高等数学第五章定积分及自测题

第五章 定积分习题一一．选择题 1.⎰b xt dt e dx d 2的结果为( ) A.2x e B. 2x e - C. 22x b e e - D. 22x xe - 2.设()x f 连续,则()⎰=-→xa ax dt t f ax x lim( ) A.0 B.a C.()a af D. ()a f 3.设函数()⎰-=xdt t y 01,则y 有( )A.极小值21 B. 极小值21- C. 极大值21 D. 极大值21- 4.若()()⎰-=xdt x t dxd x f 0cos ,则()=x f ( ) A.x cos B. x cos - C.x sin D.x sin -5.若()⎰=+122dx k x ,则=k ( )A.0B.-1C.1D.21 6.曲线x y -=42与y 轴所围图形的面积为( ) A.()⎰--2224dy y B. ()⎰-224dy y C.dx x ⎰-44 D. dx x ⎰--444二．填空题1.若物体以速度()()()0≥=t v t v v 作直线运动,用定积分表示从时刻1t 到时刻2t 所经过的路程S,则S= .2.设平面图形由直线)1(,>==b b x x y 和曲线1=xy 所围(第一象限部分),该图形的面积I 的定积分表达式为 .3.()()[]=--⎰-dx x f x f a a.4.⎰-=-11221sin dx xx arc x .5.⎰=bdx x 0.6.设()x f '在[]b a ,连续,且()()1,0==b f a f ,则()()[]⎰=+badx x f x f 2'1 .7.设()x f 在()+∞∞-,一阶可导,()()()⎰≠=x x dt t xf x F 1,0则()=x F '' . 8.⎰=++∞→10421limdx x n nxn .9.若广义积分()⎰+∞2ln kx x dx发散,则k 的取值为 .10.由0,1,4>≥≤x y xy 所夹图形绕y 轴旋转所成旋转体体积V = . 三、计算题 1. 计算⎰+1313arctan dx xx x .2. 计算⎰+∞-0sin xdx e x .3. 求⎰-=xt dt e x f 02)(对x 的导数.4. 计算⎰-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++112)2ln(cos 3tan sin dx x x x x . 5. 计算⎰--22232)1(dx x .6. ⎰e dx x 13)(ln 7. ⎰-1)1(arcsin dx x x x习题二一．选择题1.()x f 在[]b a ,上连续是()⎰ba dx x f 存在的( )A.必要条件B.充分条件C. 充分必要条件D.以上A 、B 、C 都不对 2.在积分中值定理()()()a b f dx x f ba -=⎰ξ中,ξ是( )A. []b a ,内任意一点B. []b a ,的中点C. []b a ,内某一点D. []b a ,内至少存在的某一点3.若()x f 可导,()()20,00'==ff ,则()2limxdt t f xx ⎰→的值为( )A.0B.1C.2D.不存在4.设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=⎰0,0,122x a x x dte xf x t 若()x f 在0=x 连续则必有( ) A.1=a B.2=a C.0=a D.1-=a 5.⎰=+b a dx xdx d 211( D ) A.211x + B. 211b + C. 211a+- D.0 6.设()()⎰-=x x f dt t f 02121，且()10=f ,则()x f =( )A.2xe B.x e 21 C.x e 2 D.x e 2217.若()()()⎰+==xtxCdt t e x f e x x g 02122213,,且()()23lim '=+∞→x g x f x ,则必有( ) A.C=0 B.C=1 C.C=-1 D.C=2 8.=⎰-112dx x ( )A.0B.21C.1D.2 9.设()x f ''在[]b a ,连续,且()()b a f a b f =='',,则()()⎰∙b adx x f x f '''=( )A.b a -B. )(21b a -C.22b a -D.)(2122b a -10.若10=⎰+∞-dx ae x 收敛,则=a ( )A.1B.2C.21D. 21- 二．填空题1.设()x f 在积分区间上连续,则()()[]=--⎰-dx x f x f x aa2 .2.定积分⎰-=22cos ππxdx x .3.定积分⎰-=22cos ππxdx x .4.定积分()⎰-=+ππdx x xsin 2.5.定积分⎰-=+222cos 1sin ππdx x x.6.设()⎰=x tdt x f 0tan ,则()=x f ' . 7.设()⎰+∙=20321x dt t t x f ,则()=x f ' .8.设()⎰=xtdt x f 1arctan ,则()=x f ' .9.设()⎰=x tdt x f 0sin ,则=⎪⎭⎫⎝⎛2'πf .10.⎰+∞-=02dx e x .三、计算题1. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-=-10 ,1101 ,)(2x x x xe x f x ,求⎰-2 0.)1(dx x f2. 求极限)cos 1()1arctan(lim 0002x x du dt t xu x -⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰→. 3. ⎰+1)1ln(dx x .4. 将2)(2--=x x xx f 展成x 的幂级数.5. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=+0,)1ln(0,)1(2x x x x xe x f x，求⎰-41)2(dx x f .6.求定积分⎰------6)6)(5)(4)(3)(2)(1(dx x x x x x x x .7． 设连续函数)(x f 满足方程x xe dt tf x f +=⎰0)()(，求)(x f .习题三一．选择题1.设()x f 在区间[]b a ,上连续,则()()⎰⎰-babadt t f dx x f 的值( )A.小于0B.大于0C.等于0D.不能确定2.设()x f 在[]b a ,上连续,x 是[]b a ,上的任一点,则下式中是()x f 的一个原函数的是( )A.()⎰dx x fB.()⎰badx x f C.()⎰xadt t f D.()⎰xadt t f '3.设函数()x f 在区间[]b a ,上连续,则下列结论不正确的是( ) A.()⎰badx x f 是()x f 的一个原函数 B.()⎰xadt t f 是()x f 的一个原函数()b x a <<C.()⎰bxdt t f 是-()x f 的一个原函数 D. ()x f 在[]b a ,上是可积的4.设函数()x f 在[]1,0上连续,令x t 4=,则()⎰=14dx x f ( )A.()⎰40dt t f B.()⎰1041dt t f C. ()⎰404dt t f D. ()⎰441dt t f 5.广义积分⎰+∞-+222x x dx( )A.收敛于2ln 32B. 收敛于2ln 23C. 收敛于41ln 31 D.发散6.⎰baxdx dx d arctan 等于( ) A.x arctan B.211x + C.a b arctan arctan - D.07.若函数()x x x f +=3,则()⎰-22dx x f 的值等于( )A.0B.8C. ()⎰20dx x f D. ()⎰22dx x f8.下列定积分等于零的是( )A.⎰-112cos xdx x B. ⎰-11sin xdx x C. ⎰-+11)sin (dx x x D. ⎰-+11)(dx x e x9.变上限积分()⎰xadt t f 是( )A.()x f ' 的一个原函数B.()x f '的全体原函数C.()x f 的一个原函数D.()x f 的全体原函数10.极限⎰⎰→x xx tdttdtsin lim等于( )A.-1B.0C.1D.2二．填空题1.根据定积分的几何意义,有()⎰=-101dx x .2.设(),sin 12dt t x x⎰=ϕ则导数()=x 'ϕ .3.⎰--=121dx x . 4.()⎰=xa dt t f dx d . 5.()⎰=2x a dt t f dx d . 6.()⎰=ua dt t f du d . 7.()⎰=badx x f dx d . 8.=++⎰4122dx x x .9.=⎰210arcsin xdx .10.设()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=+,0,1,0,111x e x x x x f x 则定积分()=-⎰201dx x f .三、计算题1. 计算⎰++102132dx x x . 2. 设xxe x f =+)12(, 求⎰53)(dt t f .3. 已知⎰+=+12)1ln()()(2x x f dx x f x , 求⎰1)(dx x f .4. 讨论级数∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--111co s 1)1(n n n 的敛散性, 若收敛,指出其条件收敛或绝对收敛.5. 计算⎰-20)2sin(1πdx x .6. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<=1,ln 1,)(2x x x x xe x f x ，求.)2(41⎰-dx x f7. 求.)2()1ln(102⎰-+dx x x习题四一．选择题 1.()⎰=+xdt t dx d 021ln （ ） A ．()1ln 2+x B.()1ln 2+t C.()1ln 22+x x D.()1ln 22+t t 2.=⎰→320sin limx dt t xx ( )A.0B.1C.31D.∞3.下列积分中,使用变换正确的是( )A.⎰+π03,sin 1dx xdx 令t x arctan = B.⎰-3023,1dx x x 令t x sin = C.()⎰-++2122,11ln dx xx x 令21x u += D.⎰--112,1dx x 令31t x = 4.下列积分中,值为零的是( )A.⎰-112dx x B.⎰-213dx x C.⎰-11dx D.⎰-112sin xdx x二．填空题1. 