【课堂新坐标】高考数学(理江苏)二轮专题复习练习：5.4高考中的圆锥曲线(含答案解析)

16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而பைடு நூலகம்，莫为读而生。——布尔沃
江苏高考数学二轮复习微专题十一圆锥曲 线的方程及几何性质
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
END

第4讲 圆锥曲线的综合问题（2）考点1建立目标不等式解最值或范围问题例1.(1)点A 、B 分别为椭圆2214x y +=的左、右顶点，直线65x my =+与椭圆相交于P 、Q 两点，记直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，则21221k k +的最小值为（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】B【解析】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，联立226544x my x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去x 并整理得()22126440525m y my ++-=， 由韦达定理可得()1221254y y m +=-+，()12264254y y m =-+，设直线AQ 的斜率为k ，则222y k x =+，2222y k x =-， 所以，()222222222222212244444y y y y k k x x x y ⋅=⋅===-+----，214k k ∴=-， 而()12121212121212121625616162252555y y y y y y k k m x x m y y y y my my ⋅=⋅==++⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()22222642541641922561625254254m m m m m -+==---+++，因此，222112211162k k k k +=+≥==， 当且仅当18k =±时，等号成立，因此，21221k k +的最小值为12.故选：B. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系本题的关键在于求得214AQ k k =-，进而利用韦达定理法求得1AQ k k ⋅为定值，再结合基本不等式求得最值.(2)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率3，点在椭圆C 上．A 、B 分别为椭圆C 的上、下顶点，动直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，满足AP AQ ⊥，AH PQ ⊥，垂足为H ．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求ABH △面积的最大值．【答案】(1)22164x y +=;(2)125【解析】（1）由题意知222223321c aa b a b c⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解2a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22164x y +=．（2）由题意知PQ 的斜率存在，设直线PQ 方程为y kx m =+，其中2m ≠由22164y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223263120k x kmx m +++-=，()()()22222236123242464k m k m k m =-+-=+-△，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122632km x x k -+=+，212231232m x x k -=+，因为AP AQ ⊥， 所以()()()()121212122222AP AQ x x y y x x kx m kx m ⋅=+--=++-+-()()()2212121(2)20k x x k m x x m =++-++-=，所以()()()22222312612203232m km k k m m k k --++-+-=++，即()()()()()222221312622320k m k m m m k +---+-+=因为2m ≠，所以()()()2221(36)62320k m k m m k ++-+-+=所以222223636632640k m k m k m k m m k +++-++--=，所以25m =-，满足0>△．所以直线PQ 的方程为25y kx =-，即直线PQ 的定点20,5⎛⎫- ⎪⎝⎭．（解法一）因为ABH △存在，所以0k ≠，所以AH 的斜率为1k -，方程为12y x k=-+，联立2512y kx y x k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得1215H x k k =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，（H x 为H 点的横坐标）， 所以1112241242251155ABHH SAB x k k k k =⨯=⨯⨯=≤⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1k k =即1k =±时等号取得，即ABH △面积的最大值为125． 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系,本题的关键利用基本不等式求得最值. 【跟踪演练】1.