【精准解析】江苏省南通市海安高级中学2020届高三阶段测试三数学试题

江苏省南通市海安高级中学高三下学期3月线上考试数学试题一、填空题1．已知集合{}02,{1}M x x N x x =<<=>，则M N =I ________________. 【答案】{|12}x x <<【解析】根据交集的定义，即得解. 【详解】集合{}02,{1}M x x N x x =<<=> 根据交集定义，{|12}M N x x =<<I 【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2．复数()z i 1i =-的共轭复数在复平面内对应的点位于第______象限． 【答案】四【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z 的坐标得答案． 【详解】()z i 1i 1i =-=+Q ，z 1i ∴=-，则复数()z i 1i =-的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限． 故答案为四． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[]40,80中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[)40,60内的汽车有______辆.【答案】80【解析】试题分析：时速在区间[40,60)内的汽车有200(0.010.03)1080.⨯+⨯=【考点】频率分布直方图4．袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于______．【答案】3 5【解析】分析：通过枚举法写出摸出2个球的所有情况，再找出摸出1个黑球和1个白球的情况，由此能求出概率.详解：设3个黑球用A，B，C表示；2个白球用甲，乙表示，摸出2个球的所有情况：（A，B）、（A，C）、（A，甲）、（A，乙）、（B，C）、（B，甲）、（B，乙）、（C，甲）、（C，乙）、（甲，乙）共10种，其中摸出1个黑球和1个白球的情况有6种，所以，摸出1个黑球和1个白球的概率为63105 P==.故答案为3 5 .点睛：本题考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，解题时要注意枚举法的合理运用.5．在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为______．答对题数48910人数分布1121【答案】22 5【解析】根据表中数据计算平均数和方差即可．【详解】根据表中数据，计算平均数为()1x 48921085=⨯++⨯+=， 方差为(22222122s [(48)(88)(98)2108)55⎤=⨯-+-+-⨯+-=⎦． 故答案为：225．【点睛】本题考查了平均数与方差的计算问题，熟记计算公式，准确计算是关键，是基础题． 6．如图所示的算法流程图中，最后输出值为______．【答案】25【解析】分析：由流程图可知，该算法为先判断后计算的当型循环，模拟执行程序，即可得到答案. 详解：程序执行如下2018T <Ti15Y 5 10Y 5015Y750 20Y 1500025故2018T <不成立时，25i =. 故答案为25.点睛：本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键7．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥，②若m α⊂，αβn ⋂=，αβ⊥，则m n ⊥；③若m α⊂，n β⊂，α//β，则m //n ； ④若m //α，m β⊂，αβn ⋂=，则m //n ．上述命题中为真命题的是______(填写所有真命题的序号)． 【答案】①④【解析】①由线面垂直的判定定理可知正确；m ②与n 可能平行可能相交；m ③与n 可能平行或异面；④由线面平行的性质定理可知正确． 【详解】选项①正确，由线面垂直的判定定理可知：若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥； 选项②错误，若m α⊂，αβn ⋂=，αβ⊥，则m 与n 可能平行可能相交； 选项③错误，若m α⊂，n β⊂，α//β，则m 与n 可能平行或异面；选项④正确，由线面平行的性质定理可知：若m //α，m β⊂，αβn ⋂=，则m //n ． 故答案为：①④ 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及线面位置关系的确定，熟记基本定理，准确推理是关键，属基础题．8．公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”.题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快(每天增加的数量相同)，已知第一天织布5尺，一个月(30天)共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为______尺.(1匹4=丈，1丈10=尺) 【答案】1629【解析】分析：设该女子织布每天增加d 尺，由等差数列前n 项和公式求出d 即可. 详解：设该女子织布每天增加d 尺，由题意知，15a =尺，3010(943)390S =⨯+=尺 又由等差数列前n 项和公式得3013029303902S a ⨯=+=，解得1629d =尺 故答案为1629点睛：本题考查等差数列的实际应用，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用.9．若πcos α2cos α4⎛⎫=+⎪⎝⎭，则πtan α8⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】13【解析】πcos α2cos α4⎛⎫=+⎪⎝⎭，可得ππππcos α2cos α8888⎛⎫⎛⎫+-=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，利用和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式即可得出． 【详解】πcos α2cos α4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q ，ππππcos α2cos α8888⎛⎫⎛⎫∴+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππππππcos αcos sin αsin 2cos αcos 2sin αsin 88888888⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化为：ππππcos αcos 3sin αsin 8888⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ππ3tan αtan 188⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，2π2tanπ8tan 1π41tan 8==-Q，解得πtan 18=．π121tanα83321（）+⎛⎫∴+==⎪-⎝⎭，故答案为213+【点睛】本题考查了余弦和正切和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且OA2=，OC4=，AC5=，则OB ODu u u r u u u r⋅=______．【答案】52-【解析】建立坐标系，设()O m,n，()C a,b，根据条件得出O，C的坐标之间的关系，再计算OB OD⋅u u u r u u u r的值．【详解】以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设()O m,n，()B a,0，()D0,b，则()C a,b，OA2Q=，OC4=，AC5=，222222a b25m n4()()16m a n b⎧+=⎪∴+=⎨⎪-+-=⎩，整理可得：13am bn2+=．又()OB a m,n=--u u u r，()OD m,b nu u u r=--，()()()22135OB OD m m a n n b m n am bn 422∴⋅=-+-=+-+=-=-u u u r u u u r ．故答案为52-．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是突破点，准确计算是关键，属于中档题．11．已知关于x 的方程()x x a 1-=在()2,∞-+上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是______． 【答案】5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】分析：将方程问题转换为函数()f x x a =-与1()g x x=的图象在()2,-+∞上有三个不同交点.根据函数图象可以求出答案.详解：Q 方程()1x x a -=在()2,-+∞上有3个相异实根，∴函数()f x x a =-与1()g x x=的图象在()2,-+∞上有三个不同交点， 在坐标系中画出函数的图象，由图象可知，在(2,0)x ∈-上，函数()y f x =与()y g x =有两个不同的交点，在(0,)x ∈+∞上，函数()y f x =与()y g x =有一个交点Q 1,0()=1,0x xg x x x⎧>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，联立1y x y x a ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，整理得210x ax -+=，24a ∆=-∴240(2)(2)a g f ⎧∆=->⎨>⎩，即240122a a⎧->⎪⎨>--⎪⎩，解得522a -<<-∴实数a 的取值范围为5(,2)2--故答案为5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭点睛：本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，考查数形结合的思想以及分析问题解决问题的能力. 12．已知a 0>，b 0>，且111a b +=，则b3a 2b a++的最小值等于______． 【答案】11【解析】分析：构造基本不等式模型1132()(32)b ba b a b a a b a++=+++，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案.详解：Q 111a b+=， ∴1132()(32)53()b b b aa b a b a a b a a b++=+++=++Q 0a >，0b >，∴0b a >，0ab>，∴2b aa b+≥，当且仅当2a b ==时取等号. 325611ba b a ++≥+=.∴32ba b a++的最小值等于11.故答案为11.点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用. 13．如图，已知AC 8=，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点(不含端点A ，B ，C)，且BM BN ⊥，则AM CN ⋅u u u u r u u u r的最大值为______．【答案】4【解析】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，求得A ，B ，C 的坐标，可得以AB 为直径的半圆方程，以AC 为直径的半圆方程，设出M ，N的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得α2β=，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值． 【详解】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得()A 0,0，()B 4,0，()C 8,0，以AB 为直径的半圆方程为22(x 2)y 4(x 0,y 0)-+=>>， 以AC 为直径的半圆方程为22(x 4)y 16(x 0,y 0)-+=>>， 设()M 22cos α,2sin α+，()N 44cos β,4sin β+，0α<，βπ<，BM BN ⊥，可得()()BM BN 22cos α,2sin α4cos β,4sin β0u u u u r u u u r⋅=-+⋅=，即有()8cos β8cos αcos βsin αsin β0-++=， 即为cos βcos αcos βsin αsin β=+， 即有()cos βcos αβ=-，又0α<，βπ<，可得αββ-=，即α2β=，则()()AM CN 22cos α,2sin α44cos β,4sin β⋅=+⋅-+u u u u r u u u r()88cos α8cos β8cos αcos βsin αsin β=--+++288cos α16cos β16cos β16cos β=--+=-2116(cos β)42=--+，可得1cos β02-=，即πβ3=，2πα3=时，AM CN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为4．故答案为4． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了圆的方程与应用问题，建立平面直角坐标系，用坐标表示向量是解题的关键．14．若关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[]1,3x ∈及任意的实数[]2,4b ∈恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】(),2∞--【解析】由题意可得323x x ax b -+<-先对b 恒成立，即为3234x x ax -+<-，再由参数分离和函数的导数，求得单调性和最值，即可得到所求a 的范围． 【详解】关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[]1,3x ∈ 及任意的实数[]2,4b ∈恒成立，先看成b 的一次函数 ，可得323b min x x ax -+<-（）即为3234x x ax -+<-，可得243a x x x <--恒成立， 设()243f x x x x=--，[]1,3x ∈，()()()222222432x x x f x x x x -++=-+='，可得12x <<时，()'0f x >，()f x 递增；23x <<时，()'0f x <，()f x 递减，又()12f =-，()433f =-， 可得()f x 在[]1,3的最小值为2-， 可得2a <-．即有a 的范围是(),2∞--． 故答案为：(),2∞--． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数，运用导数求单调性和最值，考查转化思想和运算能力，属于中档题．二、解答题15．已知ABC V 内接于单位圆，且()()112tanA tanB ++=，()1求角C()2求ABC V 面积的最大值．【答案】（1）34C π=（2 【解析】()1变形已知条件可得1tanA tanB tanA tanB +=-⋅，代入可得()11tanA tanBtanC tan A B tanAtanB+=-+=-=--，可得C 值；()2由正弦定理可得c ，由余弦定理和基本不等式可得ab 的取值范围，进而可得面积的最值． 【详解】()()()1112tanA tanB ++=Q1tanA tanB tanA tanB ∴+=-⋅，()11tanA tanBtanC tan A B tanAtanB+∴=-+=-=--，()3C 0,4C ππ∈∴=Q ()2ABC QV 的外接圆为单位圆，∴其半径1R =由正弦定理可得2c RsinC ==由余弦定理可得2222c a b abcosC =+-，代入数据可得222a b =+(22ab ab ≥+=，当且仅当a=b 时，“=”成立ab ∴≤ABC V ∴的面积11222S absinC =≤=，B AC ∴V 【点睛】本题考查两角和与差的正切，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，基本不等式的应用，熟记定理，准确计算是关键，属中档题．16．如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AFACλ=.（1）若//EF 平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED . 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由线面平行的性质得出//EF AB ，可以判断点F 为AC 的中点，从而求出λ的值；（2）由AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，得到BC AE ⊥，BC DE ⊥，由面面垂直的判断定理即可证明平面BCD ⊥平面AED . 【详解】（1）因为//EF 平面ABD ，得EF ⊂平面ABC ， 平面ABC I 平面=ABD AB ， 所以//EF AB ，又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 所以点F 为AC 的中点， 由AFAC λ=，得1=2λ； （2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点， 所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，又=AE DE E ⋂，AE ⊂平面AED ，DE ⊂平面AED ， 所以BC ⊥平面AED ， 又BC ⊂平面BCD ， 所以平面BCD ⊥平面AED . 【点睛】本题主要考查线面平行的性质和面面垂直的证明，考查学生空间想象能力，属于基础题. 17．如图，长方形材料ABCD 中，已知23AB =4=AD .点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥于E ，PF AD ⊥于F ，且1PE =，3PF =. 现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足150MPN ∠=︒，点M 、N 分别在边AB ，AD 上.（1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；（2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值.【答案】(1)见解析;(2)当23AN =时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为32+. 【解析】分析：（1）通过直角三角形的边角关系，得出NF 和ME ，进而得出四边形材料AMPN 的面积的表达式，再结合已知尺寸条件，确定角θ的范围.（2）根据正切的两角差公式和换元法，化简和整理函数表达式，最后由基本不等式，确定面积最小值及对应的点N 在AD 上的位置.详解：解：（1）在直角NFP ∆中，因为3PF =FPN θ∠=， 所以3tan NF θ=， 所以()1113tan 322NAP S NA PF θ∆=⋅= 在直角MEP ∆中，因为1PE =，3EPM πθ∠=-，所以tan 3ME πθ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 所以113tan 1223AMP S AM PE πθ∆⎡⎤⎛⎫=⋅=-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎦，所以NAP AMP S S S ∆∆=+ 31tan tan 223πθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为31tan tan 223S πθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭3tan 2θ=令1t θ=，由0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得[]1,4t ∈，所以24233S t t ⎫==++⎪⎝⎭ 2233≥=+当且仅当3t =时，即2tan 3θ=时等号成立，此时，AN =，min 2S =+答：当AN =时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为2+. 点睛：本题考查三角函数的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意换元法和基本不等式的合理运用.换元法求函数的值域，通过引入新变量（辅助式，辅助函数等），把所有分散的已知条件联系起来，将已知条件和要求的结果结合起来，把隐藏在条件中的性质显现出来，或把繁琐的表达式简化，之后就可以利用各种常见的函数的图象和性质或基本不等式来解决问题.常见的换元方法有代数和三角代换两种.要特别注意原函数的自变量与新函数自变量之间的关系.18．已知椭圆E ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．()1若3m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅u u u r u u u u r的范围；()2证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； ()3若l 过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由． 【答案】（1）[]7,1- （2）见证明；（3）见解析【解析】()13m =，椭圆E ：2219x y +=，两个焦点()1F -，()2F ，设(),K x y ，求出12KF KF ⋅u u u r u u u u r的表达式，然后求解范围即可．()2设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，利用点差法转化求解即可．()3直线l 过点,3mm ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 不过原点且与椭圆E 有两个交点的充要条件是0k >且1.3k ≠设(),P P P x y ，设直线()()0,03ml y k x m m k =-+≠≠：，代入椭圆方程，通过四边形OAPB 为平行四边形，转化求解即可． 【详解】()13m =，椭圆E ：2219x y +=，两个焦点()1F -，()2F设(),K x y，()1F K x y =+u u u u r，()2F K x y =-u u u u r，()()2221212881KF KF FK F K x y x y x y y ⋅=⋅=+⋅-=+-=-+u u u r u u u u r u u u u r u u u u r，11y -≤≤Q ，12KF KF ∴⋅u u u r u u u u r的范围是[]7,1-()2设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则222112222299.x y m x y m ⎧+=⎨+=⎩两式相减， 得()()()()1212121290x x x x y y y y +-++-=，()()()()12121212190y y y y x x x x +-+=+-，即190OM l k k +⋅=，故19OM l k k ⋅=-； ()3设(),P P P x y ，设直线()()0,03m l y k x m m k =-+≠≠：，即3m l y kx km =-+：， 由()2的结论可知19OM y x k =-：，代入椭圆方程得，2222991P m k x k =+， 由()3m y k x m =-+与19y x k =-，联立得222933,9191m km k m km M k k ⎛⎫- ⎪-- ⎪++ ⎪⎝⎭若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以2M p x x =，即2222229394()9191k m km m k k k -=++，整理得29810k k -+=解得，k =．经检验满足题意所以当k =时，四边形OAPB 为平行四边形. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，点差法，直线与椭圆的交点，考查分析问题解决问题的能力，准确转化平行四边形是关键，是中档题19．已知函数f （x ）=ae x ，g （x ）=ln x -ln a ，其中a 为常数，且曲线y =f （x ）在其与y 轴的交点处的切线记为l 1，曲线y =g （x ）在其与x 轴的交点处的切线记为l 2，且l 1∥l 2． （1）求l 1，l 2之间的距离；（2）若存在x 使不等式()x mf x -成立，求实数m 的取值范围； （3）对于函数f （x ）和g （x ）的公共定义域中的任意实数x 0，称|f （x 0）-g （x 0）|的值为两函数在x 0处的偏差．求证：函数f （x ）和g （x ）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．【答案】（1；（2）()0-∞，；（3）见解析【解析】（1）先根据导数的几何意义求出两条切线，然后利用平行直线之间的距离公式求出求l 1，l 2之间的距离；（2）利用分离参数法，求出h （x ）=x e x 的最大值即可； （3）根据偏差的定义，只需要证明()()f x g x -的最小值都大于2． 【详解】（1）f ′（x ）=ae x ，g ′（x ）=1x， y =f （x ）的图象与坐标轴的交点为（0，a ）， y =g （x ）的图象与坐标轴的交点为（a ，0）， 由题意得f ′（0）=g ′（a ），即a =1a， 又∵a ＞0，∴a =1． ∴f （x ）=e x ，g （x ）=ln x ，∴函数y =f （x ）和y =g （x ）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为： x -y +1=0，x -y -1=0，∴.