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定积分的概念2习题

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1
3
) B ．6 D．3
A．－6 C．－3
n 3－1 6 6 6 解析：选 A.3(－3)dx＝lim ×(－3)＝lim (－ － …－ )＝－6. →∞ →∞ n n n n n n 1 i＝1 3．已知t xdx＝2，则0 xdx 等于( )
0
－t
A．0 B ．2 C．－1 D．－2 解析：选 D．∵f(x)＝x 在[－t，t]上是奇函数， ∴t xdx＝0.
a a π π B．2sin xdx＝2cos xdx 0 0
C．πsin xdx＝πcos xdx
0
0
D． |sin x|dx＝π|cos x|dx
0
π
0
解析：选 C．分析被积函数 f(x)＝sin x 和 g(x)＝cos x 在各区间的图象，由定积分的几何 意义，易得只有 C 选项不成立，故选 C． 1 1 1 2．将lim ( ＋ ＋…＋ )表示为定积分为________． 2n n→∞ n＋1 n＋2 1 1 1 解析：由定积分的定义lim ( ＋ ＋…＋ ) →∞ 2 n n n＋1 n＋2 ＝lim ( →∞
的面积之和． 1 2 1 2 π 3 S 弓形＝ × π×12－ ×1×1×sin π＝ － ， 2 3 2 3 3 4 3 1 3 S 矩形＝|AB|· |BC|＝2× × ＝ ， 2 2 2 ∴

3 2 3 2
－
π 3 3 π 3 1－x2dx＝ － ＋ ＝ ＋ . 3 4 2 3 4
x，x∈[0，2， 4－x，x∈[2，3， 4．已知 f(x)＝ 5 x 2－2，x∈[3，5]， 解：由定积分的几何意义知
4
y＝－x＋3，
2 曲边梯形面积为2 dx， x
1
梯形面积为2(－x＋3)dx，
1
2 所以阴影面积为2(－x＋3)dx－2 dx x
1 1
2 ＝ (－x＋3－ )dx. x
2 1
[高考水平训练] 1．下列式子中不成立的是( ) A．2π＋asin xdx＝2π＋acos xdx
0
如图(1)所示， 1 其面积为 S＝ (1＋7)×3＝12. 2 根据定积分的几何意义知3(2x＋1)dx＝12.
0
(1) (2)由 y＝ 1－x 可知，x ＋y ＝1(y≥0)图象如图(2)，
2 2 2
(2)
由定积分的几何意义知 2 －
3 3 2
2π 1－x2dx 等于圆心角为 的弓形 CED 的面积与矩形 ABCD 3
0
1
0
1
解析：因为 f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx，
0
2
0
1
1
2
所以 f(x)dx＝ f(x)dx－ f(x)dx＝－2.
1
2
0
2
0
答案：－2 1 8． (2014· 天津高二检测)曲线 y＝ 与直线 y＝x， x＝2 所围成的图形面积用定积分可表示 x 为________． 解析：如图所示，阴影部分的面积可表示为 1 1 2 xdx－2 dx＝2(x－ )dx. x x
－t －t 0
t
而t xdx＝0 xdx＋t xdx，
－t
0
又 xdx＝2， ∴0 xdx＝－2.故选 D．
－t
4．图中阴影部分的面积用定积分表示为(
)
A.12xdx
0
B.1(2x－1)dx D．1(1－2x)dx
C． (2 ＋1)dx
解析：选 B.根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为12xdx－11dx＝1(2x－1)dx.
0 0 2 3 5 3
2
1
1
3
5
x
1
0
∵f(x)是偶函数，根据定积分的几何意义知0 f(x)dx＝af(x)dx，
－a
0
∴ f(x)dx＝2 f(x)dx.
－a
a
－a
0
6．不用计算，直接利用定积分的几何意义比较下面两个积分值的大小． 1 1 2 xdx________ x dx.
0
0
答案：＞ 7．设 f(x)是连续函数，若1f(x)dx＝1，2f(x)dx＝－1，则2f(x)dx＝________.
[学业水平训练] 1．若bf(x)dx＝1，bg(x)dx＝－3，则b[2f(x)＋g(x)]dx＝(
a
a
a
)
A．2 B．－3 C．－1 D．4 解析：选 C．b[2f(x)＋g(x)]dx＝2bf(x)dx＋bg(x)dx＝2×1－3＝－1.
a
a
a
2．定积分 (－3)dx 等于(
求 f(x)在区间[0,5]上的定积分．
xdx＝ ×2×2＝2， 2 0 (4－x)dx＝ ×(1＋2)×1＝ ， 2 2 2 ( － )dx＝ ×2×1＝1， 2 3 2 2 5 x 3 9 所以5f(x)dx＝2xdx＋3(4－x)dx＋5( － )dx＝2＋ ＋1＝ . 2 2 2 2
1 1 1
1 答案：2பைடு நூலகம்x－ )dx x
1
9．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：
解：(1) sin xdx.
π
π
3
(2)2
－4 4
1 2 x dx. 2
1 1
(3)－9－x2dx＝9x2dx. 2 10．用定积分表示曲线 y＝ 与直线 y＝－x＋3 所围成的图形的面积． x 2 y＝x， 解：解方程组 得到交点横坐标为 x＝1 和 x＝2.如图所示．
n i＝1 n
1 1 )· i n ＋1 n
n n 1 1 ＝lim )· ＝1 dx. ( n→∞i＝1 n＋i n 1＋x 0
答案：1
1
01＋x
dx
3．用定积分的意义求下列各式的值： (1)3(2x＋1)dx；(2)

