3.2 特殊平行四边形(1)

另辟蹊径 解决二次函数中平行四边形存在性问题以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点， 其图形复杂，知识覆 盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高. 对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或 “平行四边形的对角线互相平分”来解决•由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解•为此，笔者另辟蹊径，借 助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题.1两个结论，解题的切入点数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式， 也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。

1.1线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点 A 坐标为（x i ,y i ），点B 坐标为（X 2, y 2），则线段AB 的中点坐标为 (x i X 2 y iy 2)2' 23.1三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题1 例1已知抛物线y=x 2-2x+a （av 0）与y 轴相交于点 A,顶点为 M.直线y= - x-a 分别 与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，并且与直线 AM 相交于点N.（1） 填空：试用含a 的代数式分别表示点 M 与N 的坐标，贝U M （ ）, N （）; （2） 如图4,将厶NAC 沿y 轴翻折，若点N 的对应点N '恰好落在抛物线上，AN '与x证明如图1,设AB 中点P 的坐标为（X p ,y p ）. 由 X P -X 1=X 2-X P ,得X 1 X 2X P =同理上y2，所以线段AB 的中点坐标为（2X 1 X 2 21.2平行四边形顶点坐标公式□ ABCD 的顶点坐标分别为 A(X A , y A )、B(X B , y B )、C( x c , y c )、D(X D , y D ),则:X A +X C =X B +X D ;y A +y c =y B +y D .证明： 如图2,连接AC 、BD ，相交于点E.•••点E 为AC 的中点， ••• E 点坐标为（,江上）. 2 2 又•••点E 为BD 的中点， E 点坐标为（汇虽,叵旦）.2 2二 X A +X C =X B +X D ; y A +y c =y B +y D .即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等. 2 一个基本事实，解题的预备知识如图3,已知不在同一直线上的三点 A 、B 、C,在平面内另找一个点 D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形•答案有三种：以 线的口ABCD 2,以BC 为对角线的D ABD 3C .3两类存在性问题解题策略例析与反思 AB 为对角线的 口ACBD 1，以AC 为对角2图轴交于点D ，连接CD ，求a 的值和四边形 ADCN 的面积；(3)在抛物线y=x 2-2x+a(av 0 )上是否存在一点 P,使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边 形是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，试说明理由•解：(1)M(1,a-1)，N( 4a , - - a ) ； (2)a=-E ； S 四边形 ADCN = 189；3 34 16是平行四边形•坐标公式列方程(组)求解•这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚, 往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论 3.2两个定点、两个动点，探究平行四边形存在性问题例2如图5，在平面直角坐标系中，抛物线 A(-1, 0), B(3,0), C(0 (1) 求该抛物线的表达式； (2) 点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P 的坐标•解：(1)易求抛物线的表达式为y= - x 2— x 1 ； 33(2)由题意知点Q 在y 轴上，设点Q 坐标为(0, t);点P 在抛物线上,(3)由已知条件易得 ①当以 AC 为对角线时, 4 1 c A(0, a)、C(0,-a)、N(_a,-_a).设 P( m, m 2-2m+a).3(解题时熟练推导出)-. (4)3由平行四边形顶点坐标公式，得:4 a m 3 1 2 _ a m 2m35 2 15 8,-5)； 8②当以AN 为对角线时,4 0 a 3 1 a a3a m 22m52(不合题意, 15 8③当以CN 为对角线时,4 0 a 0 m3 1a a 3a m 2 2m - 2 3 8二 P2(-2, 78).5•••在抛物线上存在点Pq 5)和8P2(-17,7)，使得以 P 、 A 、 C 、N 为顶点的四边形 反思：已知三个定点的坐标,可设出抛物线上第四个顶点的坐标,运用平行四边形顶点舍去图5设点P坐标为(m, 1 m2-m 1).3 3尽管点Q在y轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了.①当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0 = 3+m ,•••m=-4,「. P i(-4, 7);②当以 BQ 为对角线时，得：-1+m=3+0,「. m=4, • P2(4, 5);3③当以 AB 为对角线时，得：-1+3=m+ 0,「. m=2, • P3( 2, -1).5综上，满足条件的点 P为P1(-4, 7)、P2(4,三)、P3(2, -1).3反思：这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴(y轴)或对称轴或某一定直线上•设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0,则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式.该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式. 本例中点Q的纵坐标t没有用上，可以不设.另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论例3如图6，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4, 0), B(0, -4), C(2, 0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为□,△ AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出 S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点 Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.1解：(1 )易求抛物线的解析式为y= — x2+x-4；2(2) s=-m2-4m( -4<m<0) ； s 最大=4 (过程略)；(3)尽管是直接写出点Q的坐标，这里也写出过程.由题意知0(0,0)、B(0, -4).1 由于点Q是直线y=-x上的动点，设 Q(s, -s)，把Q看做定点；设 P(m, - m2+m-4).2①当以OQ 为对角线时,0 s 0 m,1 20 s 4 m m 42• S=-2 2.5.②当以BQ 为对角线时, 0 m 0 s 1 20 m m 44 s2 二 S l =-4, S 2= 0（舍）.Q 3（ -4, 4）; ③当以OB 为对角线时， 0 0 s m 0 4 s —m 2m 42 s i = 4, s 2= 0（舍）. …Q4（4, -4）.综上，满足条件的点 Q 为 Q i （-2+2.、5 ,2-2、、5 ）、Q 2（-2-2.、5 , 2+2... 5 ）、Q 3（-4, 4）、 Q 4（4,-4）.反思：该题中的点Q 是直线y=-x 上的动点，设动点Q 的坐标为（s ,-s ）,把Q 看做定点, 就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了 4问题总结这种题型，关键是合理有序分类：无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的 动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类， 分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组） •这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适 用范围广.其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合的思想•- Q 1(-2+2 5,2-2 5 ), Q 2(-2-2 5,2+2 .5)；图。

