浙江财经大学微积分(下册)总复习

共五大题）一·讨论、简答题（20%）（要反证法：[].)v u (.,v )v u (u )v u (u u )v u (n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 发散与题设矛盾收敛则已收敛，收敛，若∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=-∴=--=---11111114．确定k 的范围，以便广义积分⎰∞ekx x dx)(ln 收敛。

解：.k t dt )x (ln x ln d )x (ln x dxt x ln k e k e k 时积分收敛当令11>===⎰⎰⎰∞∞∞ 5．若p>0,讨论级数∑∞=+-111n n nnp )(何时绝对收敛、条件收敛、发散。

解：().n )(,p ,p ,p p p n n lim np )(p n )(lim n nn n nn n n ，条件收敛原级数为：当原级数发散，当原级绝对收敛，当∑∞=∞→+++∞→-=<<>=+=-+-112111101111111二．求极限与导数（10%）1．023sin limxx t dt x→⎰解：原式()()02223sin sin 1limlim 33→→'-===-'⎰xx x t dtxx x 2．设⎰-=22)(x xtdt e x F ，求).(x F '解：42222200x x x t x t xe e dt e dt e )x (F +='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='⎰⎰-三．求积分（30%） 1．dx x x ⎰-122221 解：41414222124242242ππππππππππ-=--=-===⇒==⇒===⎰⎰t cot dt t csctdt cotu x ,t x tdt cos dx ,t sin x 原式令2．⎰402πxdx sec x tan解：21240240402===⎰⎰πππx tan x tan xd tan xdxsec x tan3．⎰202πxdx cos e x解：5254421222222202202202202202202-=⇒-+--=+='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰πππππππππe xdx cos e xdxcos ex sin e e xdxsin e x cos e xdx cos e xdxcos e xx xxxx x4．dx x ⎰-1121 解：原式发散∴∞=-=-=+=++→--⎰⎰⎰⎰1111111010102102012112xlim x dx x dx xdx x dx x x5．⎰-++++112243411dx x x x x tan )x ( 解：322121011111101022241122411234224234⎰⎰⎰⎰==++=++=∴=++∴++++--dx x dx x x x dx x x x dx x x tan )x (x x x x x tan )x (原式为偶函数为奇函数，6．dx )x (x ⎰∞++111解：2422211221111212πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+=+==∞+∞+∞+⎰⎰t arctan dt t tdt )t (t t x 原式令四．应用题（15%）1．设平面区域由抛物线2x y -=与直线x y =围成，求：（1）的面积； （2）绕轴旋转所成旋转体的体积.解：图略。

专业、班级______________________________学号___________________________姓名_______________________ 密 封 线

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《 微积分B下 》课程期中考试卷（ A 卷）答卷 年级、专业：本科08级各专业 考试日期： 09 年 4 月 21 日

（共 五 大题） 一·讨论、简答题（20）（要求有必要的解题步骤！）

1．设,|sin|,||sin22dxxbdxxa

|sin|2xdxc试通过计算，给出大小关系。

解： 0200202sinsin2sinsinsin6sinsin022axdxxdxbxdxxdxxdxcxdxxdxacb







2．设f(x)连续，且ttdxtxfsin)(10。试求f(x)=？ 解：（运用了原函数存在性定理，变上限积分）

xxfttduuftftduufttduuftdxtxfuxtuxtdudxtuxutxtttcoscossin)(,sin)(sin)(1)(00,1,,00010



令

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 得 分 评卷人 3．1nnu收敛、1nnv

发散，问1)(nnnvu是否收敛？请简述理由。

浙江大学微积分一公式大全(总3页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除微积分公式sin x dx = -cos x + C cos x dx = sin x + C tan x dx = ln |sec x | + C cot x dx = ln |sin x | + C sec x dx = ln |sec x + tan x | + C csc x dx = ln |csc x – cot x |+ Csin -1(-x) = -sin -1 x cos -1(-x) = - cos -1 x tan -1(-x) = -tan -1 x cot -1(-x) = - cot -1 x sec -1(-x) = - sec -1 x csc -1(-x) = - csc -1 x sin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C cos -1 x dx = x cos -1 x-21x -+C tan -1 x dx = x tan -1 x-½ln(1+x 2)+C cot -1 x dx = x cot -1 x+½ln(1+x 2)+C sec -1 x dx = x sec -1 x- ln |x+12-x |+C csc -1 x dx = x csc -1 x+ ln|x+12-x |+C sinh x dx = cosh x + C cosh x dx = sinh x + Ctanh x dx = ln | cosh x |+ C coth x dx = ln | sinh x | + C sech x dx = -2tan -1 (e -x ) + Ccsch x dx = 2 ln |xxe e 211---+| +Cd uv = u d v + v d ud uv = uv = u d v + v d u → u d v = uv - v d u cos 2θ-sin 2θ=cos2θ cos 2θ+ sin 2θ=1 cosh 2θ-sinh 2θ=1cosh 2θ+sinh 2θ=cosh2θsinh -1 x dx = x sinh -1 x-21x ++Ccosh -1 x dx = x cosh -1 x-12-x + C tanh -1 x dx = x tanh -1 x+ ½ ln | 1-x 2|+ Ccoth -1 x dx = x coth -1 x- ½ ln | 1-x 2|+ Csech -1 x dx = x sech -1 x- sin -1 x + C csch -1 x dx = x csch -1 x+ sinh -1 x + Ca b c α βγ Rd x = ⎰∞+-+01)1(nm m x x d x 希臘字母 (Greek Alphabets)大寫 小寫讀音 大寫 小寫讀音 大寫 小寫讀音 Α α alpha Ι ι iota Ρ ρrhoΒ β beta Κ κ kappa Σ σ, ς sigmaΓ γ gamma Λ λ lambda Τ τtau Δ δ delta Μ μ mu Υ υ upsilonΕ ε epsilon Ν ν nu Φ φphi Ζ ζ zeta Ξ ξ xi Χ χkhi Η η eta Ο ο omicron Ψ ψpsi ΘθthetaΠπpiΩω omega倒數關係: sin θcsc θ=1; tan θcot θ=1; cos θsec θ=1 商數關係: tan θ=θθcos sin ; cot θ= θθsin cos 平方關係: cos 2θ+ sin 2θ=1; tan 2θ+ 1= sec 2θ; 1+ cot 2θ= csc 2θ順位低順位高; 順位高d 順位低 ;0*=∞1 * = ∞∞ = 0*01 = 00 00 = )(0-∞e ; 0∞ = ∞⋅0e ; ∞1 = ∞⋅0e 順位一: 對數; 反三角(反雙曲) 順位二: 多項函數; 冪函數 順位三: 指數; 三角(雙曲)。

《微积分（下）》作业本课程作业由二部分组成：第一部分为“客观题部分”，由15个选择题组成，每题1分，共15分； 第二部分为“主观题部分”，由4个解答题组成，第1、2题每题2.5分，第3、4题每题5分，共15分。

