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最新三角形内外角平分线定理

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三角形内角与外交平分线定理
一、内角平分线定理
已知：如图所示，AD 是△ABC 的内角∠BAC 的平分线。

求证： BA/AC=BD/DC;
思路1：过C 作角平分线AD 的平行线。

证明1：过C 作CE ∥DA 与BA 的延长线交于E 。

则： BA/AE=BD/DC;
∵ ∠BAD=∠AEC ；（两线平行，同位角相等）
∠CAD=∠ACE ；（两线平行，内错角相等）
∠BAD=∠CAD ；（已知）
∴ ∠AEC=∠ACE ；（等量代换）
∴ AE=AC ；
∴ BA/AC=BD/DC 。

结论1：该证法具有普遍的意义。

引出三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。

思路2：利用面积法来证明。

已知：如图8-4乙所示，AD 是△ABC 的内角∠BAC 的平分线。

求证： BA/AC=BD/DC
证明2：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ；
∵ ∠BAD=∠CAD ；（已知）
∴ DE=DF ；
∵ BA/AC=S △BAD/S △DAC ； （等高时，三角形面积之比等于底之比）
BD/DC=S △BAD/S △ABCDAC ；（同高时，三角形面积之比等于底之比）
∴ BA/AC=BD/DC
结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要
想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法。

二、外角平分线定理
已知：如图所示，AD 是△ABC 中∠BAC 的外角∠CAF 的平分线。

求证： BA/AC=BD/DC
思路1：作角平分线AD 的平行线。

证明1：过C 作CE ∥DA 与BA 交于E 。

则： BA/AE=BD/DC
∵ ∠DAF=∠CEA ；（两线平行，同位角相等）
∠DAC=∠ECA ；（两线平行，内错角相等）
∠DAF=∠DAC ；（已知）
∴ ∠CEA=∠ECA ；（等量代换）
∴ AE=AC ；
∴ BA/AC=BD/DC 。

ABC AD BAC AB BD AC CD ∠=在中，若为的
平分线，则：
结论1：该证法具有普遍的意义。

引出三角形外角平分线定理：如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线段和相邻的两边应成比例
思路2：利用面积法来证明。

已知：如图8-5乙所示，AD 是△ABC 内角∠BAC 的外角∠CAF 的平分线。

求证： BA/AC=BD/DC. 证明2：过D 作DE ⊥AC 于E ，DF ∥⊥BA 的延长线于F ；
∵ ∠DAC=∠DAF ；（已知）
∴ DE=DF ；
∵ BA/AC=S △BAD/△DAC ；（等高时，三角形面积之比等于底之比）
BD/DC=S △BAD/△DAC ；（同高时，三角形面积之比等于底之比）
∴ BA/AC=BD/DC
结论2：使用面积法时，要善于从不同的角度去看三角形的底和高。

在该证法中，我们看△
BAD 和△DAC 的面积时，先以BA 和AC 作底，而以DF 、DE 为等高。

然后以BD 和DC 为底，
而高是同高
3．如图，在△ABC 中，AD 是角BAC 的平分线，
AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,求BD 的长.
九年级英语期中考试卷
第二部分 笔试部分
二、单项填空（本题有15小题，每小题1分，共15分)
16．--- How do you study a test?
--- I study working a group.
A. for, in, with
B. for, by, at
C. for, by, with
D. of,
in, by
17. --- Hey! Don’t you remember me?
--- Wow! Paula? You used to ________ curly hair.
图3.1-8
ABC AD A CAE ∠∠在中，为的外角的平分线，AB BD AC CD =则：359.ABC AD ABC AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8AB=_______∠2在中，是的平分线，，则5533.,90,12,5,,
1,,____________3Rt ABC B AB BC DE AC E AD D AB DE AC ∠=︒==⊥==中于在边上且则53
A. be
B. are
C. have
D. has
18. Sixteen-years-olds shouldn’t ______ to go to an Internet bar.
A. be allowed
B. be allow
C. allow
D. are allowed
19. -– Do you feel tired?
--- No, I don’t. If I were tired, I ______a rest.
A had
B would have
C will have
D have
20. --- Tom, where is your father?
--- I’m not sure. He_______ in his office.
A. is
B. may be
C. maybe
D. may
21. I don’t like people ______ talk much but do little.
A. who
B. that
C. which
D. whose
22. ---Where would you like to go ?
---I’d like to go ________.
A. warm somewhere
B. place warm
C. somewhere warm
D. warm place
23. ---You look so , don't you?
--- Yes, I've got a birthday present.
A. sad
B. happy
C. tired
D. worried
24. ---Mom, ________ is my MP4?
---I put it in your backpack.
A. what
B. how
C. whose
D. w here
25. ---I’m not hungry but thirsty.
---________
A. I’m hungry, too.
B. What about some cakes?
C. I’m happy to hear that.
D. How about a glass of water?
26. —________are you talking about?
—The Olympic Games in Beijing.
A. What
B. Whom
C. How
D. Where
27. ---Why not come and join us in the game?
---_______. But I must meet Mr Smith at his office now..
A. I’d like to .
B. Let’s go
C. Yes，please
D. No, problem.
28. —My clock doesn’t .
— Let me have a look. Maybe I can help you.
A. work
B. stop
C. open
D. answer
29. — We can use QQ to talk with each other online.。