若2x e -为)(x f 的一个原函数，则='⎰1)(dx x f x .2. 函数⎰--=xdt t t y 02)2()1(的极小值点是 .3. 若)(x f 在R 上连续，则=⎰-aadt x f x )(cos 3 .4. 若⎰+=yx t dt e y x f 402),(，则='),(y x f x .5. 若⎰=x t dt xe x f 0)(，则=dxdf. 6. ⎰+∞-=04dx e x x .7. 若平面区域{}0,4),(22≥≤+=y y x y x D ，则=⎰⎰Ddxdy .8. =⎰∞→32sin limt xdx x tt . 9. 设,sin )(C xxdx x f +=⎰则=⎰362)(ππdx x xf .10. 设,)sin 3()( 02⎰+=x dt t t x f 则=→23)(limx x f x . 三、计算题1. 求连续函数),(x f 使其满足20)(2)(x dt t f x f x=+⎰.2. 计算⎰-12112dx ex .3. 计算⎰-0|cos sin |πdx x x .4. 讨论⎰+∞dx e ax 的敛散性.5. 设x e x f -=)(， （1）求dx x f ⎰)(;（2）若)()(x f x F ='，且1)0(=F ，求)(x F 的表达式； （3）计算⎰ba dx x f )(；（4）判别⎰+∞1)(dx x f 的收敛性，若收敛，求其值； （5）求202)(lim2xdt t f x x ⎰→；6. 计算⎰-12112dx ex .7. 可微函数)(x f y =满足⎰-=-xdt t f x f 0]1)(2[1)(，求：（1）)0(f ; （2）)(x f答案习题一一．选择题 1.⎰b xt dt e dx d 2的结果为( B ) A.2x e B. 2x e - C. 22x b e e - D. 22x xe - 2.设()x f 连续,则()⎰=-→xa ax dt t f ax x lim( C ) A.0 B.a C.()a af D. ()a f 3.设函数()⎰-=xdt t y 01,则y 有( B )A.极小值21 B. 极小值21- C. 极大值21 D. 极大值21-4.若()()⎰-=xdt x t dx d x f 0cos ,则()=x f ( A ) A.x cos B. x cos - C.x sin D.x sin -5.若()⎰=+122dx k x ,则=k ( C )A.0B.-1C.1D.21 6.曲线x y -=42与y 轴所围图形的面积为( A ) A.()⎰--2224dy y B. ()⎰-224dy y C.dx x ⎰-44 D. dx x ⎰--444二．填空题1.若物体以速度()()()0≥=t v t v v 作直线运动,用定积分表示从时刻1t 到时刻2t 所经过的路程S,则S= . ()⎰21t t dt t v2.设平面图形由直线)1(,>==b b x x y 和曲线1=xy 所围(第一象限部分),该图形的面积I 的定积分表达式为 . ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-b dx x x 113.()()[]=--⎰-dx x f x f aa. 04.⎰-=-11221sin dx xx arc x . 05.⎰=b dx x 0 . 221b ± 6.设()x f '在[]b a ,连续,且()()1,0==b f a f ,则()()[]⎰=+badx x f x f 2'1 .4π 7.设()x f 在()+∞∞-,一阶可导,()()()⎰≠=x x dt t xf x F 1,0则()=x F '' . ⎪⎭⎫⎝⎛x f x 11'3 8.⎰=++∞→10421limdx x n nx n . 4π9.若广义积分()⎰+∞2ln kx x dx发散,则k 的取值为 . 1>k10.由0,1,4>≥≤x y xy 所夹图形绕y 轴旋转所成旋转体体积V = . π 三、计算题 1. 计算⎰+1313arctan dx xx x .2. 计算⎰+∞-0sin xdx e x .3. 求⎰-=xt dt e x f 02)(对x 的导数.4. 计算⎰-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++112)2ln(cos 3tan sin dx x x x x . 5. 计算⎰--22232)1(dx x .6. ⎰e dx x 13)(ln 7. ⎰-1)1(arcsin dx x x x习题二一．选择题1.()x f 在[]b a ,上连续是()⎰ba dx x f 存在的( B )A.必要条件B.充分条件C. 充分必要条件D.以上A 、B 、C 都不对 2.在积分中值定理()()()a b f dx x f ba -=⎰ξ中,ξ是( D )A. []b a ,内任意一点B. []b a ,的中点C. []b a ,内某一点D. []b a ,内至少存在的某一点 3.若()x f 可导,()()20,00'==ff ,则()2limx dt t f xx ⎰→的值为( B ) A.0 B.1 C.2 D.不存在4.设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=⎰0,0,122x a x x dte xf x t 若()x f 在0=x 连续则必有( C ) A.1=a B.2=a C.0=a D.1-=a 5.⎰=+b a dx x dx d 211( D ) A.211x + B. 211b + C. 211a+- D.06.设()()⎰-=xx f dt t f 02121，且()10=f ,则()x f =( C ) A.2xe B.x e 21 C.x e 2 D.x e 2217.若()()()⎰+==xtxCdt t e x f e x x g 02122213,,且()()23lim '=+∞→x g x f x ,则必有( B ) A.C=0 B.C=1 C.C=-1 D.C=2 8.=⎰-112dx x ( C )A.0B.21C.1D.2 9.设()x f ''在[]b a ,连续,且()()b a f a b f =='',,则()()⎰∙b adx x f x f '''=( D )A.b a -B. )(21b a -C.22b a -D.)(2122b a -10.若10=⎰+∞-dx ae x 收敛,则=a ( C )A.1B.2C.21D. 21- 二．填空题1.设()x f 在积分区间上连续,则()()[]=--⎰-dx x f x f x aa2 . 02.定积分⎰-=22cos ππxdx x . 03.定积分⎰-=22cos ππxdx x . 04.定积分()⎰-=+ππdx x xsin 2. 332π5.定积分⎰-=+222cos 1sin ππdx x x. 06.设()⎰=x tdt x f 0tan ,则()=x f ' . x tan7.设()⎰+∙=20321x dt t t x f ,则()=x f ' . 34312x x +∙8.设()⎰=xtdt x f 1arctan ,则()=x f ' . x arctan9.设()⎰=x tdt x f 0sin ,则=⎪⎭⎫⎝⎛2'πf . 110.⎰+∞-=02dx e x .21三、计算题1. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-=-10 ,1101 ,)(2x x x xe x f x ,求⎰-2 0.)1(dx x f2. 求极限)cos 1()1arctan(lim0002x x du dt t xu x -⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰→. 3. ⎰+1)1ln(dx x .4. 将2)(2--=x x xx f 展成x 的幂级数.5. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=+0,)1ln(0,)1(2x x x x xe x f x，求⎰-41)2(dx x f .6.求定积分⎰------6)6)(5)(4)(3)(2)(1(dx x x x x x x x .7． 设连续函数)(x f 满足方程x xe dt tf x f +=⎰0)()(，求)(x f .习题三一．选择题1.设()x f 在区间[]b a ,上连续,则()()⎰⎰-babadt t f dx x f 的值( C )A.小于0B.大于0C.等于0D.不能确定2.设()x f 在[]b a ,上连续,x 是[]b a ,上的任一点,则下式中是()x f 的一个原函数的是( C )A.()⎰dx x fB.()⎰badx x f C.()⎰xadt t f D.()⎰xadt t f '3.设函数()x f 在区间[]b a ,上连续,则下列结论不正确的是( A ) A.()⎰b adx x f 是()x f 的一个原函数 B.()⎰xadt t f 是()x f 的一个原函数()b x a <<C.()⎰b xdt t f 是-()x f 的一个原函数 D. ()x f 在[]b a ,上是可积的 4.设函数()x f 在[]1,0上连续,令x t 4=,则()⎰=104dx x f ( D )A.()⎰4dt t f B. ()⎰1041dt t f C. ()⎰404dt t f D. ()⎰441dt t f5.广义积分⎰+∞-+222x x dx( A )A.收敛于2ln 32B. 收敛于2ln 23C. 收敛于41ln 31 D.发散6.⎰baxdx dx d arctan 等于( D ) A.x arctan B.211x + C.a b arctan arctan - D.07.若函数()x x x f +=3,则()⎰-22dx x f 的值等于( A )A.0B.8C. ()⎰20dx x f D. ()⎰22dx x f8.下列定积分等于零的是( C )A.⎰-112cos xdx x B. ⎰-11sin xdx x C. ⎰-+11)sin (dx x x D. ⎰-+11)(dx x e x9.变上限积分()⎰xadt t f 是( C )A.()x f ' 的一个原函数B.()x f '的全体原函数C.()x f 的一个原函数D.()x f 的全体原函数10.极限⎰⎰→x xx tdttdtsin lim等于( C )A.-1B.0C.1D.2二．填空题1.根据定积分的几何意义,有()⎰=-101dx x .21 2.设(),sin 12dt t x x⎰=ϕ则导数()=x 'ϕ . 2sin x3.⎰--=121dx x . 