浙江财经大学微积分(下册)总复习36页PPT

经济应用
总结词
微积分在经济领域也有着广泛的应用，包括金融、生产 和市场分析等领域。
详细描述
金融学中，微积分用于研究资产价格、投资组合和风险 管理等，例如期权定价、资本资产定价模型和风险中性 定价等。生产领域中，微积分用于研究生产成本、生产 效率和生产优化等，例如生产函数、成本函数和利润函 数等。市场分析中，微积分用于研究市场需求、市场结 构和市场预测等，例如需求函数、供给函数和弹性分析 等。
极限概念
01
02
03
极限定义
极限是描述函数在某一点 的变化趋势的数学工具， 定义为“lim x→x0 f(x) = L”。
单侧极限
函数在某一点的左侧或右 侧的变化趋势，分别称为 左极限和右极限。
极限的性质
包括唯一性、有界性、局 部保号性等，这些性质在 研究函数的单调性、极值 等特性时非常重要。
导数概念
合运算问题。
洛必达法则
洛必达法则是求极限的重要方 法之一，通过求导数来简化极
限的计算。
极限题型
01
02
03
04
极限定义
极限是微积分中的基本概念， 通过理解极限的定义和性质，
可以解决各种极限题型。
无穷小与无穷大
掌握无穷小与无穷大的概念和 性质，有助于解决极限问题中 的无穷比值和无穷增量问题。
极限的四则运算
不定积分与定积分的性质
不定积分的线性性质
$int (u + v) dx = int u dx + int v dx$
定积分的线性性质
$int (u + v) dx = int u dx + int v dx$
积分的区间可加性
比较定理

x=2
(1,1)
y=
2
1 x
O
x
= ∫1
2
1 2 x ⋅ ( − ) dx = ∫ ( x 3 − 1) dx 1 y 1
2
4 2
x2
x
11 x = ( − x) = . 4 4
1
6
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
2.某厂生产两种型号 的产品, 已知生产A产品 x 单位, B产品 y 单位时 的总成本函数为 C ( x , y ) = 70 x + 30 y + 100, pA pB , y = 30 − , 两种产品 的需要函数分别为 x = 50 − 5 3 (其中 p A , q B 分别为两种产品 的价格). 若限制总产量 为20, 试求两种产品 的产量各 为多少时总利 润最大 . 解: L ( x , y ) = R ( x , y ) − C ( x , y )
设 3x − 1 = t
解:
∫
2 3 1 3
e
3 x −1
t2 + 1 则x = 3
2 1 t 2 ∫ 0 e ⋅ 3 t dt =ห้องสมุดไป่ตู้3 ∫ 0 t e dt
1 t
2 2 1 2 1 t 2 t t 1 t 1 = ∫ t d e = ( t e − ∫ e dt ) = (e − e ) = . 3 0 0 3 0 3 0 3
B． y ′ = e 2 x − y D ． xy ′ = y + x 2 − y 2
∫0 dx ∫0
1
1− x 2
1 − x 2 − y 2 dy = ______

e
ln
x
sin x
x
e
ln
x dx
C
1 x
sin
xdx
C
1 cos x C .
x
七、综合应用题
• 1. 求在直角坐标系下平面图形旳面积。
b
d
A [上边界 下边界]dx A [右边界 左边界]dy
a
c
绕 x 轴旋转一周
2. 旋转体旳体积
绕 y 轴旋转一周
Vx
b [外边界2 -内边界2 ]dx
三、求积分（6分*3=18分）
1、第一换元法：凑微分（处理复合函数求
积分）
凑内层函数旳导数
已知 f ( x)dx F ( x) C ,
f[(x)]'(x)dx f[(x)]d(x) F[(x] C
复合函数 凑内层函数旳导数
1) (2x 1)5 dx 1 (2x 1)5(2x 1)'dx 2
11 x2 ) f ( x)
x2
sin tdt
(4) lim x0
0
x4
;(0) 0
1 2
b
(5) f '(2x)dx
1 ( f ( 2b ) f ( 2a )) 2
Th2：由方程F(x,y,z)=0拟定旳函数z=f(x,y)称作隐函数，
其导函数为：z
' x
Fx' / Fz'
,
z
' y
Fy' / Fz'
(1)求由方程 e y 2x y 所拟定旳隐函数y=f(x)旳导函数。
(2)求由方程 sin z xyz 所拟定旳隐函数z=f(x,y)旳偏导数。
五、重积分旳计算

