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有理数的乘除与乘方一、课堂目标1．理解有理数的乘除运算法则，会用法则及运算律进行计算．2．理解有理数乘方的概念，会结合有理数的四则运算法则进行混合运算．二、知识引入小学我们学过正数和0之间的四则运算，比如我们会计算 、、、、、 等等这样的算式；进入初中，正负数的引入导致了数系的扩充、因此初中的计算要分为两部分——符号与绝对值——进行讨论，所有的运算都要先定符号、再定数值；当我们遇到正数与负数、负数与0的四则运算，比如 、 等等，该如何定号和定值呢？通过小学的学习我们知道可以理解为（即个相加），所以；也知道可以理解为的相反数；那么完成下面填空：=__________=__________；__________=__________；__________=__________．填完空你发现有理数乘法计算过程中有什么规律吗？三、知识讲解1. 有理数的乘法有理数乘法法则有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数与 相乘，都得 ．【运算步骤】先确定积的符号，再求积的绝对值、即把两个因数的绝对值相乘；因数中有 则积为 ．【推广】多个数相乘时，先确定积的符号：负因数有奇数个则积为负数、负因数有偶数个则积为正数，再求积的绝对值、即把每个因数的绝对值相乘；因数中有 则积为．（简称：奇负偶正）经典例题1（1）（2）（3）（4）计算： ．． ．．思路梳理知识点：1、2、3、题目练习11.．2.计算：．（1）（2）3.填空：．．4.（）有理数乘法运算律有理数乘法运算律（）乘法交换律：．（）乘法结合律：．（）乘法分配律：．【易错点津】（）乘法交换律和乘法结合律是指因数的位置交换、因数的结合，它们都包含自身符号．（）运用乘法分配律时，不要漏乘，并要注意符号，如．经典例题2（1）（2）1.计算：．．思路梳理知识点：1、2、3、2.运用简便方法计算：．思路梳理知识点：1、2、3、题目练习21.计算：.2.计算： ．（1）3.计算：．4.．2. 有理数的除法倒数倒数：乘积是的两个数互为倒数．负倒数：乘积是的两个数互为负倒数．【注意】没有倒数和负倒数．【知识拓展】（）根据乘法法则中“同号得正”可知互为倒数的两个数符号相同，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．（）倒数是本身的数只有和，没有倒数．（）的倒数可以用表示、负倒数可以用表示．经典例题3的倒数是 ，负倒数是 ．思路梳理知识点：1、 2、 3、题目练习3（1）（2）（3）（4）1.求倒数：的倒数是 ．的倒数是 ．的倒数是 ．的倒数是 ．2.若两数之积为，则这两数互为 ；若两数之商为，则这两数 ；若两数之积为，则这两数互为 ；若两数之商为，则这两数互为 ．有理数的除法与小学学过的除法一样，有理数的除法和乘法也是互逆的；。
学生: 科目：数学 教师: 日期: 2014年 月 --- 课 题 有理数的乘除法教学目标 1． 了解并掌握乘除法的运算法则，掌握乘方的意义。
2．掌握有理数乘除法的简便运算方法和运算顺序。
重点、难点 重点：有理数乘除法的运算法则和乘方的意义。
难点：有理数的乘方运算。
教学内容知识点1.有理数的乘法法则两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数同0相乘得0.乘积是1的两数互为倒数.两数相乘,交换因数的位置,积不变;乘法交换律:ab=ba;三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,积不变.乘法结合律:abc=(ab)c=a(bc).一个数同两个数的和相乘,等于这个数分别与这两个数相乘,再把积相加.乘法分配律:a(b+c)=ab+ac;几个不等于0的数相乘,负因数的个数为偶数个时,积为正数; 负因数的个数为奇数个时,积为负数.[针对性练习]填空：（1）－67×76___________； (2)（－1.25）×(－8)=_____________； (3)(－126.8)×0=___________； (4)(－25.9)×(－1)=______________. （5）(－5)×__________=－35； (6)(－73)×____________=73.知识点2.有理数的除法除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数.式子表达为:a ÷b=a ×b1(b 为不等于0的数).两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.一个数同不为0的数相除,仍得0.【解析】两个有理数相乘，我们根据法则先来确定乘积的符号，再把绝对值相乘.