「精品」高三数学模拟试卷2

（1）试判断图（2）中直线 CD 与 AB 的位置关系，并说明理由；
（2）求平面 ADF 和平面 DEF 所成锐角二面角的余弦值．
19．（12 分）已知椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 ，斜率为 1 的直线与椭圆 C 交于 A ， B 两点，
43
2
点 P(1, 3) 在直线 l 的左上方． 2
-1-
魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问的一般解法： 如图 1，用对角线将长和宽分别为 b 和 a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分 成一个内接正方形（黄 ) 和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得 到如图 2 所示的矩形，该矩形长为 a b ，宽为内接正方形的边长 d ．由刘徽构造的图形可 以得到许多重要的结论，如图 3．设 D 为斜边 BC 的中点，作直角三角形 ABC 的内接正方形 对角线 AE ，过点 A 作 AF BC 于点 F ，则下列推理正确的是 ( )
故选： B ．
D． 2
2x y 4 0
3．（5
分）若实数
x
，
y
满足约束条件
x
y
4 0
，则 z 2x y 的最小值是 (
)
3x 2 y 3 0
A． 5
B． 4
C．7
D．16
-6-
【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分）， 由 z 2x y ，得 y 2x z ， 平移直线 y 2x z ，由图象可知当直线 y 2x z 经过点 A(0, 4) 时，直线 y 2x z 的截距
4 sin 9 sin
5
(
为参数）．以
坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为

高三数学模拟试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{}1Z x x x ≤∈，，B ＝{}02x x ≤≤，则A B ＝ ． 答案：{0，1} 考点：集合的运算 解析：∵A ＝{}1Z x x x ≤∈， ∴A ＝{﹣1，0，1} ∵B ＝{}02x x ≤≤ ∴A B ＝{0，1}2．已知复数z ＝(1＋2i)(a ＋i)，其中i 是虚数单位．若z 的实部与虛部相等，则实数a 的值为 ． 答案：﹣3 考点：复数的运算解析：z ＝(1＋2i)(a ＋i)＝a ﹣2＋(2a ＋1)i由z 的实部与虛部相等得：a ﹣2＝2a ＋1，解得a 的值为﹣3． 3．某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是 ． 答案：18考点：系统抽样方法解析：根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，已知其中三个个体的编号为5，31，44，故还有一个抽取的个体的编号为18．4．3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖，甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是 ． 答案：13考点：古典概型解析：甲、乙两人同时各抽取1张奖券共有6种不同的情况，其中两人都未抽得特等奖有2种情况，所以P ＝26＝13． 5．函数2()log (1)f x x x =+-的定义域为 ． 答案：[0，1) 考点：函数的定义域解析：由题意得：010x x ≥⎧⎨->⎩，解得0≤x ＜1，所以函数的定义域为[0，1)．6．下图是一个算法流程图，则输出的k 的值为 ．答案：3 考点：算法初步解析：n 取值由13→6→3→1，与之对应的k 为0→1→2→3，所以当n 取1时，k 是3．7．若正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为2，点P 为侧棱AA 1上任意一点，则四棱锥P —BCC 1B 1的体积为 ．43考点：棱锥的体积解析：由于AA 1∥平面BCC 1B 1，所以点P 到平面BCC 1B 1的距离就是点A 1到平面BCC 1B 13，所以V P —BCC1B1＝21233⨯43． 8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：3103y x x =-+上，且在第四象限内．已知曲线C 在点P 处的切线为2y x b =+，则实数b 的值为 ． 答案：﹣13 考点：函数的切线 解析：∵3103y x x =-+ ∴2310y x '=-∵曲线C 在点P 处的切线为2y x b =+ ∴23102x -= ∵P 在第四象限 ∴x ＝2，求得y ＝﹣9 ∴b ＝﹣9﹣2×2＝﹣139．已知函数()3)cos(2)f x x x ϕϕ=+-+(0＜ϕ＜π)是定义在R 上的奇函数，则()8f π-的值为 ．答案：考点：三角函数的图像与性质解析：())cos(2)=2sin(2)6f x x x x πϕϕϕ=+-++-∵()f x 是定义在R 上的奇函数∴6k πϕπ-=，k ∈Z ，由0＜ϕ＜π求得6πϕ=∴()2sin 2f x x =，则()2sin()84f ππ-=-=10．如果函数2()(2)2(8)1f x m x n x =-+-+(m ，n ∈R 且m ≥2，n ≥0)在区间[12，2]上单调递减，那么mn 的最大值为 ． 答案：18考点：二次函数的性质解析：当m ＝2时，()2(8)1f x n x =-+，要使()f x 在区间[12，2]上单调递减，则n＜8，此时mn ＝2n 无最大值，不符题意，舍去当m ＞2时，2()(2)2(8)1f x m x n x =-+-+是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝82n m --，要使()f x 在区间[12，2]上单调递减，则2≤82nm --，即0≤n ≤12﹣2m ，所以mn ≤m (12﹣2m )＝2m (6﹣m )≤262()2⨯＝18，当且仅当m ＝3取“＝”，所以mn 的最大值为18．11．已知椭圆2212x y +=与双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，其左、右焦点分别为F 1、F 2，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P ，且F 1P ＝F 1F 2，则双曲线的离心率为 ．考点：圆锥曲线的定义、性质解析：由题意得：F 1P ＝F 1F 2＝2，则PF 2＝2，所以2a ＝2﹣(2)＝4﹣，则a ＝2，所以e＝ca=＝2．12．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，5)，点B 是直线l ：12y x =上位于第一象限内的一点，已知以AB 为直径的圆被直线l所截得的弦长为B 的坐标为 ．答案：(6，3) 考点：直线与圆解析：设点B(0x ，012x )，则AB =求得点A 到直线l的距离为又因为弦长为所以AB＝，求得2004x x -- 120=，因为点B 位于第一象限，所以0x ＝6（负值已舍去），故点B 的坐标为(6，3)．13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，2221N 22Nn n n a n k k a a n k k *+*⎧+=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩，，，，，则满足2019≤m S ≤3000的正整数m 的所有取值为 ． 答案：20，21考点：等差数列、等比数列前n 项和 解析：当m 为奇数时，112221(1)2(21)12()222212m m m m m m S -+++-+=+=+--，显然mS 是单调递增的，又192019S <，2120193000S <<，233000S >，所以m 取21符合题意；当m 为偶数时，122224m m m S +=+-，又182019S <，2020193000S <<，223000S >，所以m 取20符合题意．综上所述，正整数m 的所有取值为20，21． 14．已知等边三角形ABC 的边长为2，AM 2MB =，点N 、T 分别为线段BC 、CA上的动点，则AB NT BC TM CA MN ⋅+⋅+⋅取值的集合为 ． 答案：{﹣6}考点：平面向量的坐标运算解析：建立如图所示的平面直角坐标系则A(03，B(﹣1，0)，C(1，0) 由AM 2MB =得M(23-3)，设N(n ，0)，直线AC 为：33y x =+T(t ，33t + 所以AB NT (1,3)(,33)23t n t t n ⋅=-⋅-+=+-， 224BC TM (2,0)(33)2333t t t ⋅=⋅--=--， 235CA MN (3)(,33n n ⋅=-⋅+=-- 则45AB NT BC TM CA MN=232633t n t n ⋅+⋅+⋅+-----=-．