(1)已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点1F ，2F ，点P 是两曲线在第一象限的交点，且12F F 在1F P 上的投影等于1F P ，1e ，2e 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的离心率，则22129e e +的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【答案】C【解析】如图，设半焦距为c ．∵点P 是两曲线在第一象限的交点，且12F F 在1F P 上 的投影等于1F P ，∴PF 1⊥PF 2．设1PF m =，2PF n =，则12m n a +=， 22m n a -=．∴22()()4m n m n mn +--=＝21a ﹣22a ．在12PF F △中，由勾股定理可得：()()22222221124242c m n m n mn a a a =+=+-=--.∴222122c a a =+．两边同除以c 2，得2＝221211+e e ，所以()()222222121212222212219111==1199++10+10+6=8222e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++，当22123=e e 即16=3e 时取等号，因此9e 12+e 22的最小值是8．故选：C .(2)如图，已知椭圆22:142x y Γ+=，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，C ，D 在椭圆Γ上，点D 在第一象限.CB 的延长线交椭圆Γ于点E ，直线AE 与椭圆Γ､y 轴分别交于点F ､G ，直线CG 交椭圆Γ于点H ，DA 的延长线交FH 于点M.①设直线AE ､CG 的斜率分别为1k ､2k ，求证：12k k 为定值； ②求直线FH 的斜率k 的最小值； 【答案】①证明见解析；②62【解析】①由对称性，设0(,0)A x ，0(,0)B x -，()00,E x y --，()00,C x y - 则00:()2y AE y x x t =-，得00,2y G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故0102y k x =，02032y k x =-，则1213k k =-， ②由02:2y CG y k x =-，联立()202220220221224022240y y k x y k x k y x x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨⎪+-=⎩， 由根与系数的关系可得200224212H y x k x -=+-⋅ ，所以()202024212H y x x k -=-+， 所以()22020242212H y k y y x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭=--+，可得()()2200202202024422,21212y y k y H x k x k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 又01:2y AE y k x =-，联立()202210110221224022240y y k x y k x k y x x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨⎪+-=⎩， 由根与系数的关系可得200214212F y x k x -=+-⋅ ，所以()220104212F y x x k -=-+， 所以()2021*******F y k y y x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭=--+可得：()()2200102201014422,21212y y k y F x k x k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()()()122211121212112212231121221112231212H F FHH F k k k k y y k k k k k x x k k k k k k ----++-====-+--++211111661444k k k k +==+≥=，由图知10k >，所以116144k k +≥=即FH k ≥, 当且仅当116144k k =即1k =取等,所以直线FH 的斜率k考点2 构建函数模型解最值或范围问题例2.(1)已知左、右焦点分别为12F F 、的椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与直线1y =相交于A B 、两点，使得四边形12ABF F为面积等于,过椭圆1C 上一动点P （不在x 轴上）作圆22:1O x y +=的两条切线PC PD 、，切点分别为C D 、，直线CD 与椭圆1C 交于E G 、两点，O 为坐标原点，则OEG 的面积OEGS的取值范围为______________.【答案】⎝⎦【解析】∵四边形12ABF F为面积等于∴12c ⨯=，故c =∴椭圆方程化为222212x y a a +=-，且点)A，∵点A 在椭圆上，∴222112a a +=-，整理得42540a a -+=，解得24a =． ∴椭圆1C 的方程为22142x y +=；设()()000,0P x y y ≠，则以线段OP 为直径的圆的方程为 ()222200001224x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又圆O 的方程为221x y +=，两式相减得直线CD 的方程为001xx yy +=.