在进行有理数乘法运算时，除了要熟练掌握乘法法则之外，还应当注意以下两点：1.一个数乘以1等于它本身，一个数乘以－1等于它的相反数.2.两个相反数的和与积是完全不同的两个结果，不要混淆.[针对性练习]计算（1）（－40）÷（－8）； （2） ）（）（21-21-31 ；（3） 1÷（－0.01）×（－41）；类型之一:巧用运算律简化计算型例1．(1)(－6)×［32+(－21)］ (2)［29×(－65)］×(－12)类型之二:结构繁琐型例2.计算：2 002×20 032 003－2003×20 022 002.类型之三:整体代换型例3. 计算：(21+31+…+20031)·(1+21+…+20021)－(1+21+31+…+20031)·(21+31+…+20021).类型之四:乘除混合型例4计算：（1）－7÷3－14÷3； （2）（215-－512）÷323； （3）（－3.5）÷87×（43-）【针对性练习】1.判断题：(1)如果ab ＞0，且a+b ＜0，则a ＜0，b ＜0.( )(2)如果ab ＜0，则a ＞0，b ＜0.( )(3)如果ab=0，则a ，b 中至少有一个为0.( )2.计算：)531(135)135()53(135)54(-⨯--⨯--⨯-3.计算: (1)(－20)÷(331)； (2)3.2÷(－531).4.计算：(1)－7÷3－14÷3； (2)(－521－251)÷332.5.计算：（1）（－36）×［92-+（125-）183-］； （2）（－2）×（721-）×（212-）×97.【评注】正确合理地利用乘法的结合律、交换律、分配律，可以大大简化计算.【课堂练习】1.一个有理数与它的相反数之积（ ）A.符号必定为正B.符号必定为负C.一定不大于零D.一定不小于零2.如果两个有理数在数轴上的对应点在原点的同侧,那么这两个有理数的积（ ）A.一定为负数B.为0C.一定为正数D.无法判断3.用简便方法计算：（1）(－14)×(+1111)×(－131)×(5.5)×(+74); （2）43×(－75)×(－4)×(－51)；（3）－7×(－722)+19×(－722)－5×(－722)； （4）(143－87－127)×(－24).4.计算：（1）－6÷（－0.25）÷1114； （2）（－2 21）÷（－10）÷（－31）÷（－5）；（3）（－331）÷2 54÷（－3 81）÷（－0.75）.【拓展提高】1.某班举行知识竞赛，评分标准是：答对1道题加10分，答错1道题扣10分，每个队的基本分为100分，有一个代表队答对了12道题，答错了5道题，请问这个队最后得多少分？2.求除以8和9都是余1的所有三位数的和.【强化练习】A 等级1.如果两个有理数的和是零，积也是零，那么这两个有理数( )A.至少有一个为零，不必都是零B.两数都是零C.不必都是零，但两数互为相反数D.以上都不对2.五个数相乘,积为负数,则其中负因数的个数为（ ）A.2B.0C.1D.1,3,53.(－5)×(－5)÷(－5)×51=__________. 4.已知a ，b 两数在数轴上对应的点如图2－8－1所示，下列结论正确的是（ ）图2－8－1A.a ＞bB.ab ＜0C.b －a ＞0D.a+b ＞05. 用“”、“”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a b=a 和a b=b ，例如32=3，32=2，则(20062005)(20042003)=________. 6.计算：（1）(－0.75)×(－1.2)； （2）(－165)×(－154)；（3）(－32132)×(－1)； （4）(－91)×(－3136)；7.a 、b 是什么有理数时,下式成立：a×b=|a×b|.8.计算： （1）(－27)×31= （2）(－0.75)×(－1.2)= （3）(－165)×(－154)= （4）(－32132)×(－1)= （5）(－91)×(－3136)= （6）(－6.1)×0= 9.计算：(1)54×(－625)×(－107) (2)(－1324)×(－716)×0×34(3)45×(－1.2)×(－91); (4)(－73)×(－21)×(－158)。
有理数的乘除法讲义
一、有理数乘法法则
根据有理数的正负性及其相乘时负因数的个数不同,有理数的乘法法
则可以概括为以下几条:
法则1：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
(1)确定符号时要注意相乘两数的符号是同号还是异号或者是一个为零,只有非零的两数相乘才能使用此法则；
(2)数字处理是在符号确定后进行的，其方法与小学里一样；
(3)不要与加法法则混为一谈,错误理解为“同号取原来的符号”,如把(-2)×(-3)错误的做成“取原来的符号‘﹣’”,再把绝对值相乘,得﹣6.