20 求f (x)在分界点的极限值或判断它不存在;
30
极限 lim x x0
f
( x)存在时,比较极限值与函数值f
(x0 ).
2021/4/26
10
间断点分类总结
第一类间断点：x0 是 f x 的间断点,且在点x0 处f x 的
左 、 右 极 限 都 存 在.
第二类间断点：不是第一类的其它间断点.
14
dy f (x)dx.
复合函数的微分法则、微分形式不变性. 求微分方法：
(1)利用微分的定义 dy f '(x)dx,先求f (x),再乘以dx.
(2)利用微分形式的不变性
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隐函数的微分
例 y tan(x y) 求dy.
解法I 第一步，两边求微分， dy sec2 (x y)(dx dy) 第二步，解出dy，
x0 x
反 三 角 函 数 的0 型 极 限 0
定理 设x x 时，, , , 为无穷小量，
0
1
1
1, 1,
若极限
lim
1
存在，则有
lim
lim
1
.
xx0 1
xx0
xx0 1
lim (1 1 ) x e.
x
x
可以求 1 型极限
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9
连续
连续的实质是
lim
xx0
则
b
a f (x)dx F(b) F(a).
b f (x)dx
a
f
(x)dx
b a
F(x)
b a
F(b)
F(a).
1、直接积分法：就是直接利用已有的数学结论、积分基ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ本公式与积分的性质来计算积分的方法

函数 f (x)在 x0 处连续 函数 f (x)在 x0 处既左连续又右连续.
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
闭区间上连续函数的性质
定理1(最值和有界性定理) 在闭区间上 连续的函数一定有最大值和最小值.
故该函数在闭区间内一定是有界函数.
y log a x a y x
y log a x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
4. 三角函数 正弦函数y sin x (注意：x用弧度表示)
y sin x
o
余弦函数 y cos x
o
y cos x
正切函数 y tan x
余切函数 y cot x
正割函数 y sec x
1
20 lim (1 f (x)) f (x) e. 某过程
定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小,
记作 o()；
(２) 如果lim ，就说 是比 低阶的无穷小．
(3) 如果 lim C 0,就说 与 是同阶的无穷小;
2
n
(1 x) 1 ~ x
注 1. 上述10个等价无穷小（包括反、 对、幂、指、三）必须熟练掌握
2.将x换成f ( x) 0都成立
函数连续点的等价定义
f ( x)在x0连续
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
lim [

柱体的体积. 一般情形,
f ( x, y)d xOy平面上方的曲顶柱体体积
D
减xOy平面下方的曲顶柱体体积.
14
3. 物理意义
若平面薄片占有平面内有界闭区域D, 它的面
密度为连续函数( x, y), 则它的质量M为:
M ( x, y)d .
D
4、二重积分的性质
(重积分与定积分有类似的性质)
x x0
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0)
z Ax By o( ) ( 0),
dz
(x)2 (y)2
dz
P0
z x
P0
x

z y
P0
y

f x ( x0 , y0 )dx
f y ( x0 , y0 )dy
总复习
1
第七章 多元函数微分学
1、多元函数的定义、极限及连续性
确定极限不存在 的方法 (1)找两种不同趋近方式,使 lim f ( x, y)存在,
x x0 y y0
但两者不相等,此时即可断言极限不存在。
（2）找一条特殊的路径，使 P( x, y)沿此路径趋向
于 P0 ( x0 ,
y0
)
时
(
x
0

若为0，则可微，否则不可微。
5
3、复合函数求导法
z f (u,v), u ( x, y)及v ( x, y)
则复合函数 z f [( x, y), ( x, y)]
zx zu ux zv vx z
u
x
zy zu uy zv vy
,
y
lim