（2）由()x m f x -x x me-，故m ＜x x 在x ∈[0，+∞）有解，令h （x ）=x x ，则m ＜h （x ）max ， 当x =0时，m ＜0；当x ＞0时，∵h ′（x ）=1-）e x ，∵x ＞0，，e x ＞1，∴e x ，故h ′（x ）＜0，即h （x ）在区间[0，+∞）上单调递减， 故h （x ）max =h （0）=0，∴m ＜0， 即实数m 的取值范围为（-∞，0）． （3）解法一：∵函数y =f （x ）和y =g （x ）的偏差为：F （x ）=|f （x ）-g （x ）|=e x -ln x ，x ∈（0，+∞）， ∴F ′（x ）=e x -1x，设x =t 为F ′（x ）=0的解， 则当x ∈（0，t ），F ′（x ）＜0；当x ∈（t ，+∞），F ′（x ）＞0， ∴F （x ）在（0，t ）单调递减，在（t ，+∞）单调递增，∴F （x ）min=e t -ln t =e t -ln1t e =e t+t ，∵F ′（1）=e -1＞0，F ′（12）＜0，∴12＜t ＜1，故F （x ）min =e t +t 12+12=2，即函数y =f （x ）和y =g （x ）在其公共定义域内的所有偏差都大于2． 解法二：由于函数y =f （x ）和y =g （x ）的偏差：F （x ）=|f （x ）-g （x ）|=e x -ln x ，x ∈（0，+∞）， 令F 1（x ）=e x -x ，x ∈（0，+∞）；令F 2（x ）=x -ln x ，x ∈（0，+∞），∵F 1′（x ）=e x -1，F 2′（x ）=1-1x=1x x -， ∴F 1（x ）在（0，+∞）单调递增，F 2（x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴F 1（x ）＞F 1（0）=1，F 2（x ）≥F 2（1）=1， ∴F （x ）=e x -ln x =F 1（x ）+F 2（x ）＞2，即函数y =f （x ）和y =g （x ）在其公共定义域内的所有偏差都大于2. 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义解决曲线的切线问题，利用导数求解函数的最值问题,属于难度题.20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a +=，*n N ∈．()1求数列{}n a 的通项公式；()2设数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有11213211()333n n n n n a b a b a b a b n ---+++⋯+=+-成立．①求数列{}n b 的通项公式；②设数列n n n c a b =，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【答案】(1)113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，*n N ∈.(2)①21n b n =-，*n N ∈.②见解析.【解析】分析：（1）当2n ≥时，类比写出1123n n S a --+=，两式相减整理得113n n a a -=，当1n =时，求得10a ≠，从而求得数列{}n a 的通项公式.；（2）①将113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭代入已知条件，用与（1）相似的方法，变换求出数列{}n b 的通项公式；②由n c 的通项公式分析，得12345c c c c c =>>>>…，假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，且s p r <<，则2p s r c c c =+，即()1112212121333p s r p s r ------=+，根据数列{}n c 的单调性，化简得722p ≤<，将2p =或3p =代入已知条件，即可得到结论.详解：解：（1）由23n n S a +=， ① 得()11232n n S a n --+=≥， ② 由①-②得120n n n a a a -+-=，即()1123n n a a n -=≥， 对①取1n =得，110a =≠，所以0n a ≠，所以113n n a a -=为常数， 所以{}n a 为等比数列，首项为1，公比为13，即113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，*n N ∈.（2）①由113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得对于任意*n N ∈有2111211111333333n n n n n b b b b n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， ③则()()2221231111131323333n n n n n b b b b n n L -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ④则()23111231111112233333n n n n n b b b b n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， ⑤由③-⑤得()212n b n n =-≥， 对③取1n =得，11b =也适合上式， 因此21n b n =-，*n N ∈. ②由（1）（2）可知1213n n n n n c a b --==， 则()11412121333n n n n nn n n c c +--+--=-=， 所以当1n =时，1n n c c +=，即12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，即{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减， 故12345c c c c c =>>>>…，假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，其中s ，p ，*r N ∈，由于12345c c c c c =>>>>…，可不妨设s p r <<，则2p s r c c c =+（），即()1112212121333p s r p s r ------=+，因为s ，p ，*r N ∈且s p r <<，则1s p ≤-且2p ≥， 由数列{}n c 的单调性可知，1s p c c -≥，即12212333s p s p ----≥， 因为12103r r r c --=>，所以()11122212121233333p s r p p s r p --------=+>， 即()122212333p p p p ---->，化简得72p <， 又2p ≥且*p N ∈，所以2p =或3p =，当2p =时，1s =，即121c c ==，由3r ≥时，21r c c <=，此时1c ，2c ，r c 不构成等差数列，不合题意，当3p =时，由题意1s =或2s =，即1s c =，又359p c c ==，代入（）式得19r c =，因为数列{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减，且519c =，4r ≥，所以5r =， 综上所述，数列{}n c 中存在三项1c ，3c ，5c 或2c ，3c ，5c 构成等差数列.点睛：本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的定义、通项公式，涉及到等差和等比数列的判断，数列的单调性等知识的综合运用，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属于难题.已知数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系式，求数列的通项公式的方法如下： （1）当1n =时， 11a S =求出1a ；（2）当2n ≥时，用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用1n n S S --(2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式；（3）对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．21．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，弧AB 与弧AD 长度相等，过A 点的切线交CB 的延长线于E 点.求证：2AB BE CD =⋅.【答案】证明见解析【解析】连结AC ，证明ABE CDA ∆∆:，再利用相似比即可得到答案. 【详解】 连结AC ，因为EA 切圆O 于A ，所以EAB ACB ∠=∠.因为弧AB 与弧AD 长度相等，所以ACD ACB ∠=∠，AB AD =. 于是EAB ACD ∠=∠.又四边形ABCD 内接于圆O ，所以ABE D ∠=∠. 所以ABE CDA ∆∆:. 于是AB BECD DA=，即AB DA BE CD ⋅=⋅， 所以2AB BE CD =⋅.【点睛】本题考查平面几何中圆与三角形相似，考查逻辑推理能力，属于基础题. 22．已知矩阵2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，47B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且AX B =. （1）求矩阵A 的逆矩阵1A -； （2）求x ，y 的值. 【答案】（1）12132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2）12x y =⎧⎨=⎩ 【解析】（1）求出二阶矩阵对应的行列式值不为0，进而直接代入公式求得逆矩阵；（2）由AX B =可得1214327X A B --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，计算矩阵的乘法，即可得答案.【详解】 （1）由2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()det 223110A =⨯-⨯=≠，所以A 可逆，从而12132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.（2）由AX B =得到121413272X A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴12 xy=⎧⎨=⎩.【点睛】本题考查公式法求矩的逆矩阵及矩阵的乘法计算，考查运算求解能力，属于基础题.23．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线4cos:3sinxCyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，Rθ∈），直线32:32xly⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数，t R∈），求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值..【解析】试题分析：根据已知中直线的参数方程，消参求出直线的一般式方程，代入点到直线距离公式，结合三角函数的图象和性质，可得曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．试题解析：将直线l的参数方程化为普通方程为60x y--=.因为点P在曲线4cos:3sinxCyθθ=⎧⎨=⎩上，所以可设(4cos,3sin)Pθθ.因为点P到直线l距离d=其中3tan,4φφ=是锐角，所以当cos()1θφ+=时，mind=P到直线l的距离最小值为2. 24．已知x、y、z均为正数，求证：111x y zyz zx xy x y z≥＋＋＋＋【答案】证明见解析【解析】【详解】∵x，y，z都是为正数，∴12()x y x yyz zx z y x z+=+≥．同理，可得2y zzx xy x+≥，2z xxy yz y+≥．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++≥++． 25．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，4CA =，4CB =，122CC =，90ACB ∠=︒，点M 在线段11A B 上.（1）若113A M MB =，求异面直线AM 和1A C 所成角的余弦值； （2）若直线AM 与平面1ABC 所成角为30°，试确定点M 的位置. 【答案】（1392）点M 是线段11A B 的中点. 【解析】（1）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，得到(3,3,22AM =-u u u u r ，(14,0,22CA =u u u r，再代入向量夹角公式计算，即可得答案；（2）设(,42M x x -，得(4,4,22AM x x =--u u u u r，直线AM 与平面1ABC 所成角为30°，得到关于x 的方程，解方程即可得到点M 的位置. 【详解】以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()000C,,，()4,0,0A ，(14,0,22A ，(10,4,22B .（1）因为113A M MB =，所以(1,3,22M .所以(14,0,22CA =u u u r ，(3,3,22AM =-u u u u r.所以11139cos ,2426CA AM CA AM CA AM⋅===⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r . 所以异面直线AM 和1A C 39.（2）由()4,0,0A ，()0,4,0B ，()10,0,22C ，知()4,4,0AB =-u u u r，()14,0,22AC =-u u u u r .设平面1ABC 的法向量为(),,n a b c =r ，由100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r 得4404220a b a c -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1a =，则1b =，2c =，所以平面1ABC 的一个法向量为()1,1,2n =r.因为点M 在线段11A B 上，所以可设(),4,22M x x -，所以()4,4,22AM x x =--u u u u r，因为直线AM 与平面1ABC 所成角为30°，所以1cos ,sin 302n AM=︒=r u u u u r . 由cos ,n AM n AM n AM ⋅=r u u u u r r u u u u r r u u u u r，得()()()()221141422224482x x x x ⋅-+⋅-+⋅=⋅-+-+⋅，解得2x =或6x =.因为点M 在线段11A B 上，所以2x =， 即点()2,2,22M 是线段11A B 的中点.【点睛】本题考查利用向量法求异面直线所成的角、已知线面角确定点的位置，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.26．在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线24x y =上有两个动点A 、B ，且满足AF FB λ=uu u r uu r，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M .（1）求：OA OB ⋅u u u r u u u r的值；（2）证明：FM AB ⋅u u u u r u u u r为定值.【答案】（1）3-（2）证明见解析【解析】（1）设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，将向量,OA OB u u u r u u u r 分别用坐标表示出来，再进行向量数量积的坐标运算，即可得答案； （2）求出两切线交点M 的坐标为12,12x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭，再代入FM AB ⋅u u u u r u u u r 进行坐标运算，即可得到定值 【详解】（1）设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，∵焦点()0,1F ，∴211,14x AF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，∵AF FB λ=uu u r uu r ，∴2212121144x x x x λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-=⎧⎪⎨⎪⎩消λ得22211211044x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简整理得()1212104x x x x ⎛⎫-+=⎪⎝⎭， ∵12x x ≠，∴124x x =-，∴221212144x x y y =⋅=.∴12123OA OB x x y y ⋅=+=-u u u r u u u r（定值）.（2）抛物线方程为214y x =，∴1'2y x =， ∴过抛物线A 、B 两点的切线方程分别为()2111124x y x x x =-+和()2222124x y x x x =-+，即211124x y x x =-和222124x y x x =-，联立解出两切线交点M 的坐标为12,12x x +⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴221221212,24x x x x FM AB x x ⎛⎫+-⎛⎫⋅=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r 22222121022x x x x -=--=（定值）. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系中的定值问题，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意坐标法思想的应用.。

2020年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷(3月份)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.集合A={1,2，3，4}，B={1,3，5，7}，则A∩B=______．2.在复平面内，复数1+i对应的点位于第______象限．i3.5000辆汽车经过某一雷达测速区，其速度频率分布直方图如图所示，则时速超过70km/ℎ的汽车数量为______ ．4.袋中装有3个红球，2个白球，某人一次从中摸出两个小球，则摸出的两个小球颜色相同的概率为________．5.在一次知识竞赛中抽取10名选手，成绩分布情况如表：成绩4分5分6分7分8分9分10分人数分2013211布则这组样本的方差为_______.6.如图所示的流程图中，输出的结果是______ ．7. 设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题中(1)若a ⊥α，a ⊆β，则α⊥β； (2)若a//α，α⊥β，则a ⊥β；(3)若a ⊥β，α⊥β，则a//α； (4)若a ⊥α，b ⊥α，则a//b ．其中所有真命题的序号是______．8. 《张邱建算经》是我国古代数学著作大约创作于公元五世纪，书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈，问日益几何？”该题大意是：“一女子擅长织布，一天比一天织的快，而且每天增加的量都一样，已知第一天织了5尺，一个月后，共织布390尺，问该女子每天增加______ 尺．(一月按30天计)9. 若sinα=3sin(α+π6)，则tan (α+π12)=____.10. 如图，已知O 为矩形 P 1P 2P 3P 4 内的一点，满足 OP 1=4，OP 3=5，P 1P 3=7，则 OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______11. 方程(12)x =|lnx|的解的个数为______．12. 若a >0，b >0，且1a +1b =√ab ，则a 3+b 3的最小值为______ ．13. 如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，AD ⊥AB ，AD =DC =12AB =2，点N 是CD 边上一动点，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．14. 当x ∈[−2,1]时，不等式ax 3−x 2+4x +3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______．二、解答题（本大题共12小题，共162.0分）15. 已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且bsin(B +C)=acos(π6−B)．(1)求tan(B +π4)的值；(2)若b 2=ac ，△ABC 的面积为3√3，求△ABC 的周长．16. 如图，在三棱锥P −ABC 中，ΔPBC 为等边三角形，点O 为BC 的中点，AC ⊥PB ，平面PBC ⊥平面ABC ．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)已知E为PO的中点，F是AB上的点，AF=λAB.若EF//平面PAC，求λ的值．17.如图，有一块平行四边形绿地ABCD，经测量BC=2百米，CD=1百米，，拟过线段BC上一点E设计一条直路EF(点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度)，EF将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3倍．设EC=x百米，EF=y百米．(1)当点F与点D重合时，试确定点E的位置；(2)试求x的值，使直路EF的长度y最短．18.已知点A(0,−2)，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为2√33，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，求ΔOPQ面积的取值范围。

+(xn - x +xn)B =β = nβ = n江苏省海安中学高三数学模拟考试数学试卷方差公式s2 = 1[(x- x)2 + (x- x)2 +数学1)2 ]，其中x =1(x + x +．n 1 2 n 1 2一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答．题．卡．相．应．位．置．上．．1．已知集合A ={x 0 < x < 2} ，B ={x x >1} ，则A ▲．2．复数z = i(1- i) 的共轭复数在复平面内对应的点位于第▲象限．3．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况,现随机抽测了通过这段公路的200 辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200 辆汽车中，时速在区间[40,60]内的汽车有▲辆．4．袋中装有5 个大小相同的球，其中3 个黑球，2 个白球，从中一次摸出2 个球，则摸出1 个黑球和1 个白球的概率等于▲．5．在一次知识竞赛中，抽取5 名选手，答对的题数分布情况如下表，则这组样本的方差为▲．(第3 题图)答对题数 4 8 9 10人数分布 1 1 2 1(第5 题表)6．如右图所示的算法流程图中，最后输出值为▲．7．已知m ，n 是两条不同的直线，α ，β 是两个不同的平面．①若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；②若m⊂α，α第6 题图，α⊥β，则m⊥n；③若m⊂α，n⊂β，α//β，则m//n；④若m//α，m⊂β，α，则m//n．上述命题中为真命题的是▲．（填写所有真命题的序号）．FED8.公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷 22 题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天 织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布 5 尺，一个月（30 天）共织布 9 匹 3 丈，则该女子每天织尺布的增加量为▲尺．（1 匹=4 丈，1 丈=10 尺） 9．若cos α = 2cos(α + π) ，则 tan(α + π) = ▲ ．C4810．如图，已知 O 为矩形 ABCD 内的一点，且 OA = 2 ， OC = 4 ， AC = 5 ，则OOB ⋅ OD = ▲ ．A B11．已知关于 x 的方程 x (x - a ) =1 在 (-2, +∞) 上有三个相异实根，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．12．已知 a > 0,b > 0 ，且 1 + 1 = 1 ，则 3a + 2b + b 的最小值等于▲ ．(第 10 题图)a b a13．如图，已知 AC = 8 ，B 为 AC 的中点，分别以 AB, AC 为直径在 AC 的同侧作半圆， M, N 分别为两半圆上的动点（不含端点 A ，B ，C ），且BM ⊥ BN ，则 AM ⋅CN 的最大值为 ▲ ．14．若关于 x 的不等式 x 3 - 3x 2 +ax + b < 0 对任意的实数 x ∈[1,3] 及任意的实数 b ∈[2, 4] 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC 内接于单位圆（半径为 1 个单位长度的圆），且 (1+ tan A )(1+ tan B ) = 2 ．（1）求角 C 的大小；（2）求△ABC 面积的最大值．16．如图，在四面体 ABCD 中， AB = AC = DB = DC ，点 E 是 BC 的中点，点 F 在线段 AC 上，且 A F = λ ．AC（1）若 EF //平面 ABD ，求实数 λ 的值； B（2）求证：平面 BCD ⊥ 平面 AED ．ADC（第 16 题图）3 θ P17． 如图，长方形材料 ABCD 中，已知 AB = 2 ， AD = 4 ．点 P 为材料 ABCD 内部一点，PE ⊥ AB 于 E , PF ⊥ AD 于 F ，且 PE =1，PF = ．现要在长方形材料 ABCD 中裁剪出四边形材料 AMPN ，满足 ∠MPN =150︒ ，点 M ，N 分别在边 AB ，AD 上． （1）设 ∠FPN = θ ，试将四边形材料 AMPN 的面积 S 表示为 θ 的函数，并指明 θ 的取 值范围；（2）试确定点 N 在 AD 上的位置，使得四边形材料 AMPN 的面积 S 最小，并求出其最 小值．