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵坐标是1010． （1）求cos(α﹣34π)的值； （2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为55-，求α＋β的值．解析：因为锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵坐标是1010，所以由任意角的三角函数的定义可知sin α＝1010.从而cos α＝1－sin 2α＝31010.(3分)(1) cos(α－3π4)＝cos αcos 3π4＋sin αsin 3π4＝31010×(－22)＋1010×22＝－55.(6分) (2) 因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是－55，所以cos β＝－55，从而sin β＝1－cos 2β＝255.(8分) 于是sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1010×(－55)＋31010×255＝22.(10分)因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(π2，3π2)，(12分)从而α＋β＝3π4.(14分)16．（本小题满分14分）如图，己知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝l ，M 是线段EF 的中点．（1）求证：AM ∥平面BDE ； （2）求证：AM ⊥平面BDF ．解析：证明：(1) 设AC ∩BD ＝O ，连结OE ， ∵ 四边形ACEF 是矩形，∴ EF ∥AC ，EF ＝AC. ∵ O 是正方形ABCD 对角线的交点，∴ O 是AC 的中点．又点M 是EF 的中点，∴ EM ∥AO ，EM ＝AO. ∴ 四边形AOEM 是平行四边形， ∴ AM ∥OE.(4分) ∵ OE平面BDE ，AM平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE.(7分)(2) ∵ 正方形ABCD ，∴ BD ⊥AC.∵ 平面ABCD ∩平面ACEF ＝AC ，平面ABCD ⊥平面ACEF ，BD平面ABCD ，∴ BD ⊥平面ACEF.(9分) ∵ AM平面ACEF ，∴ BD ⊥AM.(10分)∵ 正方形ABCD ，AD ＝2，∴ OA ＝1.由(1)可知点M ，O 分别是EF ，AC 的中点，且四边形ACEF 是矩形． ∵ AF ＝1，∴ 四边形AOMF 是正方形，(11分) ∴ AM ⊥OF.(12分)又AM ⊥BD ，且OF ∩BD ＝O ，OF 平面BDF ，BD平面BDF ，∴ AM ⊥平面BDF.(14分) 17．（本小题满分14分）某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O 为圆心的半圆及直径AB 围成．在此区域内原有一个以OA 为直径、C 为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ ，其中P 、Q 分別在半圆O 与半圆C 的圆弧上，且PQ 与半圆C 相切于点Q ．己知AB 长为40米，设∠BOP 为2θ．（上述图形均视作在同一平面内）（1）记四边形COPQ 的周长为()f θ，求()f θ的表达式； （2）要使改建成的展示区COPQ 的面积最大，求sin θ的值．解析：解：(1) 连结PC.由条件得θ∈(0，π2)．在△POC 中，OC ＝10，OP ＝20，∠POC ＝π－2θ，由余弦定理，得 PC 2＝OC 2＋OP 2－2OC ·OPcos(π－2θ)＝100(5＋4cos 2θ)．(2分)因为PQ与半圆C相切于点Q，所以CQ⊥PQ，所以PQ2＝PC2－CQ2＝400(1＋cos 2θ)，所以PQ＝202cos θ.(4分) 所以四边形COPQ的周长为f(θ)＝CO＋OP＋PQ＋QC＝40＋202cos θ，即f(θ)＝40＋202cos θ，θ∈(0，π2)．(7分)(没写定义域，扣2分)(2) 设四边形COPQ的面积为S(θ)，则S(θ)＝S△OCP＋S△QCP＝100(2cos θ＋2sin θcos θ)，θ∈(0，π2)．(10分)所以S′(θ)＝100(－2sin θ＋2cos2θ－2sin2θ)＝100(－4sin2θ－2sin θ＋2)，θ∈(0，π2)．(12分)令S′(t)＝0，得sin θ＝34－28.列表：答：要使改建成的展示区COPQ的面积最大，sin θ的值为34－28.(14分)18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点F 1，F 2与椭圆C 的上顶点构成边长为2的等边三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 与椭圆C 相切于点P ，且分别与直线x ＝﹣4和直线x ＝﹣1相交于点M 、N ．试判断11NF MF 是否为定值，并说明理由．解析：解：(1) 依题意，2c ＝a ＝2，所以c ＝1，b ＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2) ① 因为直线l 分别与直线x ＝－4和直线x ＝－1相交， 所以直线l 一定存在斜率．(6分) ② 设直线l ：y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0. 由Δ＝(8km)2－4×(4k 2＋3)×4(m 2－3)＝0， 得4k 2＋3－m 2＝0 ①.(8分)把x ＝－4代入y ＝kx ＋m ，得M(－4，－4k ＋m)， 把x ＝－1代入y ＝kx ＋m ，得N(－1，－k ＋m)，(10分) 所以NF 1＝|－k ＋m|，MF 1＝（－4＋1）2＋（－4k ＋m ）2＝9＋（－4k ＋m ）2 ②，(12分) 由①式，得3＝m 2－4k 2 ③，把③式代入②式，得MF 1＝4（k －m ）2＝2|－k ＋m|， ∴ NF 1MF 1＝|k －m|2|k －m|＝12，即NF 1MF 1为定值12.(16分) 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足(1)2122n n n a a a +⋅=(N n *∈)，数列{}n b 的前n 项和1()2n n n b b S +=(N n *∈)，且11b =，22b =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设111n n n n c a b b +=-⋅，记n T 是数列{}n c 的前n 项和，求正整数m ，使得对于任意的N n *∈均有m T ≥n T ．解析：解：(1) ① a 1＝21×22＝2；(2分)② 当n ≥2时，a n ＝a 1a 2·…·a n －1a na 1a 2·…·a n －1＝2n （n ＋1）22（n －1）n 2＝2n.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)．(4分) (2) 由S n ＝n （b 1＋b n ）2，得2S n ＝n(b 1＋b n ) ①，所以2S n －1＝(n －1)(b 1＋b n －1)(n ≥2) ②. 由②－①，得2b n ＝b 1＋nb n －(n －1)b n －1，n ≥2， 即b 1＋(n －2)b n －(n －1)b n －1＝0(n ≥2) ③， 所以b 1＋(n －3)b n －(n －2)b n －1＝0(n ≥3) ④.由④－③，得(n －2)b n －2(n －2)b n －1＋(n －2)b n －2＝0，n ≥3，(6分) 因为n ≥3，所以n －2>0，上式同除以(n －2)，得 b n －2b n －1＋b n －2＝0，n ≥3，即b n ＋1－b n ＝b n －b n －1＝…＝b 2－b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列， 故b n ＝n ，n ∈N *.(8分)(3) 因为c n ＝1a n －1b n ·b n ＋1＝12n －1n （n ＋1）＝1n （n ＋1）[n （n ＋1）2n－1]，(10分)所以c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，c 5<0. 记f(n)＝n （n ＋1）2n，当n ≥5时，f(n ＋1)－f(n)＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）2n＝－（n ＋1）（n －2）2n ＋1<0，所以当n ≥5时，数列{f(n)}为单调递减数列，当n ≥5时，f(n)<f(5)<5×625<1.从而，当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）[n （n ＋1）2n －1]<0.(14分)因此T 1<T 2<T 3<T 4，T 4>T 5>T 6>… 所以对任意的n ∈N *，T 4≥T n . 综上，m ＝4.(16分) (注：其他解法酌情给分) 20．