0
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x
结束
铃
求旋转体体积
d
V c A( y)dy
曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕 y轴
y
d
..
V d g 2 ( y)dy c
y
x=g(y)
A( y) . g 2 ( y)
c
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x
结束
.
铃
由平面图形 0 a x b, 0 y f (x)
微积分 (下) 总复习
•基本初等函数的导数公式小结
(1) (C)0
(2) (xm)m xm1
(3) (sin x)cos x (4) (cos x)sin x (5) (tan x)sec2x
(11)
(log a
x)
1 x ln
a
(12) (ln x) 1 x
(13) (arcsin x) 1 1 x2
9） 中 值 定 理
若f ( x) C[a, b], 则 存 在 [a, b],
使 得
b
f ( x)dx
f ( )( b a).
a
(四)变上限定积分
设f ( x) R[a, b], F ( x)
x
f ( x)dx
a
x [a, b], F ( x)称为变上限定积分。
2）若f ( x) C[a, b],则F ( x)
a2 x2
(四)计算方法
1.利 用 基 本 公 式
2. 凑微分法
g(( x)) '( x)dx g(( x))d( x)= g(u)du
3. 第二换元法
令x (t )

浙江财经大学慕课微积分2
《微积分》课程是高等院校经济、金融、管理等各专业必修的一门公共数学基础课，由微积分）和微积分下两门课组成，本学期开课的是第5期《微积分》。

本课程强调数学理论与各专业的有机结合，它是学习现代经济、管理理论的前提和基础，也是财经类院校学生学习专业课程的重要工具。

本课程系统地介绍了微积分的基本概念、基本理论和基本方法。

课程主要内容有：函数、极限与连续、导数与微分、中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、无穷级数、多元函数微积分学、微分方程、差分方程等。

微积分Calculus是以函数为研究对象，运用极限的思想进行微分和积分计算的一门数学学科。

微积分的内容丰富多彩，它呈现出概念严谨、理论系统、逻辑性强、表达形式抽象的特点。

我们不仅要对微积分的定义、定理、结论等进行严谨的讲解、推理、研究，还会通过多种教学手段，引导学生关注数学概念的背景，从而理解抽象的数学概念，进而掌握概念的内涵和外延。

课程讲解力求由浅入深，突出重点和难点，从核心概念理解和应用出发，直至抽象的理论完整理解。

通过本课程的学习，目的是使学生深刻领会数学的思想和方法，能综合运用所学的数学知识提高分析问题和解决实际问题的能力，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力，提升学生的数学修养和综合素质，为学生今后从事各项经济工作和研究、培养新时期应用型复合人才奠定坚实的基础。

3. 多元函数的无条件极值和条件极值
无条件极值一般是计算题(需要对驻点的极值性 进行判断) 条件极值一般是应用题—方法是拉格朗日乘数 法(不需要对极值性进行判断)
9
4. 二重积分 交换积分次序,计算直角坐标系下二重积分,极坐 标系下二重积分.
第九章 微分方程 1. 基本概念 微分方程,微分方程的阶 2. 求解一阶微分方程 可变量分离型,齐次微分方程,一阶线性微分方程 3*. 求解二阶微分方程 二阶线性齐次和非齐次微分方程
1
(-1 x 1)
n0
1 x
(1)n xn 1 x
(1)n xn
1
(-1 x 1)

n0
1 x
4*.求函数的幂级数展开式
方法：直接展开法和间接展开法
类型：麦克劳林展式和泰勒展式
f ( x) f (n)(0) xn , x 收敛域.
n0 n!
f ( x)
n0
f
(n) ( x0 n!
考查 un 的敛散性 n1
比较或比较的极限形式
比值 un 与 un同敛散
n1
n1
比较或比较的极限形式
un 收敛 un绝对收敛
n1
n1
un 发散 un的敛散性重新判定
n1
n1
--一般莱布尼兹公式
绝对收敛或条件收敛或发散
5
3*.求幂级数的收敛半径,收敛域和和函数
1）定理
如果幂级数 an xn的所有系数an 0 ,
n0
设 lim an1 a n
n
(或
lim n
n
an
)
(1)则当
0 时, R
1 ;
(2)则当
0 时,R ;