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三角形的角平分线

三角形的角平分线

三角形的角平分线在几何学中，角平分线是一个基本概念，指的是将一个角分成两个相等的角的直线。

在三角形中，每个角都有三条角平分线，它们相交于三角形的内心。

本文将详细讨论三角形的角平分线及其性质。

一、内角平分线的定义与性质内角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角平分成两个相等的角的线段。

在三角形中，每个角都有一条内角平分线。

这些内角平分线交于三角形的内心，可以记作I。

内角平分线的性质如下：1. 三角形的三条内角平分线交于一个点：在任何三角形中，三条内角平分线都会相交于同一个点，这个点被称为三角形的内心。

2. 内心到三个顶点的距离相等：内角平分线将角分成两个相等的角，因此从内角平分线的交点I到三角形的每个顶点的距离都相等。

3. 内心到三边的距离相等：内角平分线将角分成两个相等的角，所以内角平分线也将三角形的三边分成两个相等的线段。

因此，从内心到三角形的每条边的距离也相等。

二、外角平分线的定义与性质外角平分线是指从一个三角形的一个顶点开始，将该角的外部继续平分成两个相等的角的线段。

在三角形中，每个顶点都有一条外角平分线。

这些外角平分线的性质如下：1. 三角形的三条外角平分线相交于一点：对于任意三角形，每个顶点都有一条外角平分线，而这些外角平分线都会相交于同一个点，这个点被称为三角形的外心。