DCN F AB(第 17 题图)18．已知椭圆 E ： x 2+ 9y 2= m 2（ m > 0 ），直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 E有两个交点 A , B ，线段 AB 的中点为 M ．（1）若 m = 3 ，点 K 在椭圆 E 上，F 1 、F 2 分别为椭圆的两个焦点，求 KF 1 ⋅ KF 2 的范围； （2）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；（3）若 l 过点 (m , m ) ，射线 OM 与椭圆 E 交于点 P ，四边形 OAPB 能否为平行四边形？3若能，求此时直线 l 斜率；若不能，说明理由．3+ a n b 1 = n n n nn3 19．已知函数 f (x ) = a e x ，g (x ) = ln x -ln a ，其中 a 为常数，且曲线 y= f (x ) 在其与 y轴的交点处的切线记为l 1 ，曲线 y= g (x ) 在其与 x 轴的交点处的切线记为 l 2 ，且 l 1 / / l 2 ．（1）求l 1，l 2 之间的距离；（2）若存在x 使不等式 x - m > f (x )成立，求实数 m 的取值范围；（3）对于函数 f (x ) 和g (x ) 的公共定义域中的任意实数 x 0 ，称 |f (x 0 ) - g (x 0 )| 的值为 两函数在x 0 处的偏差．求证：函数 f (x ) 和 g (x ) 在其公共定义域内的所有偏差都大于 2．20．设数列 {a }的前 n 项和为 S ， 2S +a = 3 ， n ∈ N * ． （1）求数列 {a n }的通项公式；（2）设数列 {b }满足：对于任意的 n ∈ N *，都有a b + a b+ a b +⎛ 1 ⎫ n -1+ 3n - 3 成立．1 n2 n -13 n -2⎪⎝ ⎭①求数列 {b n }的通项公式；②设数列 c n = a n ⋅b n ，问：数列{c n }中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在， 求出这三项；若不存在，请说明理由．x2 22数学（理科）附加题说明：1．以下题目的答案请直接填写在答卷上．2．本卷总分 40 分，考试时间 30 分钟．21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域． 内．作．答．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤．A ．[选修 4—1：几何证明选讲]（本小题满分10 分）如图，四边形 ABCD 内接于圆 O ，弧 AB 与弧 AD 长度相等，过 A 点的切线交 CB 的延长线于 E 点．求证： AB 2=BE ⋅CD ．EAB· ODC（第 21-A 题）B ．[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）⎡2 1⎤ ⎡ x ⎤ ⎡4⎤已知矩阵 A = ⎢ ⎥ ，列向量X = ⎢ y ⎥ ， B = ⎢7⎥ ，且 AX = B . ⎣3 2⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦（1）求矩阵 A 的逆矩阵 A -1； （2）求 x , y 的值．C ．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）⎪⎧x ＝4cos θ⎧x ＝3＋ t ， 已知点 P 在曲线 C ：⎨ ⎩⎪y ＝3sin θ （θ为参数）上，直线 l ：⎨ ⎩y ＝－3＋ 2 （t 为参数）， t求 P 到直线 l 距离的最小值．D ．[选修 4—5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）已知 x ，y ，z 均为正数．求证： x + y + z ≥ 1 + 1 + 1 ．yz zx xy x y z22.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，CA＝4，CB＝4，CC1＝2，∠ACB＝90°，点2M 在线段A1B1 上.（1）若A1M＝3MB1，求异面直线AM 和A1C 所成角的余弦值；（2）若直线AM 与平面ABC1所成角为30°，试确定点M 的位置．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线x2 = 4 y上有两个动点A 、B ，且满足AF = λ FB , 过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M ．--→ --→（1）求：OA ⋅ OB 的值；（2）证明：FM ⋅ AB 为定值．44答案一、填空题：1. (1, 2)2．四； 3．80 4． 355．22 56．257．①④ 16 8.299．2 +1 ；3 10． - 5211． (- 5, -2)212．11 13． 4 14． (-∞, -2)二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．命题立意：本题主要考查两角和与差的正切公式与正、余弦定理等基础知识，考查运算 求解能力．（1）由 (1 + tan A )(1 + tan B ) = 2 得 tan A + tan B =1- tan A tan B ，所以 tan( A + B ) = tan A + tan B = 1 ，（4 分）1 - tan A tan B故△ABC 中， A + B = π ， C = 3π （6 分）2 2 2 2DE = E 3 （2）由正弦定理得 c = 2 ，即 c = ，（8 分） sin 3π 4由余弦定理得 2 = a 2 + b 2 - 2ab c os 3π ，即 2 = a 2 + b 2 + 4ab ，（10 分）由 2 = a 2 + b 2 + ab ≥2ab + ab 得 ab ≤2 - ，（当且仅当 a = b 时取等号）（12分）所以 S = 1 ab sin 3π≤ 2 -1 .（14 分）2 4 216．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论 证能力．解：（1）因为 EF ∥平面 ABD ，易得 EF ⊂ 平面 ABC ，平面 ABC 平面 ABD = AB ， 所以 EF // AB ，（5 分） 又点 E 是 BC 的中点，点 F 在线段 AC 上， 所以点 F 为 AC 的中点， 由 AF = λ 得 λ = 1 ；（7 分） AC 2（2）因为 AB = AC = DB = DC ，点 E 是 BC 的中点，所以 BC ⊥ AE ， BC ⊥ DE ，（9 分） 又 AE ， AE 、DE ⊂ 平面 AED ， 所以 BC ⊥ 平面 AED ，（12 分） 而 BC ⊂ 平面BCD ， 所以平面 BCD ⊥ 平面 AED ．（14 分）17．解：（1）在直角△ NFP 中，因为 PF = ， ∠FPN = θ ，所以NF = 所以 S ∆NAP tan θ ， = 1 NA ⨯ PF = 1 (1 + 2 2 tan θ ) ⨯ ． ……………………………2 分在直角△ MEP 中，因为 PE = 1 ， ∠EPM = π- θ ，3所以 ME = tan( π- θ ) ，32 3 3 392 3 3 - tan θ 2(1 + 3 tan θ )32 3tt ⨯ 43t 所以 S= 1 AM ⨯ PE = 1 [+ tan( π- θ )]⨯1 ． ………………………………4 分∆AMP22 3所以 S = S∆NAP+ S ∆AMP= 3 tan θ + 1 tan( π - θ ) + 2 2 3 ，θ ∈[0, π]． 3……………………………………………………………………………………6 分 （注：定义域错误扣 1 分）（2）因为 S = 3 tan θ + 1 tan( π - θ ) + 2 2 3 = 3 tan θ + + 2 ． …8 分令t = 1 + tan θ ，由θ ∈[0, π] ，得 t ∈[1, 4] ， 33t 2 - 4t + 4 所以 S = + = (t + 4 ) +≥ 3 ⨯ 2 ⨯ 2 3t+ 3 = 2 + 33．………………12 分2 3 3当且仅当 t =2 3 时，即 tan θ = 2 - 3 时等号成立． ………………13 分 3 3 此时， AN = 2 3 ， S = 2 + 3．3 min 3答：当 AN = 2 3 时，四边形材料 AMPN 的面积 S 最小，最小值为 2 + 3．3 3……………………………………………………………………………………14 分18．解：（Ⅰ） m = 3 ，椭圆 E ： x + y 2 = 1，两个焦点 F (-2, 0) ， F (2 , 0) 设 K (x , y )， F 1K = (x + 2 9, y ) ，F 2 K = (x - 2 12, y ) ， 222KF 1 ⨯ KF 2 = FK 1 ⨯ F 2 K =(x + 2 , y ) ⨯ (x - 2 , y ) = x + y - 8= - 8y +1， ∵-1 ≤ y ≤ 1，∴ KF 1 ⨯ KF 2 的范围是 [-7,1] （4 分） ⎧x 2 + 9 y 2 = m 2，⎪ 1 1（ 2 ） 设 A , B 的 坐 标 分 别 为 (x 1 , y 1 ) ， (x 2 , y 2 ) ， 则 ⎨ 两 式 相 减 ， 得 x 2 + 9 y 2 = m 2 . ⎩⎪ 2 2 1+ 9 ( y 1 + y 2 )( y 1 - y 2 ) = 0 (x 1 + x 2 )(x 1 - x 2 ) + 9( y 1 + y 2 )( y 1 - y 2 ) = 0， (x + x )(x ， 即- x )11+ 9k OM ⨯ k l = 0 ，故 k OM ⨯ k l = - ；（8 分） 12122 2 2 2 23 3 33 33 24 ± 7 2 x x x 2 ⎝ x x 2 x x 2 2 ⎝ x 2 ⎝ x P ÷ ÷÷ （3）∵直线 l 过点(m , m) ， 3∴直线 l 不过原点且与椭圆 E 有两个交点的充要条件是k > 0 且 k ≠ 1． 3m m 设P (x P , y P ) ，设直线 l : y = k (x - m ) + 31（ m ≠ 0, k ≠ 0 ），即l : y = kx - km + ，39m 2k 2由（2）的结论可 知O M : y = - 9k x ， 代入椭圆方程得， x 2 =9k 2 +1， （10 分）⎛k 2m - km km - m ⎫ 由 y = k (x - m ) + m 与 y = - 1 9 3 x ，联立得 M , - 3 ÷ ．（12 分）3 9k 9k 2+19k 2 +1 ÷ ⎝ ⎭若四边形 OAPB 为平行四边形，那么M 也是 OP 的中点，所以 2x 0 = x P ，⎛ 9k 2 m - 3km ⎫ 即 4 ÷ =9m 2 k 2，整理得 9k 2 - 8k +1 = 0 解得， k = ． ⎝ 9k 2 +1 ⎭ 9k 2+19 所以当 k =4 ± 97时，四边形 OAPB 为平行四边形．（16 分） 19． 解：（1）f ' (x ) = ae x ，g '(x ) = 1， y = f (x ) 的图像与坐标轴的交点为 (0 , a ) ，y = g (x ) x的图像与坐标轴的交点为 (a , 0) ，由题意得f '(0) =g '(a ) ，即 a = 1a 又∵ a > 0 ，∴ a = 1 . （2 分）∴ f ( x ) = e x ， g (x ) = ln x ，∴函数 y = f (x ) 和 y = g (x ) 的图像在其坐标轴的交点处的切线方程分别为： x - y + 1 = 0 , x - y - 1 = 0 ∴两平行切线间的距离为 （4 分）（2）由 x - m > f (x ) 得 x - m > e x，故 m < x - e x 在 x ∈[0 , + ∞) 有解，令 h (x ) = x - e x ，则 m < hmax (x )。

江苏省海安高级中学2020届高三下学期期初模拟考试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上． 1.已知集合A ＝{﹣1，0，2}，B ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈Z }，则A ∩B 中元素的个数为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】按照交集的概念直接运算可得A ∩B ＝{﹣1}，即可得解. 【详解】∵A ＝{﹣1，0，2}，B ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈Z }， ∴A ∩B ＝{﹣1}，∴A ∩B 中元素的个数为1． 故答案为：1．【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.已知复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝a +2i （其中i 是虚数单位，a ∈R ），若z 1•z 2是纯虚数，则a 的值为_____． 【答案】-4 【解析】 【分析】由题意124(22)z z a a i ⋅=++-，令40220a a +=⎧⎨-≠⎩即可得解.【详解】∵z 1＝1﹣2i ，z 2＝a +2i ，∴12(12)(2)4(22)z z i a i a a i ⋅=-+=++-，又z 1•z 2是纯虚数，∴40220a a +=⎧⎨-≠⎩，解得：a ＝﹣4．故答案为：﹣4．【点睛】本题考查了复数的概念和运算，属于基础题.3.从集合{}1,2,3中随机取一个元素，记为a ，从集合{}2,3,4中随机取一个元素，记为b ，则a b ≤的概率为_______．【答案】89【解析】 【分析】先求出随机抽取a ,b 的所有事件数，再求出满足a b ≤的事件数，根据古典概型公式求出结果. 【详解】解：从集合{}1,2,3中随机取一个元素，记为a ，从集合{}2,3,4中随机取一个元素，记为b ，则(,)a b 的事件数为9个，即为(1,2),(1,3),(1,4)，(2,2),(2,3),(2,4)，(3,2),(3,3),(3,4)， 其中满足a b ≤的有(1,2),(1,3),(1,4)，(2,2),(2,3),(2,4)，(3,3),(3,4)，共有8个， 故a b ≤的概率为89. 【点睛】本题考查了古典概型的计算，解题的关键是准确列举出所有事件数.4.为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．【答案】100. 【解析】分析：根据频率分布直方图得到三等品的频率，然后可求得样本中三等品的件数． 详解：由题意得，三等品的长度在区间[)10,15，[)15,,20和[]35,40内， 根据频率分布直方图可得三等品的频率为()0.01250.02500.012550.25++⨯=， ∴样本中三等品的件数为4000.25100⨯=.点睛：频率分布直方图的纵坐标为频率组距，因此每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率，把小矩形的高视为频率时常犯的错误． 5.如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．【答案】1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 6.命题A ：|x －1|＜3，命题B ：(x ＋2)(x ＋a)＜0；若A 是B 的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(－∞,－4) 【解析】【详解】对于命题A ：∵|x－1|＜3，∴-2<x<4,要使A 是B 的充分而不必要条件,则a<2,-a>4,即实数a 的取值范围是(－∞,－4) 7.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为________. 【答案】12π 【解析】 【分析】根据侧面积求出圆锥的半径，由勾股定理即可求出圆锥的高，利用圆锥体积公式即可求解． 【详解】设圆锥的半径为r ，则侧面积为15215,32r r ππ⨯⨯==，22534-=，所以圆锥的体积为2134123ππ⨯⨯⨯=． 故答案为12π【点睛】本体主要考查圆锥的侧面积与体积公式，考查运算求解能力，属于基础题． 8.函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．【答案】，，.【解析】试题分析：，故，由解得考点：三角函数的性质9.在平面直角坐标系xOy 中，已知A （0，﹣1），B （﹣3，﹣4）两点，若点C 在∠AOB 的平分线上，且10OC =C 的坐标是_____． 【答案】（﹣1，﹣3） 【解析】 【分析】先求出OB 方向上的单位向量e =（35，45-），由题意OC = ()OA e λ+，结合10OC =即可得解.【详解】由题意OA =（0，﹣1），是一个单位向量， 由于OB =（﹣3，﹣4），故OB 方向上的单位向量e =（35，45-），∵点C 在∠AOB 的平分线上，∴存在正实数λ使得OC = ()OA e λ+＝34,155λ⎛⎫--- ⎪⎝⎭）＝39,55λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∵10OC =2981102525λ⎛⎫⋅+=⎪⎝⎭，解得53λ=代入得得()1,3OC =-- 故答案为：()1,3--.【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示和模的应用.考查了转化化归思想，属于中档题.10.设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝na n ﹣3n （n ﹣1）（n ∈N *），且a 2＝11，则S 20的值为_____．【答案】1240 【解析】 【分析】先求得a 1＝5，转化条件得131n n S S n n --=-，可得n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项151S =，公差为3的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得解.【详解】由S 2＝a 1+a 2＝2a 2﹣3×2（2﹣1），a 2＝11，可得a 1＝5． 当n ≥2时，由S n ＝na n ﹣3n （n ﹣1）＝n （S n ﹣S n ﹣1）﹣3n （n ﹣1）， 可得（n ﹣1）S n ﹣nS n ﹣1＝3n （n ﹣1），∴131n n S S n n --=-，∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项151S =，公差为3的等差数列， ∴2020S =5+3×19＝62， ∴S 20＝1240. 故答案为：1240.【点睛】本题考查了数列11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩公式的应用和等差数列通项公式的应用，属于中档题.11.如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．【答案】626+2 【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C =∠∠，即o o2sin 30sin 75BE =，解得BE 6+2AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BCFCB BFC=∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得BF=62-，所以AB 的取值范围为（62-，6+2）.考点：正余弦定理；数形结合思想12.已知函数f （x ）122121222222x x x x x x ⎧+-⎪⎪⎪=---≤-⎨⎪⎪≤-⎪⎩，＞，，，，若f （t ）≥f （1t ），则实数t 的取值范围是_____．【答案】)[)21⎡-⋃+∞⎣，，． 【解析】 【分析】作出函数图象，根据函数图像分为两种情况112t t t⎧≥⎪⎪⎨⎪>⎪⎩122t≤-讨论，解不等式即可得解.【详解】根据函数f （x ）的解析式作出其图象，如图所示． ①当x 2>f （x ）是增函数， 若()1f t f t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则112t t t⎧≥⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩，解得： t ≥1；②当x 2≤-时，()2f x =， 若()1f t f t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则122t ≤-，解得：20t -≤<； 综上①②所述，实数t 的取值范围是)[)201⎡-⋃+∞⎣，， 故答案为：)[)201⎡-⋃+∞⎣，，．【点睛】本题考查了分段函数应用，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属于中档题. 13.在平面直角坐标系中，点集A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2≤1}，B ＝{（x ，y ）|x ≤4，y ≥0，3x ﹣4y ≥0}，则点集Q ＝{（x ，y ）|x ＝x 1+x 2，y ＝y 1+y 2，（x 1，y 1）∈A ，（x 2，y 2）∈B }所表示的区域的面积为_____． 【答案】18+π 【解析】【分析】转化条件得（x ﹣x 2）2+（y ﹣y 2）2≤1即点集Q 所表示的区域是以集合B 表示的区域的边界为圆心轨迹半径为1的圆内部分，计算即可得解.【详解】由x ＝x 1+x 2，y ＝y 1+y 2，得x 1＝x ﹣x 2，y 1＝y ﹣y 2， ∵（x 1，y 1）∈A ，∴把x 1＝x ﹣x 2，y 1＝y ﹣y 2，代入x 2+y 2≤1， ∴（x ﹣x 2）2+（y ﹣y 2）2≤1点集Q 所表示的区域是以集合B ＝{（x ，y ）|x ≤4，y ≥0，3x ﹣4y ≥0}的区域的边界为圆心轨迹半径为1的圆内部分，如图， 其面积为：5+6+4+3+π＝18+π 故答案为：18+π．【点睛】本题考查了圆的标准方程和非线性可行域的画法，考查了转化化归思想，属于中档题.14.设函数f （x ）＝（2x ﹣1）e x ﹣ax +a ，若存在唯一的整数x 0使得f （x 0）＜0，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】[32e ，1）∪23532e e ⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】 【分析】令g （x ）＝（2x ﹣1）e x ，h （x ）＝a （x ﹣1），求出()g x '后画出g （x ）、h （x ）的图象，数形结合即可得()()()011100a g h h ⎧>⎪-≥-⎨⎪-<<⎩或()()()()2233h g h g ⎧>⎪⎨≤⎪⎩，即可得解. 【详解】令g （x ）＝（2x ﹣1）e x，h （x ）＝a （x ﹣1）， ∵()(21)2(21)xxxg x x e e x e '=-+=+，∴当21x <-时，()0g x '<，则函数g （x ）在（﹣∞，12-）上单调递减； 当12x >-时，()0g x '>，则函数g （x ）在（12-，+∞）上单调递增；而g （﹣1）＝﹣3e ﹣1，g （0）＝﹣1； 因为存在唯一的整数x 0使得f （x 0）＜0． 即（2x 0﹣1）e x ＜a （x 0﹣1）．所以结合图形知：()()()011100a g h h ⎧>⎪-≥-⎨⎪-<<⎩或()()()()2233h g h g ⎧>⎪⎨≤⎪⎩ 即：103210a e a a -⎧⎪-≥-⎨⎪--⎩＞＜＜或23325a e a e ⎧>⎨≤⎩解得32e ≤a ＜1或3e 2＜a 352e ≤； 故答案为：[32e ，1）∪23532e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，．【点睛】本题考查了函数的零点问题，考查了转化化归思想和数形结合思想，属于难题. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()2222x x x f x cossin ⎫=-⎪⎭．（1）设θ∈[0，π]，且f （θ）=1，求θ的值；（2）在△ABC 中，AB ＝1，f （C ）=1，且△ABC sin A +sin B 的值．【答案】（1）6π（2）12+ 【解析】 【分析】（1）化简得()2cos 6f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 62πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可得解；（2）由（1）知6C π=，由面积可得=ab a 2+b 2＝7，联立方程可求得2+=a b ，再利用正弦定理即可得解.【详解】（1）()2sin sin 2cos 26x f x x x x x π⎛⎫=-=-=++ ⎪⎝⎭由f （θ）1=，∴2cos 16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴1cos 62πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵θ∈[0，π]，∴（θ6π+）∈[6π，76π]，∴θ6π=．（2）由f （C ）=1，C ∈（0，π），由（1）可得：C 6π=．由△ABC12=ab sin 6π，∴=ab由余弦定理可得：1＝a 2+b 2﹣2ab cos6π，可得：a 2+b 2＝7，联立解得：a ＝2，b =b ＝2，a =∴2+=a b ．∴12 sinA sinB sinCa b c===．∴sin A+sin B12=（a+b）＝13+．【点睛】本题考查了三角函数的化简，考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题.16.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，EF12=AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，G为BC的中点，求证：（1）OG∥平面ABFE；（2）AC⊥平面BDE．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据中位线的性质证明OG∥AB后即可得证；（2）连接FG、EO，由题意EO⊥平面ABCD，可得EO⊥AC，由线面垂直的判定即可得解. 