即 ： a rr brr 或 者a rr brr
|a| |b|
|a| |b|
取 |b a r r|或 者 |b a r r| b ra r
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
A
a C
M
B
AD AMMD MCBM BC
uuur uuur
一、向量的概念
向量：既有大小又有方向的量.
M2
向量表示：a或 M1M2
M 1
以 M 1为 起 点 ， M 2为 终 点 的 有 向 线 段 .
向量的模： 向量的大小.| a|或 | M1M2|
单位向量：模长为1的向量. a 0
或
M1M20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
特殊地：若 a‖
a b
b
分为同向和反向
c |c | |a | |b |
b a
c |c ||a ||b |
向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律： a b b a .
（2）结合律： a b c ( a b ) c a (b c ).
（3） a ( a )0 .
向量的坐标： ax, ay, az, 向量的坐标表达式： a {a x,a y,a z}
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 }
特殊地：O M {x ,y ,z}
向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
a a b {a x { ,a a x y ,b a x z , } a y , b b y ,{ a b z x ,b b z y } ,b z}, a b ( { a a x x b b x x ) , i a y ( a y b y , b a y z ) j b z ( } a z b z ) k ;

不定积分的性质
包括线性性质、积分区间可加性 、常数倍性质和积分与微分互逆 性质。
基本积分公式与法
则
包括幂函数、三角函数、指数函 数、对数函数等基本初等函数的 不定积分公式，以及分部积分法 、换元积分法等基本积分法则。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是求一个函数在闭区间上的积分值，表达形式为 ∫[a,b]f(x)dx，表示函数f(x)在区间[a,b]上的面积。
根据未知函数及其导数的次数划 分
一阶微分方程及其解法
可分离变量法
通过变量分离，将微分方程转化为可积分的 形式
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将一阶线性微分方程转化为 可积分的形式
二阶微分方程及其解法
二阶线性微分方程
具有常系数的二阶线性微分方程的通解结构
振动与波动方程
描述振动与波动现象的二阶线性微分方程
欧拉方程
通过变量替换，将欧拉方程转化为二阶线性微分方程进行求解
高阶微分方程的降阶法
通过变量替换或积分法，将高阶微分方程降阶为一阶或二阶微分方程进行求解
05
多元函数微积分学
多元函数的基本概念
01 02
多元函数的定义
设$D$为一个非空的$n$ 元有序数组的集合， $f$为某一 确定的对应规则。若对于每一个有序数组$( x1,x2,…,xn)∈D$，通过对应规则$f$，都有唯一确定的实 数$y$与之对应，则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$ 元函数。
三重积分的定义
设三元函数$f(x,y,z)$在可求体积的有界闭区域$Omega$上连续，将$Omega$任意分成$n$个小闭区域$Delta V_1,Delta V_2,…,Delta V_n$，记各小闭区域的直径中的最大值为$lambda $。若不论对$Omega $如何分割 及如何选取点$(xi_i,eta_i,zeta_i)$，只要当$lambda to 0 $时，和式$sum_{i=1}^{n} f(xi_i,eta_i,zeta_i)Delta V_i $的极限存在且唯一，则称此极限为函数 $f(x,y,z) $在区域 $Omega $上的三重积分。

将 a 或 b 平 移 使 它 们 的 起 点 重 合 , 它 们 所 在 的
射 线 之 间 的 夹 角 ( 0 ) 称 为 a ， b 的 夹 角 , 记 作
(a，b )
5
问题：写出以下平行四边形中相等的向量：
D
C
Ao
B
6
二、向量的加减法与数乘运算
1. 向量的加法：平行四边形法则
b
c
a
3
如或果共两 线个，向记量为方a向//b相。同或相反，则称之为平行 注：零向量平行于任何向量。 如果k个向量把它们的起点放在同一点时，它们的 起点和终点在同一平面上，则称这k个向量共面。
4
向量的模(norm):
向量的大小(长度),记作 |
a
|或
|
M1M2|
模为1的向量称为单位向量.
向量的夹角：
（两要素：大小和方向）
向量表示：有向线段，如
M2
a或 M1M2
a M 1
(以 M1为起点， M2为终点的有向线段.)
2
向量的记法：
用小写字母记为
a,
f,v 等。
用大写字母记为 MN,OA等。
特别地，零向量记为 0, 它表示方向任意的一个点。
相等向量：大小相等且方向相同的向量。
说明：如果两个有向线段的大小和方向是相同的， 则不论它们的起点是否相同，我们就认为它们表示 同一向量，这里理解的向量叫做自由向量。若不加 说明，我们这里所讨论的向量都是自由向量。
ADb.试
用a和b表示向M量A, MB, MC,
MD,这里M是平形四边形对交 角点 线 . 的
D b M Aa
C
B
14
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More