由0022124xx yy x y +=⎧⎨+=⎩消去y 整理得()2222000024240x y x x x y +-+-= ∵直线CD 与椭圆1C 交于E G 、两点，∴()()()2222220000001642242410x x y y y x ∆=-+-=+>，设()()1122,,,E x y G x y ，则12120EG x x x x =-=-又原点到直线CD的距离为d =∴1201122OEGSEG d x x y =⋅=-==设22200014=234t x y x =++， ∵204x ≤<，∴1182t <≤又OEG S =△11,82t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，∴82OEG S <≤△， 所以OEG 的面积OEGS △的取值范围为⎝⎦.故答案为:⎝⎦(2)已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>），右顶点、上顶点分别为A 、B ，原点O 到直线AB 的距离为6ab ．若P ，Q 为椭圆C 上两不同点，线段PQ 的中点为M ． ①当M 的坐标为()1,1时，求直线PQ 的直线方程②当三角形OPQ 时，求OM 的取值范围．【答案】①230x y +-=，②OM ⎡∈⎣．【解析】设直线:1x yAB a b+=，即0bx ay ab +-=， 所以O 到直线AB==，所以226a b +=， 因为2222226c e a a b c a b ⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪+=⎪⎪⎩，所以2242a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为22142x y +=；①因为PQ 的中点为()1,1M ，且PQ 的斜率存在，设()()1122,,,P x y Q x y ，所以221122222424x y x y ⎧+=⎨+=⎩，所以()()222212122x x y y -=--，所以121212122x x y y y y x x +-=-+-，因为12122,2x x y y +=+=，所以121212PQ y y k x x -==--，所以PQ 的直线方程为()1112y x -=--，即230x y +-=； ②若直线PQ 垂直于x轴，则2221222222p p p p p x x y x x ⎛⎫⨯=⇒-=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭22M x ⇒=，0M y =，所以OM =若直线PQ 不垂直于x 轴，设直线PQ 方程：()0y kx m m =+≠，()()1122,,,P x y Q x y ，()22222124240142y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 所以122412km x x k +=-+，21222412-⋅=+m x x k ，()()()2224412240km k m∆=-+->，即2242k m +>，因为O 到PQ的距离为d =所以12OPQS===()()()2222222222241212012m k m k k m k m ⎡⎤⇒+-=+⇒+-=⇒+=⎣⎦， 且此时2242k m +>，即0∆>满足，而12222212M x x km k x k m+-===-+， 1M M y kx m m =+=，所以OM ===， 因为2212k m +=，所以21m ≥，所以21122m ≤-<，所以1OM ≤<综上可知OM ⎡∈⎣．【跟踪演练】2.(1)在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，3DM DP =.当点P 在圆上运动时，点M 的轨迹为曲线E. （1）求曲线E 的方程；（2）过点()1,0Q -的两条相互垂直的直线分别交曲线E 于A ，B 和C ､D ，求四边形ABCD 面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）288649S ≤≤. 【解析】（1）设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ， ∵3DM DP =，∴0x x =，0y y =，∴00,x x y y ==， ∴点P 在224x y +=上，∴2204x y +=，∴224x y ⎫+=⎪⎭，∴曲线C 的方程为22143x y +=.（2）①当直线AB 的倾斜角为0°，||4AB =，||3CD =，1||||62ABCD S AB CD ==四边形. 同理直线AB 的倾斜角为90︒， 1||||62ABCD S AB CD ==四边形. ②当直线AB 的倾斜角不为0°和90°， 设直线AB 的方程：1x my =-， 则直线CD 的方程为：11(0)x y m m=--≠， 联立1x my =-和22143x y +=，得()2234690m y my +--=，122634m y y m +=+，122934y y m -=+，12||AB y =-==22161234mm+==⨯+，用1m-换m得221||1243mCDm+=⨯+，∴四边形ABCD面积22221111||||1212223443m mS AB CDm m++==⨯⨯⨯⨯++，令21t m=+，0m≠，∴1t>，∴101t<<，2111727272111131413412t tSt tt t t t=⨯⨯=⨯⨯=⨯+-+-+-21721111224t=⨯⎛⎫--++⎪⎝⎭，∴288649S≤<.∴综上所述，288649S≤≤.(2)椭圆C：22221x ya b+=(0)a b>>的左、右焦点分别为F1、2F，过1F向圆2F：22(2)1x y-+=引切线F1T（T为切点），切线F1T23，①求椭圆C的方程；②设(,)M x y为圆2F上的动点，O为坐标原点，过F2作OM的平行线，交椭圆C于G，H 两点，求MGH的面积的最大值．