作业总分30分，将作为平时成绩记入课程总成绩。

客观题部分一、选择题（每题1分，共15分）1．级数1n n u ∞=∑收敛的充要条件是（ C ）A 、lim 0nn u →∞= B 、1lim1n n n u r u +→∞=<C 、lim n n S →∞存在，()12n n S u u u =++…+ D 、21nu n≤2．下列级数中，绝对收敛的是（ C ）A 、()111n n ∞-=-∑B 、()1121nn n n ∞=--∑C 、1213nn ∞=∑D 、()()1111ln 1n n n ∞-=-+∑3．二元函数z=B ）A 、0x y +>B 、1x y +>C 、()ln 0x y +≠D 、1x y +≠4．级数()()112121n n n ∞=-+∑的和是（ A ）A 、12B 、2C 、3D 、135．若级数1n n u ∞=∑发散，则级数()10n n au a∞=≠∑（ A ）A. 一定发散 B 、一定收敛C 、可能收敛也可能发散D 、0a>时收敛，0a <时发散6．级数()123nnn x n ∞=-⋅∑的收敛半径是（ D ）A 、2B 、12C 、13D 、37．设积分区域D 是由曲线2,1x y ==所围成的平面图形，则Ddxdy ⎰⎰=（ A ）A 、8B 、 4C 、 2D 、4-8．下列级数中，绝对收敛的是（ C ）A 、()111n n ∞+=-∑B 、()()110nn a n a∞=->+∑C 、()()121121n n n -∞=--∑D 、()1111nn n n ∞=--+∑9．设12y xz-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则z x∂∂=（ D ）A. 1ln 22y x-⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、22yxy x-⋅C 、112y xy x -⎛⎫-- ⎪⎝⎭D 、22ln 2yxy x-⋅10．微分方程'3xy y +=的通解为（ A ）A 、3C y x=+ B 、3y Cx =+ C 、3C yx=-- D 、3C yx=-11．已知级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑，n n u v 0≤≤，则（ C ）A 、当1n n u ∞=∑收敛时，1n n v ∞=∑发散B 、当1n n v ∞=∑发散时，1n n u ∞=∑发散C 、当1n n u ∞=∑发散时，1n n v ∞=∑发散D 、当1n n v ∞=∑发散时，1n n u ∞=∑收敛12．设()ln xyze e=+，则2z x y∂∂∂=（ B ）A 、yxyee e+ B 、()2xy x ye ee e-+C 、()2x y xye eee+ D 、xxyee e+13． ()()//0000,,,x y f x y f x y 存在，则函数(),f x y 在点()00,x y （ C ）A 、一定不可微B 、一定可微C 、连续D 、有定义14．设(),z f x y =在点()00,x y 处可微，且()()//0000,0,,0x y f x y f x y ==，则函数(),f x y 在点()00,x y 处（ D ）A 、必有极值B 、必有极大值C 、必有极小值D 、不一定有极值15．交换二重积分()10,y I dy f x y dx=⎰⎰的积分次序，则I =（ B ）A 、()10,xdx f x y dy⎰⎰ B 、()11,xdx f x y dy⎰⎰C 、()10,y dx f x y dy⎰⎰D 、()10,y dx f x y dy⎰⎰主观题部分二、解答题（第1、2题每题2.5分，第3、4题每题5分，共15分）1. 判断交错级数()22111lnnn n n∞=+-∑的敛散性. 若收敛，请指出是条件收敛，还是绝对收敛，注明理由.2. 求幂级数11n n nx∞-=∑的和（注：利用逐项积分）.3. 设2lnx y z ++=，求.z x∂∂4．求微分方程1'y y x x+=的通解.。

微积分（一）_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.设【图片】均为非负数列，且【图片】,则必有( )参考答案:极限不存在2.设函数【图片】，则【图片】在【图片】处的参考答案:左导数存在，右导数不存在3.设常数【图片】,函数【图片】在【图片】内零点个数为( )参考答案:24.设【图片】为【图片】内不恒为零的可导奇函数，则【图片】参考答案:一定是内的偶函数5.设【图片】,则使【图片】存在的最高阶数【图片】为( )参考答案:26.【图片】在【图片】连续，求常数a.参考答案:-27.当【图片】时，函数【图片】的极限（）参考答案:不存在但也不为8.设【图片】是奇函数，除【图片】外处处连续，【图片】是其第一类间断点，则【图片】是( )参考答案:连续的偶函数9.设【图片】 , 则在点【图片】处参考答案:取得极大值10.设【图片】,则在点【图片】处函数【图片】( )参考答案:不连续11.函数【图片】的图形，在参考答案:是凹的12.设函数【图片】, 其中【图片】是有界函数，则【图片】在【图片】处参考答案:可导13.设函数【图片】，则在【图片】处参考答案:当且仅当时才可微14.设【图片】在【图片】处连续，则下列命题错误的是（）。

参考答案:若存在，则存在15.若【图片】, 则方程【图片】参考答案:有唯一的实根16.设【图片】，则在【图片】处，有（）成立。

参考答案:在处连续,但不可导17.函数【图片】不可导点的个数是( )参考答案:218.设【图片】在闭区间【图片】连续，则下列选项错误的是（）。

参考答案:存在，使19.要使函数【图片】在【图片】处的导函数连续，则【图片】可取值\参考答案:320.当【图片】时，曲线【图片】( )参考答案:有且仅有水平渐近线21.曲线【图片】渐近线的条数为参考答案:322.设函数【图片】连续,且【图片】 ,则存在【图片】, 使得参考答案:对任意的, 有23.若函数【图片】有【图片】，则当【图片】时，该函数在【图片】处的微分【图片】是( )参考答案:与同阶的无穷小24.函数【图片】不可导点的个数为参考答案:225.设【图片】, 则参考答案:，但在处不连续26.设【图片】, 则【图片】是（）参考答案:偶函数27.设【图片】，则在【图片】处，【图片】（）。

微积分练习册[第八章]多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念1.填空题：（1）若yxxy y x y x f tan),(22-+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________yf f x-==（3）若)0()(22 y y y x xyf +=，则__________)(=x f （4）若22),(y x xy y x f -=+，则____________),(=y x f （5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________(7)函数xyz arcsin=的定义域是________________ （8）函数xy xy z 2222-+=的间断点是_______________2.求下列极限： （1）xy xy y x 42lim0+-→→(2)x xyy x sin lim0→→(3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→3.证明0lim22)0,0(),(=+→yx xy y x4.证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x yx y x 不存在5.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题 （1）设y x z tanln =，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ; （2）设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ; （3）设zyxu =，则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ; （4）设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x zy z x z（5）设zyx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x2.求下列函数的偏导数y xy z )1()1(+=z y x u )arcsin()2(-=3.设xy z =，求函数在（1，1）点的二阶偏导数4.设)ln(xy x z =，求y x z ∂∂∂23和23yx z∂∂∂ 5.)11(yx ez +-=，试化简yz y x z x∂∂+∂∂226.试证函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),( ,0)0,0(),(,3),(22y x y x yx xyy x f 在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续. 习题8-3全微分及其应用1.X 公司和Y 公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：QY PY Qx Px 41600;51000-=-=公司X 、Y 现在的销售量分别是100个单位和250个单位。

浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一 、填空题（每小题5分.共25分.把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a =,3b =,3a b ⋅=,则a b += . 3.设(,)f u v 可微.(,)yxz f x y =,则dz = .4.设()f x 在[0.1]上连续.且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =≤≤≤≤,则()()()()Daf x bf y d f x f y σ++⎰⎰= .5.设(,)f x y 为连续函数.交换二次积分次序2220(,)x x dx f x y dy -=⎰⎰.二 、选择题（每小题5分.共20分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的.把所选字母填入题后的括号内）6.直线l 1:155121x y z --+==-与直线l 2:623x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 （A ）2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6π. [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数.极坐标系中的二次积分cos 2d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标中的二次积分为（A）100(,)dy f x y dx ⎰⎰ （B）100(,)dy f x y dx ⎰⎰（C）10(,)dx f x y dy ⎰⎰（D）10(,)dx f x y dy ⎰⎰[ ]8.设1, 02()122, 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数.则5()2S -=（A ）12. （B ）12-. （C ）34. （D ）34-. [ ] ＜9.设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩则(,)f x y 在点O (0,0)处（A ）偏导数存在.函数不连续 （B ）偏导数不存在.函数连续（C ）偏导数存在.函数连续 （D ）偏导数不存在.函数不连续 [ ] 三、解答题10.（本题满分10分）求曲线L ：2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M （1.－1.2）处的切线方程与法平面方程.11.（本题满分10分）设F 可微.z 是由F (x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数.并设23F F ''≠.求z zx y∂∂+∂∂. 12.（本题满分10分）设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集.求2[e sin()]d xDx y σ++⎰⎰. 13.（本题满分10分）求空间曲线L ：222920335x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与最小值.14.（本题满分10分）设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤.计算二重积分22 1 d Dx y σ+-⎰⎰.15.（本题满分5分）设当y ＞0时(,)u x y 可微.且已知222222(,)()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++. 求(,)u x y .浙江大学2007－2008学年春季学期《微积分II 》课程期末考试试卷答案一、填空题（每小题5分.共25分） 1．231421=-++=d .2．22()()2496a b a b a b a b a b +=+⋅+=++⋅=++=3．()()dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+⋅'+'+⋅'=4．()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=D Dd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ. ()()⎰⎰+=+=+=∴Db a I b a d b a I 21,2σ.5．()()2220111,,x x dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰或 ()0111,dy f x y dx -⎰⎰或 ()1101,dy f x y dx -⎰⎰.二、选择题（每小题5分.共20分） 6．选（B ）.l 1的方向向量{}1,2,1-.l 2的方向向量{}2,1,1--.{}{}3,2163662,1,11,2,1cos πθθ===--⋅-=.7．选（D ）. 积分区域(){}0,,22≥≤+=y x y x y x D .化成直角坐标后故知选（D ）.8．选（C ）. 511111113()()()((0)(0))(1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.9．选（A ）. ()()0000,0lim0,0,00x y x f f x→-''===.偏导数存在. 取kx y =.()4411lim,lim kk kk kx x f x x +=+=→→随k 而异.所以不连续．三、解答题（10～14每题10分.15题5分.共55分） 10．由L .视x 为自变量.有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++.0226,0264dx dz z dx dy y x dx dz z dx dy y x 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出dxdzdx dy ,.得 87,45==dx dz dx dy . 所以切线方程为87245111-=+=-z y x .法平面方程为()()()57112048x y z -+++-=.即0127108=-++z y x .11．133212232332,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''''--+∂∂∂∂=-=-=-=-+==''''''''∂-+∂-+∂∂-.12．D 在第一象限中的一块记为D 1.D 在第三象限中的一块记为D 2.()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++++=++2122122sin sin sin D D DD x D x x d y x d y x d e d e d y x eσσσσσ.32222312101xx x x x xxxD D e d e d dx e dy dx e dy σσ-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()()()()222210103333011x x x x x x e dx xx e dx x x e dx xx e dx -=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰()2111130021()112x u u u u x x e dx e du ue du e ue e e e =-=-=---=--=-⎰⎰⎰()()()()3312101sin sin sin sin x x xxD D x y d x y d dx x y dy dx x y dy σσ-+++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()103301cos cos cos cos x x x x dx x x x x dx -⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()()13301cos cos cos cos 0x x x x dx x x x x dx ⎡⎤⎡⎤=-+-+++-+=⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 所以.原式2-=e .13．L 上的点到平面xoy 的距离为z .它的最大值点.最小值点与2z 的一致.用拉格朗日乘数法.设()()()53329,,,,2222-+++-++=z y x zy x z z y x F μλμλ.求偏导数.并令其为零有：20F x x λμ∂=+=∂.1830F y x λμ∂=+=∂. 2430F z z z λμ∂=-+=∂.22920Fx y z x∂=+-=∂ . 3350Fx y z μ∂=++-=∂ ． 解之得两组解()()1215,,(1,,1);,,(5,,5)33x y z x y z ==--. 所以当31,1==y x 时.1=z 最小；当35,5-=-=y x 时.5=z 最大.14．将分成如图的两块.41的圆记为D 1.另一块记为D 2()⎰⎰⎰⎰--=-+DD d y x d y x 1222211σσ+()⎰⎰-+2122D d y x σ ()()()σσσd y x d y x d y xD DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+--++--=11111222222()()()()1222211122220211211211()43343D Dx y d x y d d r rdr dy xy dx πσσθππ=--++-=-++-=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15．由()222222,()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y =++-++++.有222xy y x y x u ++=∂∂.从而知()()y y x y x y x u ϕ++=2221arctan,.又由y y x yx x y u 2222+++-=∂∂.推知 ()22222221()xx y x y y x y y x x y y ϕ-'++=-++++. ()()22,y y y y C ϕϕ'==+所以.()2221,arctan2x u x y x y y C y =+++. 注：若用凑的办法亦可：222222()(2)y x xy dx x y y dy x y x y++-++++()()22222211221()ydx xdy ydx xdy xy ydx xdy ydy d xy dy x x y y y--=+++=++++ ()221(arctan)2x d xy y y =++ 所以.()C y y x y x y x u +++=22221arctan,． ()()u f u F ='．浙江大学2006–2007学年春季学期 《 微积分Ⅱ 》课程期末考试试卷开课学院： 理学院 考试形式：闭卷 考试时间： 年 月 日 所需时间：120 分钟 考生姓名： _____学号： 专业： ________一、 填空题（每小题5分.满分30分） 1． 直线63321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为.2． 数量场2),,(zye z y x g x +=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=u函数)ln(),,(22z y x z y x f ++=在P 点沿u的方向导数为 .3． 设ϕϕ,),2,3(),,(f y x x u u x f z+== 具有二阶连续偏导数.则=∂∂∂yx z 2.4． 设}1,11|),{(3≤≤≤≤-=y x x y x D.则=+⎰⎰+Dy xy x e y x x d d )(222.5． 已知曲面1=z y x 与椭球面193222=++z y x 在第一卦限内相切.则切点坐标为 .公共切平面方程为.6． 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=121,210,)(2x x x x x f .∑∞=+=10cos 2)(n n x n a a x S π.其中,2,1,0,d cos )(210==⎰n x x n x f a n π.则.)27(=S二、 （满分10分）求直线 ⎩⎨⎧=-++=-+-022012z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.1002 22dd x yex y.三、（满分10分）计算⎰⎰-四、 (满分15分)已知),(y x z z =由方程013=++zxe z y 确定.试求1022==∂∂y x x z.五、 （满分15分）设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++014222z y x z y x 上的点),,(z y x 到平面π的距离.求),,(z y x d 的最大.最小值 .六、 (满分15分)如图是一块密度为ρ（常数）的薄板的平面图形（在一个半径为R 的半圆直 径上拼上一个矩形.矩形的另一边为h ）,已知平面图形的形心位于原点(0, 0). 试求：1. 长度 h ；2.薄板绕x 轴旋转的转动惯量.七、 (满分5分) 求证:当0,1≥≥s t 时.成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .参考解答：一．1．⎩⎨⎧=--+=+-0522043z y x z y x ； 2. 21},0,,3{e e ；3. )3(2))(3(2222122222122212ϕϕϕϕϕϕ''+''⋅'+'+'⋅'⋅''+'''f f f ； 4.;32 5. ;03313,3,1,31=-++⎪⎭⎫⎝⎛z y x 6. 83.二．直线：t z t y t x -=-==1,1,曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=22222020220)1()1(,,x x z y z y z y x x -+-=+⇒+=+=则旋转曲面方程：222)1(2x z y -=+三．⎰⎰10222d d xy ex y -⎰⎰⎰-==--212212220142)d 41(d d y y e x e y 2y yy2120202020221d d d d 212212212212212------=-+=+=⎰⎰⎰⎰e y e ey y e e y y e yy y y y四．,1)1,0(-=z ,032=∂∂++∂∂⋅x z xe e x z z y z z ex z y x 3110-=∂∂∴== ,02632222222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂⋅x z xe x z xe x z e x z z y x z z y z z z 2102294ex zy x =∂∂∴== 五．|1|21),,(-+=y x z y x d )14()()1(2222-++++++-+=z y x z y x y x L μλ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=±===++='==+='-==⇒≠=++-+='=⇒==++-+='014,01302,002)1(20,002)1(22223231221z y x L z y x z y x L x z L xz x y y y x L x y x L z y xμλμλμμλλμμλ，无解最小距离：2236),,(323131-=-d .最大距离：2236),,(323131+=--d六．形心：01,0=⇒==⎰⎰⎰⎰DDxdxdy xdxdyx y σ即0d cos d d d 220=⋅+⎰⎰⎰⎰---ππθθRhRRr r r y x xR h R h R 320312)21(232=⇒=⋅+-⋅ ⎰⎰=Dxdxdy y I 2302202)832(d θsin d d d 22R R h r r r y y x RhRR πθππ+=⋅+=⎰⎰⎰⎰--- 七．设0)0,1(,ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s.ln ,0),(t s e t t e s t F s s s ==⇒=-=' 且对固定的1>t . 当,0),(,ln 0<'<<s t F t s s 当,0),(,ln >'>s t F t ss所以.t s ln =取得最小值且为0.则 0),(≤s t F .即s e t tt ts +-≤ln1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a).(A)123I I I >> (B)213I I I >> (C)123I I I << (D)213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛.则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2、、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。

微积分练习册[第八章]多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念1.填空题：（1）若yxxy y x y x f tan),(22-+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________yf f x-==（3）若)0()(22 y yy x xyf +=，则__________)(=x f （4）若22),(y x xy y x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________(7)函数xyz arcsin=的定义域是________________ （8）函数xy xy z 2222-+=的间断点是_______________2.求下列极限： （1）xy xy y x 42lim0+-→→(2)x xyy x sin lim0→→(3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 3.证明0lim22)0,0(),(=+→yx xy y x4.证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x yx y x 不存在5.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题 （1）设y x z tanln =，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ; （2）设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ; （3）设zyxu =，则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ; （4）设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x zyz x z（5）设zyx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x2.求下列函数的偏导数y xy z )1()1(+=z y x u )arcsin()2(-=3.设xy z =，求函数在（1，1）点的二阶偏导数4.设)ln(xy x z =，求y x z ∂∂∂23和23y x z∂∂∂5.)11(yx ez +-=，试化简yz y x z x∂∂+∂∂226.试证函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),( ,0)0,0(),(,3),(22y x y x y x xyy x f 在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续.习题8-3全微分及其应用1.X 公司和Y 公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：QY PY Qx Px 41600;51000-=-=公司X 、Y 现在的销售量分别是100个单位和250个单位。