平行四边形的补集1. 什么是平行四边形的补集？平行四边形是一种特殊的四边形，其对边是平行的。

在平行四边形中，有一些特殊的性质和定理，其中之一就是平行四边形的补集。

平行四边形的补集是指与平行四边形不重合的部分，也就是平行四边形的外部区域。

补集包括了平行四边形周围的所有点，但不包括平行四边形的内部。

2. 补集的性质和特点补集是集合论中的一个重要概念，具有以下几个性质和特点：2.1 互斥性补集与原集合是互斥的，即两者没有交集。

在平行四边形的补集中，补集的点和平行四边形的点不重合。

2.2 完备性补集加上原集合可以构成全集。

在平行四边形的补集中，补集的点加上平行四边形的点构成了平面上的全部点。

2.3 补集的运算性质补集具有一些运算性质，包括交集、并集和补集运算。

在平行四边形的补集中，与平行四边形相交的点是平行四边形的补集与其他集合的交集。

3. 平行四边形的补集与其他几何概念的关系3.1 平行线平行四边形的补集与平行线之间存在密切关系。

平行四边形的补集可以看作是平行线两侧的区域。

3.2 直线平行四边形的补集与直线也有紧密的联系。

直线可以被看作是两个平行四边形的补集的交集。

3.3 多边形平行四边形的补集可以扩展到其他多边形。

对于任意的多边形，其补集是指与多边形不重合的部分。

4. 平行四边形的补集的应用4.1 几何推理平行四边形的补集在几何推理中有广泛的应用。

通过分析平行四边形的补集，可以得出关于角度、长度和比例等几何性质的结论。

4.2 集合论平行四边形的补集是集合论中的一个重要概念。

通过研究平行四边形的补集，可以深入理解集合论中的补集运算和集合的性质。

4.3 图形设计平行四边形的补集可以用于图形设计中的创意构图。

通过合理运用平行四边形的补集，可以创造出独特而有吸引力的图形效果。

5. 总结平行四边形的补集是与平行四边形不重合的部分，具有互斥性和完备性。

它与平行线、直线和多边形等几何概念有紧密的联系，并在几何推理、集合论和图形设计等领域有广泛的应用。

3.2 正方形的性质与判定一、温故互查：（二人小组互述）1.矩形和菱形分别与平行四边形的关系是什么？2.有一个角是___的平行四边形是矩形.对角线_______的平行四边形是矩形.邻边______的平行四边形是菱形.对角线_______的平行四边形是菱形.二、设问导读：阅读课本P22-23完成下列问题：1.正方形是特殊的_________和_______2.要判定一个四边形是正方形，只要判定它既是_______又是______即可。