（本小题满分16分）设a 为实数，已知函数()x f x axe =，()ln g x x x =+． （1）当a ＜0时，求函数()f x 的单调区间；（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx ≥+对任意的a ≥1及任意的x ＞0恒成立，求b 的取值范围；（3）若函数()()()h x f x g x=+(x＞0，x∈R)有两个相异的零点，求a的取值范围．解析：解：(1) 当a<0时，因为f′(x)＝a(x＋1)e x，当x<－1时，f′(x)>0；当x>－1时，f′(x)<0.所以函数f(x)单调减区间为(－∞，－1)，单调增区间为(－1，＋∞)．(2分)(2) 由f(x)≥2x2＋bx，得axe x≥2x2＋bx，由于x>0，所以ae x≥2x＋b对任意的a≥1及任意的x>0恒成立．由于e x>0，所以ae x≥e x，所以e x－2x≥b对任意的x>0恒成立．(4分)设φ(x)＝e x－2x，x>0，则φ′(x)＝e x－2，所以函数φ(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，所以φ(x)min＝φ(ln 2)＝2－2ln 2，所以b≤2－2ln 2.(6分)(3) 由h(x)＝axe x＋x＋ln x，得h′(x)＝a(x＋1)e x＋1＋1x＝（x＋1）（axe x＋1）x，其中x>0.①若a≥0时，则h′(x)>0，所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数h(x)至多有一个零零点，不合题意；(8分)②若a<0时，令h′(x)＝0，得xe x＝－1a>0.由第(2)小题知，当x>0时，φ(x)＝e x－2x≥2－2ln 2>0，所以e x>2x，所以xe x>2x2，所以当x>0时，函数xe x的值域为(0，＋∞)．所以存在x0>0，使得ax0ex0＋1＝0，即ax0ex0＝－1 ①，且当x<x0时，h′(x)>0，所以函数h(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减．因为函数有两个零点x 1，x 2，所以h(x)max ＝h(x 0)＝ax 0ex 0＋x 0＋ln x 0＝－1＋x 0＋ln x 0>0 ②.设φ(x)＝－1＋x ＋ln x ，x>0，则φ′(x)＝1＋1x >0，所以函数φ(x)在(0，＋∞)上单调递增．由于φ(1)＝0，所以当x>1时，φ(x)>0，所以②式中的x 0>1. 又由①式，得x 0ex 0＝－1a.由第(1)小题可知，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以－1a >e ，即a ∈(－1e ，0)．(11分)当a ∈(－1e，0)时，(i) 由于h(1e )＝ae 1ee ＋(1e －1)<0，所以h(1e)·h(x 0)<0.因为1e <1<x 0，且函数h(x)在(0，x 0)上单调递减，函数h(x)的图象在(0，x 0)上不间断，所以函数h(x)在(0，x 0)上恰有一个零点；(13分) (ii) 由于h(－1a )＝－e －1a －1a ＋ln(－1a )，令t ＝－1a >e ，设F(t)＝－e t ＋t ＋ln t ，t>e ，由于t>e 时，ln t<t ，e t>2t ，所以设F(t)<0，即h(－1a)<0.由①式，得当x 0>1时，－1a ＝x 0ex 0>x 0，且h(－1a )·h(x 0)<0，同理可得函数h(x)在(x 0，＋∞)上也恰有一个零点．综上，a ∈(－1e ，0)．(16分)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10－1，二阶矩阵B 满足AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001. (1) 求矩阵B ；(2) 求矩阵B 的特征值．解析：解：(1) 由题意，由矩阵的逆矩阵公式得B ＝A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10－1.(5分) (2) 矩阵B 的特征多项式f(λ)＝(λ＋1)(λ－1)，(7分) 令f(λ)＝0，解得λ＝1或－1，(9分) 所以矩阵B 的特征值为1或－1.(10分)B. (选修44：坐标系与参数方程)设a 为实数，在极坐标系中，已知圆ρ＝2asin θ(a>0)与直线ρcos(θ＋π4)＝1相切，求a 的值．解析：解：将圆ρ＝2asin θ化成普通方程为x 2＋y 2＝2ay ，整理得x 2＋(y －a)2＝a 2.(3分)将直线ρcos(θ＋π4)＝1化成普通方程为x －y －2＝0.(6分)因为相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|a ＋2|2＝a ，(9分)解得a ＝2＋ 2.(10分)C. (选修45：不等式选讲)求函数y ＝1－x ＋3x ＋2的最大值． 解析：解：因为(1－x ＋3x ＋2)2＝(3－3x ·13＋3x ＋2·1)2 ≤(3－3x ＋3x ＋2)(13＋1)＝203，(3分)所以y ＝1－x ＋3x ＋2≤2153.(5分)当且仅当3－3x 13＝3x ＋21，即x ＝712∈[－23，1]时等号成立．(8分)所以y 的最大值为2153.(10分)【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，点M 为PC 的中点．(1) 求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值；(2) 点N 在线段AD 上，且AN ＝λ，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，求λ的值．解析：解：(1) 因为PA ⊥平面ABCD ，且AB ，AD 平面ABCD ， 所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD.因为∠BAD ＝90°，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则由AD ＝2AB ＝2BC ＝4，PA ＝4，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．因为点M 为PC 的中点，所以M(1，1，2)． 所以BM →＝(－1，1，2)，AP →＝(0，0，4)，(2分)所以cos 〈AP →，BM →〉＝AP →·BM →|AP →||BM →|＝0×（－1）＋0×1＋4×24×6＝63，(4分)所以异面直线AP ，BM 所成角的余弦值为63.(5分)(2) 因为AN ＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN →＝(－1，λ－1，－2)，BC →＝(0，2，0)，PB →＝(2，0，－4)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则⎩⎨⎧m ·BC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －4z ＝0.令x ＝2，解得y ＝0，z ＝1，所以m ＝(2，0，1)是平面PBC 的一个法向量．(7分)因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，所以|cos 〈MN →，m 〉|＝|MN →·m ||MN →||m |＝|－2－2|5＋（λ－1）2·5＝45，解得λ＝1∈[0，4]，所以λ的值为1.(10分)23. 在平面直角坐标系xOy 中，有一个微型智能机器人(大小不计)只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进，且每一步只能行进1个单位长度，例如：该机器人在点(1，0)处时，下一步可行进到(2，0)、(0，0)、(1，1)、(1，－1)这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点O 出发、行进n 步后落在y 轴上的不同走法的种数为L(n)．(1) 求L(1)，L(2)，L(3)的值； (2) 求L(n)的表达式． 解析：解：(1) L(1)＝2，(1分) L(2)＝6，(2分) L(3)＝20.(3分)(2) 设m 为沿x 轴正方向走的步数(每一步长度为1)，则反方向也需要走m 步才能回到y 轴上，所以m ＝0，1，2，……，[n 2](其中[n 2]为不超过n2的最大整数)，总共走n步，首先任选m步沿x轴正方向走，再在剩下的n－m步中选m步沿x轴负方向走，最后剩下的每一步都有两种选择(向上或向下)，即C m n·C m n－m·2n －2m，高三期末数学试卷一、选择题（本题共12个小题）1．已知集合A＝{x|x（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x＜1}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）2．复数＝1﹣i，为z的共轭复数，则+i＝（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i3．