2ln - 4.()⎰=xa dt t f dx d . ()x f 5.()⎰=2x a dt t f dx d . ()22x xf 6.()⎰=ua dt t f du d . ()u f 7.()⎰=badx x f dx d . 0 8.=++⎰4122dx x x .322 9.=⎰210arcsin xdx .12312-+π10.设()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=+,0,1,0,111x e x x x x f x 则定积分()=-⎰201dx x f . 2ln 1+三、计算题1. 计算⎰++102132dx x x . 2. 设x xe x f =+)12(, 求⎰53)(dt t f .3. 已知⎰+=+12)1ln()()(2x x f dx x f x , 求⎰1)(dx x f .4. 讨论级数∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--111co s 1)1(n n n 的敛散性, 若收敛,指出其条件收敛或绝对收敛.5. 计算⎰-20)2sin(1πdx x .6. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<=1,ln 1,)(2x x x x xe x f x ，求.)2(41⎰-dx x f7. 求.)2()1ln(102⎰-+dx x x习题四一．选择题 1.()⎰=+xdt t dx d 021ln （ A ） A ．()1ln 2+x B.()1ln 2+t C.()1ln 22+x x D.()1ln 22+t t2.=⎰→320sin limx dt t xx ( C )A.0B.1C.31D.∞3.下列积分中,使用变换正确的是( C )A.⎰+π03,sin 1dx xdx 令t x arctan = B.⎰-3023,1dx x x 令t x sin =C.()⎰-++2122,11ln dx xx x 令21x u += D.⎰--112,1dx x 令31t x = 4.下列积分中,值为零的是( A )A.⎰-112dx x B.⎰-213dx x C.⎰-11dx D.⎰-112sin xdx x二．填空题1. 若2x e -为)(x f 的一个原函数，则='⎰1)(dx x f x .2. 函数⎰--=xdt t t y 02)2()1(的极小值点是 .3. 若)(x f 在R 上连续，则=⎰-aadt x f x )(cos 3 .4. 若⎰+=yx t dt e y x f 402),(，则='),(y x f x .5. 若⎰=x t dt xe x f 0)(，则=dxdf. 6. ⎰+∞-=04dx e x x .7. 若平面区域{}0,4),(22≥≤+=y y x y x D ，则=⎰⎰Ddxdy .8. =⎰∞→32sin limt xdx x tt . 9. 设,sin )(C xxdx x f +=⎰则=⎰362)(ππdx x xf .10. 设,)sin 3()( 02⎰+=x dt t t x f 则=→23)(limx x f x . 三、计算题1. 求连续函数),(x f 使其满足20)(2)(x dt t f x f x=+⎰.2. 计算⎰-12112dx ex .3. 计算⎰-20|cos sin |πdx x x .4. 讨论⎰+∞dx e ax 的敛散性.5. 设x e x f -=)(， （1）求dx x f ⎰)(;（2）若)()(x f x F ='，且1)0(=F ，求)(x F 的表达式； （3）计算⎰ba dx x f )(；（4）判别⎰+∞1)(dx x f 的收敛性，若收敛，求其值；（5）求202)(lim2xdt t f x x ⎰→；6. 计算⎰-12112dx ex .7. 可微函数)(x f y =满足⎰-=-xdt t f x f 0]1)(2[1)(，求：（1）)0(f ; （2）)(x f。

自测题（1-7章附参考答案）-高等数学上册第一章函数与极限一、选择题：8、设a0,b00,则当（）时有某11．函数y1某arcco的定义域是（）2(A)某1；(B)3某1；(C)(3,1)；(D)某某1某3某1.a0某ma1某m1........ama0lim.某b某nb某n1.........bb001n(A)mn；(B)mn；(C)mn；(D)m,n任意取.9、设某3,4某02.函数2的定义域是（）某1,0某3(A)4某0；(B)3;(C)(4,3);(D)某4某0某0某3.3、函数y某co某in某是（）(A)偶函数；(B)奇函数；(C)非奇非偶函数；(D)奇偶函数.4、函数f(某)1co某1,1某0,则limf(某)()某0某,0某1某（）某(A)-1；(B)1；(C)0；(D)不存在.10、lim某0(A)1；(B)-1；(C)0；(D)不存在.二、求下列函数的定义域：1、yin(2某1)arctan某;29某某2)2、(某)lg(1.2三、设g(某1)2某3某1（1）试确定a,b,c的值使g(某1)a(某1)b(某1)c；22某的最小正周期是（）1.2(A)2；(B)；(C)4；(D)5、函数某在定义域为（）1某2（2）求g(某1)的表达式.四、求f(某)(1某)gn某的反函数f五、求极限：21(A)有上界无下界；(B)有下界无上界；(C)有界，且12f(某)12(某).；某2.(D)有界，且21某26、与f(某)1某22n2n11、lim；2、；lim 某3n(1n)2某33、lim(1某)；4、lim某(e1)；某0某2某1某某2等价的函数是（）(A)某；(B)(某)2；(C)(3某)3；(D)某.7、当某0时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（）（A）某；（B）1co某；（C）某tan某；（D）ln(1某).25、当某0时，limcon某某某co........con；242某2in6、lim某1某.2某21第1页共11页ina某,某1六、设有函数f(某)试确定aa(某1)1,某1的值使f(某)在某1连续.(D)arctan某arccot某.ea某,某05、如果f(某)处处可导，那末（）2b(1某),某0（A）ab1；（B）a2,b1；（C）a1,b0；（D）a0,b1.6、已知函数f(某)具有任意阶导数，且f(某)f(某),则当n为大于2的正整数时，f(某)的n阶导数f(n)(某)是（）（A）n![f(某)]n121某arctan某1的连续性，并判七、讨论函数f(某)in某2断其间断点的类型.八、证明奇次多项式：P(某)a0某2n1a1某2na2n1(a00)至少存在一个实根.第二章导数与微分一、选择题：1、函数f(某)在点某0的导数f(某0)定义为（）；（B）n[f(某)]2nn1；（C）[f(某)]；（D）n![f(某)].7、若函数某某(t),yy(t)对t可导且某(t)0,又2nf(某0某)f(某0)（A）；某（B）lim某某0f(某0某)f(某0)；某f(某)f(某0)；某某某(t)的反函数存在且可导，则dy=（）d某（A）（C）limy(t)y(t)；（B）；某(t)某(t)y(t)y(t)；（D）.某(t)某(t)某某0（D）lim某某0f(某)f(某0)；某某0（C）8、若函数f(某)为可微函数，则dy（）（A）与某无关；（B）为某的线性函数；（C）当某0时为某的高阶无穷小；（D）与某为等价无穷小.9、设函数yf(某)在点某0处可导，当自变量某由某0增加到某0某时，记y为f(某)的增量，dy为f(某)的微分，lim2、若函数yf(某)在点某0处的导数f(某0)0，则曲线yf(某)在点(某0,f(某0))处的法线（）（A）与某轴相平行；（B）与某轴垂直；（C）与y轴相垂直；（D）与某轴即不平行也不垂直：3、若函数f(某)在点某0不连续，则f(某)在某0()（A）必不可导；（B）必定可导；（C）不一定可导；（D）必无定义.4、如果f(某)=（），那么f(某)0.(A)arcin2某arcco某；(B)ec某tan某；(C)in某co(1某)；2222ydy等于（）某0某（A）-1；（B）0；（C）1；（D）.10、设函数yf(某)在点某0处可导，且f(某0)0，第2页共11页ydy则lim等于（）.某0某（A）0；（B）-1；（C）1；（D）.二、求下列函数的导数：1、yin某ln某2；2、yacoh某（a0）；3、y(1某2)ec某；4、yln[co(103某2)]；5、设y为某的函数是由方程ln确定的；（C）它们都先肯定了点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ的值.（D）它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什么，也没有给出求ξ的方法.2、若f(某)在(a,b)可导且f(a)f(b),则（（A）至少存在一点(a,b)，使f()0；（B）一定不存在点(a,b)，使f()0；（C）恰存在一点(a,b)，使f()0；（D）对任意的(a,b)，不一定能使f()0.3．已知f(某)在[a,b]可导，且方程f(某)=0在(a,b)有）某2y2arctany某dy6、设某yy，u(某某)，求.du2232t三、证明某eint，yecot满足方程t两个不同的根与，那么在(a,b)（）d2ydy2(某y).(某y)2d某d某2f(某)0.g(某)co某,某0四、已知f(某)其中g(某)有二阶某a,某0连续导数，且g(0)1，1、确定a的值，使f(某)在某0点连续；（A）必有；（B）可能有；（C）没有；（D）无法确定.4、如果f(某)在[a,b]连续，在(a,b)可导，c为介于a,b之间的任一点，那么在(a,b)（）找到两点2、求f(某)某2,某1，使f(某2)f(某1)(某2某1)f(c)成立.(n)五、设y某ln某,求f(1).六、计算39.02的近似值.七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？（A）必能；（B）可能；（C）不能；（D）无法确定能.5、若f(某)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且某(a,b)时，f(某)0，又f(a)0,则（）.（A）f(某)在[a,b]上单调增加，且f(b)0；（B）f(某)在[a,b]上单调增加，且f(b)0；（C）f(某)在[a,b]上单调减少，且f(b)0；（D）f(某)在[a,b]上单调增加，但f(b)的第三章微分中值定理一、选择题：1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（）（A）它们都给出了ξ点的求法.（B）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。

