浙江杭州部分重点中学2007-2008学年第一学期高三期中考试试卷数学理科

浙江高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.合集，则集合M=" " （）A．{0，1，3}B．{1，3}C．{0，3}D．{2}2.已知复数z满足（i为虚数单位），则z= （）A．-1+3i B．-1-3i C．1+3i D．1-3i3.抛物线y＝－4x2的焦点坐标是 ()A．（0，-1）B．（-1，0）C．（0，）D．（，0）4.在△ABC中，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）6.已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若；②若；③如果相交；④若其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．③④D．①④7.已知变量满足约束条件若目标函数仅在点处取到最大值，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．8.设的展开式中含的一次项为则（）A．B．C．D．9.分别是双曲线的左、右焦点，是其右顶点，过作轴的垂线与双曲线的一个交点为，是的重心，且，则双曲线的离心率是（）A．2B．C．3D．10.已知函数存在区间，使得函数在区间上的值域为，则最小的值为( )A．36B．9C．4D．1二、填空题1.已知随机变量的分布列如下表所示，的期望，则a的值等于。

0123P2.已知数列是正项等比数列，若，，则数列的前n项和的最大值为．3.在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α＋cos2β＝1；类比到空间，在长方体中，一条对角线与从其一顶点出发的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则正确的式子是________．4.已知向量＝(2cosα，2sinα)，＝(2cosβ，2sinβ)，且直线2xcosα－2ysinα＋1＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝1相切，则向量与的夹角为________．5.设偶函数（的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形（其中K，L为图象与轴的交点，M为极小值点），∠KML=90°，KL＝，则的值为_______6.将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、清华和人大３所大学，若每所大学至少保送１人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有种（用数字作答）7.正实数及函数满足则的最小值为_____三、解答题1.(本题满分14分）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，，且（1）求的值；（2）若，求bc的最大值.2.（本小题满分14分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且a n ＋2S n S n －1＝0(n≥2)， (1)求数列{S n }的通项公式； (2)设S n ＝，b n ＝f()＋1.记P n ＝S 1S 2＋S 2S 3＋…＋S n S n ＋1，T n ＝b 1b 2＋b 2b 3＋…＋b n b n ＋1，试求T n ，并证明P n <.3.（本小题满分14分）如图，在底面是正方形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥面ABCD ， BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点． （1）求证：BD ⊥FG ；（2）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG//平面PBD ，并说明理由． （3）当二面角B —PC —D 的大小为时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值．4.（本小题满分15分）已知椭圆的左焦点是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线轴时，求的值；（2）求的值。

暨阳高级中学2007～2008学年第一学期高一年级期中考试数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟；命题人：缪蔚斌 校对人：倪伟华一、填空题：（共80分，每题5分）1．设集合{}{}{}2,1,0,1,2,1,2,2,1,2I A B =--==--，则I A C B = 。

2．已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩，则[(2)]f f -的值为 。

3．若()()1122132a a +<-，则实数a 的取值范围为 。

4．设3log 17a<，则实数a 的取值范围 。

5．已知函数()y f x =在定义域()1,1-上是单调减函数且(1)(21),f a f a -<-则实数a 的取值范围为 。

6．设()lg f x x =，若0a b c <<<且()()()f a f c f b >>，则下列关系①1ac a c +>+，②1a c a c +<+，③1a c a c +=+，④1ac <中正确的是 。

7．根据表格中的数据，可以判定方程e x-x-2=0的一个根所在的区间为 。

8．设:21f x x →-为从集合A 到B 的映射，其中{1,3,5},B =-写出一个符合题意的集合A = 。

9．函数()lg(2)1f x x x =+-的图象与x 轴交点的个数 。

10．函数33x y a -=+恒过定点 。

11．函数213()log (32)f x x x =-+-的单调递增区间为 。

12．已知3log 2,a =那么33log 82log 6-用a 表示为 。

13．某产品的总成本y 与产量x 的关系为23000200.1y x x =+-（()0,240x ∈），若每件产品的销售价为25，则企业不亏本的最低产量x 应为___________。

14.幂函数253(1)m y m m x --=--在(0,)x ∈+∞时为减函数，则m 的值为 .15．已知偶函数y= f (x )有四个零点，则方程f (x )=0的所有实数根之和为 。

2007-2008 学年度杭州市学军中学上学期高三年级期中考试地理试题注意：1本卷分卷I、卷n和答卷，满分值为100分，考试时间为90分钟。

2. 务必将卷I、卷n的答案都做在答卷上，做在试卷上无效。

第I卷一、选择题（每小题只有1个选项是符合题意的；1－15小题，每小题1分，16－30小题，每小题 2 分，共45 分）2007年10月24日18时05分，中国第一颗绕月探测卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心成功发射升空，预定于10 月31日变轨奔向月球。