【答案】①22195x y+=；②52．【解析】①连接2F T，则F1T⊥2F T，由题意得12||4F F==，所以c＝2．因为23cea==，则a＝3，b==C的方程为22195x y+=；②设1122(,),,()G x y H x y，直线GH的方程为x＝my＋2，由222,1,95x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(902)5250m y my ++-=，222(20)4(59)(25)900(1)0m m m ∆=-+-=+>则1222059m y y m +=-+，1222559y y m =-+．所以12||y y -===所以12||GH y y ===-2223030(1)5959m m m +==++． 因为//GH OM ，所以点M 到直线GH 的距离等于原点O 到直线GH的距离，距离为△MGH的面积为222130(1)25959m S m m +==++． 因为//GH OM ，所以直线OM ：x my =，即0x my -=， 因为点(,)M x y 为圆2F 上的动点，所以点2F 到直线OM的距离1d =≤，解得23m ≥t =，则221(2)m t t =-≥，所以2230303045(1)9545t t S t t t t===-+++，因为4()5f t t t=+在[2,)+∞上单调递增，所以当t ＝2时，()f t 取得最小值，其值为12，所以△MGH 的面积的最大值为52．【仿真练习】一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知点P ，Q 分别为圆()2231x y +-=和椭圆2212516y x +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】D【解析】依题意可知圆心()0,3C ，半径是1r =.设椭圆2212516y x +=上的点()4cos ,5sin Q θθ[)()0,2θπ∈，此时Q 点到圆上的点的最大距离为QC r +，即()()224cos 5sin 31QC r θθ+-=++229sin 30sin 251(3sin 5)153sin 163sin θθθθθ=-++=-+=-+=-，由[)0,2θ∈π，得[]sin 1,1θ∈-，即363sin 9θ≤-≤所以QC r +的最大值为9，即P ，Q 两点间的最大距离是9.故选：D2.已知12,F F ，分别为椭圆22142x y +=的左右焦点，P 为椭圆上一动点，2F 关于直线1PF 的对称点为1,M F ，关于直线2PF 的对称点为N ，当MN 最大时，则点P 到x 轴的距离为（ ） A ．2 B ．1C ．63D ．33【答案】C【解析】连接,PM PN ，则21,PM PF PN PF ==， 所以2124MN PM PN PF PF a ≤+=+==， 当且仅当,,M P N 三点共线时等号成立.如下图，当,,M P N 三点共线时，有1122MPF F PF NPF ∠=∠=∠，故当,,M P N 三点共线时，有11223MPF F PF NPF π∠=∠=∠=.因为124PF PF +=且2212122cos 4283PF PF PF PF π+-⨯⨯=⨯=，故1283PF PF ⨯=，所以121831222322F PF P S y =⨯⨯=⨯， 解得6P y =，故选：C. 3.若随机变量()2~3,2019N ξ，且(1)()P P a ξξ≤=≥.已知F 为抛物线24yx =的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，若点A 在抛物线上，且||AF a =，则||||PA PO +的最小值为（ ） A 5B 13C ．5D ．13【答案】D 【解析】随机变量()2~3,2019N ξ，且(1)()P P a ξξ≤=≥，∴1和a 关于3x =对称， ∴5a =即||5AF =，设A 为第一象限中的点，(),A x y ， 抛物线方程为：24y x =，()1,0F ，∴15AF x =+= 解得4x =即()4,4A ， ∴()4,4A 关于准线1x =-的对称点为()6,4A '-，根据对称性可得：PA PA '=∴()22||||||6452213PA PO PA PO A O ''+=+≥=-+==当且仅当,,A P O '三点共线时等号成立.如图故选：D4.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为3y x =，若动点P 在C的右支上，1F ，2F 分别为C 的左，右焦点，2OP OF ⋅的最小值是2a （其中O 为坐标原点），则212||||PF PF 的最小值为（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．24【答案】B【解析】依题意知：22232ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩， 解得1a =，3b =设2PF t =（1t ≥），则12PF t =+， 所以()22122444248PF t t t PF tt t+==++≥⨯=，（当4t t =即2t =时取等号），即212||||PF PF 的最小值为8. 故选：B . 5.已知椭圆22:12x C y +=，直线l 过椭圆C 的左焦点F 且交椭圆于A ，B 两点，AB 的中垂线交x 轴于M 点，则2||||FM AB 的取值范围为（ ）A ．