微积分（上）_浙江财经大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.函数【图片】在【图片】内是单调增加的（）参考答案:正确2.函数在某点不可导，函数所表示的曲线在相应点的切线一定不存在 ( )参考答案:错误3.函数【图片】的图形（）参考答案:y=0 为水平渐近线_y=x 为斜渐近线4.设【图片】，则点【图片】是【图片】的（）参考答案:零点_极值点_拐点5.点【图片】是曲线（）的拐点参考答案:_6.函数【图片】在【图片】处（）参考答案:有极小值_连续7.函数【图片】的连续但不可导点参考答案:一定不是驻点8.设【图片】一阶连续可导且【图片】，则【图片】参考答案:一定不是的极值9.设函数【图片】在【图片】上二次可微，且【图片】，则【图片】在区间【图片】内是（）参考答案:单调增加的10.若【图片】，则（）成立参考答案:在点的某个去心领域内有界_与都存在11.函数【图片】在点 x=2 处的导数是 1 （）参考答案:错误12.函数【图片】在点【图片】处连续是【图片】在点【图片】处可导的（）参考答案:必要条件13.设【图片】是【图片】的一个原函数，则下列等式成立的有（）参考答案:_14.函数【图片】在点x=0处可微（）参考答案:正确15.设函数【图片】，其中【图片】在点【图片】处可导，【图片】，则【图片】是【图片】的 ( )参考答案:第一类间断点16.【图片】是函数【图片】在【图片】上的（）参考答案:最大值_极大值17.函数【图片】的最小值点是【图片】参考答案:118.若【图片】，则点【图片】 ( )参考答案:不一定是的极值点19.下列等式成立的是（）参考答案:_20.下列等式中，（）是正确的参考答案:_21.曲线【图片】，则（）参考答案:是垂直渐近线22.当【图片】时，【图片】与【图片】比较是（）无穷小量。

参考答案:同阶的23.函数【图片】，关于函数【图片】间断点的结论是（）参考答案:存在间断点24.设【图片】, 则【图片】参考答案:125.若【图片】，则当【图片】时，【图片】与【图片】为等价无穷小量参考答案:626.【图片】是函数【图片】在【图片】内单调增加的（）参考答案:充分条件27.下列函数中不是函数【图片】的原函数的是（）参考答案:(C是不为零且不为1的常数)28.下列各对函数中，两函数关系相同的有（）参考答案:_29.下列函数中，（）的反函数与原来函数是相同的函数关系参考答案:_30.下列极限中，【图片】参考答案:__31.设【图片】为可求不定积分的偶函数，则【图片】必为奇函数（）参考答案:错误32.设【图片】，则在【图片】处有（）参考答案:当时，左连续_当时，右连续_当时，必连续33.函数【图片】在点【图片】处（）参考答案:可导_连续_二阶导数不存在34.函数【图片】是参考答案:奇函数35.【图片】二阶可导，【图片】是【图片】的极值点，【图片】，则（）参考答案:是的极大值点36.已知【图片】的一个原函数为【图片】，则【图片】参考答案:正确37.已知【图片】，则【图片】参考答案:错误38.曲线【图片】在其定义域内是处处凹的（）参考答案:正确39.如果【图片】是函数【图片】的极值点，则【图片】必定不是曲线【图片】的拐点（）参考答案:错误40.已知f(x)是【图片】内的奇函数，且在【图片】内单调增加，则f(x)在【图片】内也单调增加。