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，∴O是AC中点，∵G为BC的中点，∴OG∥AB，∵OG⊄平面ABFE，AB⊂平面ABFE，∴OG∥平面ABFE．（2）连接FG、EO，∵四边形ABCD菱形，AC，BD相交于点O，∴AC⊥BD，O是AC中点，∵G为BC的中点，∵EF∥AB，EF12=AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，∴FG⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥AC，∵EO∩BD＝O，∴AC⊥平面BDE．【点睛】本题考查了线面平行和线面垂直的判定，属于中档题.17.某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E＝cv n T，其中v为行进时相对于水的速度，T为行进时的时间（单位：h），c为常数，n为能量次级数，如果水的速度为4km/h，该生物探测器在水中逆流行进200km．（1）求T关于v的函数关系式；（2）①当能量次级数为2时，求探测器消耗的最少能量；②当能量次级数为3时，试确定v的大小，使该探测器消耗的能量最少．【答案】（1）T2004v=-，（v＞4）；（2）①3200c②6【解析】【分析】（1）由题意得2004vT=-，化简即可得解；（2）①由题意得()2162002004844vE c c vv v⎡⎤=⋅=-++⎢⎥--⎣⎦，利用基本不等式即可得解；②由题意32004vE cv=⋅-，求导得()2226200(4)v vE cv-'=⋅-，确定单调性即可得解.【详解】（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T，又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4km/h，即为v﹣4，则200T=v﹣4，即T2004v=-，（v＞4）；（2）①当能量次级数为2时，由（1）知2004Tv=-，v＞4，22004v E c v =⋅=-()2[44]2004v c v -+⋅=-()16200484c v v ⎡⎤-++⎢⎥-⎣⎦ ≥200c8]＝3200c ，当且仅当v ﹣4164v =-，即v ＝8km /h 时取等号， ②当能量次级数为3时，由（1）知32004v E c v =⋅-，v ＞4，则()2226200(4)v v E c v -'=⋅-，由0E '=，解得v ＝6，即当v ＜6时，0E '<，当v ＞6时，0E '>， 即当v ＝6时，函数E 取得最小值为E ＝21600c ．【点睛】本题考查了函数的应用，考查了基本不等式和导数求最值的应用，属于中档题.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的焦距F 1F 2的长为2，经过第二象限内一点P （m ，n ）的直线22mx nya b+=1与圆x 2+y 2＝a 2交于A ，B 两点，且OA = （1）求PF 1+PF 2的值； （2）若AB •1283F F =，求m ，n 的值． 【答案】（1）．（2）m＝﹣1，n = 【解析】 【分析】（1）先说明点P 在椭圆上，根据椭圆性质即可得解；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程组得x 1+x 22244m n m =+，x 1x 2222484n n m-=+，转化条件得x 2﹣x 143=，代入解方程即可得解. 【详解】（1）∵OA =a =∵把点P （m ，n ）代入直线方程22mx ny a b +=1，可得：2222m n a b+=1，∴点P 在椭圆上，∴PF 1+PF 2＝2a ＝． （2）由a =c ＝1，∴b 2＝a 2﹣c 2＝1．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立22212x y mx ny ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，化为：（4n 2+m 2）x 2﹣4mx +4﹣8n 2＝0，∴x 1+x 22244m n m =+，x 1x 2222484n n m-=+． ∵AB 1283F F ⋅=，∴（x 2﹣x 1，y 2﹣y 1）•（2，0）83=，化为2（x 2﹣x 1）83=，即x 2﹣x 143=， ∴212()x x +-4x 1x 2169=，代入可得：()22222224481616(4)49n m n m n m --=++，化为：56n 4+10n 2m 2﹣36n 2﹣m 4＝0，又222m n +=1，把m 2＝2﹣2n 2代入化为8n 4﹣2n 2﹣1＝0， 解得m 2＝1，n 212=． ∵点P 在第二象限， ∴取m ＝﹣1，n =． 【点睛】本题考查了椭圆的性质和直线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于中档题. 19.已知函数 f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1，a ∈R ． （1）写出函数 f （x ）的最小正周期（不必写出过程）； （2）求函数 f （x ）的最大值；（3）当a ＝1时，若函数 f （x ）在区间（0，k π）（k ∈N *）上恰有2015个零点，求k 的值． 【答案】（1）最小正周期为π．（2）见解析（3）k ＝1008．【解析】【分析】（1）由题意结合周期函数的定义直接求解即可； （2）令t =t]，则当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2f x t at t μ==-， 当,2xπ⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()()22f x v t t at ==+-，易知()()t v t μ≤，分类比较()1v 、v 的大小即可得解；（3）转化条件得当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，则x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点，结合函数的周期即可得解. 【详解】（1）函数 f （x ）的最小正周期为π． （2）∵f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1＝sin2x ﹣1＝（sin2x +1），令t =，t]， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()(21f x t at t t μ==-≤≤， 当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()()(221f x v t t at t ==+-≤≤， ∵()()()2222220t v t at t t at t μ-=--+-=-+≤即()()t v t μ≤.∴()()(){}max max max 1,f x v t v v ==，∵()11v a =-，v=，∴当1a ≤--()f x 最大值为1a -；当1a >-()f x . （3）当a ＝1时，f （x ）sin 21x =-，若f （x ）＝0sin 21x =+即22sin 22sin 2sin x x x =+， ∴当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，∴x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点分别为2π，π， ∴2015＝2×1007+1，∴k＝1008．【点睛】本题考查了三角函数的综合问题，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于难题.20.已知λ，μ为常数，且为正整数，λ≠1，无穷数列{a n}的各项均为正整数，其前n项和为S n，对任意的正整数n，S n=λa n﹣μ．记数列{a n}中任意两不同项的和构成的集合为A．（1）证明：无穷数列{a n}为等比数列，并求λ的值；（2）若2015∈A，求μ的值；（3）对任意的n∈N*，记集合B n={x|3μ•2n﹣1＜x＜3μ•2n，x∈A}中元素的个数为b n，求数列{b n}的通项公式．【答案】（1）见解析；（2）31或403；（3）b n=n（n∈N*）【解析】【详解】（1）证明：∵S n=λa n﹣μ．当n≥2时，S n﹣1=λa n﹣1﹣μ，∴a n=λa n﹣λa n﹣1，λ≠1，∴，∴数列{a n}为等比数列，∵各项均为正整数，则公比=为正整数，λ为正整数，∴λ=2．（2）解：由（1）可得：S n=2a n﹣μ，当n=1时，a1=μ，则a n=μ•2n﹣1，∴A={μ（2i﹣1+2j﹣1）|1≤i＜j，i，j∈N*}，∵2015∈A，∴2015=μ（2i﹣1+2j﹣1）=μ•2i﹣1（1+2j﹣i）=5×13×31，∵j﹣i＞0，则1+2j﹣i必为不小于3的奇数，∵2i﹣1为偶数时，上式不成立，因此必有2i﹣1=1，∴i=1，∴μ（1+2j﹣1）=5×13×31，只有j=3，μ=403或j=7，μ=31时，上式才成立，∴μ=31或403．（3）解：当n≥1时，集合B n={x|3μ•2n﹣1＜x＜3μ•2n，x∈A}，即3μ•2n﹣1＜μ（2i﹣1+2j﹣1）＜3μ•2n，1≤i＜j，i，j∈N*．B n中元素个数，等价于满足3×2n＜2i+2j＜3×2n+1的不同解（i，j），若j ＞n+2，则2i +2j ≥2i +2n+3=2i +4×2n+1＞3×2n+1，矛盾． 若j ＜n+2，则2i+2j≤2i+2n+1≤2n+2n+1=3×2n，矛盾． ∴j=n+2，又∵（21+2n+2）﹣3×2n=2+4×2n﹣3×2n=2+2n＞0， ∴3×2n ＜21+2n+2＜22+2n+2＜…＜2n+1+2n+2=3×2n+1，即i=1，2，…，n 时，共有n 个不同的解（i ，j ），即共有n 个不同的x∈B n ， ∴b n =n （n∈N *）．【选做题】请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. [选修4-2：矩阵与变换]21.在平面直角坐标系xOy 中，先对曲线C 作矩阵()02cos sin A sin cos θθθπθθ-⎡⎤=<<⎢⎥⎣⎦所对应的变换，再将所得曲线作矩阵()10010B k k ⎡⎤=<<⎢⎥⎣⎦所对的变换．若连续实施两次变换所对应的矩阵为01102-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求,k θ的值． 【答案】212k πθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.【解析】 【分析】连续实施两次变换所对应的矩阵为01102-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故得到BA =01102-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，然后得到方程组，求得,k θ的值．【详解】解：先对曲线C 作矩阵()02cos sin A sin cos θθθπθθ-⎡⎤=<<⎢⎥⎣⎦所对应的变换，再将所得曲线作矩阵()10010B k k ⎡⎤=<<⎢⎥⎣⎦所对的变换，故得到连续实施两次变换所得到的变换矩阵为：10cos sin cos sin 0sin cos sin cos BA k k k θθθθθθθθ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦因为连续实施两次变换所对应的矩阵为01102-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 所以01cos sin 1sin cos 02k k θθθθ-⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 根据矩阵相等定义得到，cos 0sin 11sin 2cos 0k k θθθθ=⎧⎪-=-⎪⎪⎨=⎪⎪=⎪⎩，解得212k πθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【点睛】本题考查了矩阵乘法的运算，矩阵乘法不满足交换律，故在求解矩阵乘法变换时，一定要注意先后顺序.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22.在极坐标系中，已知1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积． 【答案】l 的极坐标方程及cos 53πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,ABC ∆的面积. 【解析】 【分析】 将1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段AB 的中点与直线AB 的斜率，进而求出直线l 在直角坐标系下的方程，再转化为极坐标方程；在直角坐标系下，求出点C 到直线AB 的距离、线段AB 的长度，从而得出ABC ∆的面积. 【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xoy 在平面直角坐标系xoy 中，1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的坐标为19((22A B线段AB 的中点为5(,22A ，AB k故线段AB 中垂线的斜率为1AB k k -==，所以AB 的中垂线方程为：5)2y x =-化简得：100x +-=，所以极坐标方程为cos sin 100ρθθ+-=， 即cos()53πρθ-=，令0y =，则10x =，故在平面直角坐标系xoy 中，C （10,0）点C 到直线AB ：y =的距离为d ==线段8AB =，故ABC ∆的面积为182S =⨯=. 【点睛】本题考查了直线的极坐标方程问题，解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐标系下的问题，从而转化为熟悉的问题. [选修4-5：不等式选讲]23.已知实数,a b 满足2a b +≤，求证：22224(2)a a b b a +-+≤+． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】对2222a a b b +-+进行转化，转化为含有2a b +≤形式，然后通过不等关系得证. 【详解】解：因为2a b +≤， 所以2222a a b b +-+2222a b a b =-++ ()()()2a b a b a b =-+++2a b a b =+-+()22a b a a b =+-++ 22a b a a b ≤++++()22222244242a a a a ≤++=+=+≤+,得证.【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的条件，考查了学生转化与化归的能力.24.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .（1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值; （2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值.【答案】（1）36（2）λ＝2 【解析】分析：以1,,DA DC DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，写出各点的坐标，（1）求出异面直线DE 与CD 1的方向向量用数量积公式两线夹角的余弦值（或补角的余弦值）（2）求出两个平面的法向量，由于两个平面垂直，故它们的法向量的内积为0，由此方程求参数λ的值即可．详解：(1)以1,,DA DC DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．则A (1，0，0)，11022O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，()010C ，，，D 1(0，0，1)， E 111442⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， 于是111442DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，()1011CD =-，，. 由cos 1DE CD 〈〉，＝11||DE CD DECD ⋅⋅＝所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为（2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD ＝0得 1111110220x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，，取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) . ………8分 由D 1E ＝λEO ，则E ()()121211λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪+++⎝⎭，，，DE =()()121211λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪+++⎝⎭，，.10分又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE ＝0.得 ()()22220021211y x y z λλλλλ=⎧⎪⎨++=⎪+++⎩，， 取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) .12分 因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得2λ＝ ．点睛：本题查了异面直线所成的角以及两个平面垂直的问题，本题采用向量法来研究线线，面面的问题，这是空间向量的一个重要运用，大大降低了求解立体几何问题的难度．25.一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ；（2）求恰好得到()*n n ∈N分的概率.【答案】（1）见解析；（2）11 [2()]32n+-【解析】【分析】（1）抛掷5次的得分ξ可能为5,6,7,8,9,10，且正面向上和反面向上的概率相等，都为12，所以得分ξ的概率为5551()()(5,6,7,8,9,10)2iP i C iξ-===，即可得分布列和数学期望；（2）令n P表示恰好得到n分的概率，不出现n分的唯一情况是得到1n-分以后再掷出一次反面．，因为“不出现n分”的概率是1n P-，“恰好得到1n-分”的概率是1n P-，因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1112n nP P--=，即1212()323n nP P--=--，所以23nP⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以121213236P-=-=-为首项，以12-为公比的等比数列，即求得恰好得到n分的概率．【详解】（1）所抛5次得分ξ的概率为5551()()(5,6,7,8,9,10)2iP i C iξ-===，其分布列如下105555115()22iiE iCξ-===∑（2）令n P表示恰好得到n分的概率，不出现n分的唯一情况是得到1n-分以后再掷出一次反面．因为“不出现n分”的概率是1n P-，“恰好得到1n-分”的概率是1nP-，因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1112n nP P--=，即1212()323n nP P--=--．于是23nP⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以121213236P-=-=-为首项，以12-为公比的等比数列．所以1211()362n n P --=--，即11[2()]32n n P =+-． 恰好得到n 分的概率是11[2()]32n +-． 【点睛】此题考查了独立重复试验，数列的递推关系求解通项，重点考查了学生的题意理解能力及计算能力．。

江苏省海安高级中学2020学年高三数学综合检测试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第lI 卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟． 注意事项：答题前考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答卷纸的密封线内．每题答案写在答卷纸上对应题目的答案空格里，答案不写在试卷上．考试结束，将答卷纸交回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 正棱锥、圆锥的侧面积公式 P （A +B ）=P （A ）+P （B ）S 锥侧=21cl 如果事件A 、B 相独立，那么 其中c 表示底面周长，l 表 P （A·B ）=P （A ）·P （B ）示斜高或母线长 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那 球的表面积公式 么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率S 24R π= P n （k ）=C kn P k （1-P ）kn -其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、择题题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选顶中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ={1,2,3, 4,5,6}，集合P ={1,2,3,4}，Q ={3,4,5,6}，则P )(Q C U IA ．{1,2}B ．{3,4}C ．23D ．12．已知a =（cos40°，sin40°），b +（sin20°，cos20°），则a ·b 的值为A ．22B ．21 C ．23 D ．13．将函数y =sin2x 的图象按向量a =（-,06π）平移后的图象的函数解析式为A ．y =sin （2x +3π） B ． y =sin （2x -3π） C ． y =sin （2x +6π） D ． y =sin （2x -6π） 4．已知双曲线191622=-y x ,双曲线上的点P 到左焦点的距离与点P 到左准线的距离之比等于A ．54 B ．34 C ．47 D ．45 5．（2x +x ）4的展开式中的x 3系数是A ．6B ．12C ．24D ．486．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A ．y =x1B ．y =2x -C ．y =lgxx+-11D ．||x y -=7．将棱长相等的正方体按右图所示的形状摆放，从上往下依次为第一层，第二层，第三层…，则第6层正方体的个数是A ．28B ．21C ．15D ．118．设γβα,,为两两不重合的平面，n m ,为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若βγα,⊥∥γ，则βα⊥； ②若βγα,⊥∥γ，则α∥β； ③若,,a n a m ∥∥；∥则n m④若βγα,⊥⊥γ，γβ⊥=m m a ，则I ． 其中真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．49．若的是，则：q p x xq x x p 0|1|1,02:2>-+<--A ．充分不必要条件B ．必要不充分C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．如果一条直线与一个平面平行，那么，称此直线与平构成一个“平行线面线”．在一个平行六面体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面线”的个数是A ．60B ．48C ．36D ．24第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分．把答案填在题中的横线上．11．一个电视台在因特网上就观众对其某一节止的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为15000人，其中持各种态度的人数如下表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取选出150人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在“喜爱”这类态度的观众中抽取的人数为_____________ 12．已知=)(x f log )2(2+x ,函数g （x ）的图象与函数f （x ）的图象关于直线y=x 对称，则g （1）=____________13．已知圆044222=+-++y x y x 关于直线y=2x+b 成轴对称，则b=_________． 14．函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是______________．15．一个正四棱柱的顶点都在球面上，底面边长为1，高为2，则此球的表面积为________． 16．已知抛物线)1,0(,22P y x 过点=的直线与抛物线相交于),(),(221,1y x B y x A 两点，则21y y +的最小值是___________．三、解答题：本大题5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分，第一小问满分6分，第二小问满分6分）已知数列（n a ）是等差数列，（n b ）是等比数列，且a 1=b 1=2,b 4=54,a 1+a 3=b 2+b 3． （1）求数列{n b }的通项公式 （2）求数列{n a }的前10项和S 10．18．（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二小问满分8分）一个口袋内装有大小相同且已编有不同号码的4个黑球和3个红球，某人一次从中摸出2个球。

