅⋅⋅-+=，并规定0()1α=；⑤2341ln(1)(1)()234nn n x x x x x x o x n -+=-+-⋅⋅⋅+-+； ⑥3521122arctan (1)()3521n n n x x x x x o x n +-+=-+-⋅⋅⋅+-++. 1.用Taylor 公式巧解未定型极限由于L ’Hospital 法则的实质是对分子分母进行降阶，这意味着当遇到分子分母都是较高阶的情况时，必须多次应用L ’Hospital 法则，遇到分子分母有带根号项时，会越微分形式会越复杂.而用公式则可进一步到位，所以在求解未定型极限时，应该灵活使用公式法解决.从而避免应用法则出现的解题困难. 例1求极限2240cos limx x x e x -→-.解这是个0未定型极限问题，如果使用L ’Hospital 法则，则分子分母需求导四次，但若使用Taylor公式，则44401()112lim 12x x o x x →-+==-. 例2求极限0x →解这也是个0未定型的极限问题，因2441()624x x o x =-+，4224sin ln(1sin )sin (sin )2x x x o x +=-+用324sin [()]6x x x o x =-+代入，即有42245ln(1sin )()6x x x o x +=-+于是240ln(1sin )1)lim x x x→+- 424244405[()]6[()]76624lim 12x x x x x o x o x x →-+--+==-. 2.用Taylor 公式求中值点的极限例3（《本题选自数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第2版.第251页） 设（1）()f x 在00(,)x x δδ-+内是n 阶连续可微函数，此处0δ>； （2）当2,3,(1)k n =⋅⋅⋅-时，有()0()0n f x =但是(1)0()0n f x +≠； （3）当0h δ≠<时有000()()(())f x h f x f x h h hθ+-'=+①其中0()1h θ<<证明：lim ()h h θ→∞=证我们要设法从①式中解出()h θ，为此我们将①式左边的0()f x h +及右边的0(())f x h h θ'+在0x 处展开.由条件（2）知12,(0,1)θθ∃∈使得于是①式变成从而()h θ=因12,()(0,1)h θθθ∈，利用()()n f x的连续性，可得lim ()h h θ→∞=注：此题若用L ’Hospital 法则做将不胜其烦.例4设()()()()(),(01)!n n h f x h f x hf x f x h n θθ'+=++⋅⋅⋅++<<， 且(1)()0n f x +≠，证明：01lim 1h n θ→=+. 提示：1()(1)1()()()()()()!(1)!n n n n n h h f x h f x hf x f x f x o h n n +++'+=++⋅⋅⋅++++ 从而有()()(1)()()()()1n n n f x h f x h hf x o h h n θθθ++-=++. 证明2()11()()()()()2!!n n f x h f x hf x f x h f x h h n θ'''+=+++⋅⋅⋅++ 另0,h →得到(1)(1)01lim ()()1n n h f x f x n θ++→⋅=+，再由(1)()0n f x +≠，两边消去(1)()n f x +，即得到01lim 1h n θ→=+.3.用Taylor 公式求无穷远处的极限例5（《本题选自数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第2版.第249页）设函数()x ϕ在[)0,+∞上二次连续可微，如果lim ()x x ϕ→+∞存在，且()x ϕ''在[)0,+∞上有界，试证：lim ()0x x ϕ→+∞'=.证明要证明lim ()0x x ϕ→+∞'=，即要证明：0,0ε∀>∃∆>当0∆>时()x ϕε'<利用Taylor 公式，210,()()()()2h x h x x h h ϕϕϕϕξ'''∀>+=++即11()[()()]()2x x h x h h ϕϕϕϕξ'''=+--①记lim ()x A x ϕ→+∞=因ϕ''有界，所以，0M ∃>使得()x M ϕ''≤,（对x a ∀≥）故由①知211()(()())2x x h A A x Mh h ϕϕϕ'≤+-+-+②对0ε∀>，首先可取0h >充分小，使得2122Mh ε<，然后将h 固定，因lim ()x x A ϕ→+∞=，所以0∃∆>，当0x >时，从而由②式，即得()22x εεϕε'<+=.第3章微分中值定理在求极限问题中的应用微分中值定理是Role 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理和Taylor 中值定理的统称。