浙江大学2004-2005学年秋冬季学期《微积分》课程期末考试试卷一､填空题1.21lim()xx x e x →-= .2.设()f x 可导,2(cos )f x y x =则d d yx= . 3.ln (0)xy x x=>的值域范围为 .4.3121x x -+=⎰5.设,arcsin x y t⎧⎪=⎨=⎪⎩则22d d y x = . 6.当0x →时,20cos d 2x tx e t t x --⎰与BAx 等价无穷小,则常数A = ,B = .二､计算题 1.求221d .22x x x x +++⎰2.已知(0),(),f a f b π==且()f x ''连续,求[]0()()sin d f x f x x xπ''+⎰.3.求2+∞⎰.4.求曲线sin (0)y x x π=≤≤与x 轴围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周所得的旋转体体积x V 和y V .5.在曲线段 2(08)y x x =≤≤上, 求一点2(,)P a a 使得过P 点的切线与直线0,8y x ==所围成的三角形的面积最大.三､求幂级数2021!n n n x n ∞=+∑的收敛区间以及在收敛区间上的和函数,并求级数0212!nn n n ∞=+∑的和. 四､证明若2,e a b e <<<则2224ln ln ()b a b a e ->-⋅ 五､已知sin 0()0x e x x F x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩为连续函数.(1)求常数a ; (2)证明()F x 的导函数连续.浙江大学2004-2005学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一､填空题1.2112ln()lim()lim x xx x x x e x e x e→→--=1002ln()1lim lim 22()x x x x e x e x x e x x ee e →→---===.2. 22(cos )d (cos )[2(cos )(cos )sin ln ]d f x y f x x f x f x x x x x'=-⋅. 3. (1,]e-∞ . 4.3121x x -⎰.111x x x --=+⎰⎰12x x =⎰, 令sin x t =222222001312sin cos td 2sin (1-sin t)d 2()224228t x t x πππππ===⋅-⋅⋅=⎰⎰.5.由x =d d x t =, arcsin y t =,d d y t =d 1d y x t =-, 22231d d yt t xt==--. 6. 由洛必达法则20100cos d cos 12lim lim x tx B B x x x e t t x e x xAx ABx-→→----=⎰, 2323310[1()][1()]12!3!2!lim B x x x x x o x o x xABx-→++++-+--=, 其中:232331(),cos 1()2!3!2!xx x x e x o x x o x =++++=-+33101()3lim 1B x x o x ABx -→-+==, 得13,13B AB -=⎧⎪⎨=-⎪⎩,即1,412A B =-=. 二､计算题 1.22221221d d d 22221(1)x x x x x x x x x x ++=-++++++⎰⎰⎰=2ln(22)arctan(1)x x x C ++-++.2.[]00()()sin d ()sin d ()sin d f x f x x x f x x x f x x x πππ''''+=+⎰⎰⎰()sin d sin d ()f x x x x f x ππ'=+⎰⎰00()sin d sin ()()cos d f x x x xf x f x x x πππ''=+-⎰⎰00()sin d cos ()()sin d f x x x xf x f x x x πππ=--⎰⎰=a b +.3.221x +∞+∞=-⎰⎰21arcsinx +∞=-=6π . 4. 22sin d 2x V x x πππ==⎰,2002sin d 2cos 2cos d 2y V x x x x x x x πππππππ==-+=⎰⎰.5. 解:(1)过点2(,)P a a 的切线方程为 22()y a a x a -=-, 令0y =,得22()a a x a -=-,得2a x =, 令8x =,得222(8)16y a a a a a =+-=-,令221()(8)(16)(8)222a a S a a a a =--=-, 213()(8)2(8)()(8)(8)22222a a a aS a a '=-+--=-- ,令()0S a '=,得163a =,16a =(舍).1333()(8)(8)1622222a a S a a ''=----=- ,16316()1680323S ''=⋅-=-<,所以,当163a =时,三角形面积最大.三､因为 2220102121()!(1)!!n n n n n n n x x x n n n ∞∞∞===+=+-∑∑∑ 2220()2!n x n x x e n ∞==+∑222222(21)x x x x e e e x =+=+,所以2220021212(221)5!!n n n n n n e e n n ∞∞==++==⋅+=∑∑. 四､ 设 2()ln ,()f x x g x x ==,在[,]a b 上由柯西定理,有222ln ln ln 2,b a e a b e b a ξξξ-=<<<<- .再令2ln 1ln (),()0()x xx x e x x x ϕϕ-'==<<,故()x ϕ单调下降,得222(),()x e x e e ϕ><<,有2ln 2e ξξ>,得2224ln ln ()b a b a e ->-. 五､ (1)因为 0sin lim1x x e xx→=, 所以1a =. (2)0sin 1(0)lim x x e xx F x→-'=20sin lim x x e x x x→-= 00sin cos 12cos lim lim 122x x x x x e x e x e x x →→+-===, 所以,2(sin cos )sin ,0;()1,0.x x x x e x e x e xx F x x x ⎧+-≠⎪'=⎨⎪=⎩而 20sin cos sin limx x x x xe x xe x e x x →+-02cos lim 12x x xe xx →==,所以 ()F x '在(,)-∞+∞上是连续的.浙江大学2005-2006学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一、 计算题1.已知抛物线2y ax bx c =++过点(1,2),且在该点的曲率圆方程为22151()(),222x y -+-=则a = ,b = ,c = 2.设12()sin d xf x t t =⎰,则(1)10()d f x x =⎰;(2) 1()lim1x f x x →=- 3.若01,2x →=则a = 4.当x = 时,函数2xy x =⋅取得极小值.5.曲线arctan y x =在横坐标为1的点处的切线方程为 *6.已知01(cos sin ),(0,2),2n n n xa a nxb nx x ππ∞=-=++∈∑则5b = (此题不作要求)二､求极限1.0sin tan lim tan (1)ln(1)x x x x x e x →--- 2. 21sin 0lim(cos )xx x → 三､求导数1.设函数()x x y =由sin 0y x x -+=所确定,求22d d ,d d x xy y2.设sin arctan ,ln(x t t y t =-⎧⎪⎨=+⎪⎩ 求22d d ,d d y y x x 3.设()arccot xy x e =-求()y x '.四､求积分 1.21d (1)(1)x x x ++⎰ .2.x .3.1321(x x x -+⎰. 4.20sin 2d 1cos xxx xπ+⎰.五､设曲线21:1(01),C y x x =-≤≤x 轴和y 轴所围区域被曲线22:(0)C y ax a =>分为面积相等的两部分,试求常数a .六､将函数12()arctan 12x f x x -=+展开成x 的幂级数,并求级数0(1)21nn n ∞=-+∑的和.七､设()f x 在(,)a +∞内可导,且lim (),x f x a →∞'=证明:()limx f x a x→∞=.浙江大学2005-2006学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一､计算题1. 由2y ax bx c =++,有2,2y ax b y a '''=+=,得112,2,2x x a b c y a b y a =='''++==+= 由曲率圆方程22151()(),222x y -+-=两边求导,152()2()022x y y '-+-=,得1,21x y y =='=,5222()02x y y y y ''''++-=,得1,24x y y ==''=根据2y ax bx c =++与曲率圆22151()(),222x y -+-=在点(1,2)有相同的,,y y y ''';得到 24,21,2a a b a b c =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩, 所以有2,3,3a b c ==-=.2. (1)11120()d (sin d )d xf x x t t x =⎰⎰⎰=111220sin d sin d xxt t x x x +⎰⎰12201=sin d 2x x ⎰ =12011cos (1cos1)22x -=- .(2)1211sin d ()limlim 11xx x t tf x x x →→=--⎰21sin lim sin11x x →-==-.3. 因为,当0x →时2112x,所以200112lim ,2a x x x x →→==得 2a = . 4. ()2x y x x =⋅,()22ln 2x xy x x '=+,令()0,22ln 20xxy x x '=+=,解得 1ln 2x -=, 由于2()2ln 22ln 22ln 22ln 2(2ln 2)xxxxy x x x ''=++=+, 当1ln 2x =-时,1()0ln 2y -''>,所以当1ln 2x -=时,()2xy x x =⋅取到极小值.5. 因为, 21111arctan ,,,arctan1124x x y x y y y x π==''=====+, 所以,切线方程为 1(1)24y x π=-+. 6. 515b =.二､求极限1. 0sin tan lim tan (1)ln(1)x x x x x e x →---=30sin (cos 1)cos lim x xx x x→--,注:当0x →时1,ln(1)x e x x x --- ,20cos 11lim2x x x →-==-. 2. 因为 ,21sin 0lim(cos )xx x →=2cos 11cos 1sin 0lim[1(cos 1)]x x xx x -⋅-→+- ,而 20cos 11lim sin 2x x x →-=-,1cos 1lim[1(cos 1)]x x x e -→+-=, 所以 211sin2lim(cos )xx x e-→=.三､求导数1. 对方程sin 0y x x -+=两边关于y 求导数,注意到()x x y =,有 d d 1cos 0d d x x x y y-+=,得 d d x y =11cos x -,222d 1d()d()(cos )d d 1-cos d d d (1-cos )y xx xyx yy y x '--===3sin (1cos )x x -=-. 2. 2d 1sin arctan ,cos d 1x x t t t t t=-=-+, ln(y t =,d d y t =2d d d d d (1)cos 1d yy t x x t t t==+-, 222d d (1)cos 1yxt t =⎡⎤+-⎣⎦.3.111()arccot arccot [ln ln(1)]arccot ln(1)222xx x x x xy x e e e e e x e =-=--+=-++, 2211()122(1)12(1)x x x x x x xe e e y x e e e e '=--+=--++++. 