甲、乙两名学生在之前五次物理测试中成绩的茎叶图，如图，（）①甲的平均成绩低，方差较大②甲的平均成绩低，方差较小③乙的平均成绩高，方差较大④乙的平均成绩高，方差较小A．①④B．②③C．①③D．③④4．已知双曲线中心为原点，焦点在x轴上，过点（，2），且渐近线方程为y ＝±2x，则该双曲线的方程为（）A．x2﹣＝1 B．x2﹣4y2＝2 C．x2﹣＝1 D．x2﹣2y2＝15．已知x，y满足不等式组，则z＝3x﹣2y的最小值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣26．若非零向量，满足||＝||，且（+）⊥（3﹣2），则与的夹角为（）A．B．C．D．7．如图所示的程序框图，若输入m＝10，则输出的S值为（）A．10 B．21 C．33 D．478．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）是奇函数，且x≥0时，f（x）＝2x+x+a，g（x）＝，若函数y＝g（x）+2x﹣b有2个零点，则b的取值范围是（）A．（1，2] B．[2，4）C．（﹣∞，4] D．[4，+∞）10．设O为坐标原点，M为圆（x﹣3）2+（y﹣1）2＝2的圆心，且圆上有一点C （x0，y0）满足•＝0，则＝（）A．1或﹣7 B．﹣1或7 C．或﹣1 D．1或﹣11．已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），x∈R，且f（α）＝﹣，f（β）＝．若|α﹣β|的最小值为，则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）C．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kx+]（k∈Z）12．已知∀x∈R有f（﹣x）+2f（x）＝（e x+2e﹣x）（x2﹣3），若函数f（x）在（m，m+1）上是增函数，则实数m的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2x+）6的展开式中，x3的系数为192，则a＝．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝则sin （A﹣）＝．15．已知三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且二面角P﹣AB﹣C的大小为120°，若三棱锥P﹣ABC的体积为，PA＝PB＝AC＝BC，则球O的表面积为．16．已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝2x的焦点，直线l：y＝m（2x﹣1）与抛物线C交于A，B两点，点A在第一象限，若|AF|＝2|BF|，则m的值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2a2﹣a4＝20，S3﹣2a1＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当n为何值时，数列{a n}的前n项和最大？18．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的菱形，且BC＝BD，DD1⊥平面ABCD，AA1＝1，BE⊥CD于点E，点F是A1B1中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BEC1；（Ⅱ）求平面ADF和平面BEC1所成锐二面角的余弦值．19．某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：等级一等品二等品三等品重量（g）[165，185] [155，165）[145，155）若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X，求x的分布列和数学期望．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2c，直线bx﹣y+a＝0过椭圆的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线bx﹣y+2c＝0与y轴交于点P，A，B是椭圆C上的两个动点，∠APB的平分线在y轴上，|PA|≠|PB|．试判断直线AB是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．设f（x）＝xlnx+ax2，a为常数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2且x l＜x2①求证：＜a＜0②求证：f（x2）＞f（x1）＞．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（，0）为一个顶点．直线l的参数方程是，（t为参数）．（Ⅰ）求椭圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C的交点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），求线段MN 的长度．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣2．（Ⅰ）解不等式|f（x）|＜4；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题（本题共12个小题）1．选：C．2．选：A．3．选：A．4．选：C．5．选：D．6．选：A．7．选：C．8．选：B．9．选：B．10．选：D．11．选：B．12．选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．答案为：1．14．答案为：15．答案为：16π．16．答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2a2﹣a4＝20，S3﹣2a1＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当n为何值时，数列{a n}的前n项和最大？【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，由2a2﹣a4＝20，S3﹣2a1＝8．利用通项公式可得2（a1+d）﹣（a1+3d）＝20，3a1+3d﹣2a1＝8，解出即可得出．（Ⅱ）令a n≥0，解得n．解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵2a2﹣a4＝20，S3﹣2a1＝8．∴2（a1+d）﹣（a1+3d）＝20，3a1+3d﹣2a1＝8，联立解得：a1＝17，d＝﹣3．∴a n＝17﹣3（n﹣1）＝20﹣3n．（Ⅱ）令a n＝20﹣3n≥0，解得n≤．∴当n＝6时，数列{a n}的前n项和最大．18．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的菱形，且BC＝BD，DD1⊥平面ABCD，AA1＝1，BE⊥CD于点E，点F是A1B1中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BEC1；（Ⅱ）求平面ADF和平面BEC1所成锐二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）根据边长与相应的倍数关系，构造平行四边形，即可证明线面平行；（Ⅱ）根据题给条件建立空间直角坐标系，得出相应点的坐标，即可求解．【解答】（Ⅰ）证明：因为BC＝BD，BE⊥CD，∴E是CD的中点，取AB中点G，连B1G，GE，则在菱形ABCD中，EG∥BC，EG＝BC，因为BC∥B1C1，BC＝B1C1，所以EG∥B1C1，EG＝B1C1，∴四边形B1C1EG为平行四边形，所以C1E∥B1G，又B1F∥GA，B1F＝GA，∴四边形B1GAF为平行四边形，∴AF∥B1G，所以AF∥C1E，又AF⊄平面BEC1，C1E⊂平面BEC1，∴AF∥平面BEC1．（Ⅱ）解：以D为原点，以DC，DG，DD1，分别为x，y，z建立如图所示的空间直角坐标系，因为已知该四棱柱为直四棱柱，BC＝BD，BC＝CD，所以三角形BCD为等边三角形，因为BE⊥CD，所以点E是CD的中点，故点，，，设平面ADF的法向量，，由，得，取y＝1，得，故，因为，所以，所以是平面BEC1的法向量，设平面ADF和平面BEC1所成锐角为θ，则，即平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值为．19．某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：等级一等品二等品三等品重量（g）[165，185] [155，165）[145，155）若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X，求x的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图先求出每条海鱼平均重量，由此能估计这批海鱼有多少条．