3 2 3 2
0
－
1－x2dx.
解：(1)在平面上，f(x)＝2x＋1 为一条直线， 3 (2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3 与 x 轴围成的直角梯形 OABC 的面积，
0
1
x
0
0
0
0
0
5．设 f(x)是连续函数，且为偶函数，在对称区间[－a，a]上的积分 f(x)dx 等于(
－a
a
)
A．0 C．
B．20 f(x)dx
－a
－a
0
f(x)dx
D．af(x)dx
0
解析：选 B.a
－a
f(x)dx＝0 f(x)dx＋af(x)dx.
－a

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定积分的概念

定积分的概念

微积分II Calculus II§7.1 定积分的概念§7.2 定积分的基本性质第七章§7.3 定积分计算基本公式定积分§7.4 定积分基本积分方法§7.5 反常积分§7.6 定积分的应用7.1 定积分的概念曲边梯形由连续曲线)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成.一问题的提出实例：求曲边梯形的面积1)(x f y =ayxb0121−=<<<<<<=k k n a x x x x x x b(1) 分割：1 (1,2,).−∆=−=k k k x x x k n 分点为：将区间任意分为个子区间[,]a bn(2) 近似：任取1[,]ξ−∈k k k x x (1,2,,)=k n ()ξ≈∆k k k S f x ayxb ()ξk f ξk1−k x kxayxb 1==∑nkk S S (3)作和：1()ξ=≈∆∑nkkk f x (4)取极限：记1max{}≤≤∆=∆k k n x x 01lim ()ξ∆→==∆∑nk kx k S f x ()ξk f ξk1−k x kx0121−=<<<<<<=k k n a x x x x x x b任取1[,]ξ−∈k k k x x (1,2,,)=k n 1(1,2,,)−∆=−=k k k x x x k n 设函数在上有定义，把任意分割成个小区间:[,]a b ()f x [,]a b n 作1(),ξ=∆∑nkk k f x 记1max{}≤≤∆=∆k k nx x 若极限01lim ()ξ∆→=∆∑n k k x k f x 存在，则称函数()f x 在[,]a b 上可积定积分的概念2()baf x dx⎰记作:此极限值为函数()f x 在[,]a b 上的定积分.积分下限a 积分上限b 积分变量x 被积表达式()f x dx 积分区间],[b a 即⎰badx )x (f 01lim ()ξ∆→==∆∑nk k x k f x(1)sdx x f ba=⎰)(sdx x f ba−=⎰)()(x f y =abxyos()0f x >(2)()0f x <)(x f y =a bxyos定积分的几何意义2(3)AB)(xfy=x y()f x()()()=−⎰b a f x dx S A S B二定积分存在定理定理一定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上可积定理二定理2：f x在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则f x在区间a,b上可积利用定积分定义计算⎰102dxx 解2()f x x =120x dx ⎰存在在闭区间[0，1]上连续∴三例题演练例等分, 把区间[0,1]n 1 −∆=−k k k x x x 取(1,2,,)=k n ,n 1=,ξ==k k k x n ∴=k kx n分点为1()ξ=∆∑n k k k f x 21ξ==∆∑n k k k x 211=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑n k k n n 2311==∑n i k n612113)n )(n (n n ++=22231(12)n n =++201lim ξ∆→==∆∑nkk x k x 31=31(1)(21)lim 6→∞++=n n n n n ⎰102dx x。