11,164⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,162⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】椭圆22:12x C y +=的左焦点为()1,0F -,当l ：0y =时，())(),,0,0A BM，1,FM AB ==所以2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得：()222210m y my +--=， 由韦达定理得：1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，取AB 中点为222,22m D m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以AB 的中垂线方程为：2212:22DM m l x y m m m ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭， 令0y = ，得21,02M m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，所以221||2m MF m +=+， 又()()2222281||2m AB m +==+， 所以2222||121111=1(,)||818184FM m AB m m ⎛⎫+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，综上所述2||11,||84FM AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．6.已知曲线C 的方程为2210()91y x x +<≤=，()()()0,3,0,3,1,0A B D --，点P 是C 上的动点，直线AP 与直线5x =交于点M ，直线BP 与直线5x =交于点N ，则DMN 的面积可能为（ ） A ．73 B ．76C ．68D ．72【答案】ABD【解析】设()00,P x y ，则22002299919PA PBy y k k y x --⋅===--． 设(0)A p k k k =>，则9PB k k=-，直线AP 的方程为3y kx =-，则点M 的坐标为(5,53)k -，直线BP 的方程为93y x k =-+，则点N 的坐标为455,3k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．所以4545||53356624MN k k k k ⎛⎫=---+=+-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当455k k=，即3k =时等号成立． 从而DMN 面积的最小值为1246722⨯⨯=. 故选：ABD ．7.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M .点,P Q 是抛物线上不同的两点.下面说法中正确的是（ ）A ．若直线PQ 过焦点F ，则以线段PQ 为直径的圆与准线l 相切；B ．过点M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多两条； C ．对于抛物线内的一点(1,1)T ，则||||3PT PF +≥；D ．若直线PQ 垂直于x 轴，则直线PM 与直线QF 的交点在抛物线C 上. 【答案】ACD【解析】如图一：过P 作PA ⊥准线于A ，过Q 作QB ⊥准线于B ， 过PQ 中点C 作CD ⊥准线于D ，则()()111222CD PA QB PF QF PQ =+=+=， 故以线段PQ 为直径的圆与准线l 相切，A 正确；点M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线包括两条切线和x 轴所在直线，B 错误； 如图二：过P 作PA ⊥准线于A ，过T 作TH ⊥准线于H ，准线方程为2x =-，3PT PF PT PA HT +=+≥=，当,,H P T 共线时等号成立，C 正确；设2,8yP y ⎛⎫⎪⎝⎭，2,8yQ y⎛⎫-⎪⎝⎭，()2,0M-，()2,0F，则直线PM：()2228yy xy=++，QF：()2228yy xy-=--，交点2003216,y y⎛⎫⎪⎝⎭，带入满足抛物线方程，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分．8.已知F为椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点，点()1,P m在C上，且PF x⊥轴，椭圆C的离心率为12,则椭圆C的方程为___________；若直线:2l y kx=+与椭圆C相交于A，B两点，且2OA OB⋅>（O为坐标原点），则k的取值范围为___________.【答案】22143x y+=2112,,2222⎛⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】因为(c,0)F为椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点，点()1,P m在C上，且PF x⊥轴，所以1c=，又椭圆C的离心率为12，所以2a=，因此222413b a c=-=-=，所以椭圆C的方程为22143x y+=；设11(,)A x y，22(,)B x y，由222143y kxx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)1640k x kx+++=，所以1221634k x x k +=-+，122434x x k =+， 故2212121212228(2)(2)2()4434k y y kx kx k x x k x x k -=++=+++=++， 由2OA OB ⋅>，得12122x x y y +>，即224284234k k-+>+， 整理得212k <，解得22k -<<； 又因2221616(34)0k k ∆=-+>，整理得214k >，解得12k >或12k <-；综上，k的取值范围是11,,2222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为:22143x y +=11,2222⎛⎫⎛--⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 9.