2. 外心到三个顶点的距离相等：外角平分线将角分成两个相等的角，因此从外角平分线的交点O到三角形的每个顶点的距离都相等。

3. 外心到三角形的边的距离相等：外角平分线将角平分成两个相等的角，所以外角平分线也将三角形的每条边平分成两个相等的线段。

因此，从外心到三角形的每条边的距离也相等。

三、例题解析问题一：在一个等边三角形ABC中，连接三个顶点与内心I，证明线段BI和线段CI是∠B和∠C的角平分线。

解答：由等边三角形ABC的性质可知，三边相等，三个内角也相等，即∠A = ∠B = ∠C。

又根据内角平分线的定义，我们只需证明线段BI和线段CI将角∠B和∠C平分成两个相等的角即可。

中考重点三角形的角平分线定理

中考重点三角形的角平分线定理

中考重点三角形的角平分线定理中考重点：三角形的角平分线定理三角形是初中数学中的基础知识，其中一个重要的定理是角平分线定理。

角平分线定理是指：三角形内一条角的平分线把对角分成相等的两部分。

一、角平分线定理的表述在三角形ABC中，角BAD的平分线BE将角BAC分成等于角BAD的两个部分，即∠BAE=∠EAC。

二、角平分线定理的证明我们可以通过几何推理来证明角平分线定理。

下面是证明的步骤：1. 连接BE和AC，延长BE至直线AC的另一侧，交于点D。

2. 由于角BAC和角BAD是同一角的两个部分，所以它们的度数相加等于360度，即∠BAC+∠BAD=360°。

3. 同理，∠EAC+∠EAD=360°。

4. 由于角BAD是∠BAC的平分线，所以∠BAE=∠EAC，即∠BAE+∠EAC=180°。

5. 同理，∠BAD=∠EAD，即∠BAD+∠EAD=180°。

6. 将3式和5式相加得到∠BAC+∠BAD+∠EAC+∠EAD=540°。

7. 由于∠BAC+∠BAD+∠EAC+∠EAD=360°+180°=540°，所以BE和AC平行，即BE是∠BAC的平分线。

根据以上证明过程，我们可以得出结论：在三角形ABC中，角BAD的平分线BE将角BAC分成等于角BAD的两个部分，即∠BAE=∠EAC。

三、角平分线定理的应用角平分线定理在解决三角形问题时非常有用。

我们可以利用这个定理来求解三角形内部某个角的度数或者证明两条角平分线相交于三角形的内心。

例如，我们可以利用角平分线定理来证明三角形内心的性质。

三角形的内心是三角形内角平分线的交点，可以用来证明三角形的垂心、重心等性质。

在解题过程中，我们也可以利用角平分线定理来确定一些角的度数。

例如，在某个三角形中已知一条角的度数，要求另一条角的度数，我们可以利用角平分线定理将已知角平分成两个相等的角，从而求得所需角的度数。

三角形内角平分线性质定理

三角形内角平分线性质定理

三角形内角平分线性质定理
三角形内角平分线性质定理有两个，其中一个是：若AD为△ABC内角平分线，则BD:DC=AB:AC；在该文中记为性质定理一。

另一个就是斯库顿定理。

斯库顿定理
斯库顿定理：若AD为△ABC内角平分线，则
AD^2=AB\cdot AC-BD\cdot CD\\
证明：作∠CDE=∠BAD=∠CAD，显然∠ADE=∠ABD，那么
△ADE∽△ABD，△DCE∽△ACD，所以
\begin{aligned} \frac{AD}{AB}&=\frac{AE}{AD}\\
\therefore\quad AD^2&=AB\cdot AE\\ \end{aligned}\\
\begin{aligned}
\frac{CE}{CD}&=\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{AB}\\
\therefore\quad BD\cdot CD&=AB\cdot CE\\
\end{aligned}\\
两个式子相加，即得所证。

推论
假设△ABC的三条边分别为a、b、c，由性质定理一可得：若AD为△ABC内角平分线，则
\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}\\
再由斯特瓦尔特定理，可知
AD^2=bc-\frac{bca^2}{(b+c)^2}\\
而斯库顿定理
\begin{aligned} AD²&=AB\cdot AC-BD\cdot CD\\ &=bc-BD\cdot CD \end{aligned}\\
所以
BD\cdot CD=\frac{bca^2}{(b+c)^2}\\。

角平分线性质定理

角平分线性质定理

角平分线性质定理定理说明在几何学中，角平分线性质定理是一个重要的几何定理。

它指出：如果一条直线将一个角分成两个相等的角（即平分该角），那么这条直线就被称为该角的角平分线。

根据这个定理，我们可以得出一些有趣的推论和性质。

角平分线的性质性质一：角平分线两侧的角相等若一条直线分割一个角，并且它分成的两个角相等，那么这条直线就是该角的平分线。

以角A为例，若BD为角A的角平分线，则∠ABD = ∠CBD。

性质二：角平分线在三角形中的应用在一个三角形中，如果一条角平分线平分了一个内角，那么它将三角形分成两个相似的三角形。

我们可以利用这个性质来求解三角形内部角的度数。

性质三：角平分线长度关系两内锐角平分线的长度之比等于与这两个角的正弦比值。

性质四：角平分线与外切圆关系若角BAC的角平分线交外接圆于点D，那么∠BDC = 90°。

性质五：角平分线的唯一性对于一个给定的角，其角平分线唯一且确定。

应用和分析角平分线性质定理在几何学中有着广泛的应用。

通过合理应用这些性质，我们可以有效地解决角平分线相关的问题，从而推理出更复杂的几何问题的解决方案。

同时，深入了解角平分线的性质也有助于提高我们的几何推理能力，培养我们的数学思维和逻辑推理能力。

结论角平分线性质定理是几何学中一个基础而重要的定理，它揭示了角平分线的一些重要性质和应用。

通过深入理解和应用这个定理，我们可以更好地解决几何学中有关角平分线的问题，并且提高自己的数学分析能力。

对于学习几何学的人来说，掌握角平分线性质定理是必不可少的，它将为我们的数学学习之路增添光彩。