3.教材提供的剪法剪出的一定是______ (因为剪出的四边________),要想使剪图形又是_______。

因此，只要确保剪口线与折痕成_____°角，或者使得两条折痕_______.4.例2证明四边形BECF是正方形的步骤：（1）证明四边形BECF是平行四边形，判定方法是________________________ _______________.（2）证明四边形BECF是____________，判定方法是________________________ _______________.（3）证明有一个内角是______.5.画一画，猜一猜，并试着证明：（1）顺次连接任意四边形各边中点所得四边形是_______;（2）顺次连接平行四边形各边中点所得四边形是_______;（3）顺次连接矩形各边中点所得四边形是_______;（4）顺次连接菱形各边中点所得四边形是_______; （5）顺次连接正方形各边中点所得四边形是_______。

6. 顺次连接四边形各边中点所得四边形的形状取决于原四边形的_________ 的_______关系和________关系。

三、自学检测：1．下列条件中，不能判定四边形是正方形的是（）．A．对角线互相垂直且相等的四边形; B．一条对角线平分一组对角的矩形C. 对角线相等的菱形D．对角线互相垂直的矩形2. 如图，ΔABC为等腰直角三角形，把它沿底边BC翻折后，得到ΔDBC．请你判断四边形ABDC的形状，并说出你的理由．3.已知：如图,△ABC中,∠C=90°,∠BAC、∠ABC的平分线相交于点O，OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别为D、E.求证：四边形CDOE是正方形CABD四、巩固训练：1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE2.如图所示,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点,要使四边形EFGH是菱形,四边形ABCD还应满足的一个条件_____________.五、拓展探究：如图四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形A n B n C n D n．（1）证明：四边形A1B1C1D1，是矩形；（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；（3）写出四边形A n B n C n D n的面积；（4）求四边形A5B5C5D5的周长.H GFDC AB3C3D3A3B2C2D2A2C1D1B1DCBA1AN。

判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.解：连接BD交AC于点O.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF,所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形.同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB.因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE,所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别例4 如图4，在平行四边形ABCD中，∠DAB、∠BCD的平分线分别交BC、AD 边于点E、F，则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF∥EC，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AECF是平行四边形.图1图2AB C DEF图3AB CDEF图41 32理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB =∠BCD ， 所以AF ∥EC .又因为∠1=21∠DAB ，∠2=21∠BCD ， 所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3， 所以∠1=∠3，所以AE ∥CF . 所以四边形AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。