江苏省南通市2019-2020学年高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =u u u u r u u u r ，BM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（ ）A ．12- B ．-2 C ．12 D ．2【答案】A【解析】【分析】 设BD k BC =u u u r u u u r ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出BM u u u u r ，求出,λμ的值即可得出答案.【详解】设BD k BC k AC k AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r由2AM AD =u u u u r u u u r()112222k k BM BA BD AB AC AB ∴=+=-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1222k k AB AC ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ， 1,222k k λμ∴=--=， 12λμ∴+=-. 故选：A【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.2．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】【分析】取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，根据正棱柱的结构性质，得出1A E //AD ，则1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，求出11tan CECA E A E ∠=，即可得出结果.【详解】解：如图，取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，由于正三棱柱111ABC A B C -，则1BB ⊥底面111A B C ，而1A E ⊂底面111A B C ，所以11BB A E ⊥，由正三棱柱的性质可知，111A B C △为等边三角形，所以111A E B C ⊥，且111A E B C E =I ,所以1A E ⊥平面11BB C C ，而EC ⊂平面11BB C C ，则1A E ⊥EC ，则1A E //AD ，190A EC ∠=︒，∴1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，设2AB =，则122AA =13A E =，3CE =， 则11tan 33CE CA E A E∠===∴13πCA E ∠=.故选：C.【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.3．函数()()sin ωϕ=+f x x 的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为（）A ．51,,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎦∈⎣B ．512,2,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦C ．51,,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦D ．512,2,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】【分析】 由图象可以求出周期，得到ω，根据图象过点3(,1)4-可求ϕ，根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.【详解】 由图象知51=1244T -=， 所以2T =，22πωπ==， 又图象过点3(,1)4-， 所以31sin()4πϕ-=+， 故ϕ可取34π， 所以3()sin()4f x x ππ=+令322,242k x k k Z ππππππ-≤+≤+∈， 解得5122,44k x k k Z -≤≤-∈ 所以函数的单调递增区间为512,2,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用“五点法”求函数解析式，属于中档题.4．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ）A．i-B．i C．1-D．1【答案】D【解析】【分析】由已知等式求出z，再由共轭复数的概念求得z，即可得z的虚部.【详解】由zi＝1﹣i，∴z＝()()111·i iiii i i---==---，所以共轭复数z=-1+i，虚部为1故选D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题．5．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（）A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP比例持续7年保持在4%以上C．从2010年至2018年，中国GDP的总值最少增加60万亿D．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年【答案】C【解析】【分析】观察图表，判断四个选项是否正确．【详解】由表易知A、B、D项均正确，2010年中国GDP为1.4670413.55%≈万亿元，2018年中国GDP为3.6990904.11%=万亿元，则从2010年至2018年，中国GDP 的总值大约增加49万亿，故C 项错误． 【点睛】本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．6．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）A 3B ．2C 3D 23【答案】A【解析】【分析】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，得到ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，进而求得其正弦值，得到结果. 【详解】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，由题可知AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以BD ⊥平面AEC ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，则AO ⊥平面BDC ，所以ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，所以2sin AO ADO AD∠==，可得32AO = 在AOE △中可得3OE =， 又132OC BD ==，即点O 与点C 重合，此时有AC ⊥平面BCD ， 过C 作CF AE ⊥与点F ，又BD AEC ⊥平面，所以BD CF ⊥，所以CF ⊥平面ABD ，从而角CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，3sin 333CE CAE AE ∠===， 故选：A.【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目.7．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+?上单调递增的是（ ） A ．y x = B ．()sin f x x x = C ．()2f x x x =+ D ．1y x =+ 【答案】C【解析】【分析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【详解】A ：y x =为非奇非偶函数，不符合题意；B ：()sin f x x x =在()0,∞+上不单调，不符合题意；C ：2y x x =+为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意；D ：1y x =+为非奇非偶函数，不符合题意.故选：C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.8．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．1415【答案】C【解析】【分析】由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+，在Rt ACB 'V 中，列勾股方程可解得x，然后由P2xx=+得出答案.【详解】解：由题意知：2BC=，'5B C=，设AC x=，则2AB AB x'==+在Rt ACB'V中，列勾股方程得：()22252x x+=+，解得214x=所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为21214P2122924xx===++故选C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．103B．3C．83D．73【答案】A【解析】【分析】根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.【详解】由题意，该几何体如图所示：该几何体的体积11110222222323V=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=.故选：A.【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．10．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ=u u u v u u u v ()·cos ?cos AB AC AB B AC C+u u u v u u u v u u u v u u u v ，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ） A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心 【答案】B【解析】【分析】解出AP u u u r ，计算AP BC ⋅u u u r u u u r并化简可得出结论．【详解】 AP OP OA =-=u u u r u u u r u u u r λ（AB AC AB cosB AC cosC+⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ）， ∴()...0AB BC AC BC AP BC BC BC AB cosB AC cosC λλ⎛⎫ ⎪=+=-+= ⎪⋅⋅⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴AP BC u u u r u u u r ⊥，即点P 在BC 边的高上，即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心．故选B ．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP BC ⋅u u u r u u u r 是关键．11．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．()2112f t t f ⎛⎫++> ⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +> 【答案】D【解析】【分析】根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可．【详解】由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=∴函数()f x 关于直线1x =-对称；()f x Q 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <g ；又(2)(0)f f -=Q()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；223112()0224t t t ++-=++>Q ，21t t ∴++比12离对称轴远， ∴可得21(1)()2f t t f ++>，∴选项A 成立； 22(3)(2)250t t t +-+=+>Q ，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；20t -<<Q ，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．故选：D ．【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 12．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 ()()21f x ax x ax x =-=-，令20,ax x -=解得1210,x x a==当0a ≤，()f x 的图像如下图当0a >，()f x 的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期模拟考试数学试题一、填空题1．已知全集2,1,0,1,{}2U ＝﹣﹣，集合2,,}1,{1A ＝﹣﹣则UA ＝_____．【答案】{}0,2【解析】根据补集的定义求解即可. 【详解】解：2,1,0,1,2{}{,2,1,1,}U A ＝﹣﹣＝﹣﹣ {}0,2U A ∴＝．故答案为{}0,2． 【点睛】本题主要考查了补集的运算,属于基础题.2．已知复数()()1z i a i =⋅+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为_____． 【答案】1﹣【解析】利用复数的乘法求解z 再根据纯虚数的定义求解即可. 【详解】解：复数()()()111z i a i a a i ⋅+++＝﹣＝﹣为纯虚数, 10,10,a a ∴+≠＝﹣解得1a =﹣． 故答案为：1﹣． 【点睛】本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题. 3．数据1,3,5,7,9的标准差为_____．【答案】【解析】先计算平均数再求解方差与标准差即可. 【详解】解：样本的平均数1357955x ++++==,∴这组数据的方差是()()()()()222222115355575955S ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦ 28,S ∴＝标准差22S ＝, 故答案为：22 【点睛】本题主要考查了标准差的计算,属于基础题. 4．函数()12x f x =-的定义域是__________． 【答案】(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.5．在一底面半径和高都是2m 的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出的32m 种子，则取出了带麦锈病种子的概率是_____． 【答案】14π【解析】求解32m 占圆柱形容器的的总容积的比例求解即可. 【详解】解：由题意可得：取出了带麦锈病种子的概率221224ππ==⨯⨯．故答案为：14π． 【点睛】本题主要考查了体积类的几何概型问题,属于基础题.6．如图是一个算法伪代码，则输出的i 的值为_______________.【答案】5【解析】执行循环结构流程图，即得结果. 【详解】执行循环结构流程图得9123410S =----=-<,结束循环，输出415i =+=. 【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析与运算能力，属基础题.7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()22210y x b b-=>经过点（3,4），则该双曲线的准线方程为_____．【答案】3x ±＝ 【解析】代入()3,4求解得b ,再求准线方程即可. 【详解】解：双曲线()22210y x b b-=>经过点()3,4,221631b∴=﹣,解得22b ＝,即b ．又1,a ∴＝c ==故该双曲线的准线方程为：3x ±＝ ．故答案为：3x ±＝． 【点睛】本题主要考查了双曲线的准线方程求解,属于基础题.8．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，396,,S S S 成等差数列，则258a a a +的值为_____． 【答案】2【解析】设等比数列{}n a 的公比设为,q 再根据396,,S S S 成等差数列利用基本量法求解,q 再根据等比数列各项间的关系求解258a a a +即可. 【详解】解：等比数列{}n a 的公比设为,q396,,S S S 成等差数列,可得9362,S S S +＝若1,q ＝则1111836,a a a +＝ 显然不成立,故1,q ≠则()()()9361111112111a q a q a q qqq---⋅=+---,化为6321,q q +＝解得312q ＝﹣,则43251176811112214a a a q a q qa a q q -+++====故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及运用,属于中档题.9．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是______.（写出所有正确命题的序号） ①因为当3x π=时，2sin sin 3x x π⎛⎫+≠⎪⎝⎭，所以23π不是函数sin y x =的周期； ②对于定义在R 上的函数()f x ，若()()22f f -≠，则函数()f x 不是偶函数； ③“M N >”是“22log log M N >”成立的充分必要条件； ④若实数a 满足24a <，则2a ≤. 【答案】①②④.【解析】由周期函数的定义判断①；由偶函数的概念判断②；由充分必要条件的判定判断③；求解一元二次不等式判断④. 【详解】 因为当3x π=时，2sin sin 3x x π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，所以由周期函数的定义知23π不是函数sin y x =的周期，故①正确；对于定义在R 上的函数()f x ，若()()22f f -≠，由偶函数的定义知函数()f x 不是偶函数，故②正确；由M N >，不一定有22log log M N >，反之成立，则“M N >”是“22log log M N >”成立的必要不充分条件，故③错误；若实数a 满足24a <，则22a -≤≤，所以2a ≤成立，故④正确. ∴正确命题的序号是①②④. 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题. 10．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为_____．【答案】43【解析】画图直观图可得该几何体为棱锥,再计算高求解体积即可. 【详解】解：如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为2的正方形,上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,∴此四棱锥S ABCD ﹣中,ABCD 是边长为2的正方形,SAD 是边长为2的等边三角形,故CD AD ⊥,又CD SD ⊥,AD SD D ⋂= 故平面SAD ⊥平面ABCD ,∴SAD 的高SE 是四棱锥S ABCD ﹣的高, ∴此四棱锥的体积为:112233ABCD V S SE ⨯=⨯⨯=正方形＝故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了四棱锥中的长度计算以及垂直的判定和体积计算等,需要根据题意11．在平面直角坐标系xOy 中，若函数()f x lnx ax ＝﹣在1x ＝处的切线与圆22210C x x y a ++：﹣﹣＝存在公共点，则实数a 的取值范围为_____．【答案】(][)0,12,+∞【解析】利用导数的几何意义可求得函数()f x lnx ax ＝﹣在1x ＝处的切线,再根据切线与圆存在公共点,利用圆心到直线的距离满足的条件列式求解即可. 【详解】解：由条件得到()1'f x a x=- 又()()1,'11f a f a =-=-所以函数在1x ＝处的切线为()()()1111y a x a a x ＝﹣﹣-＝﹣﹣, 即()110a x y ﹣﹣﹣＝ 圆C 方程整理可得：()221x y a -+= 即有圆心()1,0C 且0a ＞ 所以圆心到直线的距离d ==≤,≤解得2a ≥或01≤＜a , 故答案为：(][)0,12,+∞．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程的问题,同时也考查了根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题,属于基础题.12．已知函数()32,f x ax bx cx ++＝若关于x 的不等式()0f x ＜的解集是()(),10,2∞⋃﹣﹣，则b ca+的值为_____． 【答案】3-【解析】根据题意可知20ax bx c ++＝的两根为1,2-,再根据解集的区间端点得出参数的关系,再求解b ca+即可. 【详解】解：因为函数()()322f x ax bx cx x ax bx c =++=++,关于x 的不等式()0f x <的解集是()(),10,2-∞-⋃20ax bx c ∴++＝的两根为：1﹣和2；所以有：()12ba +﹣=-且()12c a⨯﹣=； b a ∴＝﹣且2c a ＝﹣；23b c a aa a+--∴==-； 故答案为：3﹣ 【点睛】本题主要考查了不等式的解集与参数之间的关系,属于基础题.13．在边长为4的菱形ABCD 中，60,A ︒＝点P 在菱形ABCD 所在的平面内．若3,PA PC ＝PB PD ⋅=_____．【答案】1-【解析】以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设(),P x y ,根据3,PA PC ＝P 的坐标,进而求得PB PD ⋅即可.【详解】解：连接,,AC BD 设,AC BD 交于点,O 以点O 为原点, 分别以直线,OC OD 为,x y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则：()23,23()0202()(),A C B D --，，,，,， 设(),P x y321,PA PC ==,((2222392321x y x y ⎧++=⎪∴⎨⎪-+=⎩①﹣②得,312,x =-解得3x =, 32y ∴=±, 332P ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭或332P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,显然得出的PB PD ⋅是定值,∴取332P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭则3731,,,2222PB PD ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 37144PB PD ∴⋅=-=-． 故答案为：1-． 【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.14．设函数()21722,04,k x x f x x x ⎧+⎛⎫-+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩，()43g x k x ⎛⎫⎪⎝⎭＝-，其中0k >．若存在唯一的整数,x 使得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是_____． 【答案】17[3,6] 【解析】根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数x 使得()()f x g x <数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可. 【详解】解：函数()21722,04,0k x x f x x x ⎧+⎛⎫-+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩,且0,k ＞ 画出()f x 的图象如下：因为()43g x k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,且存在唯一的整数,x 使得()()f x g x <, 故()g x 与()f x 在0x <时无交点,174k k +∴≥,得173k ≥； 又()43g x k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,()g x ∴过定点4,03⎛⎫⎪⎝⎭又由图像可知,若存在唯一的整数x 使得()()f x g x <时43x >,所以2x ≥ ()()58533939g k f ≥≥=＝,∴存在唯一的整数3,x =使得()()f x g x <所以()()22243g k f =≤=6k ⇒≤ ()()844163g k f ∴≤=＝6k ⇒≤.根据图像可知,当4x ≥时, ()()f x g x >恒成立.综上所述, 存在唯一的整数3,x =使得()()f x g x <,此时1763k ≤≤ 故答案为：17[3,6] 【点睛】本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭右边的整数点中3x =为满足条件的唯一整数,再数形结合列出2,4x =时的不等式求k 的范围.属于难题.二、解答题15．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线,AC BD 交于点,O M 为棱PD 的中点，MA MC =．求证：（1）//PB 平面AMC ； （2）平面PBD ⊥平面AMC ． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】(1) 连结,OM 根据中位线的性质证明//PB OM 即可. (2) 证明AC BD ⊥,AC PD ⊥再证明AC ⊥平面PBD 即可.