（Ⅱ）从这批海鱼中随机抽取3条，[155，165）的频率为0.04×10＝0.4，则X～B（3，0.4），由此能求出X的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）由频率分布直方图得每条海鱼平均重量为：＝150×0.016×10+160×0.040×10+170×0.032×10+180×0.012×10＝164（g），∵经销商购进这批海鱼100千克，∴估计这批海鱼有：（100×1000）÷164≈610（条）．（Ⅱ）从这批海鱼中随机抽取3条，[155，165）的频率为0.04×10＝0.4，则X～B（3，0.4），P（X＝0）＝＝0.216，P（X＝1）＝＝0.432，P（X＝2）＝＝0.288，P（X＝3）＝＝0.064，∴X的分布列为：X 0 1 2 3P 0.216 0.432 0.288 0.064∴E（X）＝3×0.4＝1.2．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2c，直线bx﹣y+a＝0过椭圆的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线bx﹣y+2c＝0与y轴交于点P，A，B是椭圆C上的两个动点，∠APB的平分线在y轴上，|PA|≠|PB|．试判断直线AB是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【分析】（Ⅰ）因为直线bx﹣y+a＝0过椭圆的左焦点，故令y＝0，得x＝﹣＝﹣c，又因为离心率为，从而求出b＝2，又因为a2＝b2+c2，求出a 的值，从而求出椭圆C的标准方程；（Ⅱ）先求出点P的坐标，设直线AB的方程为y＝kx+m，联立方程组，利用根与系数的关系，设A（x1，y1），B（x2，y2），得到k1+k2＝，又因为∠APB的平分线在y轴上，所以k1+k2＝0，从而求出m的值，得到直线AB的方程为y＝kx+1过定点坐标．解：（Ⅰ）因为直线bx﹣y+a＝0过椭圆的左焦点，故令y＝0，得x＝﹣＝﹣c，∴＝＝，解得b＝2，又∵a2＝b2+c2＝b2+，解得a＝2，∴椭圆C的标准方程为：；（Ⅱ）由（Ⅰ）得c＝a＝2，∴直线bx﹣y+2c＝0的方程为2x﹣y+4＝0，令x＝0得，y＝4，即P（0，4），设直线AB的方程为y＝kx+m，联立方程组，消去y得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，则直线PA的斜率k1＝＝k+，则直线PB的斜率k2＝＝k+，所有k1+k2＝2k+＝2k+＝，∵∠APB的平分线在y轴上，∴k1+k2＝0，即＝0，又|PA|≠|PB|，∴k≠0，∴m＝1，∴直线AB的方程为y＝kx+1，过定点（0，1）．21．设f（x）＝xlnx+ax2，a为常数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2且x l＜x2①求证：＜a＜0②求证：f（x2）＞f（x1）＞．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式计算即可得到a＝1；（2）①由题意可得f′（x）＝0有两个不等的实根x1，x2，且0＜x1＜x2，设g（x）＝lnx+1+2ax，求出导数，对a讨论，分a≥0，a＜0，求出单调区间和极值，令极大值大于0，即可得到a的范围；②由上可知，f（x）在（x1，x2）递增，即有f（x2）＞f（x1），求出x1∈（0，1），设h（x）＝（xlnx﹣x），0＜x＜1，求出导数，判断单调性，运用单调性，即可得到所求范围．解：（1）f（x）＝xlnx+ax2的导数为f′（x）＝lnx+1+2ax，在x＝1处的切线斜率为k＝1+2a，切点为（1，a），在x＝1处的切线过点A（0，﹣2），则k＝1+2a＝a+2，解得a＝1；（2）证明：①由题意可得f′（x）＝0有两个不等的实根x1，x2，且0＜x1＜x2，设g（x）＝lnx+1+2ax，g′（x）＝+2a，x＞0．当a≥0，则g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，不合题意；当a＜0时，g′（x）＞0解得x＜﹣，g′（x）＜0解得x＞﹣，即有g（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减．即有g（﹣）＝ln（﹣）＞0，解得﹣＜a＜0；②由上可知，f（x）在（x1，x2）递增，即有f（x2）＞f（x1），f′（1）＝g（1）＝1+2a＞0，则x1∈（0，1），由①可得ax1＝，即有f（x1）＝x1lnx1+ax12＝（x1lnx1﹣x1），设h（x）＝（xlnx﹣x），0＜x＜1，h′（x）＝lnx＜0在（0，1）恒成立，故h（x）在（0，1）递减，故h（x）＞h（1）＝﹣，由此可得f（x1）＞﹣，综上可得，f（x2）＞f（x1）＞．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（，0）为一个顶点．直线l的参数方程是，（t为参数）．（Ⅰ）求椭圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C的交点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），求线段MN 的长度．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用及一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）椭圆C以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（，0）为一个顶点．所以c＝1，a＝，b＝1，所以椭圆的方程为，转换为极坐标方程为．（Ⅱ）直线l的参数方程是，（t为参数）．转换为直角坐标方程为2x+y ﹣2＝0．设交点M（x1，y1），N（x2，y2），所以，整理得9x2﹣16x+6＝0，所以，，所以|x1﹣x2|＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣2．（Ⅰ）解不等式|f（x）|＜4；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立，求实数t的取值范围．【分析】（Ⅰ）由绝对值不等式的解法，化简可得所求解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立，可得|x+3|﹣|x﹣1|≤﹣t2+4t+1恒成立，由绝对值不等式的性质可得不等式左边的最大值，运用二次不等式的解法，可得所求范围．解：（Ⅰ）函数f（x）＝|x+3|﹣2，不等式|f（x）|＜4即为﹣4＜f（x）＜4，即﹣4＜|x+3|﹣2＜4，即有﹣2＜|x+3|＜6，所以|x+3|＜6，即﹣6＜x+3＜6，可得﹣9＜x＜3，则原不等式的解集为（﹣9，3）；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立，可得|x+3|﹣|x﹣1|≤﹣t2+4t+1恒成立，由|x+3|﹣|x﹣1|≤|（x+3）﹣（x﹣1）|＝4，可得﹣t2+4t+1≥4，即t2﹣4t+3≤0，解得1≤t≤3．则实数t的取值范围是[1，3]．高三复习阶段性测评（三）数学（理）一、单选题1．设集合{0,1,2}U =,{1,2}A =,{}2|40B x x =-=,则()U A B =（ ）A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{0,1,2}【答案】C【解析】先化简集合B ,根据交集和补集定义,即可求得()U A B . 【详解】∵{}2|40B x x =-=,化简可得{2,2}B =-∴{2}A B =， ∴(){0,1}U A B ⋂=， 故选:C. 【点睛】本题考查了集合的交集和补集运算,在集合运算比较复杂时,可以使用韦恩图辅助分析问题. 2．函数()f x x=-的定义域为（ ） A ．[0,)+∞ B ．(0,)+∞ C ．R D ．{|0}x x ≠【答案】B【解析】根据二次根式下表达式非负和分数分母不为零,即可求得()f x 的定义域. 【详解】 因为()f x x=- 根据二次根式下表达式非负和分数分母不为零∴ 0x >故选:B. 【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解,其中解答中熟记函数的定义域的概念,以及根据函数的解析式有意义进行求解,属于基础题. 3．命题“0(0,)x ∃∈+∞,001lg x x =”的否命题是（ ） A ．(0,)x ∀∉+∞,1lg x x =B ．(0,)x ∀∈+∞,1lg x x ≠C ．0(0,)x ∃∈+∞,001lg x x ≠ D ．0(0,)x ∃∉+∞,001lg x x =【答案】B【解析】根据p 为原命题条件,q 为原命题结论,则否命题:若非p 则非q ,即可求得答案. 【详解】根据p 为原命题条件,q 为原命题结论,则否命题:若非p 则非q 结合,存在性命题的否定是全称命题∴ 命题“0(0,)x ∃∈+∞,001lg x x =”的否命题是:(0,)x ∀∈+∞,1lg x x≠ 故选:B. 