2019年中考数学一轮复习学案：实数的有关概念

【2019-2020年度】中考数学一轮复习第1讲实数概念与运算教案一、复习目标1、掌握实数、有理数、无理数、绝对值、相反数、倒数、平方根、算术平方根、立方根的概念。

2、理解并掌握有效数字、科学记数法及实数的运算。

二、课时安排1课时三、复习重难点1、实数、有理数、无理数、绝对值、相反数、倒数、平方根、算术平方根、立方根的概念。

2、掌握有效数字、科学记数法及实数的运算。

四、教学过程（一）知识梳理实数的概念1、实数、有理数、无理数、绝对值、相反数、倒数的概念。

(1)_____________叫有理数，_____________________叫无理数；______________叫做实数。

(2)相反数：①定义：只有_____的两个数互为相反数。

实数a的相反数是______0的相反数是________②性质： 若a+b=0 则a 与b 互为______, 反之，若a 与b 互为相反数，则a+b= _______(3)倒数：①定义：1除以________________________叫做这个数的倒数。

②a 的倒数是________(a0)≠(4)绝对值：① 定义：一般地数轴上表示数a 的点到原点的_______, 叫数a 的绝对值。

② 性质：= a 2、平方根、算术平方根、立方根(1)平方根：一般地，如果_____________________,这个数叫a 的平方根，a 的平方根表示为_________.（a0）≥(2)算术平方根：正数a 的____的平方根叫做a 的算术平方根，数a 的算术平方根表示为为_____（a0）≥(3)立方根：一般地，如果_________,这个数叫a 的立方根，数a 的立方根表示为______。

注意：负数_________平方根。

实数的运算1、有效数字、科学记数法（1）有效数字：从一个数的_____边第一个_____起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。

（2）科学记数法：一个数M 可表示为a10n 或a10-n 形式，其中，n 为正整数，当/M/10时，可表示为__________形式，当/M/1时，可表示为（ ）（ ）____________形式。

2019-2020学年中考数学复习《实数的有关概念》教案 新人教版中考要求：（1）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。

（2）了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。

（3）了解无理数和实数的概念，了解实数与数轴上的点一一对应。

会求实数的相反数与绝对值。

知识概要一 实数的分类1．所有有理数都可以用一个既约分数来表示． 2．初中阶段遇到的无理数有三类： （1）开方开不尽的数：2，37…；（2）特定结构的数：如1.020220222…；（3）特定定义的的数：如：π，cos30°，Sin45°，tan60°…． 二 实数中的几个重要概念1.数轴（1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

（2）数轴上的点与实数一一对应。

2．相反数只有符号不同的两个数，其中一个叫另一个的相反数，0的相反数是0． （1）a 的相反数是-a ；（2）a 、b 互为相反数⇔a ＋b=0；（3）数轴上表示相反数的两个点关于原点对称，反之亦然． 3．倒数乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数．（1）非零实数a （a ≠0）的倒数是a1； （2）a 、b 互为倒数⇔ab=l ；（3）若ab=-1，则称a 与b 互为负倒数． 4.绝对值（1）几何意义：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，用a 表示；（2）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，即：⎪⎩⎪⎨⎧-==）＜））＞0(a 0(00a ( a a a a（3）去绝对值符号（即化简绝对值）的方法：首先确定绝对值符号里代数式值的正负，然后按绝对值的代数意义进行化简． 三 、科学记数法把一个整数或有限小数记成 a x 10n的形式叫做科学记数法．其中1≤a ＜10，n 为整数．（1）．一个实数a ，如果a ≥10时，用科学记数法来表示，n 等于整数位数减1； （2）．一个实数a ，如果0≤a ＜1时，n 等于第一个非零的数字前面零的个数的相反数．四 近似数与有效数字 1．近似数一个与准确值相近，但又有差异的数叫近似数．一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位；2．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到这个数的末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．范例解析例1：（1）（09肇庆）实数2-，0.3，17，π-中，无理数的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5（2）在-7，cot45°，sin60°，3π，-9，()27--，()02中，有理数的个数是（ ）A 、2B 、3C 、4D 、5 解：（1） A（2）∵cot45°=1，-9=-3，()27--=71，()02=1，故应选D点评：对实数进行分类时，不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断。