【详解】解：()1证明：连结,OMO 是菱形ABCD 对角线AC BD 、的交点,O ∴为BD 的中点, M 是棱PD 的中点, //,OM PB ∴OM ⊂平面,AMC PB ⊄平面,AMC//PB ∴平面,AMC()2解：在菱形ABCD 中,,AC BD ⊥且O 为AC 的中点,,MA MC ＝AC OM ∴⊥, OM BD O ⋂＝, AC ∴⊥平面,PBD AC ⊂平面AMC ,∴平面PBD ⊥平面AMC ．【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定,属于基础题.16．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知tan ,tan ,tan A B C 成等差数列，cos cos ,cos A C B 成等比数列． （1）求A 的值；（2）若ABC 的面积为1,求c 的值． 【答案】（1）4A π＝；（2）3c ＝【解析】(1)根据,,tanA tanB tanC 成等差数列与三角形内角和可知()tanC tan A B =-+,再利用两角和的正切公式,代入2,tanB tanA tanC +＝化简可得22tan tan tan 3A B A -=,同理根据三角形内角和与余弦的两角和公式与等比数列的性质可求得2tanAtanB ＝,联立即可求解求A 的值.(2)由(1)可知2,tan 3tanB C =＝,再根据同角三角函数的关系与正弦定理可求得b ,再结合ABC 的面积为1,利用面积公式求解即可. 【详解】解：()1,,tanA tanB tanC 成等差数列, 可得2,tanB tanA tanC +＝ 而()1tanA tanB tanC tan A B tanAtanB +=-+-＝,即tan tan 2tan tan tan tan 1A BB A A B +-=-,展开化简得222tan tan 2tan tan tan tan A B B A B B --=,因为tan 0B ≠,故 22tan tan tan 3A B A -=①又cosA cosB 成等比数列,可得()cosAcosB cosC cos A B sinAsinB cosAcosB +＝＝-＝-, 即2sinAsinB cosAcosB ＝, 可得2,tanAtanB ＝②联立①②解得1tanA ＝（负的舍去）, 可得锐角4A π＝；()2由()1可得2,3tanB tanC ＝＝,由sin 2cos BtanB B ＝＝22,1,sin B cos B B +＝为锐角,解得5sinB ＝,因为sin 3cos C tanC C =＝22,1,sin C cos C C +＝为锐角,故可得sinC ,由正弦定理可得sin2253sin10c Bb c cC==＝,又ABC的面积为1,可得21122212232bcsinA c⋅⋅=＝,解得3c＝．【点睛】本题主要考查了等差等比中项的运用以及正切的和差角公式以及同角三角函数关系等.同时也考查了正弦定理与面积公式在解三角形中的运用,属于中档题.17．某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以AB为直径的圆，且300AB=米，景观湖边界CD与AB平行且它们间的距离为502米．开发商计划从A点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作PQ．设2AOPθ∠=．（1）用θ表示线段,PQ并确定sin2θ的范围；（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ的长度设计到最长，求PQ的最大值．【答案】（1）502300sincosPQθθ-＝2sin21θ<≤；（2）6.【解析】(1)过点Q作QH AB⊥于点,H再在AOP中利用正弦定理求解AP,再根据sin2QHAQπθ⎛⎫-⎪⎝⎭＝求解AQ,进而求得PQ.再根据0PQ>确定sin2θ的范围即可.(2)根据(1)有150232cosPQ sinθθ⎫=-⎪⎭,再设()132cosf sinθθθ=-,求导分析函数的单调性与最值即可. 【详解】 解：()1过点Q 作QH AB ⊥于点,H 则502QH ＝在AOP 中,150,2OA OP AOP θ∠＝＝＝,2OAP πθ∴∠-＝, 由正弦定理得：sin 2sin 2OP APπθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭,300AP sin θ∴＝,502cos sin 2QH AQ πθθ∴=⎛⎫- ⎪⎝⎭＝, 502==300cos PQ AP AQ sin θθ∴--, 5023000cos PQ sin θθ->＝,因为cos 0θ>, 化简得2sin 213θ<≤ ()2502130050232cos PQ sin sin θθθ⎫=-⎪⎭＝, 令()132cos fθθθ=-2sin 21θ<≤,且2(0,)θπ∈, ()22sin tan '32cos 32cos cos f θθθθθθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()222sin cos tancoscosθθθθθ⎛⎫+⎪=⎪⎝⎭()()23cos tan1tan cos tan tanθθθθθθ⎡⎤=+=-⎣⎦因为(0,)2πθ∈,故cos0θ>令'()0,fθ＝即3tan tan0θθ+-=,230(,)tan tanθθθ∴+=记000,2tanθθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,当00θθ＜＜时,()()'0,f fθθ>单调递增；当02πθθ＜＜时,()()'0,f fθθ<单调递减,又233sinθ=>,∴当tanθ时,()fθ取最大值,此时33sin cosθθ,1c osPQθθ⎫=-=⎪⎭PQ∴的最大值为【点睛】本题主要考查了三角函数在实际中的应用,需要根据题意建立角度与长度间的关系,进而求导分析函数的单调性,根据三角函数值求解对应的最值即可.属于难题.18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心为坐标原点,O焦点在x轴上，右顶点()2,0A到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为12．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若,M N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设()4,0P-，连接PM交椭圆C 于另一点E．求证：直线NE过定点,B并求出点B的坐标；（3）在（2）的条件下，过点B的直线交椭圆C于,S T两点，求OS OT⋅的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明详见解析，()1,0B -；（3）54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)根据题意列出关于,,a b c 的等式求解即可.(2)先根据对称性,直线NE 过的定点B 一定在x 轴上,再设直线PM 的方程为(4)y k x +＝,联立直线与椭圆的方程, 进而求得NE 的方程,并代入11(4)y k x +＝,22(4)y k x +＝化简分析即可.(3)先分析过点B 的直线ST 斜率不存在时OS OT ⋅的值,再分析存在时,设直线ST 的方程为(1)y m x +＝,联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理再代入3434OS OT x x y y ⋅=+求解出关于k 的解析式,再求解范围即可. 【详解】解：()1设椭圆C 的标准方程()222210,x y a b a b+=>>焦距为2c ,由题意得,2,a ＝由212a c c a a a c-==-,可得1,c ＝则2223b a c ＝﹣＝,所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；()2证明：根据对称性,直线NE 过的定点B 一定在x 轴上,由题意可知直线PM 的斜率存在, 设直线PM 的方程为(4)y k x +＝,联立22(4)143y k x x y +⎧⎪⎨+=⎪⎩＝,消去y 得到()2222433264120k x k x k +++﹣＝, 设点1122(,),(,)M x y E x y ,则11(,)N x y ﹣． 所以22121222326412,4343k k x x x x k k -+=-=++,所以NE 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--,令0,y ＝得()221221y x x x x y y -==+,将11(4)y k x +＝,22(4)y k x +＝代入上式并整理,()121212248x x x x x x x ++=++,整理得()()2222128241281322432k k x k k --==--++,所以,直线NE 与x 轴相交于定点(1,0)B -．()3当过点B 的直线ST 的斜率不存在时,直线ST 的方程为1x =-331,1,22S T ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,, 此时54OS OT ⋅=-, 当过点B 的直线ST 斜率存在时,设直线ST 的方程为(1)y m x =+,且3344(,),(,)S x y T x y 在椭圆C 上,联立方程组22(1)143y m x x y +⎧⎪⎨+=⎪⎩＝,消去y ,整理得22224384120m x m x m +++（）﹣＝, 则()()()()22222844341214410mmm m ++＝﹣﹣＝＞．所以223434228412,,4343m m x x x x m m -+=-=++ 所以()()()222343434324439111m y y m x x m x x x m x =++=++=-++, 所以()2342342451253344343m OS OT x x y m m y +⋅=+=-=-++-, 由20,m ≥得54,4OS OT ⎡⎫⋅∈--⎪⎢⎣⎭,综上可得,OS OT ⋅的取值范围是54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及定值和范围的问题,需要分析直线的斜率是否存在的情况,再联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理以及所求的解析式,结合参数的范围进行求解.属于难题.19．已知函数()212ax f x bx+＝，其中0,0a b >>．（1）①求函数()f x 的单调区间； ②若12,x x 满足)1,2i x i =>，且1220,0x x x >+>．求证：()()122f x f x b>+ ． （2）函数()2ln 12g x ax x -＝．若12,x x ⎛∈ ⎝对任意，12,x x ≠都有()()()()1212||||f x f x g x g x ->-，求b a -的最大值．【答案】（1）①单调递增区间⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎭，单调递减区间⎛ ⎝；②详见解析；（2）116. 【解析】(1)①求导可得()221,02ax f x x bx-'=≠,再分别求解()0f x '>与()0f x '<的解集,结合定义域分析函数的单调区间即可.②根据(1)中的结论,求出()()122f x f x +的表达式,再分10x ＜与1>0x 两种情况,结合函数的单调性分析()()122f x f x +的范围即可.(2)求导分析()2ln 12g x ax x -＝的单调性,再结合()f x 单调性,设12,x x <去绝对值化简可得()()()()11220[]f x g x f x g x ---＞,再构造函数()()()M x f x g x ＝﹣,x⎛∈ ⎝,根据函数的单调性与恒成立问题可知10≥,再换元表达b a -求解最大值即可. 【详解】解：()()2211,02ax f x x bx -'=≠,由()0f x '>可得x>或x <由()0f x '<可得x<<故函数的单调递增区间⎛-∞ ⎝,⎫+∞⎪⎭,单调递减区间⎛ ⎝；1220,0x x x +②＞＞,10x ∴＞或10x ＜,若10x ＞,因为i x ,故1x ＞2x由①知f x （）在⎫+∞⎪⎭上单调递增,()()1223f x f x f b b +=>＞, 若10,x ＜由1x 可得1x <x 1, 因为1220,0x x x +＞＞, 所以21x x ＞﹣, 由f x ①（）在⎫+∞⎪⎭上单调递增,()()()()()1211122f x f x f x f x f x ++-->＞=综上()()122f x f x +． ()20x＜时,()2110axg x ax x x -'=-=<,g x （）在⎛ ⎝上单调递减,不妨设12,x x ＜ 由(1)()f x 在⎛ ⎝上单调递减,由()()()()1212f x f x g x g x ->-, 可得()()()()1212f x f x g x g x ->-, 所以()()()()11220[]f x g x f x g x ---＞,令()()()M x f x g x ＝﹣,x ⎛∈ ⎝, 可得M x （）单调递减, 所以()()()222211211022ax bx ax M x ax bx x bx---'=-+=≤在⎛ ⎝上恒成立, 即120bx ≥﹣在⎛ ⎝上恒成立,即10≥,所以b ≤,2111241616b a a ⎫≤-=-+≤⎪⎭﹣ ,所以b a ﹣的最大值116． 【点睛】本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题,同时也考查了利用导数求解函数不等式以及构造函数分析函数的最值解决恒成立的问题.需要根据题意结合定义域与单调性分析函数的取值范围与最值等.属于难题.20．已知{}{}{},,n n n a b c 都是各项不为零的数列，且满足1122,*,n n n n a b a b a b c S n N ⋯+=++∈其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，{}n c 是公差为()0d d ≠的等差数列．（1）若数列{}n a 是常数列，2d =，23c =，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n a n λ=λ（是不为零的常数），求证：数列{}n b 是等差数列； （3）若11a c d k ===（k 为常数，*k N ∈），()2,*n n k b c n n N +≥∈=．求证：对任意112,*,n n n n b b n n N a a ++≥∈>的恒成立． 【答案】（1）43n b n -＝；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】(1)根据2d =,23c =可求得n c ,再根据{}n a 是常数列代入1122,*,n n n n a b a b a b c S n N ⋯+=++∈根据通项与前n 项和的关系求解{}n b 即可.(2)取1n =,并结合通项与前n 项和的关系可求得11,n n n n n n S c S c a b ﹣﹣﹣＝再根据1n n n a S S -=-化简可得1n n n S d nc nb λλ+﹣＝,代入()112n n n S λ--=化简即可知()1332n n b n b d --=≥,再证明2132b b d -=也成立即可. (3)由(2) 当2n ≥时,11()n nn n n n n S c c a c a b +﹣﹣﹣＝,代入所给的条件化简可得1,n n S ka ﹣＝()11n n n n S S a k a ++﹣＝＝,进而证明可得11n n k a a k-+=,即数列{}n a 是等比数列.继而求得21n n k a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭,再根据作商法证明11n n n n b b a a ++>即可. 【详解】()1解：22,3,d c ＝＝21n c n ∴＝﹣．{}n a 是各项不为零的常数列,12,n a a a ∴⋯＝＝＝则1n S na ＝,则由1122n n n n c S a b a b a b ++⋯+＝,及21,n c n＝﹣得()1221n n n b b b ++⋯+﹣＝, 当2n ≥时,()()121123n n n b b b ++⋯+﹣﹣﹣＝,两式作差,可得43n b n＝﹣． 当1n ＝时,11b ＝满足上式,则43n b n＝﹣； ()2证明：1122n n n n a b a b a b c S ++⋯+＝,当2n ≥时,11221111n n n n a b a b a b c S ++⋯+﹣﹣﹣﹣＝,两式相减得：11,n n n n n n S c S c a b ﹣﹣﹣＝ 即()()11111,n n n n n n n n n n n n n n S a c S c a b S c c a c a b ++﹣﹣﹣﹣﹣﹣＝﹣＝．即1n n n S d nc nb λλ+﹣＝．又()112n n n S λ--=,()12n n n n d nc nb λλλ-∴+=,即12n n n d c b -+=． ∴当3n ≥时,1122n n n d c b ---+=,两式相减得：()1332n n b n b d --=≥．∴数列{}n b 从第二项起是公差为32d 的等差数列．又当1n ＝时,由1111,S c a b ＝得11c b ＝,当2n ＝时,由22112113222b d c d c d b d -=+=++=+,得2132b b d -=． 故数列{}n b 是公差为32d 的等差数列；()3证明：由()2,当2n ≥时,()11n n n n n n n S c c a c a b +﹣﹣﹣＝,即()1n n nn S d a b c ﹣＝﹣, n n k b c +＝,n n b c kd ∴+＝,即n n b c kd ﹣＝, 1•,n n S d a kd ∴﹣＝即1n n S ka ﹣＝． ()11n n n n S S a k a ∴++﹣＝＝,当3n ≥时,()111,n n n S k a ka +﹣﹣＝＝即11n n k a a k-+=． 故从第二项起数列{}n a 是等比数列,∴当2n ≥时,221n n k a a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．()()()22111n n k n b c c kd c n k k k n k k k n k +++-+=+-+=+＝＝＝．另外,由已知条件可得()1221122a a c a b a b ++＝, 又()2122,,2c k b k b k k +＝＝＝,21a ∴＝,因而21n n k a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．令nn nb d a =, 则()()()()()11111111101n n n n n n n k k n k d b a nd a k k b n +++-=++-=-=-+++<+． 故对任意的2,*,n n N ≥∈11n n n n b b a a ++>恒成立． 【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用,需要熟练运用通项与前n 项和的关系分析数列的递推公式继而求解通项公式或证明等差数列等.同时也考查了数列中的不等式证明等,需要根据题意分析数列为等比数列并求出通项,再利用作商法证明.属于难题.21．已知二阶矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111α⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值24λ=的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.求矩阵A .【答案】2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵A 【详解】由特征值、特征向量定义可知，111A αλα=，即11111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得1,1.a b c d -=-⎧⎨-=⎩同理可得3212,328.a b c d +=⎧⎨+=⎩解得2a =，3b =，2c =，1d =.因此矩阵2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为2cos {sin x y αα== （α为参数）．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ-=P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【答案】（1）2214x y +=，4x y +=（2）max 2d = 【解析】【详解】试题分析：利用cos ,sin x y ρθρθ==将极坐标方程化为直角坐标方程：cos()4πρθ-=ρcosθ＋ρsinθ＝4，即为x ＋y ＝4．再利用点到直线距离公式得：设点P 的坐标为（2cosα，sinα），得P 到直线l 的距离2d =≤试题解析：解：cos()4πρθ-=化简为ρcosθ＋ρsinθ＝4，则直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4．设点P 的坐标为（2cosα，sinα），得P 到直线l 的距离2d =≤，d max ＝2． 【考点】极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线距离公式 23．若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值.【答案】1【解析】试题分析：由柯西不等式得[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭9≥=，所以1111323232a b c ++≥+++试题解析：因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=， 所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是由均值不等式可知[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++⎪+++⎝⎭33133(32)(32)(32)9(32)(32)(32)a b c a b c ≥⋅+++=+++，当且仅当13a b c ===时，上式等号成立． 从而1111323232a b c ++≥+++． 故111323232a b c +++++的最小值为1．此时13a b c ===．【考点】柯西不等式24．如图，在正四棱锥P ABCD ﹣中，底面正方形的对角线,AC BD 交于点O 且12OP AB ＝．（1）求直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值； （2）求锐二面角B PD C --的大小． 【答案】（16（2）60︒. 【解析】(1) 以,,OE OF OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系, 设底面正方形边长为2,再求解BP 与平面PCD 的法向量,继而求得直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值即可.(2)分别求解平面BPD 与平面PDC 的法向量,再求二面角的余弦值判断二面角大小即可. 【详解】解：()1在正四棱锥P ABCD ﹣中,底面正方形的对角线,AC BD 交于点,O 所以OP ⊥平面,ABCD 取AB 的中点,E BC 的中点,F 所以,,OP OE OF 两两垂直,故以点O 为坐标原点,以,,OE OF OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系．设底面正方形边长为2, 因为1,2OP AB ＝所以1,OP ＝所以()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1B C D P ﹣﹣﹣, 所以()1,1,1BP ＝﹣﹣,设平面PCD 的法向量是(),,n x y z =,因为()0,2,0CD =-,()1,1,1CP =﹣, 所以20CD n y ⋅=-＝,0CP n x y z ⋅+＝﹣＝,取1,x ＝则0,1y z ＝＝﹣, 所以()1,0,1n =- 所以6,BP n cos BP n BP n⋅=＜＞＝所以直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为63． ()2设平面BPD 的法向量是(),,n x y z =,因为()1,1,1BP ＝﹣﹣,()-2,-2,1BD =,所以0,BP n x y z ⋅+＝﹣﹣＝220BD n x y ⋅＝﹣﹣＝,取1,x ＝则1,0,y z ＝﹣＝ 所以()1,1,0n =-,由()1知平面PCD 的法向量是()1,0,1n =-,所以12m ncos m n m n ⋅＜,＞＝＝ 所以,60m n ︒＜＞＝,所以锐二面角B PD C ﹣﹣的大小为60︒． 【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解线面夹角以及二面角的问题,属于中档题.25．定义：若数列{}n a 满足所有的项均由1,1﹣构成且其中1﹣有m 个，1有p 个()3m p +≥，则称{}n a 为“(),m p ﹣数列”．（1）(),,i j k a a a i j k ＜＜为“()3,4﹣数列”{}n a 中的任意三项，则使得1i j k a a a ＝的取法有多少种？（2）(),,i j k a a a i j k ＜＜为“(),m p ﹣数列”{}n a 中的任意三项，则存在多少正整数(),m p 对使得1100,m p ≤≤≤且1i j k a a a =的概率为12. 【答案】（1）16；（2）115.【解析】(1)易得使得1i j k a a a ＝的情况只有“1,1,1﹣﹣”,“1,1,1”两种,再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可.(2)易得“1,1,1﹣﹣”共有21m p C C 种,“1,1,1”共有3P C 种.再根据古典概型的方法可知213312m p pm pC C C C ++=,利用组合数的计算公式可得()()2232320pm p p mp m m +﹣﹣﹣﹣﹣＝,当p m =时根据题意有()(),,,2,3,4,{},100m p k k k ∈⋯=,共99个；当2232320p p mp mm +﹣﹣﹣﹣＝时求得()232m p +＝,再根据1100,m p ≤≤≤换元根据整除的方法求解满足的正整数对即可.【详解】解：（1）三个数乘积为1有两种情况：“1,1,1﹣﹣”,“1,1,1”, 其中“1,1,1﹣﹣”共有：213412C C ＝种, “1,1,1”共有：344C =种,利用分类计数原理得：(),,i j k a a a i j k ＜＜为“()3,4﹣数列”{}n a 中的任意三项,则使得1i j k a a a ＝的取法有：12416+＝种．（2）与(1)同理,“1,1,1﹣﹣”共有21m p C C 种, “1,1,1”共有3P C 种,而在“(),m p ﹣数列”中任取三项共有3m p C +种,根据古典概型有：213312m p pm pC C C C ++=, 再根据组合数的计算公式能得到：()()2232320pm p p mp m m +﹣﹣﹣﹣﹣＝, p m ①＝时,应满足11003m p m p p m ≤≤≤⎧⎪+≥⎨⎪=⎩,()(),,,2,3,{,}4,100m p k k k ∴∈⋯=,共99个,2232320p p mp m m +②﹣﹣﹣﹣＝时,应满足221100332320m p m p p p mp m m <≤<⎧⎪+≥⎨⎪--+--=⎩,视m 为常数,可解得()232m p +±＝,1,m ≥5≥,根据p m ≥可知,()232m p ++＝,1m ≥,5≥,根据p m ≥可知,()232m p ++＝,（否则1p m≤﹣）,下设k则由于p 为正整数知k 必为正整数,1100m ≤≤, 549k ∴≤≤,化简上式关系式可以知道：()()21112424k k k m -+-=＝, 1,1k k ∴+﹣均为偶数, ∴设()*21,k t t N +∈＝,则224,t ≤≤()211246t t k m +-∴=＝, 由于,1t t +中必存在偶数,∴只需,1t t +中存在数为3的倍数即可,2,3,5,6,8,9,11,,23,24t ∴⋯＝, 5,11,13,,47,49k ∴⋯＝．检验：()()()23114850100,22424m k k p ++-++=≤＝＝ 符合题意,∴共有16个,综上所述：共有115个数对(),m p 符合题意． 【点睛】本题主要考查了排列组合的基本方法,同时也考查了组合数的运算以及整数的分析方法等,需要根据题意。