【点睛】本题考查了否命题,解题关键是理解否命题的定义,属于基础题. 4．下列函数中,既是奇函数又在(0,1)上单调递增的是（ ） A ．()x f x e x =+ B ．1()f x x x=- C ．()ln ||f x x x =-- D ．()sin f x x x =+【答案】D【解析】根据奇函数满足()()f x f x -=-,且定义域关于原点对称.逐个选项判断其奇偶性和单调性即可得出答案. 【详解】对于A, ()x f x e x =+,故()x f x e x --=-,∴ ()()f x f x -≠-,可得()f x 不是奇函数,故A 不符合题意;对于B,1()f x x x =-,故1()f x x x-=-+ ∴ ()()f x f x -=-,可得()f x 是奇函数,又1()f x xx=-,()f x 在(0,1)是减函数,故B 不符合题意; 对于C, ()ln ||f x x x =--,故()ln ||f x x x -=-+∴ ()()f x f x -≠-,可得()f x 不是奇函数,故C 不符合题意;对于D,()sin f x x x =+,故()()sin sin f x x x x x -=--=--∴ ()()f x f x -=-,可得()f x 是奇函数,又()f x 在(0,1)是增函数,故D 符合题意故选:D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性,熟练掌握函数单调性,奇偶性的定义是解题的关键,属于基础题.5．已知向量(1,0)a =,11,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭则下列结论正确的是（ ） A ．||||a b = B ．14a b ⋅=C ．a bD ．()0a b b -⋅=【答案】D【解析】根据平面向量共线和平面向量数量积的坐标表示,逐一判断即可得到答案. 【详解】对于A,2||=1||=2a b ，，故||||a b ≠,故A 错误; 对于B,11(1,0),221=2a b ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭⋅,故B 错误;对于C,(1,0)a =,11,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,不存在实数λ使:a b λ=⋅,所以a 不平行于b ,故C 错误; 对于D,()211022a b b a b b -⋅=⋅-=-=,故D 正确.故选:D. 【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算.考查了平面向量共线的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示,熟练掌握向量的基本知识是解本题关键,属于基础题.6．在各项均为正数的数列{}n a 中,12a =,2211230n n n n a a a a ++--=,n S 为{}n a 的前n 项和,若242n S =,则n =（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】A【解析】由2211230n n n n a a a a ++--=,化简可得()()1130n n n n a a a a ++-+=,得13n n a a +=或1n n a a +=-,因为各项均为正数,故13n n a a +=符合题意,1n n a a +=-不符题意舍去,所以数列{}n a 为首项为2,公比为3的等比数列,根据等比数列前n 项和公式即可求得答案. 【详解】2211230n n n n a a a a ++--=,得()()1130n n n n a a a a ++-+=，∴ 13n n a a +=或1n n a a +=-，又各项均为正数,故13n n a a +=符合题意,1n n a a +=-不符题意舍去.12a =,13n n a a +=,所以数列{}n a 为首项为2,公比为3的等比数列则()21324213n n S -==-，解得5n =，故选:A. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的前n 项和公式的应用.解题关键是掌握等比数列前n 项和公式,考查了计算能力,属于中档题 7．“23k παπ=+,k Z ∈”是“22cos cos 10αα+-=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】当23k παπ=+,k Z ∈时,能推出22cos cos 10αα+-=. 故“23k παπ=+,k Z ∈”是“22cos cos 10αα+-=”充分条件 而22cos cos 10αα+-=时,可得1cos 2α=或cos 1α=- ∴ 22cos cos 10αα+-=,不能推出23k παπ=+,k Z ∈故“23k παπ=+,k Z ∈”不是“22cos cos 10αα+-=”必要条件 综上所述, “23k παπ=+,k Z ∈”是“22cos cos 10αα+-=”的充分不必要条件故选:A. 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题.8．已知实数x ,y 满足1122xy⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则下列结论一定成立的是（ ）A ．cos cos x y <B ．221111x y <++C ．()()22ln 2ln 2x y +<+D ．33x y <【答案】D【解析】根据指数函数单调可知,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数,根据1122x y⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,可得x y <,逐项判断即可求得答案. 【详解】根据指数函数单调可知12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数∴ 由1122xy⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,可得x y < 对于A,令cos y x =,根据余弦函数图像可知,当x y <时,cos cos x y <不一定成立,故A 错误.对于B,因为x y <,可取0x =,1y =,此时2111x =+,21112y =+,得221111x y >++,故B 错误.对于C,因为x y <,可取2x =-,1y =,此时()2ln 2ln 6x +=,()2ln 2ln3y +=,得()()22ln 2ln 2x y +>+,故C 错误.对于D,因为3y x =是增函数,当x y <,可得33x y <,故D 正确. 故选:D. 【点睛】本小题主要考查了不等式的性质和指数函数的单调性,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.9．已知函数21()cos cos()2f x x x x π=++-，则函数()f x 的一个单调递减区间是（ ）。

5.若定义在 上的函数 满足：对任意 有 则下列说法一定正确的是
A. 为奇函数B. 为偶函数C. 为奇函数D. 为偶函数
【答案】C
【解析】
【详解】x1=x2=0，则 ， ，
令x1=x，x2=-x，
则 ，
所以 ，
即 ， 为奇函数，故选C.
6.在 中，“ ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
【答案】C
【解析】
因为向量 ，且a∥b,
∴ .
本题选择C选项.
3.已知 ，且 ，那么
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用同角三角函数基本关系求出结果．
【详解】因为 ， >0，故
即 ，
又 ，
解得：
故选：B
【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数基本关系,主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
【详解】作函数 ， ， ， 的大致图象，如图所示，由三个等式可知，三个交点的横坐标从左向右依次为 、 、 ，所以 ．
故选A．
【点睛】本题考查方程根的大小比较，利用数形结合思想转化为函数交点横坐标的大小关系是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
8.设函数 =sin（ ）( ＞0)，已知 在 有且仅有5个零点，下述四个结论：
10.已知函数 ，若将其图象向右平移 个单位长度后所得 图象关于原点对称，则 的最小值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数 的解析式化简为 ，并求出平移后的函数解析式，利用所得函数图象过原点，求出 的表达式，即可得出正数 的最小值.