“嫦娥一号”的成功发射标志着中国航天技术从低空探测迈向深空探测新阶段。

回答1－3 题。

1. “嫦娥一号”在升空过程中（）A .所穿越大气温度变化过程是：降-升-降B. 所穿越大气温度越来越低C. 在平流层穿越电离层D. 与空气的摩擦力越来越小2. 发射时间选择在夜间，主要是因为（）A .大气上层气温低，火箭、卫星飞行时不易被灼伤B. 隐蔽性好，符合国防安全需要C. 易于在意外情况发生时，充分保障工作人员的人身安全D. 地面的光学跟踪测量设备易于捕捉到跟踪目标3. “嫦娥一号”去月球，必须具有第一宇宙速度，才能克服地球引力，为了节省燃料并使火箭具有最大的推力，火箭发射应选择的地点与方向是①较高纬度②较低纬度③向东发射④向西发射（）A .①②B .②③C .①③D .③④乘上海—乌鲁木齐的航班会出这样的情况，来回乘同一架飞机，飞机的飞行时速、航线相同，但西行时整整5小时，而东行时只用4小时。

回答4—5 题。

4. 东行快于西C.高空气流所致 D .飞机负载所致行主要是由于（）B .两地时差所致A .地球自转所致C.高空气流所致 D .飞机负载所致5 •图示天气，由上海至乌鲁木齐航班可能被取消的是F 图阴影部分表示林地、 空白部分表示均质裸地。

若此时反映的是北半球中纬度某地区 的冬季情况。

回答 9—11题。

9. 图中甲、丙两处的风向分别是(A .西北风和东南风 B. 西风和东风 C. 东南风和西北风 D .西南风和东北风有一架飞机在当地时间7月1日5时从旭日东升的 A 机场起飞，沿纬线向东飞行,路上阳光普照，降落到 B 机场正值日落。