四､ 1.21d (1)(1)x x x ++⎰=22111()d 2111x x x x x -++++⎰2111ln 1ln(1)arctan 242x x x C =+-+++. 2. (令15x t =)x =145315d t t t t +⎰=11215d 1t t t +⎰ =9753215()d 1tt t t t t t t -+-+-+⎰ =108642211111115[ln(1)]1086422t t t t t t C -+-+-++=28242231551515153155151515ln(1)282422x x x x x x C -+-+-++.3.1321(x x x -+⎰11xx -=⎰22202sin cos d t t t π=⎰ 注:令sin x t =22202sin (1sin )d t t t π=-⎰1312()224228πππ=⋅-⋅⋅=. 4. 20sin 2d 1cos x x x x π+⎰=220dcos 1cos x x xπ-+⎰=20dln(1cos )x x π-+⎰ 2200ln(1cos )ln(1cos )d x x x x ππ=-+++⎰=22(cos )ln 2(1)2d 1n nn x x n ππ+∞=-+-⋅⋅+∑⎰1201(1)ln 2cos d n nn x x n ππ-∞=-=-+∑⎰ 12201(1)ln 22cos d n n n x x n ππ-∞=-=-+⋅∑⎰=11(1)(21)!!ln 22(2)!!2n n n n n ππ-∞=---+⋅⋅⋅∑.五､由 221,y x y ax⎧=-⎪⎨=⎪⎩得交点0x =, 311212002(1)d ()33x S S x x x +=-=-=⎰, 0022310012[(1)]d ()33x x a S x ax x x x +=--=-=⎰由12S S =,得212323=⋅, 所以 3a =.六､由12()arctan 12x f x x -=+, 2221()2(1)4,142n n nn f x x x x ∞=-'==--<+∑, 21(1)4()()d (0)2421n n x n n f x f x x f x n π∞+=-'=+=-+∑⎰,当12x =时,21(1)41024212n n n n n π∞+=-=-+∑, 得 0(1)214n n n π∞=-=+∑.七､解法一:由洛必达法则, ()()lim lim 1x x f x f x a x →+∞→+∞'==.解法二:① 若0a =,由lim ()0x f x →+∞'=,按定义知0ε∀>,10x ∃>,当1x x >时,恒有()2f x ε'<.1(,)b x ∀∈+∞,当x b >时,有()()()2f x f b f x b x b εξ'-=-<-,由于()()()()2f x f b f x f b x b ε-≤-<-,有()()2f x f b x b ε≤+-,再取2x b >,使得2()2f b x ε<,当2x x >时, 有2()()()()()()2222x bf b x b f b f x f x f b f b x x x x x x εεεεε---+=<+<+<+=, 所以,()lim0x f x x→+∞=. ② 若0a ≠,由lim ()x f x a →+∞'=,则有 lim[()]0x f x ax →+∞'-=, 设()()F x f x ax =-,有lim ()0x F x →+∞'=,由①知,()()limlim 0x x F x f x axx x→+∞→+∞-==,得证.浙江大学2006-2007学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一､求导数或微积分 (1)设sin 43(arctan 2)ln 2xy xx =++,求d d y x.(2)设220d ,sin()d t ts x e s y t s s -==-⎰⎰,求t =d d y x 及22d d y x .(3)设()y y x =是由方程210x ye x xy +---=确定的x 的可导函数,求0d x y =.二､求积分(4)求60x ⎰.(5)求2arctan d xxe x e ⎰. (6)求1+∞⎰.三､求极限 (7)求3012cos lim[()1]3x x x x →+-. (8)设()f a ''存在,()0f a '≠,求11lim[]()()()()x af a x a f x f a →-'--.(9)设1121)1))nn n u n n n⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦（（（1,求lim n n u →∞. 四､选择题(10)设2620arcsin d ,(1)d xt t t e t αβ==-⎰⎰,则0x →时 [ ](A)αβ与是同阶但不等价无穷小. (B)αβ与是等价无穷小. (C)αβ是的高价无穷小. (D)βα是的高价无穷小.(11)设级数1nn a∞=∑收敛,则下述结论不正确的是[ ](A)11()nn n aa ∞+=+∑必收敛. (B)2211()n n n a a ∞+=-∑必收敛.(C)2211()nn n aa ∞+=+∑必收敛. (D)2211()n n n a a ∞+=-∑必收敛.(12)设1,0,()()()d ,0,x x e x f x F x f t t x x -⎧≤==⎨>⎩⎰,则()0F x x =在处[ ](A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续(C)连续但不可导 (D)可导(13)设()y f x =为连续函数,除点x a =外,()f x 二阶可导,()y f x ''=的图形如图, 则() [ ]y f x =(A)有一个拐点,一个极小值点,一个极大值点. (B)有二个拐点,一个极小值点,一个极大值点. (C)有一个拐点,一个极小值点,二个极大值点. (D)有一个拐点,二个极小值点,一个极大值点.五､(14)设曲线2y ax =(0,x ≥常数0)a >与曲线21y x =-交于点A ,过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面形D .(I) 求D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积()V a ;(II)求a 的值使()V a 为最大. 六､(15)将函数21()arctan ln(1)2f x x x x =-+在0x =处展开成泰勒级数(即麦克劳林级数)并指明成立范围.七､(16)设0,x >证明2()(4)(2)20x xf x x e x e =---+<.浙江大学2006-2007学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一､求导数或微分 (1)sin 4sin 4122d 14cos 4ln sin 46(arctan 2)d 14x x y x x x x x x x x-=⋅+⋅++. (2) 由 20d t s xe s -=⎰,得2d d t xe t -=,由20sin()d t y t s s =-⎰,令t s u -=,得220sin d sin d t ty u u u u =-=⎰⎰,得2d sin d y t t =,所以222d d sin ,d d t t y ye t e x x π==,2222222222(sin )d 2sin 2cos d t t t tt t e t y te t te t x e e--'+== 22222(sin cos )t te t t =+, 22d d t y x π=.(3) 由 210x yex xy +---=及0x =,得0y =,对方程 210x ye x xy +---= 两边取微分有(d d )2d (d d )0x y e x y x x y y x ++--+=,将0x =,0y =代入,得 0d d x y x ==.二､求积分 (4)解66x x =⎰⎰6x =⎰ (令33sin x t -=)2227(1sin )cos cos d t t t t ππ-=+⎰22012754cos d 54222t t πππ==⋅⋅=⎰.(5)解 令xe t =,2arctan d x x e x e ⎰=3arctan d t t t ⎰211arctan d 2t t =-⎰ 2221arctan 1[d ]2(1)t t t t t =--+⎰ 2221arctan 11[d d ]21t t t t t t=--++⎰⎰ 21arctan 1[arctan ]2t t C t t=-+++ 21arctan [arctan ]2x x xxe e e C e-=-+++. (6)解t =, 1+∞⎰=202d 1t t +∞+⎰02arcta n t π+∞==. 三､求极限 (7) 解 3012cos lim[()1]3xx x x →+- 2cos ln()3301lim [1]x x x e x +→=- 注2cos ln()32cos [1ln(),(0)]3xx x e x x ++-→ 2012cos limln()3x xx →+= 201cos 1lim ln(1)3x x x →-=+ 注[cos 1cos 1ln(1),(0)33x x x --+→] 201cos 11lim ()36x x x →-==. (8) 解 11lim[]()()()()x af a x a f x f a →-'--()()()()lim()()(()())x af x f a f a x a f a x a f x f a →'---='--=()()lim()(()())()()()x af x f a f a f x f a f a f x x a →''-'''-+-2()()()lim ()(()())2(())()()x a f x f a f a x a f a f x f a f a f a f x x a→''-''-=='-'''+-.(9)解 由 112[1)1))]nn n u n n n=+++（（（1, 取11ln ln(1)n n i i u n n ==+∑, 则 11100011lim ln lim ln(1)ln(1)d ln(1)d 2ln 211n n n n i i x u x x x x x n n x →∞→∞==+=+=+-=-+∑⎰⎰, 所以 2ln 214lim n n u ee-→∞==. 四､(10)解:因为2620000arcsin d lim lim (1)d x x x tt t e tαβ→→=-⎰⎰ 注:由洛必达法则 2222331arcsin 3lim 1x x x x x e -→⋅=- 注:221,(0)x e x x -→ 22320231arcsin 1lim33x x x x x →==⋅, 所以,αβ与是同阶但不等价无穷小,则选 A.(11)解:(A) 因为11111()nn n n n n n aa a a ∞∞∞++===+=+∑∑∑11212n n n n n n a a a a ∞∞∞====+=+∑∑∑,而1nn a∞=∑收敛,所以11()nn n aa ∞+=+∑必收敛,(B)因为222222222221122311211()n n n n n n n aa a a a a a a a a a ∞++++=-=-+-++-+-=∑,所以2211()n n n aa ∞+=-∑必收敛.