(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩九年级数学第一轮复习教、学案（共47课时）第一章 数与式 第1课时 实数的概念一.知识要点： 1.实数的有关概念(1)有理数: 和 统称为有理数. (2)有理数分类①按定义分: ②按正负分: 有理数有理数（3）无理数： 叫做无理数.常见的无理数有三种类型：①开方开不尽的数.如3259、、 ②圆周率π ③形如：0.010010001…（两个1之间逐渐增加一个0).（4）实数： 和 统称为实数.（5）相反数：只有 不同的两个数互为相反数.若a .b 互为相反数，则 . （6）数轴：规定了 . 和 的直线叫做数轴；数轴上的点与是一一对应的，数轴上的数，右边的数总比左边的数 .（7）倒数：乘积 的两个数互为倒数.a （a ≠0）的倒数为 .它们的符号 . （8）绝对值：数轴上 的距离叫做数a 的绝对值.绝对值的性质:（9）非负数常见形式：2000a a ≥≥≥，a ，非负数性质：（1）非负数有最小值为0 （2）几个非负数之和仍是非负数（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都是02.实数的分类:实数3.科学记数法.近似数和有效数字（1）科学记数法：把一个绝对值大于10或小于1的数写成 的形式（其中1≤a <10，n 是整数），这种记数方法叫做科学记数法.（2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值.取近似数的常用方法是 . （3）有效数字：从 起，到 止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字. 二、典型例题[例1] 把下列各数分别填在相应的括号内，并按从小到大的顺序用“＜”号连接起来：58.1-，3.5，120%，4-，1-，47，0，1，53，212-,π-722，169 正数集合｛ ｝， 整数集合｛ ｝， 非负整数集合｛｝， 分数集合｛ ｝， 无理数｛｝.[例2]1-的倒数是 ，103-的绝对值是 。

[例3]写出一个大于2且小于3的无理数 。

第1——2课时实数的有关概念【知识梳理】1.实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应.3.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a的相反数是-a，0的相反数是0.5.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.6.科学记数法：把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法.如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5.7.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.8.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．10.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．11.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．12.立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．13.开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】例1.下列运算正确的是（）A． B．C．D．例2.的相反数是（）A． B． C． D．例3.2的平方根是（）A．4 B． C． D．例4.《广东省重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（）A．元B．元C．元D．元例5.实数在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（）a0 例5图A ．B ．C ．D ．例6.（改编题）有一个运算程序，可以使：⊕= (为常数)时，得（+1）⊕= +2，⊕（+1）= -3现在已知1⊕1= 4，那么2009⊕2009=．【当堂检测】1.计算的结果是（）A ．B ．C ．D ．2.的倒数是（）A ．B ．C ．D ．3.下列各式中，正确的是（）A ．B ．C ．D ．4.已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（） A．1 B ．C ．D ．5.的相反数是（）A ．B ．C ．D ．6.-5的相反数是____,-的绝对值是____,=_____.7.写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数.8.如果，则“”内应填的实数是（）A．B．C ．D ．第4题图。

【鲁教版】山东省中考数学一轮复习一《实数的有关概念》教学设计一. 教材分析山东省中考数学一轮复习一《实数的有关概念》教学设计以鲁教版教材为依据，主要涵盖实数的概念、性质和运算等方面的知识。

本节课是实数部分的第一节复习课，旨在帮助学生巩固实数的基本概念，为后续实数运算和应用打下坚实基础。

教材内容主要包括实数的定义、分类、表示方法以及实数的运算规则等。

二. 学情分析学生在之前的学习过程中，已经掌握了实数的基本概念和部分性质，但部分学生对实数的理解和运用仍有困难。

针对这一情况，教师在教学过程中要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习需求进行有针对性的辅导，提高学生的实数素养。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握实数的基本概念、性质和运算规则，提高实数运算能力。

2.过程与方法：通过复习和练习，培养学生独立思考、合作交流的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习实数的兴趣，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.实数的基本概念和分类。

2.实数的表示方法和运算规则。

3.实数在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究实数的基本概念和性质。

2.运用案例分析法，让学生通过具体实例理解实数的运算规则。

3.采用小组讨论法，培养学生的合作交流能力和解决问题的能力。

4.运用激励评价法，激发学生的学习兴趣和自信心。

六. 教学准备1.准备相关实数的教学案例和实例。

2.准备实数运算的练习题和测试题。

3.准备教学多媒体课件和教学素材。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾实数的基本概念，如实数的定义、分类等。