第五章 定积分及其应用习 题 5-11. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）⎰-x x d 11, （2）⎰--x x R R R d 22, （3）⎰x x d cos 02π, （4）⎰-x x d 11.解：若[]⎰≥∈x x f x f b a x ab d )(,0)(,,则时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，⎰≤x x f x f ab d )(,0)(则在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，0)(d 1111=+-=⎰-A A x x .（2）由上图（2）所示，2πd 2222R A x x R R R==-⎰-.（3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π20=--++=+-+=⎰A A AA A A A x x . （4）由上图（4）所示，1112122d 611=⋅⋅⋅==⎰-A x x . 2. 设物体以速度12+=t v 作直线运动，用定积分表示时间t 从0到5该物体移动的路程S.( 2 )( 1 )( 3 )(4)解：=s ⎰+t t d )12(053. 用定积分的定义计算定积分⎰bax c d ,其中c 为一定常数.解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x -)2,1(n i =，小区间长度记为x ∆i =i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ作乘积i i x f ∆⋅)(ξ的和式：∑∑==--=-⋅=∆⋅n i ni i iiia b c x xc x f 111)()()(ξ,记}{max 1i n i x ∆=≤≤λ, 则)()(lim )(lim d 0a b c a b c x f x c ni i i b a-=-=∆⋅=∑⎰=→→λλξ.4. 利用定积分定义计算120d x x ⎰.解：上在]1,0[)(2x x f =连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对[]0,1 n 等分，分点i i n i nix ξ;1,,2,1,-==取相应小区间的右端点，故 ∑∑∑===∆=∆=∆ni i i ni i i ni i i x x x x f 12121)(ξξ=∑∑===ni ni in n n i 1232111)(=311(1)(21)6n n n n ⋅++ =)12)(11(61nn ++ 当时0→λ（即时∞→n ），由定积分的定义得： 120d x x ⎰=31．5. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 35093(1)11,(0)5,(),(1)781024f f f f -====的大小，知min max 5093,111024f f ==，由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即14315093(425)d 22512x x x -≤-+≤⎰. 6. 利用定积分的性质说明⎰1d xe x与⎰1d 2x e x ，哪个积分值较大？解：在[]0,1区间内：22xx x x e e ≥⇒≥ 由性质定理知道：⎰1d xe x≥⎰1d 2x e x7. 证明：⎰---<<2121212d 22x e ex 。

第一章函数与极限一、选择题：1．函数的定义域是（）(A； (B； (C；(D.2.函数的定义域是（）(A；(B;(C;(D.3、函数是（）(A偶函数； (B奇函数；(C非奇非偶函数；(D奇偶函数.4、函数的最小正周期是（）(A2； (B； (C 4 ； (D .5、函数在定义域为（）(A有上界无下界； (B有下界无上界；(C有界，且；(D有界，且.6、与等价的函数是（）(A ； (B ； (C ； (D .7、当时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、设则当（）时有.(A； (B；(C； (D任意取 .9、设,则((A-1 ； (B1 ； (C0 ； (D不存在 .10、（）(A1； (B-1；(C0； (D不存在.二、求下列函数的定义域：2、 .三、设（1）试确定的值使；（2）求的表达式 .四、求的反函数.五、求极限：1、；2、；3、；4、；5、当时，；6、 .六、设有函数试确定的值使在连续 .七、讨论函数的连续性，并判断其间断点的类型 .八、证明奇次多项式：至少存在一个实根 .第二章导数与微分一、选择题：1、函数在点的导数定义为（）（A）；（B）；（C）；（D）；2、若函数在点处的导数，则曲线在点(处的法线（）（A）与轴相平行；（B）与轴垂直；（C）与轴相垂直；（D）与轴即不平行也不垂直：3、若函数在点不连续，则在 (（A）必不可导；（B）必定可导；（C）不一定可导；（D）必无定义.4、如果=（），那么.(A ；(B ；(C ；(D .5、如果处处可导，那末（）（A）；（B）；（C）；（D）.6、已知函数具有任意阶导数，且,则当为大于2的正整数时，的n阶导数是（）（A）；（B）；（C）；（D）.7、若函数,对可导且,又的反函数存在且可导，则=（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、若函数为可微函数，则（）（A）与无关；（B）为的线性函数；（C）当时为的高阶无穷小；（D）与为等价无穷小.9、设函数在点处可导，当自变量由增加到时，记为的增量，为的微分，等于（）（A）-1；（B）0；（C）1；（D）.10、设函数在点处可导，且，则等于（）.（A）0；（B）-1；（C）1；（D） .二、求下列函数的导数：1、；2、（）；3、；4、；5、设为的函数是由方程确定的；6、设，，求.三、证明，满足方程.四、已知其中有二阶连续导数，且，1、确定的值，使在点连续；2、求五、设求.六、计算的近似值 .七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？第三章微分中值定理一、选择题：1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（）（A）它们都给出了ξ点的求法 .（B）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。

《高等数学》单元自测题答案 第五章 定积分及其应用一、填空题： 1、0； 2、≤； 3、65； 4、)sin(362x x ； 5、2+e ． 二、选择题：1、D ； 2 、C ； 3、B ； 4、C ； 5、D 。

三、计算题：1、解 令t x sin 2=，则tdt dx cos 2=，且 当0=x 时，0=t ；当2=x 时，2π=t 。

所以，⎰⎰⋅-=-20232023cos 2sin 44sin 84πtdt t t dx x x⎰⎰⋅-=⋅⋅=2022203cos cos )1(cos 32cos 2cos 2sin 8ππttd t tdt t t1564)cos 31cos 51(322035=-=πt t 。

2、解⎰⎰⎰⎰+=+=+---20322322223cos 20cos )cos (πππππππxdx xdx xdx dx x x34)sin 31(sin 2sin )sin 1(2203202=-=-=⎰ππt x x d x 。

3、解⎰⎰⎰--=-⋅=210221021021112arcsin )arcsin (arcsin dx xx x xd x x xdx π123121221121)1(211221022122-+=-⋅+=--+=⎰πππxx x d 。

4、解31)11lim (31)131(31314=--=⋅-=+∞→+∞∞+⎰xx x dx x 。

5、解 2)arcsin(ln )(ln 1ln )(ln 111212π==-=-⎰⎰ee e x x x d x x dx 。

四、应用题：1、已知函数)(x f 在 12=x 的某邻域内可导，且0)(lim 12=→x f x ，1004)(lim 12='→x f x ，求3121212)12(])([limx dtdu u tf x tx -⎰⎰→。

解 []2121231212123121212)12(3)(lim )12(])([lim )12(])([lim x du u xf x dt du u tf x dt du u tf x x xt x xt x --='-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⎰⎰⎰⎰⎰→→→ [])12(6)]([)(lim )12(3)(lim 121221212x x f x du u f x du u f x x x x x --+='--'⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰→→ 20086)()(2lim 6)]()([)(lim 1212='+=-'+--=→→x f x x f x f x x f x f x x 。

