高考数学 §4.4 函数y =A sin(ωx +φ)的图象及三角函数模型的简单应用一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2009·山东文，3)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得 图象的函数解析式是 ( )A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x 解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x ＝2cos 2x .答案 A2．(2010·泉州模拟)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是 ( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin 4xD ．f (x )＝cos 4x解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4→y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 →y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin x . 答案 A3．(2010·莱芜一模)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2， 直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋m ＝4，－A ＋m ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，m ＝2. ∵T ＝π2，∴ω＝2πT＝4.∴y ＝2sin(4x ＋φ)＋2. ∵x ＝π3是其对称轴，∴sin ⎝⎛⎭⎫4×π3＋φ＝±1. ∴4π3＋φ＝π2＋k π (k ∈Z )． ∴φ＝k π－5π6 (k ∈Z )．当k ＝1时，φ＝π6. 答案 D4．(2009·全国Ⅱ文，9)若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为 ( ) A.16 B.14 C.13 D.12解析 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4向右平移π6后得到 解析y ＝tan ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π6＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋π4.又因为y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，∴令π4－ωπ6＝π6＋k π，∴π12＝ωπ6＋k π(k ∈Z )，由ω>0得ω的最小值为12. 答案 D5．(2009·杭州一模)电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I =A sin(ωt +φ)(A >0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示， 则当t =1001秒时，电流强度是 ( ) A ．－5安 B ．5安 C ．53安 D ．10安解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100， ∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)． ⎝⎛⎭⎫1300，10为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6， 当t ＝1100秒时，I ＝－5安． 答案 A6．(2009·天津理，7)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度 B ．向右平移π8个单位长度 C ．向左平移π4个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度 解析 因为T ＝π，则ω＝2πT＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， g (x )＝cos 2x ，将y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位长度时，y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝ cos 2x .答案 A二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2009·江苏，4)函数y =A sin(ωx +φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间上的图象如图所示，则ω=.解析 由函数y =A sin(ωx +φ)的图象可知：.π32,3ππ)32()3π(2=∴=---=T T .3π,32π2=∴==ωωT Θ 答案 38．(2008·全国Ⅱ改编)若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________．解析 设x ＝a 与f (x )＝sin x 的交点为M (a ，y 1)，x ＝a 与g (x )＝cos x 的交点为N (a ，y 2)，则|MN |＝|y 1－y 2|＝|sin a －cos a | ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫a －π4≤ 2. 答案 2 9．(2009·云浮期末)若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为 ________．解析 ∵f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4T T上递增，故,4,43π2,3π2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡-T T即4T≥3π2.∴ω≤43.∴ωmax =43.答案 4T三、解答题(共40分)10．(13分)(2009·周口调研)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+b (ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示：(1)求f (x )的表达式；(2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)由图象可知，函数的最大值M =3，最小值m =-1，则A =,1213,22)1(3=-==--b ，又π)6π32(2=-=πT ，∴2ππ2π2===T ω，∴f (x )=2sin(2x +φ)+1，将x =6π，y =3代入上式，得1)3π(=+ϕ，∴π22π3πk +=+ϕ，k ∈Z ，即φ=6π+2k π，k ∈Z ，∴φ=6π，∴f (x )=2sin )6π2(+x +1.(2)由2x +6π=2π+k π，得x =6π+21k π，k ∈Z ，∴f (x )=2sin )6π2(+x +1的对称轴方程为216π+=x k π，k ∈Z.11．(13分)(2009·合肥联考)函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．解 (1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT＝2， 将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度， 得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2×π12＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6 ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12. 由22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝32. ∵0<x <π，∴－π12<2x －π12<2π－π12. ∴2x －π12＝π3或2x －π12＝2π3， ∴x ＝524π或x ＝38π， ∴所求交点坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，6或⎝⎛⎭⎫3π8，6. 12．(14分)(2009·金华模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值． 解 (1)由图象知A ＝2，T ＝8，∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4. 又图象过点(－1,0)，∴2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝0. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＋π4 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＝22cos π4x . ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23，∴－3π2≤π4x ≤－π6. ∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6； 当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2.。