同时，让学生思考实数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

呈现（10分钟）教师通过多媒体课件呈现实数的基本概念和性质，如实数的定义、分类、表示方法等。

同时，结合具体实例讲解实数的运算规则，如加减乘除、乘方等。

操练（10分钟）教师布置实数运算的练习题，让学生独立完成。

年级数学复习一——实数一、中考要求：1．主要考查实数及其相关概念，如：相反数、绝对值、倒数、平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数等概念。

会进行实数的简单四则运算。

2．了解实数与数轴上的点一一对应关系，会用数轴比较大小。

3．科学记数法，近似数和有效数字，会按照题目要求取近似数。

二、知识要点： 1．实数的组成{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 或 实数0⎧⎪⎨⎪⎩正实数负实数强调：（1）分数一定是有理数（2）无限不循环小数叫无理数.从形式上看有以下三类无理数：⑴含π的数：如π＋2，31-π；⑵开不尽的方根：如39,2，sin60°；⑶无限不循环小数如1.212112….2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

实数与数轴上的点是 一 一对应的。

数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。

3.相反数：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反效是零． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称．4.绝对值⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a 注意：（1）若a a =，则a_0，若a a =-，则a_0。

（2）从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 （3） 绝对值 2x =的解为2±=x ；而22=-，不能写成 22±=-．5.倒数 实数a(a ≠0)的倒数是a1。

强调：零没有倒数．6.科学记数法：10na ⨯，其中1≤a ＜10，n 为整数有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.这时，从左边第一个不是 的数起，到 止，所有的数字都叫做这个数的有效数字． 例如：15876保留两个有效数字是1.6×104，不能写成160007．⑴正数a 有______个平方根,它们互为________.其中正的平方根a 叫__________.负数没有平方根，0的平方根为______. ⑵ 任何一个实数a 都有立方根，记为 . ⑶ =2a ⎩⎨⎧<≥=)0( )0( a a a .（4）无理数的估算：记住常用的1.414≈1.732≈2.236≈3.162≈ 8．零指数幂和负指数幂：0a = ，其中 ；p a -= ，其中 。

负有理数无限循环小数实数0
实数
正无理数负实数无理数无限不循环小数
负无理数
如sin60°，tan25°.
（3）失分点警示：开得尽方的含根号的数属于有理数，如=2，=-3，它们都属于有理数
：实数的相关概念
（1）三要素：原点、正方向、单位长度
（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大例：
数轴上-2.5表示的点到原点的距离是
2.5.
（1）概念：只有符号不同的两个数
（2）代数意义：a、b互为相反数⇔ a+b=0
（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0.
例：3的相反数是-3，-1的相反数是
（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离
（2）运算性质：|a|= a (a≥0)；|a-b|= a-b(a≥b)
-a(a＜0). b-a(a＜b)（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0.（1）若|x|=a（a≥0），则x=
（2）对绝对值等于它本身的数是非负数.
例：5的绝对值是5；|-2|=2；绝对值等于3的是±3;|1-|=-1.
（1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a≠0)例：
立方根
若x3=a,则x=.
3a
混合运算先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左
向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、
中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，
使问题简单化
失分点警示：类似“的算术平方根
计算错误. 例：相互对比填一填：
的算术平方根是4___,的算术平方根
是___2__.。

中考总习1 实数1、平方根定义1：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。

a 的算术平方根记作a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数。

即a x =。

规定：0的算术平方根是0。

定义2：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。

即如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根。

即a x ±=。

定义3：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。

因为一个非零实数的平分肯定是正数，所以，正数有两个平方根，它们互为相反数；例如：4的平分根为±2，是互为相反数的；0的平方根是0；负数没有平方根。

2、立方根定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。

即如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根，记作3a 。

即3a x =。

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。

3、无理数无限不循环小数又叫做无理数。

初中常见的无理数有：带有根号开不出来的式子，例如：、、等等；带有的式子，例如： ，等等；无限不循环小数，例如：1.325…，-0.2587…等等4、实数有理数和无理数统称实数。

即实数包括有理数和无理数。

备注：最小的正整数是1，最大的负整数是-1，绝对值最小的数是0。

有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。

例如：3-的相反数为3，倒数为3331-=-，3-的绝对值为。

5、实数的分类分法一：负有理数 0 无理数 实数有理数正有理数负无理数 正无理数 有限小数或 无限循环小数无限不循环小数 知识要点分法二：实数 0由上可知，一个数要是分数，前提必须是有理数，所以，不是所有的a/b 这样的数，都是分数。

例如:不是分数，是无理数。

6、实数的比较大小有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。

备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。