法则2：任何数与零相乘，都得零.
法则3：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负；当负因数的个数是偶数时，积为正。
此法则是法则1的推广，它告诉我们进行多个有理数相乘运算时，首先确定积的符号，再把各个因数的绝对值相乘.例如,(-3)(-2)(-8),负因数的个数是3,为奇数,所以积为负,因此,(-3)(-2)(-8)=-3×2×8=-48；又
如,(-3)(-2)(+8),负因数的个数是2,为偶数,所以积为正,因此,(-3)(-2)(+8)=3×2×8=48.
显然法则1是法则3的特殊情形.
注意：多个不为0的数相乘，先确定结果的符号，再算出结果的绝对值。
任何数乘以—1得它的相反数。
法则4：几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。
此法则是法则2的推广，用字母可简单表示为：0×a×b=0。
如(-28)×(-78)×0×91=0.
二、倒数与负倒数
有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为倒数。
乘积是—1的两个数
互为负倒数。
既数a的倒数为1
a，负倒数为—
1
a。
三、有理数运算规律：
1．乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
乘法交换律可用字母简单表示为：ab=ba。
2．乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
乘法结合律可以用组合简单表示为：abc=（ab）c=a（bc）。
乘法交换律和结合律可以推广为：三个或三个以上的数相乘，任意交换因数的位置，或者任意先把其中几个数相乘，积都不变。
3．乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。
a(b+c)=ab+ac
四、有理数的除法
（1）法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数
1
(0)
a b a b
b
÷=≠
（2）符号确定：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
（3）0除以任何一个非零数，等于0；0不能作除数！
五、有理数的加减乘除混合运算：先乘除后加减，有括号的先算括号，同级运算从左到右。
例1.
（1）384⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭; (2) 12(6)3⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭ ;
(3)(-7.6)×0.5; (4) 113223⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
(5) 23(4)-⨯⨯- (6) ()34(6)-⨯-⨯- (7) 38(4)4⎛⎫⨯-⨯- ⎪⎝⎭ (8) 11112346⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭
例2.
（1）38(4)2
4⎛⎫⨯-⨯-- ⎪⎝⎭;
（2） 38(4)(2)4-⨯-⨯-;
（3）38(4)(2)
4⎛⎫⨯-⨯-⨯- ⎪⎝⎭.
例3.
(1)
(2)
例4. (1)(-91)÷13 (2) 213532⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(3)4÷(﹣2) (4)0÷(﹣1000) (5)31()(1)?42⨯--÷1(2)4- (6)
733.5()84-÷⨯- 例5.
(1) (-1155)÷[(-11)×(+3)×(-5)];
(2) 375÷2332⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (3) 1213(5)6(5)33⎛⎫⎛⎫-÷-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
例6. (1)
111382⎛⎫⎛⎫-÷--÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (2) 11181339⎛⎫-÷-÷- ⎪⎝⎭. (3)75.0)431(218)522(52--⨯--÷ (4)
433)712217(÷-- 例7. （1）若2630x y ++-=，求23x y -，x
y 的值。
（2）某校体育器材室总共有60个篮球，一天课外活动，有3个班级分别计划借篮球总数的1
2，13和14。
请你算一算，这60个篮球够借吗？如果够了，还多几个篮球？如果不够，还缺几个？
例8. （1）一只猴子沿一条东西方向的棒爬行，先以每秒5米的速度向东爬行，然后以每秒2.4米的速度向西爬行，试求向东爬行2秒又向西爬行5秒后距出发点的距离。
（2）个体儿童服装店老板以32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客30件连衣裙的售价不完全相同，若以47元为标准将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如下所示
请问：该服装店在售完这30件连衣裙后赚了多少钱？
（3）气象统计资料表明，高度每增加1千米气温就降低6度，如果现在地面的气温是27度，那么8000米高空的气温大约是多少？
（4）受金融危机的影响华盛公司去年1至3月平均每月亏损15万元，4至6月平均每月盈利20万元，7至10月平均每月盈利17万元，11至12月平均每月亏损23万元。
这个公司决定：若平均每月盈利在3万元以上则继续做原来的生产项目，否则要改做其它项目，请你帮助该公司进行决策是否要改做其它项目。