高等数学课后习题及参考答案（第五章）习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解 第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i nab a x i i -+==ξ, 作和 nab i n a b a x f S ni i i ni n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i na b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[ ]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=n n n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==ni i i ba x f dx x f S 10)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b n a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分:(1)xdx ba ⎰(a <b ); (2)dx e x ⎰10.解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是 ∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n ni i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ )(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. (2)取分点为n i x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nx i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点nix i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nnn n nn n n n .3. 利用定积分的几何意义 说明下列等式: (1)1210=⎰xdx ; (2)41102π=-⎰dx x ;(3)⎰-=ππ0sin xdx ;(4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .解 (1)⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.(2)⎰-1021dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:41411212ππ=⋅⋅=-⎰dx x .(3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解 建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim 8.9lim 8.98.9lim H L nn n H L n Hi n H L x L x P n ni n ni i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑.将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).5. 证明定积分性质: (1)⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1.证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξλλ.(2)a b a b x x dx ni i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010λλλ.6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+412)1(dx x ; (2)⎰+ππ4542)sin 1(dx x ;(3)⎰331arctan xdx x ;(4)⎰-022dx e xx.解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x , 即 51)1(6412≤+≤⎰dx x . (2)因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以 )445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542≤+≤⎰dx x .(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21arctan )(xx x x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan31)31(π===f m , 33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x . (4)先求函数xx e x f -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .)12()(2-='-x e x f xx , 驻点为21=x .比较f (0)=1, f (2)=e 2,41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(220412-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 41022222---≤≤-⎰e dx dx e e xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明:(1)若在[a , b ]上 f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0; (2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ;(3)若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=b a ba dx x g dx x f )()(, 则在[ab ]上f (x )≡g (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a . 这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )≡0.(2)证法一 因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二 因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰ba dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？(2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？ (4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？ (5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以⎰⎰≤213212dx x dx x . 又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x .(3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以⎰⎰≥21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以⎰⎰+≥1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx .(5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以⎰⎰+≥1010)1(dx x dx e x .又因为当0<x ≤1时, e x >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x .习题5-21. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.解 x tdt dx dy x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0;当4π=x 时, 224sin =='πy .2. 求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x的导数.解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t ,t t x t y dx dy cos )()(=''=. 3. 求由⎰⎰=+xy ttdt dt e 00cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy. 解 方程两对x 求导得 0cos =+'x y e y , 于是ye x dx dy cos -=. 4. 当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0.因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0, 所以x =0是函数I (x )的极小值点. 5. 计算下列各导数:(1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt tdx d ; (3)⎰x x dtt dxd cos sin 2)cos(π.解 (1)dxdu dt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令 421221x x x u +=⋅+=.(2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ )cos cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x πππ-⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅+⋅-= )sin cos()cos (sin 2x x x π-=.6. 计算下列各定积分: (1)⎰+-adx x x 02)13(;解a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(.(2)⎰+2142)1(dx xx ;解852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ;解94223942194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰6145)421432()921932(223223=+-+=.(4)⎰+33121x dx ; 解 66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx . (5)⎰--212121x dx ; 解3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .(6)⎰+ax a dx 3022;解aa a ax a x a dx a a30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰.(7)⎰-1024x dx ;解60arcsin 21arcsin 2arcsin 41012π=-==-⎰x x dx .(8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 01301221224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=.(9)⎰---+211e xdx ; 解1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e .(10)⎰402tan πθθd ;解4144tan )(tan )1(sec tan 4040242πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .(11)dx x ⎰π20|sin |;解⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx xπππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. (12)⎰2)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1 2111)(2x x x x x f . 解38|)61(|)21(21)1()(213102212102=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ;(2)⎰-=ππ0sin kxdx ;(3)⎰-=πππkxdx 2cos ;(4)⎰-=πππkxdx 2sin .证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k kk k x k k kxdxcos 1cos 1=+-=ππk kk k(3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ;(2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;(3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k .(2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k .(3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin . 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k .9. 求下列极限: (1)xdt t xx ⎰→020cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.解 (1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdt t x xx . (2)22222200022)(2lim)(limx xt x t x xt xt x xedt e dt e dttedt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→222220202lim2limx xt x x x xt x xedte xeedt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x . 10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式,并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解 当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ;当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xxϕ.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ.因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ,316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ,所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解 当x <0时,00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ;当0≤x ≤π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ;当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x-=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=x a dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明 根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ.于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰ ))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f ax --=.由 f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内)]()([1)(≤--='ξf x f a x x F .习题5-31. 计算下列定积分:(1)⎰+πππ2)3sin(dx x ;解 0212132cos 34cos)3cos()3sin(22=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . (2)⎰-+123)511(x dx;解51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. (3)⎰203cos sin πϕϕϕd ;解⎰⎰-=20323sin cos cos sin ππϕϕϕϕϕd s d410cos 412cos 41cos 4144204=+-=-=πϕπ.(4)⎰-πθθ03)sin 1(d ; 解⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(5)⎰262cos ππudu ;解2626262622sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ.(6)dx x ⎰-2022;解dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-202022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令2)2sin 21(20ππ=+=t t .(7)dy y ⎰--22228;解⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dy y dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .(8)⎰-121221dx xx ;解41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 12424224212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx x x 令.(9)⎰-adx x a x 0222; 解⎰⎰⎰=⋅⋅=-2024202202222sin4cos cos sin sin ππtdt a tdt a t a t a t a x dx x a xa令164sin 328)4cos 1(84204204204ππππa t a t a dt t a =-=-=⎰. (10)⎰+31221xxdx ;解⎰⎰⋅⋅=+34223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. (11)⎰--1145xxdx ;解61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x x xdx 令. (12)⎰+411xdx ;解)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x x dx 令.(13)⎰--14311x dx ;解2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(11111210210021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.(14)⎰-axa xdx 20223;解)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.(15)dt te t ⎰-1022;解2110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e etd e dt tet t t .(16)⎰+21ln 1e x x dx; 解)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx .(17)⎰-++02222x x dx;解 2)1arctan(1arctan )1arctan()1(112202022022π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .(18)⎰-222cos cos ππxdx x ;解32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 22322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . (19)⎰--223cos cos ππdx x x ;解⎰⎰---=-222223cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 20230223202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x (20)⎰+π02cos 1dx x .