第一章 线段、直线和相交线、平行线1．1线段、直线和角 知识要点线段的中点：将一条线段分成两条相等的线段的点。

二、角①定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。

角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的几何图形。

②角的度量：1周角＝360°，1平角＝180°，1直角＝90°，1°＝60′，1′＝60″。

③角的平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的平分线。

④角的分类及有关概念：周角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置重合时所成的角。

平角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置在同一条直线上时所成的角。

直角：平角的一半叫直角。

钝角：大于直角而小于平角的角。

锐角：小于直角的角。

⑤相关的角及性质：互为余角：两个角的和等于直角时叫做互为余角。

互为补角：两个角的和等于平角时叫做互为补角。

互为邻补角：两条相交直线所得到的角中有一条公共边的两个角，叫做互为邻补角。

同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。

命题热点：本节知识的考查主要集中在填空、选择题中，难度不大。

在相关求值问题中，主要用到代数中的方程等知识，对概念的考查也是中考试卷中出现较多的题型。

1．2相交线与平行线 知识要点一、相交线①对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。

对顶角的性质：对顶角相等。

②垂线：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

垂线的性质：（Ⅰ）经过一点有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。

（Ⅱ）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。

点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到这条直线的距离。

摘要随着课程改革不断推进，各地出现了各有特点的数学教材,教材的编写者有不同的思路，因此教材在各个方面也会存在一定的差异，同时不同版本的教材对比也有助于教师更好地教学与进行教学研究.通过对人教版、北师大版、苏科版中的“平行四边形”部分进行比较研究,从而帮助对该部分知识点的全面把握,以便更好地把握数学教材内容,优化教学设计.通过文献分析法、对比分析法、统计法、问卷调查法对不同版本初中数学教材从结构、引入、探究及习题设置进行了比较，从而发现三个版本教材的特色以及各自的异同点.通过对此课题的研究,提供一些有益的数学教学建议.关键词平行四边形教材对比人教版北师大版苏科版A comparative study on the set of knowledge points in different editionsof textbooks—— A case study of Parallelogram in junior middle schoolAbstract With the continuous advancement of the curriculum reform, mathematics textbooks with their own characteristics have appeared in various places. The compilers of the textbooks have different ideas, so there are certain differences in various aspects of the textbooks, at the same time, the comparison of different versions of teaching materials is helpful to teachers. This paper makes a comparative study of the "Parallelogram" section in the people s education press, the Beijing Normal University press and the Soviet section press, so as to help us grasp the knowledge points of this section in anall-round way, so as to better grasp the contents of the mathematics teaching materials and optimize the teaching design. Through literature analysis, Comparative Analysis, Statistics and Questionnaire survey, this paper compares the structure, Introduction, exploration and problem setting of different editions of junior middle school mathematics textbooks, thus discovered three edition teaching material's characteristic as well as respective similarities and differences. Through the research on this subject, some useful suggestions on mathematics teaching are provided.Key words Parallelogram textbook comparison People's Education Edition Beijing Normal University Edition Suke edition目录摘要 (II)Abstract (III)引言 (1)1绪论 (1)1.1问题的提出 (1)1.2国内外研究现状 (1)1.2.1国外研究概况 (1)1.2.2国内研究概况 (2)2研究对象、研究维度、研究思路与研究方法 (2)2.1研究对象 (2)2.2研究维度 (2)2.3研究思路 (2)2.4研究方法 (3)3平行四边形内容设置的比较研究 (3)3.1教材内容结构比较 (3)3.2引入的比较 (5)3.3探究活动的比较 (12)3.4习题的比较 (14)4初中不同版本数学教材比较的实证研究 (16)4.1问卷调查对象 (16)4.2问卷调查数据整理 (16)4.3问卷调查数据分析 (17)5结论 (17)5.1三个版本教材的横向比较 (17)5.2三个版本教材的纵向比较 (18)6建议 (18)6.1内容结构方面 (18)6.2引入方式方面 (18)6.3习题设置方面 (19)6.4探究活动方面 (19)结语 (20)参考文献 (21)致谢 (22)附录 (23)引言教育改革的核心是课程改革，课程改革促进了教材的优化 [1]P10.结合不同的地域特点和教育现状，国家支持相关部门编写不同特征的教材，不同教材的编写思路决定了教材在各个方面也会存在一定差异[2]P59-66.目前有很多专家学者对不同版本的初中数学教材进行了对比研究，很多一线教师也在关注不同教材下同一知识点的异同点.目前各种教材是怎样设计的，有什么样的优缺点、异同点，编写意图是什么?这些有待作进一步研究.在实际教学过程中应如何选用和使用教材是值得每一个基础教育工作者思考的问题.作为一名未来从事教育事业的毕业生，我结合自身学习的理论经验和实习期间的实践教学经验，对人民教育出版社[3]P41-67(以下简称人教版)、北京师范大学出版社[4]P135-140（以下简称北师版）、江苏风凰科学技术出版社[5]P56-90（以下简称苏科版）三个版本教材中“平行四边形”的内容进行比较研究，在研究过程中主要运用内容分析和统计分析法，并且结合一定的实践经验，通过对不同教材进行比较，希望可以深入的理解教材，找到不同之处，取长补短，对初中数学教材进行优化与反思.1绪论1.1问题的提出教科书是教师教和学生学的主要载体[6].现如今，越来越多的人去研究教材，新版本的初中数学教材有哪些特点，现在各种教材是怎样设计的，有什么样的优缺点、异同点?这些有待作进一步研究.平行四边形是四边形内容中的重要部分.它在教材中有着呈上启下的作用.研究发现，这部分研究较缺乏，因此，本文通过对三个版本初中数学教材中“平行四边形”部分进行对比研究,分析不同版本教材的特点.1.2 国内外研究现状现在对教材的研究较多，研究的方面也很多，作者搜集了大量的资料，通过分析整理，对国内外已有的教材对比研究现状进行了分析概括.1.2.1国外研究概况近年来，我国教育事业有了很大的发展，因为我们不断与国外教材进行比较研究，比较研究大多是对某一个具体的模块进行具体的分析比较，从而找出国内外教材之间的差异.2002年， Hoyles等学者，借助TIMSS这种手段对多国教材进行有针对性的比较，分析了这些国家的数学教科书与学生的成绩测试以及评价结果，对异同点进行了详细的比较[7]P61-P65；2006年，梁贯成等学者对日本、韩国等国家的教材进行了多方面比较，同时也对比了中澳数学教材中的价值观和中新数学教材的知识架构等等[8]P32-34；2007年，范良火等学者通过对三个国家的初中数学教材内容中的“问题解决步骤的呈现方式”进行比较，发现这三个国家在这方面的异同点，同时也提供了建议[9]P61-75；2013年，曹一鸣等人对不同国家初中数学的数与代数、统计与概率和图形与几何的整体布局进行了比较[10]P29-36。