(C)因为2212345221111()nn n n n n n aa a a a a a a a a ∞∞++==+=+++++++=-∑∑所以2211()nn n aa ∞+=+∑必收敛,(D)221234522112()(1)n n n n n n n n aa a a a a a a a ∞∞++==-=-+-++-+=-∑∑未必收敛,例如 1(1)n n n ∞=-∑收敛, 但221(1)nn n n a n ∞∞==-=∑∑发散,则结论不正确的是D,本题选D(12)解:由1,0,()()()d ,0,x x e x f x F x f t t x x -⎧≤==⎨>⎩⎰,则 11121,0,()11,02x t x x t e dt e e x F x e dt e x x ----⎧=-≤⎪=⎨⎪=-+>⎩⎰⎰,即 112,0,()11,02x e e x F x e x x --⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩, 因为 12101lim ()lim(1)12x x F x e x e ++--→→=-+=-, 11lim ()lim()1x x x F x e e e ----→→=-=- 所以 ()F x 在0x =处连续.因为 2012(0)lim 0x x F x++∆→∆'==∆, 01(0)lim 1xx e F x-∆-∆→-'==∆,(0)(0)F F +-''≠所以,()F x 在0x =不可导,所以选C. (13)如图,在点(,0)b 处,左边0y ''>,右边0y ''<,而点(,0)b 处0y ''=,所以点(,0)b 为曲线的拐点; 同理,在点(0,)d 处,左边0y ''<,右边0y ''>,而点(0,)d 处0y ''=,所以点(0,)d 为曲线的拐点; 在点(,0)c 处,左边0y'<,右边0y'>,而点(,0)c处0y'=,所以点x c=为函数的极小值点;在点(,0)a处,左边0y'>,右边0y'<,而点(,0)a处0y'=,所以点x a=为函数的极大值点, 所以,曲线有二个拐点,一个极小值点,一个极大值点. 选(B)五､解:由22,1y axy x⎧=⎪⎨=-⎪⎩求得交点()11aAaa++(如图),直线OA的方程1y xa=+.(I) 旋转体体积()V a22241()d1aax a x xaπ+=-+=25/2215(1)aaπ⋅+,(II)53222552(1)(1)d()22d15(1)a a a aV aa aπ+-+=⋅+27/2(4)15(1)a aaπ-=+.在0a>处有唯一驻点4a=,当04a<<时d()dV aa>,当4a>时,d()dV aa<,故4a=为唯一极大值点,为最大值点.六､(15)解:由21()arctan ln(1)2f x x x x =-+ 21()arctan ,(),1f x x f x x'''==+展开之, 20()(1),(1,1)n n n f x x x ∞=''=-∈-∑,两边积分,得212100(1)(1)()(0),(1,1)2121n n n n n n f x f x x x n n ∞∞++==--''=+=∈-++∑∑,再次两边积分,得220(1)()(0)(21)(22)nn n f x f x n n ∞+=-=+++∑220(1),(1,1)(21)(22)nn n x x n n ∞+=-=∈-++∑. 右边级数在1x =±处收敛,左边函数在1x =±处连续,所以成立范围可扩大到闭区间[1,1]-. 七､(16)证法1:由2()(4)(2)2x xf x x e x e =---+2(0)0,()(1)(1),2xx xf f x e x e '==---(0)0f '=2221()()44x x x x x f x e xe xe e ''=-=-.而当0x >时2114x e >>,所以当0x >时()0f x ''<, 于是知,当0x >时,()0f x '<,从而知,当0x >时,()0f x <. 证法2:由证法一,有 2211()(0)(0)()()022f x f f x f x f x ξξ''''''=++=< 证法3:由2()(1)(1)2xxx f x e x e '=---()1()2x x xx e x ξ='⎡⎤=--⎣⎦()02xe ξξ=-<,所以()0f x <.注:设()(1)xg x x e =-,在[,]2x x 上的拉格郎日中值定理,有()2(1)(1)1(),222xx x x x x x e x e x e x x ξξ='⎡⎤---=--<<⎣⎦ .浙江大学2007-2008学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一､(每小题6分) (1)设4cos 1tan 5ln 2x x y x e x π=++,求d d y x .(2)设由参数式22ln(1)x t ty t t ⎧=+⎨=-+⎩,确定了y 为x 的函数()y y x =,求曲线()y y x =的凹､凸区间及拐点坐标(区间用x 表示,点用(,)x y 表示).(3)求210sin lim()x x x x→ (4)求lim (2)]x x →+∞+二､(每小题6分) (5)求21d (1)x x x +⎰.(6)求arcsin d xxe x e ⎰. (7)求230d x xe x +∞-⎰.三､(第(8)-(11)小题每小题8分,第(12)小题6分) (8)(8分) 设()y y x =是由32210y xy x x ++-+=及(1)0y =所确定,求131()d lim(1)x x y t tx →-⎰.(9)(8分)设2()231x f x x x =-+,试将()f x 展开成x 的幂级数,并求()(0)(1)n f n ≥.(10)(8分) 设常数0a >,讨论曲线y ax =与2ln y x =在第一象限中公共点的个数.(11)(8分) 设0a <,曲线2y ax bx =+当01x ≤≤时0y ≥.又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围成的图形的面积13D =,试确定常数a 与b 使该图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积V 最小. (12)(6分) 设()f x 在区间(0,1)内可导,且()f x M '≤(M 为常数)证明:① 级数1111(()())22n n n f f ∞+=-∑绝对收敛; ② 1lim ()2n n f →∞存在.四､选择题(四选一,每小题4分)(13)设()()(),()()()f x u x v x g x u x v x =+=-,并设0lim ()x u x →与0lim ()x v x →均不存在,则下列结论正确的是 [ ](A)若0lim ()x f x →不存在,则0lim ()x g x →必存在.(B)若0lim ()x f x →不存在,则0lim ()x g x →必不存在.(C)若0lim ()x f x →存在,则0lim ()x g x →必不存在.(D)若0lim ()x f x →存在,则0lim ()x g x →必存在.(14)曲线1ln(1)(1)x y e x x =++-的渐近线的条数 [ ](A)4条 (B)3条. (C)2条. (D)1条.(15)设2122()lim 1n n n x x xf x x -→∞++=+,则()f x 的不连续点的个数为 [ ] (A)0个 (B)1个. (C)2个. (D)多于2个.(16)设()f x [,]a b 上可导,且()0,()0,f a f b ''><下述结论不正确的是[ ] (A)至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f a >; (B)至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f b >; (C)至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x '=; (D)至少存在一点0(,)x a b ∈使01()(()())2f x f a f b =+. (17)设0(1,2,)n a n >=,下列结论正确的是[ ](A)若存在0N >,当n N >时均有11n n a a +<,则1n n a ∞=∑必收敛. (B)若存在0N >,当n N >时均有11n n a a +>,则1n n a ∞=∑必发散. (C)若1n n a ∞=∑收敛.则必存在0N >,当n N >时必有11n na a +<, (D)若1n n a ∞=∑发散.则必存在0N >,当n N >时必有11n na a +>.浙江大学2007-2008学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一､(每小题6分) (1)24cos 4cos d 5cos sec 54(sin ln )d 2x x x x y x x e x e x x x x x=++-. (2)由22x t t =+,d 2(1)d x t t=+,ln(1)y t t =-+,d d 1y t t t =+,2d d 2(1)yt x t =+, 224d 1d 2(1)y tx t -=+,令 22d 0d y x =, 得 1t = 当11t -<<时,22d 0d yx> 曲线凹;当1t >时,22d 0d yx< 曲线凸,当1t =时,对应拐点.换成,x y ,当13x -<<时, 曲线()y y x =凹; 当3x >时, 曲线当()y y x =凸,点(3,1ln 2)-为拐点.(3)解 因为2211sin ln()00sin lim()lim xxx x x x x e x→→= ,而22001sin 1sin limln lim ln(11)x x x x x x x x→→=+-,201sin lim (1)x x x x →=- 注sin sin ln(11)1,(0)x xx x x+--→ 3200sin cos 11lim lim 36x x x x x x x →→--===-, 所以 21160sin lim()x x x e x-→=. (4)lim (2))xx →+∞+2lim (1)]x x x→+∞=+ 222sin 2(1(1))limx x x ++-+=22sin 24()lim x x x --=sin 42lim 1x x --==- .二､ (5)22111d ()d (1)(1)x x x x x x x -=-+++⎰⎰=1ln ln 1x x C x--+++. (6) 方法1:令 arcsin xe t =,则cos sin ,ln sin ,d d sin xte t x t x t t===2arcsin cos d d sin x x e t t x t e t =⎰⎰1d()sin t t =-⎰1d sin sin t t t t =-+⎰ ln csc cot sin t t t C t =-+-+arcsin ln x x x e e e e C ---=-+-+,或写成arcsin ln 1x x e e x C -=--+. 方法2:令 xe t =,则1ln ,d d ,(0)x t x t t t==>2arcsin arcsin 1d d arcsin d x xe t x t t e t t==-⎰⎰⎰arcsin t t =-+arcsin tt=-+arcsin 1ln t C t t =--++arcsin ln 1x x e e x C -=+-+.(7)2232200011d d d 22x x tx ex x e x te t +∞+∞+∞---==⎰⎰⎰001[d ]2t t te e t +∞+∞--=-+⎰011[]22t e +∞-=-=.三､(8)解 由32210y xy x x ++-+=,1lim ()0x y x →=两边关于x 求导数,有23220y y xy y x ''+++-=,得222()3x yy x y x --'=+,1lim ()0x y x →'=,222(3)(2)(22)(61)()(3)y x y x y yy y x y x ''+-----+''=+,1lim ()2x y x →''=-. 由洛必达法则,1321111()d ()()()1limlimlim lim (1)3(1)6(1)63x x x x x y t ty x y x y x x x x →→→→'''====----⎰. (9)解:()(21)(1)xf x x x =--1111121112x x x x-=-=+---- 0(2)nn n n x x ∞∞===-+∑∑1(21),2n n n x x ∞==-<∑ ()(0)(21)!,1n n f n n =-≥(10)解:令()2ln f x ax x =-,有2()f x a x'=-, 令()0f x '=,得2x a=, 22()f x x''=, 由于()0f x ''>, 所以22()22ln f a a=-为()f x 的唯一极小值,为最小值.