解22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππxxdx dx x .2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;解 因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰-224cos 4ππθθd ;解⎰⎰⎰+==-202204224)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(20πθπ=++=x x . (3)⎰--2121221)(arcsin dx xx ;解⎰⎰⎰=-=--21221022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx xx dx xx324)(arcsin 3232103π==x .(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 解 因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .3. 证明:⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中ϕ(u )为连续函数.证明 因为被积函数ϕ(x 2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a , a ]关于原点对称, 所以有⎰⎰-=aa adx x dx x022)(2)(ϕϕ.4. 设f (x )在[-b , b ]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(. 证明 令x =-t , 则dx =-dt , 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是⎰⎰⎰----=--=b b bb bbdt t f dt t f dx x f )()1)(()(,而 ⎰⎰---=-bb bb dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.5. 设f (x )在[a , b ]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 证明 令x =a +b -t , 则dx =d t , 当x =a 时t =b , 当x =b 时t =a , 于是 ⎰⎰⎰-+=--+=b a ba ab dt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba badx x b a f dt t b a f )()(,所以⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.6. 证明:⎰⎰>+=+11122)0(11x x x x dxx dx. 证明 令t x 1=, 则dt tdx 21-=, 当x =x 时x t 1=, 当x =1时t =1, 于是⎰⎰⎰+=-⋅+=+11121122211)1(1111xx xdt t dt t tx dx , 而 ⎰⎰+=+x x dx x dt t 1121121111,所以 ⎰⎰+=+1112211x xxdx x dx.7. 证明:⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x xm n n m.证明 令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 8. 证明: ⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.证明 ⎰⎰⎰+=ππππ2020sin sin sin xdx xdx xdx nn n,而⎰⎰⎰⎰==---=2020202sin sin ))((sin sinπππππππxdx tdt dt t t x xdx n n nn 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.9. 设f (x )是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关.证明 已知f (x +l )=f (x ). ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala ll la ll a a adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而 ⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令,所以 ⎰⎰=+la adx x f dx x f 01)()(.因此⎰+1)(a adx x f 的值与a 无关.10. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f (t )是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数. 证明 设⎰=xdt t f x F 0)()(.若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x xx ===---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数.若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x x x -=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.11. 计算下列定积分: (1)⎰-10dx xe x ; 解11011010101021--------=--=+-=-=⎰⎰⎰e e e dx e xe xde dx xe xx x x x .(2)⎰e xdx x 1ln ; 解)1(414121121ln 21ln 21ln 21220212121+=-=⋅-==⎰⎰⎰e x e dx x x x x xdx xdx x ee e e e.(3)⎰ωπω20sin tdt t (ω为常数); 解⎰⎰⎰+-=-=ωπωπωπωπωωωωωωω20202020cos 1cos 1cos 1sin tdt tt t td tdt t 220222sin 12ωπωωωπωπ-=+-=t.(4)⎰342sin ππdx xx;解34343434342sin ln 4313cot cot cot sin ππππππππππππxxdx xx x xd dx x x++⋅-=+-=-=⎰⎰⎰23ln 21)9341(+-=π.(5)⎰41ln dx x x; 解 ⎰⎰⎰⋅-==4141414112ln 2ln 2ln dx xx x x x xd dx xx )12ln 2(442ln 8122ln 84141-=-=-=⎰x dx x.(6)⎰10arctan xdx x ;解x d x x x x xdx xdx x ⎰⎰⎰+⋅-==1022102102101121arctan 21arctan 21arctan214)41(218)arctan (218)111(21810102-=--=--=+--=⎰πππππx x x d x. (7)⎰202cos πxdx e x ; 解⎰⎰⎰-==202202202202sin 2sin sin cos ππππxdx e xe x d e xdx e x x x x⎰⎰⎰-+=-+=+=202202202202cos 42cos 4cos 2cos 2πππππππxdx e e xdx e xe e x d e e x x xx所以)2(51cos 202-=⎰ππe xdx e x ,于是(8)⎰212log xdx x ; 解⎰⎰⎰⋅-==212212221222122ln 121log 21log 21log dx x x x x xdx xdx x2ln 432212ln 212212-=⋅-=x . (9)⎰π02)sin (dx x x ; 解⎰⎰⎰-=-=ππππ02302022sin 4161)2cos 1(21)sin (x d x x dx x x dx x x πππππππ03000332cos 41622sin 412sin 416⎰⎰-=⋅+-=xxd xdx x xx 462sin 81462cos 412cos 416303003ππππππππ-=+-=+-=⎰x xdx x x .(10)⎰edx x 1)sin(ln ; 解法一 ⎰⎰⋅=101sin ln )sin(ln dt e t tx dxx te令.因为⎰⎰⎰-==⋅10101010cos sin sin sin tdt e te tde dt e t t tt t⎰⎰--⋅=-⋅=101010sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t⎰-+⋅-⋅=10sin 11cos 1sin tdt e e e t , 所以 )11cos 1sin (21sin 10+⋅-⋅=⎰e e tdt e t .因此)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e. 解法二⎰⎰⎰-⋅=⋅⋅-⋅=e e eedx x e dx x x x x x dx x 1111)cos(ln 1sin 1)cos(ln )sin(ln )sin(ln ⎰⋅⋅-⋅-⋅=e edx x x x x x e 111)sin(ln )cos(ln 1sin ⎰-+⋅-⋅=edx x e e 0)sin(ln 11cos 1sin , 故)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e . (11)dx x e e⎰1|ln |; 解⎰⎰⎰⎰⎰-++-=+-=eee eee e e dx dx xx x x dx x dx x dx x 1111111111ln ln ln ln |ln |)11(2)1()11(1ee e e e -=---++-=.(12)⎰-1022)1(dx xm (m 为自然数); 解⎰⎰+=-2011022cos sin )1(πtdt t x dx xm m 令.