2020届高三学初学业质量监测试题数学注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.1．本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上．3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚． 参考公式： 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知集合{}0,2,6,8A =，{}2,4,6B =-，则A B =______.【答案】{}6 【解析】 【分析】利用集合交集的定义可求出集合AB .【详解】因为集合{}0,2,6,8A =，{}2,4,6B =-， 所以{}6AB =，故答案为{}6.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查计算能力，属于基础题. 2.已知复数()12z i i =-⋅，其中i 为虚数单位，则z 的模为______. 5【解析】 【分析】利用复数的乘法法则将复数z 表示为一般形式，然后利用复数的求模公式可计算出复数z 的模. 【详解】()21222z i i i i i =-⋅=-=+，因此，复数z的模为z ==，故答案【点睛】本题考查复数模的计算，对于复数问题，一般利用复数四则运算法则将复数表示为一般形式，再结合相关公式或知识求解，考查计算能力，属于基础题.3.某厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中A 型号产品有18件，则n 的值为_____. 【答案】90 【解析】分析】根据分层抽样总体和样本中，A 型号的产品所占的比例相等列等式求出n 的值. 【详解】由于在总体和样本中，A 型号的产品所占的比例相等，则有182235n =++，解得90n =，故答案为90.【点睛】本题考查分层抽样中的计算，解题时要根据分层抽样的特点列等式进行计算，考查运算求解能力，属于基础题. 4.函数y =的定义域是_____________【答案】[]2,3 【解析】 【分析】根据偶次方根被开方数为非负数列不等式，解不等式求得函数的定义域.【详解】依题意2560x x -+-≥，即()()256320x x x x -+=--≤，解得[]2,3x ∈. 【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，主要是偶次方根的被开方数为非负数，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.5.已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为72，则三棱锥1A BCD -的体积为______. 【答案】12 【解析】【分析】设长方体1111ABCD A B C D -的底面积为S ，高为h ，可得出72Sh =，则三棱锥1A BCD -的底面积为12S ，高为h ，再利用锥体的体积公式可计算出三棱锥1A BCD -的体积. 【详解】设长方体1111ABCD A B C D -的底面积为S ，高为h ， 则长方体1111ABCD A B C D -的体积为72Sh =， 由题意可知，三棱锥1A BCD -的底面积为12S ，高为h ， 因此，三棱锥1A BCD -的体积为1111172123266A BCDV S h Sh -=⨯⨯==⨯=，故答案为12. 【点睛】本题考查锥体体积的计算，解题的关键就是弄清楚锥体和长方体底面积以及高之间的等量关系，考查计算能力，属于基础题.6.如图是一个算法流程图，则输出的n 的值为______.【答案】9 【解析】 【分析】根据框图列出算法步骤，可得出输出结果. 【详解】由题意可得1024n =为偶数，则10245122n ==，922log 512log 29n ===，输出n 的值为9，故答案为9.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查条件结构框图的应用，一般根据算法框图列举出算法步骤，即可计算出输出结果，考查计算能力，属于中等题.7.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()222:10x C y a a-=>的右焦点的坐标为)，则该双曲线的两条渐近线方程为______.【答案】2y x =± 【解析】 【分析】根据题意求出a 的值，即可得出双曲线的渐近线方程.【详解】由题意可得2212a =-=，则双曲线的方程为2212x y -=，因此，双曲线的渐近线方程为y x x ==，故答案为y x =.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，解题的关键就是求出双曲线的方程，考查运算求解能力，属于基础题.8.某饮品店提供A 、B 两种口味的饮料，且每种饮料均有大杯、中杯、小杯三种容量.甲、乙二人各随机点一杯饮料，且甲只点大杯，乙点中杯或小杯，则甲、乙所点饮料的口味相同的概率为______. 【答案】12【解析】 【分析】记A 种口味饮料大杯、中杯、小杯分别记为1A 、2A 、3A ，B 种口味饮料大杯、中杯、小杯分别记为1B 、2B 、3B ，用列举法列出所有的基本事件，并确定事件“甲、乙所点饮料的口味相同”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率. 【详解】记A 种口味饮料大杯、中杯、小杯分别记为1A 、2A 、3A ，B 种口味饮料大杯、中杯、小杯分别记为1B 、2B 、3B ，事件“甲只点大杯，乙点中杯或小杯”所包含的基本事件有：()12,A A 、()13,A A 、()12,A B 、()13,A B 、()12,B A 、()13,B A 、()12,B B 、()13,B B ，共8个，其中事件“甲、乙所点饮料的口味相同”所包含的基本事件有：()12,A A 、()13,A A 、()12,B B 、()13,B B ，共4个，因此，所求事件的概率为4182=，故答案为12. 【点睛】本题考查利用古典概型概率公式计算事件的概率，解题的关键就是利用列举法列举出基本事件，并确定基本事件数目，考查计算能力，属于中等题. 9.已知函数()()sin 202f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程为6x π=，则ϕ的值为______. 【答案】6π【解析】 【分析】 由题意得出()262k k Z ππϕπ⨯+=+∈，求出ϕ的表达式，再结合ϕ的取值范围，可得出ϕ的值.【详解】由题意得出()262k k Z ππϕπ⨯+=+∈，()6k k Z πϕπ∴=+∈，02πϕ<<，0k ∴=且6π=ϕ，故答案为6π.【点睛】本题考查利用正弦型函数对称轴方程求参数的值，解题时要结合正弦型函数的对称轴方程得出参数的表达式，并结合参数的取值范围得出参数的值，考查运算求解能力，属于中等题.10.设等比数列{}n a 的公比为()1q q >，前n 项和为n S .若存在m N *∈，使得2152m m m a a a +++=，且29m m S S =，则正整数m 的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】先利用条件2152m m m a a a +++=求出公比q 的值，然后利用等比数列求和公式以及29m m S S =可求出正整数m 的值. 【详解】2152m m m a a a +++=，252m m m a a q a q ∴+=，得25102q q -+=，1q >，解得2q .由29m m S S =，可得()()211121291212m m a a --=⨯--，所以，()212912mm -=-，即()()()1212912mmm-+=-，m N *∈，120m ∴-≠，129m ∴+=，解得3m =，故答案为3.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比数列求和公式，对于等比数列问题，通常利用首项和公比将等比数列中相关量表示出来，考查计算能力，属于中等题. 11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正方形OABC ，其中()1OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，则当AQ CP +最小时，a 的值为______.3【解析】 【分析】由题意得出直线AB 的方程为x a =，直线BC 的方程为y a =，求出点P 、Q 的坐标，可得出AQ 、CP 关于a 的表达式，然后利用基本不等式求出AQ CP +的最小值，并利用等号成立的条件求出对应的a 的值.【详解】由题意得出直线AB 的方程为x a =，直线BC 的方程为y a =，联立直线AB 的方程与函数12y x -=的解析式12x a y x -=⎧⎪⎨⎪=⎩，得1x a y a =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以点Q 的坐标为a a ⎛ ⎝，则AQ a =. 联立直线BC 的方程与函数23y x =的解析式()230y a y x x =⎧⎨=>⎩，得3ax y a⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以点P 的坐标为,3a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则3aCP =. 由基本不等式得412333aa AQ CP a a +=+≥⋅=， 当且仅当3aa =，即当3a =时，等号成立，因此，3a =，故答案为3. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是结合条件建立关于a 的代数式，并结合基本不等式进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.如图，在平面四边形ABCD 中，3AB =，1AD =，CB CD =，2ADB BCD π∠=∠=，则AC BD ⋅的值为______.【答案】4- 【解析】 【分析】以点D 为坐标原点，DB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，写出A 、B 、C 、D 四点的坐标，并求出向量AC 、BD 的坐标，利用坐标法来计算出AC BD ⋅的值.【详解】如下图所示，以点D 为坐标原点，DB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，3AB =，1AD =，2ADB π∠=，2222BD AB AD ∴=-=又CB CD =，且2BCD π∠=，BCD ∴∆是等腰直角三角形，则点()0,1A -、()B 、C 、()0,0D ，()2,1AC =，()BD =-，因此，()2104AC BD ⋅=⨯-+⨯=-，故答案为4-.【点睛】本题考查图形中向量数量积的计算，常利用基底向量法与坐标法来进行求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.13.在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【答案】3【解析】 【分析】 先由1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，结合正弦定理与余弦定理，得到2222a b c +=，再由AB 边上的中线1CM =，()12CM CA CB =+，得到22224232c b a ab c ab=++⋅=，进而可求出结果.【详解】因为1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列， 所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==， 所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=， 又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =，因为()12CM CA CB =+， 所以22222422cos CMCA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++，即22224232c b a ab c ab =++⋅=，解c =.即AB.故答案为3【点睛】本题主要考查解三角形与平面向量的应用，熟记正弦定理与余弦定理，以及向量数量积的运算即可，属于常考题型.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:20l x y -+=与x 轴交于点A ，点B 在直线1l 上，直线2:310l x y +-=上有且仅有一点C 满足：AC BC ⊥（A 、B 、C 两两互不相同），则点B 的横坐标的所有可能值之积为______.【答案】19 【解析】 【分析】设点B 的坐标为(),2t t +，设点(),C x y ，根据AC BC ⊥转化为0AC BC ⋅=，可得出点C 的轨迹为圆，由题意得出点C 的轨迹圆与直线2l 相切，将直线2l 的方程与点C 的轨迹方程联立，利用0∆=得出关于t 的二次方程，利用韦达定理求出两根之积12t t 可得出结果. 【详解】设点B 的坐标为(),2t t +，直线1l 与x 轴的交点为点()2,0A -， 设点(),C x y ，()2,AC x y =+，(),2BC x t y t =---，AC BC ⊥，()()()220AC BC x x t y y t ∴⋅=+-+--=，联立()()()310220x y x x t y y t +-=⎧⎨+-+--=⎩，消去x 得()210214330y t y t +-+-=，()()2214410330t t ∆=--⨯⨯-=，化简得216190t t ++=，由韦达定理得1219t t =.当点B 为直线1l 与2l 的交点时5434x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，要使0AC BC ⋅=，点C 与点B 重合，不合题意.因此，点B 的横坐标的所有可能值之积为1219t t =，故答案为19.【点睛】本题考查两直线垂直、直线与圆的位置关系的综合应用，解题的关键在于将点的个数问题转化为直线与圆的位置关系，并利用韦达定理进行求解，考查转化与化归思想以及方程思想，考查运算求解能力，属于难题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC ∆中，已知13,2,cos 2BC AC AB B =-==-． （1）求,AB AC 的值； （2）求sin()B C -的值．【答案】（1）5，7；（2）7【解析】 【分析】（1）运用余弦定理进行求解即可；（2）运用余弦定理，结合同角的三角函数关系式、两角差的正弦公式进行求解即可. 【详解】解：（1）设角,,A B C 的对边依次为,,a b c ，由余弦定理得，222cos 2a c b B ac+-=，又因为1cos ,3,22B a b c =-=-=，所以2223(2)1232c c c +-+=-⨯，解得5c =．所以,AB AC 的值分别为5，7；（2）在ABC ∆中，0B π<<，又1cos 2B =-，故23B π=． 由余弦定理得，222cos 2a b c C ab +-=，结合（1）知，22237511cos 23714C +-==⨯⨯，又0C π<<，由221153sin 1cos 114C C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭． 所以2sin()sin 3B C C π⎛⎫-=-⎪⎝⎭22sin cos cos sin 33C C ππ=- 311153214214=⨯+⨯437=． 【点睛】本题考查了余弦定理的应用，考查了两角差的正弦公式的应用，考查了数学运算能力.16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，点D 为棱1C C 的中点，1AC 与1A D 交于点E ，1BC 与1B D 交于点F ，连结EF .求证：（1）//AB EF ；（2）平面11A B D ⊥平面11B BCC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先证明出//AB 平面11A B D ，然后利用直线与平面平行的性质定理可得出//AB EF ； （2）由题意得出1111A B B C ⊥，由1BB ⊥平面111A B C ，可得出111A B BB ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理证明出11A B ⊥平面11BB C C ，再利用平面与平面垂直的判定定理可证明出平面11A B D ⊥平面11B BCC .【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ，又AB ⊄平面11A B D ，11A B ⊂平面11A B D ，所以//AB 平面11A B D . 又AB平面1ABC ，平面11A B D平面1ABC EF =，所以//AB EF ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1B B ⊥平面111A B C ， 又11A B ⊂平面111A B C ，故111B B A B ⊥ 又AB BC ⊥，故1111A B B C ⊥. 又因为1111B BB C B =，1B B ⊂平面11B BCC ，11B C ⊂平面11B BCC ，所以11A B ⊥平面11B BCC ，又11A B ⊂平面11A B D ，所以平面11A B D ⊥平面11B BCC .【点睛】本题考查直线与直线平行以及平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的性质定理以及平面与平面垂直判定定理的应用，考查推理能力，属于中等题.17.现有一张半径为1m 的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为hm 的圆锥筒，如图2.（1）若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为23rad π，求圆锥筒的容积； （2）当h 为多少时，圆锥筒的容积最大？并求出容积的最大值. 【答案】（1）32281m π；（2）当3h 323π. 【解析】 【分析】（1）计算出扇形的弧长，利用扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长可求出圆锥底面圆的半径，利用勾股定理计算出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式可计算出圆锥的容积；（201h <<，利用圆锥的体积公式计算出圆锥的容积V 关于h 的函数，再利用导数可求出V 的最大值，并求出对应的h 的值. 【详解】设圆锥筒的半径为r ，容积为V .（1）由223r ππ=，得13r =，从而h ==所以)23111333V Sh m π⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.答：圆锥筒的容积为381m ；（2）因为r 01h <<. 所以()()223111113333V Sh r h h h h h πππ===-⋅=-，即()313V h h π=-，01h <<.因为()21133V h π'=-，令0V '=得，3h =±（舍负值），列表如下：所以，当h 时，V 取极大值即最大值，且V .答：当h 时，圆锥筒3. 【点睛】本题考查圆锥体积的计算，同时也考查利用导数求函数的最值，解题的关键就是要结合题意求出函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ，连结2B F 并延长交椭圆于点P ，连结2PA ，12A B，记椭圆C的离心率为e.（1）若12e=，127A B=①求椭圆C的标准方程；②求21B A F∆和2PA F∆的面积之比.（2）若直线2PB和直线2PA的斜率之积为92-，求e的值.【答案】（1）①22143x y+=.②5；（2）12e=.【解析】【分析】（1）①设椭圆的焦距为2c，根据题意列出有关a、b、c的方程组，求出a、b的值，可得出椭圆的标准方程；②求出直线2B F的方程，将该直线方程与椭圆C的标准方程联立，求出点P的坐标，再利用三角形的面积公式可求出21B A F∆和2PA F∆的面积之比；（2）先利用截距式得出直线2PB的方程为1x yc b+=-，将该直线方程与椭圆C的方程联立，求出点P的坐标，利用斜率公式计算出直线2PA和2PB的斜率，然后由这两条直线的斜率之积为92-，得出关于a、c的齐次方程，由此可解出椭圆C的离心率e的值.【详解】（1）①设椭圆的焦距为2c，由题意，得22222127ceaa ba b c⎧==⎪⎪⎪+=⎨=+⎪⎪⎩2243ab⎧=⎨=⎩，所以椭圆的标准方程为22143x y +=；②由①知，()12,0A -、()22,0A ，()1,0F，(20,B ， 所以直线2B F的方程为)1y x =-，将其代入椭圆的方程，得()22114x x +-=，即2580x x ，所以0x =或85x =，所以点P的坐标为8,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 从而21B A F ∆和2PA F ∆的面积之比：212135B A F PA FS S ∆∆⨯==； （2）因为2B 、F 在直线2PB 上，所以直线2PB 的方程为1x yc b+=-. 解方程组22221,1,x yc bx y a b ⎧+=⎪⎪-⎨⎪+=⎪⎩，得()2122221222a c x a c b a c y a c ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩或220x y b =⎧⎨=-⎩， 所以点P 的坐标为()22222222,b a c a c a c a c ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭. 因为直线2PB 的斜率()200PB b bk c c--==-，直线2PA 的斜率()()()()()222222222222222PA b a c b a c b a c a c k a c a a c a c a a c a a c ---++===---+-+， 又因为直线2PB 和直线2PA 的斜率之积为92-，所以()()()()()()()()222292a c a cb ac b a c a c b a a c c ac a c ac a c ac -++++-⨯=-=-=-=----， 即1922e e ++=，化简得22520e e -+=，01e <<，解得12e =.因此，椭圆C 的离心率为12e =. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、三角形面积的比值，以及椭圆离心率的求解，同时也考查了直线与椭圆交点坐标的求解，考查方程思想的应用，属于中等题.19.已知函数()2xx bx c f x e++=（e为自然对数的底数），()f x '为()f x 的导函数，且()10f '=.（1）求实数c 的值；（2）若函数()f x 在0x =处的切线经过点()1,0-，求函数()f x 的极值；（3）若关于x 的不等式()2f x ≤对于任意的[]0,2x ∈恒成立，求实数b 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）函数()y f x =的极小值为0，极大值为4e；（3）(],22e -∞-. 【解析】 【分析】（1）求出函数()y f x =的导数()f x '，由()10f '=，可求出实数c 的值； （2）利用导数求出函数()y f x =在0x =处的切线方程，将点()1,0-代入切线方程，可求出实数b 的值，然后利用导数求出函数()y f x =的极值点，并列表分析函数()y f x =的单调性，由此可得出函数()y f x =的极小值和极大值；（3）方法1：由()2f x ≤，得()221xbx e x ≤-+，[]0,2x ∈，然后分0x =和02x <≤两种情况讨论，在0x =时可验证不等式成立，在(]0,2x ∈时，由参变量分离法得21x e b x x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，并构造函数()21x e g x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，并利用导数求出函数()y g x =在区间(]0,2上的最小值，由此可得出实数b 的取值范围；方法2：解导数方程()0f x '=，得出11x b =-，21x =，然后分11b -=，10b -≤，011b <-<，12b -≥和112b <-<五种情况讨论，分析函数()y f x =在区间[]0,2上的单调性，求出函数()y f x =的最大值()max f x ，再解不等式()max 2f x ≤可得出实数b 的取值范围.