2007年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1. 已知集合M ={m|m =i n , n ∈N}，则下面属于M 的元素是（ ） A (1−i)+(1+i B (1−i)(1+i C1−i 1+iD (1−i)22. 已知函数f(x)=kcosx 的图象经过点P(π3, 1)，则函数图象在点P 的切线斜率等于（ ）A 1B √3C −√3D −13. 在(x2√x 3)8的展开式中的常数项是（ ）A 7B −7C 28D −284. 设P 为双曲线x 29−y 216=1上的一点且位在第一象限．若F 1、F 2为此双曲线的两个焦点，且且|PF 1|:|PF 2|=3:1，则△F 1PF 2的周长等于（ ） A 22 B 16 C 14 D 125. 已知a →、b →是非零向量且满足(a →−2b →)⊥a →，(b →−2a →)⊥b →，则a →与b →的夹角是（ ） A π6B π3C 2π3D 5π66. 如图，A ，B ，C 表示3种开关，设在某段时间内它们正常工作的概率是分别是0.9，0.8，0.7，如果系统中至少有1个开关能正常工作，那么该系统正常工作的概率是（ ）A 0.504B 0.496C 0.994D 0.067. 设l ，m ，n 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中正确的是（ ） A 当n // α时，“n // β”是“α // β”成立的充要条件 B 当m ⊂α且n 是l 在α内的射影时，“m ⊥n ，”是“l ⊥m”的必要不充分条件 C 当m ⊂α时，“m ⊥β”是“α⊥β”充分不必要条件 D 当m ⊂α，且n 不在α内时，“n // α”是“m // n”的既不充分也不必要条件 8. 函数f(x)={x 2+bx +c,x ≤0,2,x >0,若f(−4)=f(0)，f(−2)=−2，则关于x 的方程f(x)=x 的解的个数为( )A 1B 2C 3D 49. 有两个同心圆，在外圆周上有不重合的六个点，在内圆周上有不重合的三个点，由这九个点确定的直线最少有（ ）A 36条B 33条C 21条D 18条10. 在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点P ，一分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ =90∘，再过二分钟后，该物体位于R 点，且∠QOR =60∘，则tan 2∠OPQ 的值等于（ ） A 49 B 2√39C 427 D 以上均不正确二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11. 在直角坐标系xOy 中，设OB →=(−t, 2)，OC →=(−3, t)，则线段BC 中点M(x, y)的轨迹方程是________．12. 若ξ的分布列为：13. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m >1，a m−1+a m+1−a m 2=0，S 2m−1=78，则m =________．14. 设A ={x|2≤x ≤π, x ∈R}，定义在集合A 上的函数y =log a x(a >0且a ≠1)的最大值比最小值大1，则底数a 的值是________．15. 设n 为正整数，坐标平面上有一等腰三角形，它的三个顶点分别是(0, 2)、(1n, 0)、(−1n , 0)，设此三角形的外接圆直径长等于D n ，则lim n →∞D n=________． 16. 平面直角坐标系xOy 中，点P(x, y )满足条件：（|x|+|y|2−1 ） （|x|+|y|2−2 ） （|x|+|y|2−3 ）<0，则点P 所在区域的面积为________．17. 三棱锥S −ABC 中，∠SBA =∠SCA =90∘，△ABC 是斜边AB =a 的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB 与AC 所成的角为90∘； ②直线SB ⊥平面ABC ； ③面SBC ⊥面SAC ；④点C 到平面SAB 的距离是12a ．其中正确结论的序号是________．三、解答题（共5小题，满分72分）18. （1）请写出一个各项均为实数且公比0<q <1的等比数列，使得其同时满足a 1+a 6=11且a 3⋅a 4=329；（2）在符合（1）条件的数列中，能否找到一正偶数m ，使得a m ，a m 2，−19这三个数依次成等差数列？若能，求出这个m 的值； 若不能，请说明理由． 19. 设函数f(x)=2cosx (cosx +√3sinx)−1，x ∈R （1）求f(x) 最小正周期T ； （2）求 f(x) 单调递增区间；（3）设点P1(x1, y1)，P2(x2, y2)，…，P n(x n, y n) (n∈N∗)在函数f(x)的图象上，且满足条件：x1=π6，x n+1−x n=T2，求N n=y1+y2+...+y n的值．20. 已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为a的菱形，∠ABC=120∘，又PC⊥平面ABCD，PC=a，E是PA的中点．（1）求证：平面EBD⊥平面ABCD；（2）求直线PB与直线DE所成的角的余弦值；（3）设二面角A−BE−D的平面角为θ，求cosθ的值．21. 已知直线l:y=kx+k+1，抛物线C:y2=4x，定点M(1, 1)．（1）当直线l经过抛物线焦点F时，求点M关于直线l的对称点N的坐标，并判断点N是否在抛物线C上；（2）当k(k≠0)变化且直线l与抛物线C有公共点时，设点P(a, 1)关于直线l的对称点为Q(x0, y0)，求x0关于k的函数关系式x0=f(k)；若P与M重合时，求x0的取值范围．22. 已知函数f(x)=x+tx(t>0)和点P(1, 0)，过点P作曲线y=f(x)的两条切线PM、PN，切点分别为M、N．（1）设|MN|=g(t)，试求函数g(t)的表达式；（2）是否存在t，使得M、N与A(0, 1)三点共线．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）在（1）的条件下，若对任意的正整数n，在区间[2,n+64n]内总存在m+1个实数a1，a2，…，a m，a m+1，使得不等式g(a1)+g(a2)+...