定积分的概念-精品文档

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区 间 [ x ,x 的长度不趋于 0 . 要 保 证 每 个 区 间 i 1 i]
[ x , x ] 的 长 度 趋 于 0 , 需 引 入 分 割 T 的 细 度 ( 模 ) : i 1 i
T m a x x 1 , 2 ,, n . ii

就能保证分割越来越细. 则 当 T 0 时 ,
i
x n1 b
x

i
可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边
梯形的面积.
前页 后页 返回
如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的
过程呢？ 可以分三步进行. 1. 分割：把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形
A , A , , A , 1 2 n
xx , 2 , , x } , 即在 [ a , b ] 上找到 n 1 个分点 { 1 n 1
积.
一分为二
y
y f x
S(A)
O
a
x
1
b
x
前页 后页 返回
y 一分为四
y f x
S(A)
O
a
x
1
x
2
x
3
b
x
前页 后页 返回
y
一分为八
y f x
S(A)
O
a
x
1
x
3
x 81 b
x
前页 后页 返回
一分为 n
y
y f x
S(A)
O
a x
1
x i1 x
用 T x , x , , x 或 T = , , 来 记 这 个 分 割 . 0 1 n 0 n

i
定积分的概念、性质

定积分的概念、性质

*
三、定积分的性质
§5.1 定积分的概念与性质
一、定积分问题举例
演讲人姓名
二、定积分定义
一、定积分问题举例
曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为 曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.
曲边梯形的面积
*
观察与思考
定积分的定义
*
二、定积分定义
例1 用定积分表示极限 解 定积分的定义
*
二、定积分定义
定积分的定义
注: 设f (x)在[0, 1]上连续, 则有
*
定积分的几何意义
这是因为 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
*
定积分的几何意义
各部分面积的代数和 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
*
例2
在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
*
(2)近似代替:
求曲边梯形的面积
(1)分割:
ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxi=xi-xi1;
小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
如果在区间[a b]上 f (x)g(x) 则
如果在区间[a b]上 f (x)0 则
性质5
推论2
性质6
设M及m分别是函数f(x)在区间[a b]上的最大值及最小值 则
例4 试证:
证明 设 则在 上, 有 即 故 即
*
性质7(定积分中值定理)
如果函数f(x)在闭区间[a b]上连 续 则在积分区间[a b]上至少存在一个点x 使下式成立 这是因为, 由性质6 ——积分中值公式 由介值定理, 至少存在一点x[a, b], 使 两端乘以ba即得积分中值公式.
第1,2节定积分的概念与性质

第1,2节定积分的概念与性质


3. 由定义:
1 a bf(x )d x b af(x )d x有 向 性
a a
f (x)dx 0
2a b1d xba(积 分 值 = 区 间 长 ） .
10
例1 利用定义计算定积分 1 x 2 dx . 0
解每 取 右 个 将 端 小 [ 点 区 0 ,1 间 ] in 的 等 n 长 i分 ， 度 ， (均 i分 为 点 1n 1 ,为 2,， x i, nn )i， 1(iy 1 ,y2 , x 2,n )
思路： 被积函数求最值.
证
设
f(x)
x， x2 1
则
f
(x)

1x2 (x2 1)2
0,
1x2
即 f (x) 单调下降，
所以
2
fmi
n
f(2) , 5
1 fmax f (1) 2 ,
即 2 f(x) 1 ,
5
2
于 是2 2 x dx1。 5 1x21 2
22
例3 估 计 积 分 4 2sxin xdx的 值 .
a
a
c
abc 由 定 义
c
b
c
f(x)d x f(x)d x f(x)d x
a
a
b
b
c
c
af(x )d xaf(x )d x bf(x )d x
有 向 性 c
b
====a f(x)dxc f(x)dx.
c a b 时 同 理 可 证 . 证毕.
a
a
a
即 ： bf(x)dxM(ba)，同 理 可 证 ： m (ba)bf(x)dx.
a
a