【详解】（1）因为()2x x bx cf x e ++=，所以()()22xx b x b c f x e-+-+-'=， 又因为()10f '=，所以()120b b ce-+-+-=，解得1c =.（2）因为()2xx bx cf x e ++=，所以()01f =. 因为()()22xx b x b cf x e-+-+-'=，所以()01f b '=-. 因为，函数()y f x =在0x =处的切线方程为()11y b x -=-且过点()1,0-， 即()11b -=--，解得2b =. 因为()()()11xx x f x e -+'=-，令()0f x '=，得1x =±，列表如下：所以当1x =-时，函数()y f x =取得极小值()10f -=， 当1x =时，函数()y f x =取得极大值为()41f e=； （3）方法1：因为()212xx bx f x e++=≤在[]0,2x ∈上恒成立， 所以()221xbx e x ≤-+在[]0,2x ∈上恒成立. 当0x =时，01≤成立；当(]0,2x ∈时，21x e b x x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，记()21x e g x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，(]0,2x ∈，则()()()()221212111xx x e x e x g x x x x ----⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭. 令()21x h x e x =--，(]0,2x ∈，则()0212110xh x e e '=->-=>，所以函数()y h x =在区间(]0,2上单调递增，所以()()0020110h x h e >=--=>，即210x e x -->在区间(]0,2上恒成立.当(]0,2x ∈，令()0g x '=，得1x =，所以，函数()y g x =在区间()0,1上单调递减，在区间()1,2上单调递增， 所以()()min 122g x g e ==-，所以，22b e ≤-， 因此，实数b 的取值范围是(],22e -∞-；方法2：由（1）知，()21xx bx f x e++=， 所以()()()()22111x xx b x b x x b f x e e -+-+--+-'==-.令()0f x '=，得11x b =-，21x =.①当11b =-时，即0b =时，函数()y f x =在区间[]0,2上单调递减， 由题意可知()012f =≤，满足条件；②当10b -≤时，即1b ≥时，函数()y f x =在区间[]0,1上单调递增，在区间[]1,2上单调递减，由题意可知()212b f e+=≤，解得122b e ≤≤-； ③当011b <-<时，即01b <<时，函数()y f x =在[]0,1b -上单调递减，在[]1,1b -上单调递增，在[]1,2上单调递减， 由题意可知()212b f e+=≤，解得22b e ≤-，所以01b <<； ④当12b -≥时，即1b ≤-时，函数()y f x =在区间[]0,1上单调递减，在区间[]1,2上单调递增，由题意可知()22522b f e +=≤，解得252b e ≤-. 又因为1b ≤-，所以1b ≤-； ⑤当112b <-<时，即10b -<<时，函数()y f x =在[]0,1上单调递减，[]1,1b -上单调递增，在[]1,2b -上单调递减， 由题意可知()1212bb f b e ---=≤，即()12110be b ---+≥. 令1t b =-，则12t <<，设()2121tty e t e t =-+=--， 则210ty e '=->，所以，函数21ty e t =--区间()1,2上单调递增，又因为1t =时，220y e =->，所以0y ≥在区间()1,2上恒成立，所以10b -<<. 综上，22b e ≤-，因此，实数b 的取值范围是(],22e -∞-.【点睛】本题考查导数的计算、导数的几何意义、利用导数求函数的极值以及利用导数研究不等式恒成立问题，对于不等式恒成立问题，可以利用参变量分离法，也可以采用分类讨论法，转化为函数的最值来求解，考查分类讨论数学思想的应用，属于难题.20.若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意{}1,n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.【答案】（1）316a =．（2）{}n a 不具有性质P ．（3）见解析． 【解析】试题分析：（1）根据已知条件，得到678332a a a a ++=++，结合67821a a a ++=求解即可．（2）根据{}n b 的公差为20，{}n c 的公比为13，写出通项公式，从而可得520193n n n n a b c n -=+=-+．通过计算1582a a ==，248a =，63043a =，26a a ≠，即知{}n a 不具有性质P ． （3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明． 试题解析：（1）因为52a a =，所以63a a =，743a a ==，852a a ==． 于是678332a a a a ++=++，又因为67821a a a ++=，解得316a =． （2）{}n b 的公差为20，{}n c 的公比为13， 所以()12012019n b n n =+-=-，1518133n n n c --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭．520193n n n n a b c n -=+=-+．1582a a ==，但248a =，63043a =，26a a ≠， 所以{}n a 不具有性质P ． [证]（3）充分性：当{}n b 为常数列时，11sin n n a b a +=+．对任意给定的1a ，只要p q a a =，则由11sin sin p q b a b a +=+，必有11p q a a ++=． 充分性得证． 必要性：用反证法证明．假设{}n b 不是常数列，则存在k *∈N ， 使得12k b b b b ==⋅⋅⋅==，而1k b b +≠．下面证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ，使得121k a a a +==⋅⋅⋅=，但21k k a a ++≠． 设()sin f x x x b =--，取m *∈N ，使得πm b >，则()ππ0f m m b =->，()ππ0f m m b -=--<，故存在c 使得()0f c =．取1a c =，因为1sin n n a b a +=+（1n k ≤≤），所以21sin a b c c a =+==， 依此类推，得121k a a a c +==⋅⋅⋅==．但2111sin sin sin k k k k a b a b c b c ++++=+=+≠+，即21k k a a ++≠． 所以{}n a 不具有性质P ，矛盾．必要性得证．综上，“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”． 【考点】等差数列、等比数列、充要条件的证明、反证法【名师点睛】本题对考生的逻辑推理能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，熟练掌握等差数列、等比数列的相关知识及反证法是基础，灵活应用已知条件进行推理是关键.本题易错主要有两个原因，一是不得法，二是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维及推理能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.2020届高三学年初学业质量监测试题数学Ⅱ（附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，均为解答题（第21-23题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟． 考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B 铅笔正确填涂考试号．3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． [选修4-2：矩阵与变换]21.已知矩阵32x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，41α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，且94A α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（1）求实数x 、y 的值； （2）求矩阵A 的特征值.【答案】（1）3x =，4y =；（2）特征值为1、6. 【解析】 【分析】（1）根据题中矩阵运算列出关于x 、y 的方程组，可解出x 、y 的值；（2）求出矩阵A 的特征方程，解出该方程可得出矩阵A 的特征值. 【详解】（1）因为32x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，41α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，94A α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以349214x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 所以43984x y -=⎧⎨-=⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩；（2）由（1）知，3324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则矩阵A 的特征多项式()()()()()333461624fλλλλλλλ--==---=----，令()0f λ=，得1λ=，6λ=，因此，矩阵A 的特征值为1、6.【点睛】本题以矩阵计算以及矩阵特征值的计算，解题的关键在于写出矩阵的特征方程，并进行求和，考查方程思想的应用，属于中等题. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，O 为极点，点()00,M ρθ在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点()4,0A 且与OM 垂直，若03πθ=，求0ρ及l 的极坐标方程.【答案】0ρ=l 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】 将点0,3M πρ⎛⎫⎪⎝⎭代入曲线C 的极坐标方程可得出0ρ的值，求出直线OM 的斜率，根据l OM ⊥求出直线l 的斜率，利用点斜式写出直线l 的方程，再将直线l 的普通方程化为极坐标方程.【详解】因为点()00,M ρθ在曲线:4sin C ρθ=上，所以004sin ρθ=.又03πθ=，故04sin3πρ==OM 的斜率为tan3π=l OM ⊥，设直线l 的斜率为k 1=-，解得k =.所以，直线l 的方程为)4y x =-，即40x +-=，所以，直线l 的极坐标方程为cos sin 40ρθθ+-=，即2sin 46πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因此，直线l 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查极径的计算以及直线的极坐标方程的求解，一般要结合题意先写出直线的普通方程，再转化为极坐标方程，考查运算求解能力，属于中等题. [选修4-5：不等式选讲]23.对于正实数x 、y 满足11x -≤，21y -≤，求证：12x y -+≤. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】将代数式表示为()()112x y x y -+=---，再利用绝对值三角不等式可证出所证不等式成立.【详解】由绝对值三角不等式得()()112122x y x y x y -+=---≤-+-≤， 因此，原不等式成立.【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式证明不等式成立，证明的关键在于对代数式进行配凑，考查推理能力，属于中等题.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答卷纸指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.如图，在空间之间坐标系O xyz -中，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 在平面xOy 上，其中点A 与坐标原点O 重合，点D 在y 轴上，CD AD ⊥，//BC AD ，顶点P 在z 轴上，且2PA AD CD ===，3BC =.（1）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小； （2）设E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =，求二面角F AE P --的正弦值. 【答案】（1）45；（26. 【解析】 【分析】（1）列出A 、B 、C 、D 、P 的坐标，计算出平面PCD 的一个法向量u ，利用空间向量法计算出直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值，即可得出直线PB 与平面PCD 所成角的大小； （2）求出点E 、F 的坐标，计算出平面AEF 和AEP 的法向量m 、n ，利用空间向量法求出二面角F AE P --的余弦值的绝对值，由此可得出二面角F AE P --的正弦值. 【详解】因为四棱锥P ABCD -的底面ABCD 在平面xOy 上， 其中点A 与坐标原点O 重合，点D 在y 轴上，CD AD ⊥，//BC AD ， 顶点P 在z 轴上，且2PA AD CD ===，3BC =， 所以()0,0,0A ，()2,1,0B -，()2,2,0C ，()0,2,0D，()002P ,,.（1）()2,1,2PB =--，()2,2,2PC =-，()0,2,2PD =-， 设平面PCD 的一个法向量为(),,u x y z =，则00u PC u PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取1z =，则0x =，1y =，得()0,1,1u =.所以2cos ,232u PB u PB u PB⋅===-⨯⋅.所以直线PB 与平面PCD 所成角的大小为45；（2）因为E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =，所以()0,1,1E ，224,,333F ⎛⎫⎪⎝⎭. 设平面AEF 的一个法向量为(),,m a b c =，则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即02240333b c a b c +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，取1b =，则1a =，1c =-，得()1,1,1m =-. 又平面AEP 的一个法向量为()1,0,0n =，所以cos ,33m n m n m n⋅===⨯⋅. 所以二面角F AE P --. 【点睛】本题考查利用空间向量法求直线与平面所成的角和二面角，解题的关键就是要列出问题所涉及的点的坐标，并计算出平面的法向量，考查运算求解能力，属于中等题. 25.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A 、B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A 、B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（1）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（2）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【答案】（1）X 的分布列见解析，数学期望为1；（2）无法确定是否有变化，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据确定仅使用A 支付方法或B 支付方法中，金额不大于1000和大于1000的人所占的频率，由题意得出随机变量X 的可能取值有0、1、2，再利用独立事件的概率乘法公式计算出随机变量X 在对应取值的概率，可列出随机变量X 的分布列，并利用数学期望公式可求出其数学期望；（2）计算出事件“从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元”的概率，根据概率的意义得出结论. 【详解】（1）仅使用A 支付方法的30名学生中，金额不大于1000的人数占35，金额大于1000的人数占25， 仅使用B 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占25，金额大于1000的人数占35，且X 的所有可能值为0、1、2.则()32605525P X ==⨯=，()22321315525P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()32625525P X ==⨯=，所以X 分布列为：数学期望()61360121252525E X =⨯+⨯+⨯=； （2）无法确定是否有变化，理由如下：记事件:E “从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.”假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月数据得，()3333014060C P E C ==.我们知道“小概率事件”的概率虽小，但还是有可能发生的，因此无法确定是否有变化. 【点睛】本题考查离散型随机变量分布列与数学期望，考查古典概型概率的计算以及概率的意义，解时要弄清事件的基本类型，结合相关公式计算事件的概率，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。

6.设实数 x,y 满足 ⎨ x + y ≤ 1, 则 3x+2y 的最大值为____.⎪ x + 2 y ≥ 1, = 1 的左､右顶点为 A ､B,焦点在 y 轴上的椭圆以 A ､B 为顶点,且离心率为2 ，若 f (α ) = 212.△在 ABC 中,若 uu ur uuur = uuur uuur = uuur uuur , 则 cosC 的值为____.2020 届江苏省南通市高三年级第三次模拟考试高考全真冲刺模拟卷数学试题(含附加题)一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分｡请把答案填写在答题卡相应位置上.1.设集合 A={1,x},B={2,3,4},若 A∩B={4},则 x 的值为___2.已知复数 z 满足 zi=1+i(i 为虚数单位),则复数 z-i 的模为____.3.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,样本容量为 200,右图为检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在区间[25,30)的为一等品,在区间[20,25)和[30,35)的为二等品,其余均为三等品,则样本中三等品的件数为___.4.幂函数 f ( x ) = x -2 的单调增区间为____5.根据图中所示的伪代码,可知输出的结果 S 为____⎧ x - y ≥ 0, ⎪⎩7.已知双曲线 C : x 2 y2 -a 2b2 = 1(a > 0, b > 0) 的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,且它的一个焦点在直线 l 上,则双曲线 C 的方程为___y 2 3 8.已知双曲线 x 2 -，42u u u r uuuur过 A 作斜率为 k 的直线 l 交双曲线于另一点 M,交椭圆于另一点 N,若 AN = NM , 则 k 的值为____.9.已知函数 f ( x ) = cos x(sin x + cos x)- 1π ，则 cos( - 2α ) 的值为_____.6 410.已知函数 f ( x ) =x + 2 | x | +2, x ∈R,则 f ( x 2 - 2 x ) < f (2 - x) 的解集是____.11.定义在[-1,1]上的函数 f(x)=sinx-ax+b(a>1)的值恒非负,则 a-b 的最大值为______.35 21 15 CA ⋅ AB AB ⋅ BC BC ⋅ C A3,1).13.△若ABC中,AB=2,BC=8,∠B=45°,D△为ABC所在平面内一点且满足uuur uuur uuur uuur(AB⋅AD)⋅(AC⋅AD)=4，则AD长度的最小值为___.14.已知偶函数y=f(x)满足f(x+2)=f(2-x),且在x∈[-2,0]时,f(x)=-x2+1,若存在x,x,L,x满足12n0≤x<x<L<x，且|f(x)-f(x)|+|f(x)-f(x)|+L+|f(x)-f(x)|=2017,则x 12n1223n-1n最小值为_____.二､解答题:本大题共6小题,共计90分｡n15.(本小题满分14分)已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π)的最小值是-2,其图象经过点M(ππ824(1)求f(x)的解析式;(2)已知α,β∈(0,),且f(α)=,f(β)=2513,求f(α-β)的值.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,∠BAD=90°,AD//BC,AD=2BC,AB⊥PA.(1)求证:平面P AD⊥平面ABCD;(2)若E为PD的中点,求证:CE//平面PAB.217.(本小题满分14分)有一块以点O为圆心,半径为2百米的圆形草坪,草坪内距离O点2百米的D 点有一用于灌溉的水笼头,现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A,B两点,为了方便居民散步,同时修建小路OA,OB,其中小路的宽度忽略不计(1)若要使修建的小路的费用最省,试求小路的最短长度;(2)若要在△ABO区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞,试求这块圆形广场的最大面积.(结果保留根号和π)18.(16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2y23+=1(a>b>0)的离心率为a b22,且过点(1,3).设P为椭圆C在第一象限上的点，A,B分别为椭圆C的左顶点和下顶点,且PA交y轴于点2E，PB交x轴于点F.(1)求a,b的值;(2)若F为椭圆C的右焦点，求点E的坐标;(3)求证:四边形ABFE 的面积为定值.； , 19.(16 分)已知数列{a } 的首项 a = a (a>0),其前 n 项和为 S , 设 b = a + an1nnnn +1(n ∈ N * ) .(1)若a = a + 1, a = 2a , 且数列{b } 是公差为 3 的等差数列,求 S (2)设数列{b } 的前 n 项和为 T , 满 2 32n2nnn足 T = n 2 . ①求数列{a } 的通项公式;②若对 n ∈N * 且 n≥2,不等式 (a - 1)(a nnn立,求 a 的取值范围.n +1- 1) ≥ 2(1- n) 恒成20.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x ) = x k ln x,k ∈ N * , g(x)=cx-1,c ∈R . (1)当 k=1 时,(i)若曲线 y=f(x)与直线 y=g(x)相切,求 C 的值;(ii)若曲线 y=f(x)与直线 y=g(x)有公共点,求 c 的取值范围.(2)当 k≥2 时,不等式 f ( x ) ≥ ax 2 + bx ≥ g ( x ) 对于任意正实数 x 恒成立,当 c 取得最大值时,求 a,b 的值,y ⎦ ⎣ y⎦ ⎣ 已知点 A 在变换 T : ⎢ ⎥ → ⎢ ⎥=⎢ ⎥ 作用后,再绕原点逆时针旋转 90°,得到点 B.若点 B 的坐 y ⎣ ⎦21.[选做题]本题包括 A ､B ､C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.A.[选修 4--2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)⎡ x ⎤ ⎡ x ' ⎤ ⎡ x + 2 y ⎤ '标为(-3,4),求点 A 的坐标.B.[选修 4--4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)π在极坐标系中,设 P 为曲线 C:ρ=2上任意一点,求点 P 到直线 l: ρ sin(θ -) = 3 最大距离.3C.[选修 4--5:不等式选讲](本小题满分 10 分)已知正数 a,b,c 满足 2a+3b+6c=2,求 3 2 1+ + 的最小值.a b c[必做题]第22题､第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.22.(10分)如图,在直三棱柱ABC-A B C中,已知AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA=3.D是线段BC的中1111点.(1)求直线DB与平面AC D所成角的正弦值;(2)求二面角B-A D-C的大小的余弦值.11111123.(本小题满分10分)(1)求证:kC kn-k=(n-k)C k-1n-k-11008；(2)求证:∑n=0(-1)n1C n=2017-n2017-n2017.。