已知双曲线2218:8x y C -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，(0,4)A ，当MAF △的周长最小时，MAF △的面积为_________.【答案】12【解析】如图，设双曲线C 的右焦点为F '.由题意可得4040a F F '=-（，）,（，）. 因为点M 在右支上，所以2MF MF a '-==，所以MF MF '=+，则MAF △的周长为MA MF AF MA MF AF ''++=++≥+=即当M 在M '处时，MAF △的周长最小，此时直线AF '的方程为4y x =-+.联立224188y x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得10y -=，则1M y '=，故MAF △的面积为111'84112222M FF OA FF y ''-=⨯⨯-=（）. 故答案为：1210.已知过抛物线C ：28y x =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，连接OP 并延长，交抛物线C 于点Q ，则OP OQ的取值范围为________．【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】抛物线2:8C y x =的焦点(2,0)F ，直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y ，整理得：22224(2)40k x k x k -++=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(P x ，0)y ，3(Q x ，3)y ，则21224(2)k x x k ++=，则212022(2)2x x k x k ++==，004(2)y k x k =-=， 02022OQ y kk x k ∴==+， 则直线OQ 的方程为222k y x k =+，联立22228k y x k y x⎧=⎪+⎨⎪=⎩，解得：22322(2)k x k +=， 由20k >，则023||1||212x OP OQ x k +==<， 所以OP OQ的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题：本题共4小题，共40分。

例 3.已 知 椭 圆 x 2 y 2 1(a＞ b＞0)的 离 心 率 为 2 ，
a2 b2
2
其焦点在圆x2 y2 1上.
1求 椭 圆 的 方 程 ；
2 设 A， B， M 是 椭 圆 上 的 三 点(异 于 椭 圆 顶 点)，
且存在锐角，使OM cos OA sin OB.
ⅰ( )求 证 ： 直 线 OA与 OB的 斜 率 之 积 为 定 值 ； (ⅱ)求 O A2 O B 2.
故 5e22e30， 解 得 e3或 e1(舍 去 )． 5
2.(2011全国新课标卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆
C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为 .过F1的
直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为 16，那么C的
方程为
.
解析：由题意设，椭圆方程为x2 a2
y2 b2
1ab0，
解析：因为 PF1∶| F1F2 ∶| PF2 4∶3∶2，所以设 PF1 4k，
| F1F2 | 3k，PF2 2k，k 0,
若圆锥曲线为椭圆，则2a PF1 PF2 6k,
2c
|
F1F2
|
3k，则离心率e
2c 2a
3k 6k
1； 2
当圆锥曲线为双曲线时，则2a PF1 PF2 2k,
c
)2
15c 2 .
M N 2
y1 y2
2
y12
y
2 2
2 y1 y2
y1 2 y2 2 2 y1 y2 4 y1 y2 60c 2 .
(当 且 仅 当 y1 y2 c或 y2 y1 c时 取 " ")
所 以 M N 2 15c 2 15， 于 是 c 1， 从 而 a 2， m in

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专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题练习理一、填空题1。

在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，错误!)且斜率为k的直线l与椭圆错误!＋y2＝1有两个不同的交点，则k的取值范围为________.解析由已知可得直线l的方程为y＝kx＋错误!,与椭圆的方程联立，整理得错误!x2＋2错误!kx＋1＝0，因为直线l与椭圆有两个不同的交点，所以Δ＝8k2－4错误!＝4k2－2＞0，解得k＜－错误!或k＞错误!，即k的取值范围为错误!∪错误!。

答案错误!∪错误!2.F1，F2是椭圆错误!＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则错误!·错误!的最大值是________。

解析设P（x,y)，依题意得点F1(－错误!，0)，F2（错误!，0)，错误!·错误!＝（－错误!－x）（3－x）＋y2＝x2＋y2－3＝错误!x2－2，注意到－2≤错误!x2－2≤1，因此错误!·错误!的最大值是1。

答案13。

已知椭圆错误!＋错误!＝1（0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若BF＋AF2的最大值为5，则b的值是________。