以下讨论最小值的符号.①若2 22ln0a->,即2ae>时,()0f x>,()f x无零点,两曲线无公共点;②若2ae=,则当且仅当a e=时,()0f x=,()f x有唯一零点,两曲线在第一象限中相切;③若20ae<<,有2()0fa<时,有因lim()xf x+→=+∞,lim()xf x→+∞=+∞,所以在区间2(0,)a与2(,)a+∞内,()f x各有至少一个零点,又因为在这两个区间中()f x分别是严格单调的,所以()f x正好有两个零点,即两曲线在第一象限中有且仅有两个交点.(11)解:因0a<,且当01x≤≤时,0y≥,所以如下图1211()d323bax bx x a+=+=⎰,所以312a b=-,22122()d()523a ab bV ax bx xππ=+=++⎰21()51030b bπ=-+,d1()d1015V bbπ=-+,22dd15V bbπ=,令ddVb=,32b=,2232ddbVb=>,为唯一极小值,故32bV=为最小值,此时53,42a b=-=.(12)①由拉格朗日中值定理1111111111()()()()()()222222n n n n n nf f f f Mξξ++++''-=-=≤,而1112nn∞+=∑收敛,所以,1111[()()]22n nnf f∞+=-∑绝对收敛;②111()()22n nS f f+=-,因为limnnS→∞存在,所以1lim()2nnf→∞存在.四､ (13)解 (A)若0lim ()x f x →不存在,则0lim ()x g x →必存在.不正确,例如 211(),()u x v x x x ==, 221111(),()f x g x x x x x=+=-, 此时0lim ()x f x →不存在,0lim ()x g x →也不存在.(B)若0lim ()x f x →不存在,则0lim ()x g x →必不存在.不正确,例如 11(),()u x v x x x ==,2(),()0f x g x x==, 此时0lim ()x f x →不存在,0lim ()0x g x →=存在.(C)若0lim ()x f x →存在,则0lim ()x g x →必不存在.假设0lim ()x g x →存在,由()()2()f x g x u x +=,得0lim ()x u x →存在,与已知矛盾,所以结论正确.(D)若0lim ()x f x →存在,则0lim ()x g x →必存在.由上述(C),说明0lim ()x g x →必存在不正确.所以结论正确的是C,本题选C. (14)解,因为11lim[ln(1)](1)x x e x x →++=∞-,1lim[ln(1)](1)x x e x x →++=∞-,有铅垂渐近线(0,1x x ==)2条,因为1lim [ln(1)]0(1)x x e x x →-∞++=-,有水平渐近线(0y =)1条,又因为 2()1ln(1)limlim []1,1(1)x x x f x e a x x x x→+∞→-∞+=+==-, 1lim [()]lim [ln(1)](1)x x x f x ax e x x x →+∞→+∞-=++--lim[ln (1)]lim[ln ln(1)]x x x x x x e e x e e x --→+∞→+∞=+-=++-lim ln(1)0x x e -→+∞=+=,有斜渐近线(y x =)1条,所以本题共有4条渐近线,选A.(15)解22122,1,3,1,2()lim 11,121,1,n n n x x x x x x x f x x x x x-→∞⎧+<⎪⎪=⎪++⎪==⎨+-=-⎪⎪⎪>⎪⎩, 则()f x 的不连续点(1,1x x =-=)的个数为2个所以选C. (16)解 取2()4,[1,1],1,1,()3,()3f x x x a b f a f b =-∈-=-===,当(1,1)x ∈-时()3f x >,()2,()2,()2f x x f a f b '''=-==-,满足题目条件:(A)至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f a >,成立, (B)至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f b >;成立, (C)至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x '=;成立, (D)至少存在一点0(,)x a b ∈使01()(()())2f x f a f b =+.不成立. 所以本题选D (17)解 (A)不成立,例如11n n ∞=∑,满足当1n >时 111n n a n a n +=<+, 但11n n∞=∑发散, (B)成立,若存在0N >,当n N >时均有111,n n n na a a a ++>>, 则必有lim 0n n a →∞≠ 则1nn a∞=∑必发散.(C)不成立, 例如 21(1)2n n n ∞=-+∑收敛,但不存在0N >,当n N >时必有11n n a a +<, (D)不成立,例如 11n n ∞=∑发散,但则存在0N >,当n N >时有111n na n a n +=<+.浙江大学2008-2009学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一､求导数或微分(每小题6分) (1)设sin 3(cos )(arcsin 2)xy x x e π=++,求d y .(2)设由参数式3arctan 16x t t y t t =++⎧⎨=+⎩,所确定的函数()y y x =在1t =-处的一阶导数d d y x, 及二阶导数22d d yx.二､求极限(每小题6分)(3)011lim()1x x x e →--,(4)limx , (5)21lim(sin cos )x x x x x →+.三､求积分(每小题6分)(6) 221ln d (1)x x x x x x -+-⎰,(7)11(2)x x x -+⎰, (8)已知2d 2x ex +∞-=⎰,求xx -+∞⎰.四､(每小题6分) (9)试将函数12()arctan12xf x x-=+展开成x 的幂级数,并写出此展开式成立的开区间. (10)求幂级数1!nn n n x n ∞=∑的收敛半径及收敛区间,并讨论收敛区间端点处级数的敛散性. 五､(每小题8分)(11) 求由方程3222220y y xy y x -++-=确定的函数()y y x =的极值,并问此极值是极大值还是极小值,说明理由.(12)求由曲线2y x =与2y x =+围成的图形绕水平线4y =旋转一周所生成的旋转体体积V .(13)设()f x 在[0,1]上连续,(0)0f =,并设()f x 在0x =处存在右导数(0)1f +'=,又设0x +→时,220()()d ()d x x F x xf u u u u =-⎰⎰与n Ax 为等价无穷小,求常数n 及A 的值.六､(每小题8分)(14)设()f x 在闭区间[,]a b 上连续,(,)a b 内可导, (I)叙述并证明拉格朗日中值定理;(II)如果再设()()f a f b =,且()f x 不是常数,试证明至少存在一点(,)a b ξ∈,使()0f ξ'>.(15)设n 为正整数,24021()d d 1nxxe t F x e t t t -=++⎰⎰(I)试证明:函数()F x 有且仅有一个(实)零点(即()0F x =有且仅有一个实根),并且是正的,记此零点n x ;(II)试证明级数21nn x∞=∑收敛.浙江大学2008-2009学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一､求导数或微分(每小题6分)(1)sin 2d [(cos )(cos ln cos tan sin )6(arcsin 2)xy x x x x x x x =-+.(2)222d 2d ,3(2)d 1d x t y t t t t+==++,21d d 3(1),6d d t y y t x x =-=+= 222222d d()d 66(1)d 2d d 21y yt t t x t x x t t +===+++, 221d 4d t y x =-=-.二､求极限(每小题6分)(3)00111lim()lim 1(1)x x x x x e x x e x e →→---=-- 注1,0xe x x -→ 201lim x x e x x →--= 011lim 22x x e x →-==.(4)limlim ln x x xx x→-∞=+lim2x ==-.(5)2121ln(sin cos )lim(sin cos )lim xx x x x x x x x x e →→++=,而22001ln(1sin cos 1)limln(sin cos )lim x x x x x x x x x x→→++-+= 20sin cos 11lim 2x x x x x →+-==, 注:ln(1sin cos 1)sin cos 1,0x x x x x x x ++-+-→所以,21lim(sin cos )x x x x x →+=三､求积分(6) 222111ln d ()ln d (1)(1)x x x x x x x x x x -+=+--⎰⎰ 1ln d ln ln d()1x x x x =--⎰⎰ 21ln 1ln d 21(1)x x x x x x =-+--⎰ 21ln 11ln ()d 211x x x x x x =-+---⎰ 21ln ln ln 1ln 21x x x x C x =-+--+-.(7)112211(2)(24x x x x x x x x --+=++⎰⎰110x x =⎰ 令sin x t =22210sin cos d t t t π=⎰222010sin (1sin )d x x x π=-⎰131510()224228πππ=⋅-⋅⋅=.(8)2(1xxx e -+∞+∞-=--⎰⎰]xx -+∞=--⎰2024d xu u e u -+∞+∞-==⎰⎰四､(9)12()arctan12xf x x -=+, 221(12)(2)(12)2()12(12)1()12x x f x x x x +---'=-+++ 22422814x x -==-++ 21212012(4)(1)2,2n n n n n x x x ∞∞++===--=--<∑∑, 12120()(0)(1)2d x n n n n f x f x x ∞++==+-∑⎰12121011(1)2,4212n n n n x x n π∞+++==+-<+∑.(10)记! n nn an=,由11(1)!11(1)lim lim lim lim!1(1)(1)nnnnn n n n nnnna nnna n en n++→∞→∞→∞→∞++====++.所以,收敛半径R e=,收敛区间为(,)e e-,在x e=±处,级数成为1!()nnnnen∞=±∑, 考察!nn nnu en=,有111(1)nnnu eun+=>+,所以lim0nnu→∞≠,并且也有lim(1)0nnnu→∞-≠,所以在x e=±处,该级数都发散.(11)由3222220y y xy y x-++-=, 求导有2(6421)220y y x y y x'-+++-=, 令0y'=,得y x=与3222220y y xy y x-++-=联立,有3222(21)0x x x x x x-+=-+=,解之得唯一解0x=.相应地有0y=, 此时的确可由2(6421)220y y x y y x'-+++-=解出y',故0x=为驻点.再有222()6421x yyy y x-'''=-++2222(6421)(22)2()(6421)(6421)y y x y x y y y xy y x''-++----++=-++.以0x y==,及0y'=代入,得20y''=>,故当0x=时, y为极小值,极小值0y=.(12)由2,2y xy x⎧=⎨=+⎩得交点(1,1),(2,4)-,则由上图22221[(4)(4(2)]dV x x xπ-=---+⎰2241(1249)dx x x xπ-=+-+⎰235211108[1223]55x x x xππ-=+-+=.。