三角形内角平分线定理
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三角形内角平分线定理:三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
已知:如图8-4甲所示,AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。
求证:BA/AC=BD/DC;
思路1:过C作角平分线AD的平行线,用平行线分线段成比例定理证明。
证明1:过C作CE∥DA与BA的延长线交于E。
则:BA/AE=BD/DC;
∵∠BAD=∠AEC;(两线平行,同位角相等)
∠CAD=∠ACE;(两线平行,内错角相等)
∠BAD=∠CAD;(已知)
∴∠AEC=∠ACE;(等量代换)
∴ AE=AC;
∴BA/AC=BD/DC 。
结论1:该证法具有普遍的意义。
思路2:利用面积法来证明。
已知:如图8-4乙所示,AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。
求证:BA/AC=BD/DC
证明2:过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F;
∵∠BAD=∠CAD;(已知)
∴ DE=DF;
∵BA/AC=S△BAD/S△DAC;(等高时,三角形面积之比等于底之比)BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC;(同高时,三角形面积之比等于底之比)∴BA/AC=BD/DC
结论2:遇到角平分线,首先要想到往角的两边作平行线,构造等腰三角形或菱形,其次要想到往角的两边作垂线,构造翻转的直角三角形全等,第三,要想到长截短补法,第四,你能想到用该定理解决问题吗?