+g(a m)<g(a m+1)成立，求m的最大值．2007年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）答案1. C2. C3. A4. A5. B6. C7. C8. C9. C10. C11. 2x+2y+1=012. q，,pq13. 2014. π2或2π15. 2 16. 2417. ①②③④18. 解：（1）由条件可知a 1，a 6应该是方程x 2−11x +329=0的两个根，解得{a 1=13a 6=323或{a 1=323a 6=13，继而得到q =2或q =12， 所以符合条件的等比数列可以是a n =13⋅2n−1（公比q >1舍去）， 或a n =323⋅(12)n−1=13⋅26−n (n ∈N ∗)，符合条件（2）对于a n =323⋅(12)n−1=13⋅26−n (3)，由2a m 2=a m −19，解得m =6．19. 解：函数f(x)=2cosx (cosx +√3sinx)−1=√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6)(1)T =2π2=π．（2）由2kp −π2£2x +π6£2kp +π2，得：kp −π3£x £kp +π6(k ÎZ)， f(x)单调递增区间是[kp −π3, kp +π6](k ÎZ)． （3）∵ x 1=π6，x n+1−x n =T 2，∴ 当n 为奇数时P n 位于图象最高处，当n 为偶数时P n 位于图象最低处， ∴ 当n 为奇数时，N n =2， 当n 为偶数时，N n =0．20. 解：由PC ⊥平面ABCD ，所以以C 为原点，CA 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．∵ ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠ABC =120∘，PC =a ，E 是PA 的中点．所以C(0,0,0),A(0,√3a ，0)，B(−12a ，√32a ，0)，D(12a,√32a,0)，P(0, 0, a)，∵ E 是PA 的中点，∴ E(0,√32a ，12a)．（1）设AC 和BD 交于点Q ，则Q(0, √32a, 0)， ∴ QE →=（0, 0, 12a ,），CP →=2QE →，PC ⊥平面ABCD ，∴ QP ⊥平面ABCD ，平面EBD ⊥平面ABCD ；（2）∵ PB →⋅QE →=(−12a, √32a, −a)⋅（−12a, 0, 12a ,）=−14a 2，|PB →|=√2a ，|QE →|=√22a ， ∴ cos <PB →，QE →>=−14a 2√2×√22a 2=−14；故直线PB 与直线DE 所成的角的余弦值为14 -（3）设平面ABE 的法向量为p =(x, y, z)，可得p =(−√3, 1, √3)， 又AC ⊥BC ，得AC ⊥面BDE ，又CA →=(0, √3a, 0)， ∴ 取平面BDE 的法向量q =(0, √3, 0)， ∴ p ⋅q =√3，|p|=√7，|q|=√3， ∴ cosq =√77． 21. 解：（1）由焦点F(1, 0)在l 上，得k =−12，∴ l ：y =−12x +12 设点N(m, n)则有：{(n−1m−1)(−12)=−1m+12+2n+12=1， 解得{m =15n =−35，∴ N(15，−35) ∵ 45≠(−35)2， N 点不在抛物线C 上．（2）把直线方程x =yk −1k −1(k ≠0)代入抛物线方程得：ky 2−4y +4k +4=0， ∵ 相交，∴ △=16(−k 2−k +1)≥0， 解得−1−√52≤k ≤−1+√52且k ≠0. 由对称得{y 0−1x 0−a⋅k =−1y 0+12=k x 0+a 2+k +1解得x0=a(1−k2)−2k2k2+1(−1+√52≤k≤−1+√52，且k≠0)．当P与M重合时，a=1∴ f(k)=x0=1−3k2k2+1=−3+4k2+1(−1+√52≤k≤−1+√52，且k≠0)，∵ 函数x0=f(x)(k∈R)是偶函数，且k>0时单调递减．∴ 当k=−1−√52时，(x0)min=−5+2√55，lim k→0x0=1，x0∈[−5+2√55,1)22. 解：（1）设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，∵ f′(x)=1−tx2，∴ 切线PM的方程为：y−(x1+tx1)=(1−tx12)(x−x1)，又∵ 切线PM过点P(1, 0)，∴ 有0−(x1+tx1)=(1−tx12)(1−x1)，即x12+2tx1−t=0，①同理，由切线PN也过点P(1, 0)，得x22+2tx2−t=0．②由①、②，可得x1，x2是方程x2+2tx−t=0的两根，∴ {x1+x2=−2t⋅(∗)|MN|=√(x1−x2)2+(x1+tx1−x2−tx2)2=√[(x1+x2)2−4x1x2][1+(1−tx1x2)2]，把(∗)式代入，得|MN|=√20t2+20t，因此，函数g(t)的表达式为g(t)=√20t2+20t(t>0)．（2）当点M、N与A共线时，k MA=k NA，∴ x1+tx1−1x1−0=x2+tx2−1x2−0，即x12+t−x1x12=x22+t−x2x22，化简，得(x2−x1)[t(x2+x1)−x1x2]=0∵ x1≠x2，∴ t(x2+x1)=x2x1．③把(∗)式代入③，解得t=12．∴ 存在t，使得点M、N与A三点共线，且t=12．（3）知g(t)在区间[2,n+64n]上为增函数，∴ g(2)≤g(a i)≤g(n+64n)(i=1, 2,,m+1)，则m⋅g(2)≤g(a1)+g(a2)++g(a m)≤m⋅g(n+64n)．依题意，不等式m⋅g(2)<g(n+64n)对一切的正整数n恒成立，m√20⋅22+20⋅2<√20(n+64n )2+20(n+64n)，即m<√16[(n+64n)2+(n+64n)]对一切的正整数n恒成立．∵ n+64n ≥16，∴ √16[(n+64n)2+(n+64n)]≥√16[162+16]=√1363，∴ m<√1363．由于m为正整数，∴ m≤6．又当m=6时，存在a1=a2=a m=2，a m+1=16，对所有的n满足条件．因此，m的最大值为6．。