【详解】 ，
将其图象向右平移 个单位长度后所得的图象的函数解析式为 ，

高三数学（理科）模拟试卷及答案3套模拟试卷一一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|2,}xA y y x ==∈R ，{|lg(2)}B x y x ==-，则A B =I （ ） A ．(0,2)B ．(,2]-∞C ．(,2)-∞D ．(0,2]2．若复数z 满足(i 1)2i z -=（i 为虚数单位），则z 为（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3．AQI 即空气质量指数，AQI 越小，表明空气质量越好，当AQI 不大于100时称空气质量为“优良”，如图是某市3月1日到12日AQI 的统计数据，则下列叙述正确的是（ ）A ．这12天的AQI 的中位数是90B ．12天中超过7天空气质量为“优良”C ．从3月4日到9日，空气质量越来越好D ．这12天的AQI 的平均值为1004．已知平面向量(2,3)=a ，(,4)x =b ，若()⊥-a a b ，则x =（ ） A ．1B ．12C ．2D ．35．某围棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加围棋比赛，则选出的2人中有女队员的概率为（ ） A ．103 B ．35C ．45D ．7106．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若m α⊥，n α⊥，则m n ∥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m α∥，m n ⊥，则n α⊥7．函数π()3sin(2)(||)2f x x ϕϕ=+<的图象向左平移π6个单位长度后，所得到的图象 关于原点对称，则ϕ等于（ ） A ．π6B ．π6-C ．π3D ．π3-8．下图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为（ ）A ．662π+B ．664π+C ．662π-D ．664π-9．函数2()ln(1)f x x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折叠，使点B 与点C 3， 则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ） A ．6πB ．7πC ．8πD ．9π11．有如下命题：①函数sin y x =与y x =的图象恰有三个交点；②函数sin y x =与y x =一个交点；③函数sin y x =与2y x =的图象恰有两个交点；④函数sin y x =与3y x =的图象恰有三个交点，其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．若函数2(1)()f x x x ax b =-++（）的图象关于点(2,0)-对称，1x ，2x 分别是()f x 的 极大值点与极小值点，则21x x -=（ ） A ．3- B ．23C ．23-D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在ABC △中，若13AB =，3BC =，120C ∠=︒，则AC =_____．14．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ⋅=u u u r u u u r_____．15．在4(1)x x ++的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）． 16．定义在正实数上的函数(){{}}f x x x =⋅，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{0.2}1=，{1.6}2=，当(0,]x n ∈，n ∈*N 时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则n a =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）如图，在平面四边形ABCD 中，23AB =，2AC =，90ADC CAB ∠=∠=︒，设DAC θ∠=． （1）若60θ=︒，求BD 的长度； （2）若30ADB ∠=︒，求tan θ．18．（12分）为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取4000名考生的成绩，频率分布直方图如下图所示．（1）求这4000名考生的平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点值作代表）；（2）由直方图可认为考生考试成绩z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么抽取的4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？ （3）如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤．（精确到0.001）附：①2204.75s =，204.7514.31≈；②2~(,)z N μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501≈．19．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，111160B A A C A A ∠=∠=︒，14AA AC ==，2AB =，P ，Q 分别为棱1AA ，AC 的中点．（1）在BC 上确定点M ，使AM ∥平面1PQB ，并说明理由； （2）若侧面11ACC A ⊥侧面11ABB A ，求直线11C A 与平面1PQB 所成角的正弦值．20．（12分）已知两直线方程1:l y x =与2:2l y x =-，点A 在1l 上运动，点B 在2l 上运动，且线段AB 的长为定值．（1）求线段AB 的中点C 的轨迹方程；（2）设直线:l y kx m =+与点C 的轨迹相交于M ，N 两点，O 为坐标原点， 若54OM ON k k ⋅=，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．21．（12分）已知函数2(1)211()()22x f x e x e f x -'=-+⋅． （1）求()f x 的单调区间；（2）若存在1x ，212()x x x <，使得12()()1f x f x +=，求证：122x x +<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），直线2C 的方程为y x =，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若直线2C 与曲线1C 交于P ，Q 两点，求||||OP OQ ⋅的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|||22|(0)f x x m x m m =--+>． （1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）若x ∀∈R ，t ∃∈R ，使得()|1||1|f x t t +-<+，求实数m 的取值范围．答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】B10．【答案】B11．【答案】C12．【答案】C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】114．【答案】215．【答案】1916．【答案】(1)2n n+三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）19；（2）233．【解析】（1）由题意可知，1AD=，在ABD△中，150DAB∠=︒，23AB=，1AD=，由余弦定理可知，2223(23)12231()19BD=+-⨯⨯⨯-=，19BD=．（2）由题意可知，2cosADθ=，60ABDθ∠=︒-，在ABD△中，由正弦定理可知，sin sinAD ABABD ADB=∠∠，∴2cos43sin(60)θθ=-，∴2tan33θ=．18．【答案】（1）70.5x=分；（2）约635人；（3）0.499．【解析】（1）由题意知：∴450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴4000名考生的竞赛平均成绩x为70.5分．（2）依题意z服从正态分布2(,)Nμσ，其中70.5xμ==，2204.75Dσξ==，14.31σ≈，∴z服从正态分布22(,)(70.5,14.31)N Nμσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P zμσμσ-<<+=<<=，∴10.6826(84.81)0.15872P z -≥==． ∴竞赛成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计为0.158********.8⨯=人635≈人． （3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=．而(4,0.8413)B ξ~，∴444(3)1(4)1C 0.841310.5010.499P P ξξ≤=-==-⋅≈-=．19．【答案】（1）详见解析；（2． 【解析】（1）取1BB 中点E ，连结AE ，BQ ，在1BB Q △中，取H 为BQ 中点，连接,EH AH ，则1EH B Q ∥， 延长AH 与BC 交于点M ，则M 即为所求点，11ABB A 为平行四边形，点E ，P 为中点，则1AE PB ∥，由线面平行的判定定理可得AE ∥平面1PQB ， 同理可得，EH ∥平面1PQB ， 又AE EH E =I ，111B P B Q B =I ，据此可得平面AME ∥平面1PQB ，故AM ∥平面1PQB ． （2）作QO ⊥平面11ABB A ，与1A A 延长线交于O ，则1AO =，QO =1OB ==1QB =，∵12B P =，PQ =1cos QPB ∠==，∴1sin QPB ∠=，∴112242PQB S ⨯==⨯△．作11PN C A ∥，则直线11AC 与平面1PQB 所成角即直线PN 与平面1PQB 所成角，∵142PQN S =⨯=△1123B PQN V -=⨯=．设N 到平面1PQB 的距离为h ，则1232h ⨯=，∴h =，∴直线11A C 与平面1PQB 所成角的正弦值为39413h =．20．【答案】（1）2214x y +=；（2）214[0,7． 