最新北师大版九年级上册数学导学案（全册共119页）目录第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质第2课时菱形的判定1.2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质第2课时矩形的判定1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质第2课时正方形的判定第二章一元二次方程2.1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程第2课时一元二次方程的解及其估算2.2 用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法求解简单的一元二次方程第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程第1课时用公式法求解一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决面积问题2.4 用因式分解法求解一元二次方程2.5一元二次方程的根与系数的关系2.6 应用一元二次方程第1课时几何问题及数字问题与一元二次方程第2课时第三章概率的进一步认识3.1 用树状图或表格求概率第1课时用树状图或表格求概率第2课时概率与游戏的综合运用3.2 用频率估计概率第四章图形的相似4.1 成比例线段第1课时线段的比和成比例线段第2课时比例的性质4.2 平行线分线段成比例4.3 相似多边形4.4 探索三角形相似的条件第1课时利用两角判定三角形相似第2课时利用两边及夹角判定三角形相似第3课时利用三边判定三角形相似第4课时黄金分割4.5 相似三角形判定定理的证明4.6 利用相似三角形测高4.7 相似三角形的性质第1课时相似三角形中的对应线段之比第2课时相似三角形的周长和面积之比4.8 图形的位似第1课时位似多边形及其性质第2课时平面直角坐标系中的位似变换第五章投影与视图5.1 投影第1课时投影的概念与中心投影第2课时平行投影与正投影5.2 视图第1课时简单图形的三视图第2课时复杂图形的三视图第六章反比例函数6.1 反比例函数6.2 反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象第2课时反比例函数的性质第一章 特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定第1课时 菱形的性质学习目标：①通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质。

菱形与平行四边形的关系1. 菱形与平行四边形的定义菱形是一个具有特殊几何性质的四边形，它的四条边相等且相互垂直，同时拥有两条对角线相等、相互垂直的特点。

菱形的定义与平行四边形有一定的关联，下面将会详细讨论这个关系。

平行四边形是一个具有特殊几何性质的四边形，它的对边是平行的，即有两组边分别平行且相等。

2. 菱形与平行四边形的关系菱形是一种特殊的平行四边形，它具有以下特点：•菱形的对边平行：菱形的定义上就要求它的对边必须是平行的，这也是与平行四边形相同的地方。

•菱形的对角线相等：菱形的两条对角线相等，这是与平行四边形不同的地方。

平行四边形的对角线一般并不相等。

综上所述，菱形实际上可以视为一个特殊的平行四边形，它在平行四边形的基础上添加了两条相等的对角线，这是菱形与平行四边形的本质区别。

3. 菱形和平行四边形的性质菱形和平行四边形都有一些独特的性质，下面将分别介绍它们。

3.1 菱形的性质•菱形的四个角都是直角：由菱形的定义可知，它的四个角都是直角。

这是因为菱形的对边相互垂直，从而使得四边形的四个角都是直角。

•菱形的两条对角线相互垂直：菱形的两条对角线是相互垂直的，这是菱形的一个重要性质。

可以根据这个性质进行证明和计算。

•菱形的对边相等：菱形的定义要求它的四条边相等，这也是菱形的一个基本性质。

3.2 平行四边形的性质•平行四边形的对边是平行的：平行四边形的定义要求它的对边是平行的，即有两组边分别平行且相等。

•平行四边形的相邻角互补：平行四边形的相邻角互补，即相邻的两个内角的和为180度。

•平行四边形的对角线不一定相等：与菱形不同，平行四边形的对角线不一定相等。

4. 菱形和平行四边形的区别菱形与平行四边形在定义、性质上有一定的区别，下面将总结一下它们的不同之处。

•菱形的四个角都是直角，平行四边形的角没有特定要求。

•菱形的两条对角线相等，平行四边形的对角线一般并不相等。

•菱形的四个边相等，平行四边形的边一般并不相等。