【解析】（1）∵点A 在12:2l y x =上运动，点B 在22:2l y x =-上运动， ∴设112()A x x ，222(,)B x x ， 线段AB 的中点(,)C x y ，则有122x x x +=，1222222x x y =，∴122x x x +=，1222x x -=， ∵线段AB 的长为定值2222121222()()822x x x x -++=， 即22(22)2)8x +=，化简得2214x y +=， ∴线段AB 的中点C 的轨迹方程为2214x y +=． （2）设33(,)M x y ，44(,)N x y ，联立2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(41)8440k x kmx m +++-=，222(8)4(41)(44)0Δkm k m =-+->，化简得2241m k <+①，则342841kmx x k +=-+，23424441m x x k -=+， 2234343434()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，若54OM ON k k ⋅=，则343454y y x x =，即343445y y x x =，所以2234343444()45k x x km x x m x x +++=，即22222448(45)4()404141m km k km m k k --+-+=++，化简得2254m k +=②， 由①②得2605m ≤<，215204k <≤， 因为O 到直线l的距离d =，所以2222225941114(1)km d k k k -===-++++， 又因为215204k <≤，所以2807d ≤<， 所以O 到直线l的距离的取值范围是[0,7． 21．【答案】（1）函数()f x 在R 上单调递增；（2）证明见解析． 【解析】（1）2(1)1()2()2x f x e x e f -''=-+⋅， 令12x =，则111()1()22f e f e ''=-+⋅，解得11()2f e'=，∴2(1)()21x f x ex -'=-+， 令2(1)()21x h x ex -=-+，2(1)11()222(1)(1)x x x h x e e e ---'=-=+-，∴1x =时，函数()f x '取得极小值即最小值，∴()(1)0f x f ''≥=， ∴函数()f x 在R 上单调递增． （2）由（1）可得：函数2(1)21()2x f x e x x -=-+在R 上单调递增． 要证明：12121222()(2)x x x x f x f x +<⇔<-⇔<-，又12()()1f x f x +=，因此1222()(2)1()(2)f x f x f x f x <-⇔-<-，即22()(2)10f x f x +-->，11(1)1122f =-+=，则121x x <<， 令2(1)22(1)211()(2)()1(2)2122x x g x f x f x e x x e x x --=-+-=--+-+-+-2(1)2(1)21124322x x e e x x --=+-+-， 1x >，(1)0g =，2(1)2(1)()44x x g x e e x --'=-+-+，令2(1)2(1)()44x x x ee x ϕ--'=-+-+，2(1)2(1)()2240x x x e e ϕ--'=+-≥，∴()g x '在(1,)+∞上单调递增．∴()(1)0g x g ''>=，∴函数()g x 在(1,)+∞上单调递增． ∴()(1)0g x g >=，因此结论122x x +<成立．22．【答案】（1）2cos 4sin 30ρθρθ--+=；（2）3． 【解析】（1）曲线1C的普通方程为22((2)4x y +-=， 则1C的极坐标方程为2cos 4sin 30ρθρθ--+=．（2）设1(,)P ρθ，2(,)Q ρθ， 将π6θ=代入2cos 4sin 30ρθρθ--+=，得2530ρρ-+=， 所以123ρρ=，所以||||3OP OQ ⋅=． 23．【答案】（1）2[2,]3--；（2）01m <<．【解析】（1）当1m =时，1|1||22|131x x x x ≤-⎧--+≥⇔⎨+≥⎩或11311x x -<<⎧⎨--≥⎩或131x x ≥⎧⎨--≥⎩，解得223x -≤≤-，所以原不等式的解集为2[2,]3--． （2）()|1||1|()|1||1|f x t t f x t t +-<+⇔<+--对任意x ∈R 恒成立，对实数t 有解．∵3,()3,3,x m x m f x x m m x m x m x m +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩，根据分段函数的单调性可知：x m =-时，()f x 取得最大值()2f m m -=， ∵||1||1|||(1)(1)|2t t t t +--≤+--=，∴2|1||1|2t t -≤+--≤，即|1||1|t t +--的最大值为2， 所以问题转化为22m <，解得01m <<．模拟试卷二考试时量：120分钟 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合{}{}22|log (2),|320A x y x B x x x ==-=-+<，则A C B =A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞2. 设i 为虚数单位，若()2a iz a R i-=∈+是纯虚数，则a = A ．12 B ． 12- C ．1 D ．1- 3. 已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是A ．该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B ．该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2019年1~6月份的总收益低于2019年7~12月份的总收益D ．该超市2019年7~12月份的总收益比2019年1~6月份的总收益增长了90万元 4．已知3sin()32πα-=2020cos()3πα+= A 23．23．12D ．12-5. 已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln x e x -=，则A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<6. 函数2()1sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是A B C D7.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米，……所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为A ．410190-米B ．5101900-米C ．510990-米D ．4109900-米8.已知函数()2sin()(0,0),()2,()082f x x f f ππωϕωϕπ=+><<==，且()f x 在(0,)π上单调.则下列说法正确的是 A ．12ω=B ．62()82f π-= C ．函数()f x 在[,]2ππ--上单调递增 D ．函数()f x 的图象关于点3(,0)4π对称 9.在AOB ∆中，OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，，满足||2a b a b ⋅=-=r r r r，则AOB ∆的面积的最大值为3 B. 2C. 232210．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，12,F F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点，若点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则C 的离心率是 A 2 B 3．2 D ．311. 在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为1AD ，1B C 上的动点，且满足1AP B Q =，则下列4个命题中： ①存在P ，Q某一位置，使AB PQ ∥； ②BPQ V 的面积为定值；③当0PA >时，直线1PB 与直线AQ 一定异面；④无论P ，Q 运动到何位置，均有BC PQ ⊥. 其中所有正确命题的序号是A. ①②④B. ①③④C. ①③D. ②④12．若函数12()2log (0)x x f x ex a a -=+->在区间(0,2)内有两个不同的零点，则实数a的取值范围是A. 22)e B. (0,2]C. 222)e + D. 3424(2,2)e +二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中的横线上） 13．若25(ax 的展开式中5x 的系数为80-，则实数a =__ __． 14．在菱形ABCD 中，060DAB ∠=，将这个菱形沿对角线BD 折起，使得平面DAB ⊥平 面BDC ，若此时三棱锥A BCD -的外接球的表面积为5π，则AB 的长为 ． 15.已知数列{}n a 满足11a =，135n n a a n ++=+，*n N ∈，则(1)21n a -= ， (2)2111(1)i i ni i a a +=+-=∑ .16．如图，衡阳市有相交于点O 的一条东西走向的公路l 与一条南北走向的公路m ，有一商城A 的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位:千米). 根据市民建议，欲新建一条公路PQ ，点,P Q 分别在公路,l m 上，且要求PQ 与椭圆形商城A 相切，当公路PQ 长最短时，OQ 的长为________千米.Q三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （一）必考题：60分．17．(本小题满分12分) 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a+=． （1）求角B 的值；（2）若△ABC 的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．18．(本小题满分12分) 已知正方形ABCD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，使△ACD 为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C 的大小为(0)θθπ<<.（1）证明：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上； （2）求角θ的正弦值.EE19．(本小题满分12分) 如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴12A A 长为4，过椭圆的右焦点为F 作斜率为(0)k k ¹的直线交椭圆于B ，C 两点，直线12,BA BA 的斜率之积为34-.1）求椭圆C 的方程；2）已知直线:4l x =，直线11,A B A C 分别与l 相交于,N 两点，设E 为线段MN 的中点，求证：BC EF ^20．(本小题满分12分)已知函数()e sin )(2()2xf x x a R ax π=--∈+．（1）当1a =时，求函数()f x 在区间[,]ππ-上的值域； （2）对于任意120x x π<<<，都有2121()()22x x f x f x a e e π->---，求实数a 的取值范围.21. (本小题满分12分) 随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x =1”表示2015年，“x =2”表示2016年，依次类推；y 表示人数)：(1)300万人； (2)该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。