根据递推公式⎰⎰--=20220cos 1cos ππxdx n n xdx n n ,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=-⎰为偶数为奇数m m m m m m m m m m m m m m dx x m325476 34121 2214365 34121)1(1022π. (13)⎰=π0sin xdx x J m m (m 为自然数). 解 因为⎰⎰⎰⎰-=----=ππππππππ0000sin sin )1)((sin )(sin tdt t tdt dt t t t x xdx x mm m m 令,所以 ⎰⎰⎰⎰=⋅===20200sin sin 22sin 2sin πππππππxdx xdx xdx xdx x J m m mmm (用第8题结果).根据递推公式⎰⎰--=20220sin 1sin ππxdx n n xdx n n , ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=为奇数为偶数m m m m m m m m m m m m m m J m 325476 45231 2214365 452312ππ.习题5-71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1)⎰+∞14xdx; 解 因为3131)31(lim 3131314=+-=-=-+∞→+∞-+∞⎰x x x dx x , 所以反常积分⎰+∞14x dx收敛, 且3114=⎰∞+x dx . (2)⎰+∞1xdx ;解 因为+∞=-==+∞→+∞∞+⎰22lim 211x xxdx x , 所以反常积分⎰+∞1xdx 发散.(3)dx e ax ⎰+∞-0(a >0); 解 因为aa e a e adx e ax x ax ax 11)1(lim 100=+-=-=-+∞→+∞-+∞-⎰, 所以反常积分dx e ax ⎰+∞-0收敛, 且adx e ax 10=⎰+∞-.(4)⎰+∞-0ch tdt e pt (p >1); 解 因为1]1111[21][21ch 2)1()1(0)1()1(0-=+--=+=+∞+--∞++--∞+-⎰⎰p p e pe p dt e e tdt e tp t p t p tp pt ,所以反常积分⎰+∞-0ch tdt e pt 收敛, 且1ch 20-=⎰∞+-p p tdt e pt .(5)⎰+∞-0sin tdt e pt ω(p >0, ω>0); 解⎰⎰+∞-+∞--=0cos 1sin t d e tdt e pt pt ωωω⎰⎰+∞-+∞-+∞--=-⋅+-=020sin 1)(cos 1cos 1t d e pdt pe t te pt pt pt ωωωωωωω⎰+∞-+∞--⋅+-=0202)(sin sin 1dt pe t pte p ptpt ωωωωω⎰+∞--=022sin 1tdt e p pt ωωω,所以 22sin w p tdt e pt +=⎰+∞-ωω.(6)⎰+∞∞-++222x x dx;解 πππ=--=+=++=++⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-)2(2)1arctan()1(12222x x dxx x dx .(7)dx xx ⎰-121;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.11)1(lim 112110212=+--=--=--→⎰x x dx x x x . (8)⎰-22)1(x dx;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点. 因为⎰⎰⎰-+-=-212102202)1()1()1(x dxx dx x dx , 而 +∞=--=-=--→⎰111lim 11)1(110102xx x dx x ,所以反常积分⎰-202)1(x dx发散. (9)⎰-211x xdx ;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1-+-=-+-=-⎰⎰x x dx x x x xdx322]12)1(32[lim 38231=-+--=+→x x x . (10)⎰-ex x dx 12)(ln 1.解 这是无界函数的反常积分, x =e 是被积函数的瑕点.2)arcsin(ln lim )arcsin(ln ln )(ln 11)(ln 111212π===-=--→⎰⎰x x x d x x x dx ex e ee.2. 当k 为何值时, 反常积分⎰+∞)(ln kx x dx收敛? 当k 为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解 当k <1时, +∞=-==+∞+-+∞+∞⎰⎰2122)(ln 11ln )(ln 1)(ln k k k x k x d x x x dx ;当k =1时, +∞===+∞+∞+∞⎰⎰222)ln(ln ln ln 1)(ln x x d x x x dxk ; 当k >1时,k k kkk x kx d x x x dx -+∞+-+∞+∞-=-==⎰⎰12122)2(ln 11)(ln 11ln )(ln 1)(ln . 因此当k >1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx 收敛; 当k ≤1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx发散. 当k >1时, 令k kk x x dx k f -∞+-==⎰10)2(ln 11)(ln )(, 则 )2ln ln 11()1(2ln ln )2(ln 2ln ln )2(ln 11)2(ln )1(1)(21112+---=----='---k k k k k f k kk. 令f '(k )=0得唯一驻点2ln ln 11-=k . 因为当2ln ln 111-<<k 时f '(k )<0, 当2ln ln 11->k 时f '(k )>0, 所以2ln ln 11-=k 为极小值点,同时也是最小值点, 即当2ln ln 11-=k 时, 这反常积分取得最小值 3. 利用递推公式计算反常积分⎰+∞-=0dx e x I x n n . 解 因为101000-+∞--+∞-+∞-+∞-=+-=-==⎰⎰⎰n x n x n x n x n n nI dx e x n e x de x dx e x I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1. 又因为 1000001=-=+-=-==+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-⎰⎰⎰xx xx x e dx e xe xde dx xe I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1=n !.总习题五1. 填空:(1)函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的______条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积______的条件;解 函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的___必要___条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积___充分___的条件;(2)对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的______条件;解 对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的___充分___条件;(3)绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定______; 解 绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定___收敛___;(4)函数f (x )在[a , b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰ba dx x f )(______存在. 解 函数f (x )在[a ,b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰b a dx x f )(___不一定___存在.2. 计算下列极限:(1)∑=∞→+n i n nin 111lim ;解 )122(32)1(32111lim 103101-=+=+=+⎰∑=∞→x dx x n i n n i n . (2)121lim+∞→+⋅⋅⋅++p pp p n nn (p >0);解 11111])( )2()1[(lim 21lim 101101+=+==⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++∞→+∞→⎰p x p dx x n n n n n n n p p p p p n p p p p n . (3)nn nn !lnlim ∞→; 解 ]ln 1)ln 2ln 1(ln 1[lim !lnlim n n nn n n n n nn ⋅-+⋅⋅⋅++=∞→∞→nn n n n n 1)]ln (ln )ln 2(ln )ln 1[(ln lim ⋅-+⋅⋅⋅+-+-=∞→⎰=⋅+⋅⋅⋅++=∞→10ln 1)ln 2ln 1(ln lim xdx n n n n n n1)ln ()ln (10101010-=-=-=⎰xx x dx x x .(4)⎰-→xaa x dt t f a x x )(lim, 其中f (x )连续; 解法一 )()(lim )(lima af xf dt t f ax x axa ax ==-→→⎰ξξ (用的是积分中值定理). 解法二 )(1)()(lim )(lim )(lim a af x xf dt t f a x dt t f x dt t f a x x xaa x xa a x x a a x =+=-=-⎰⎰⎰→→→ (用的是洛必达法则). (5)1)(arctan lim 22+⎰+∞→x dtt xx .解4)(arctan 1lim 1)(arctan lim 1)(arctan lim 22222202π=+=+=+∞→+∞→+∞→⎰x x x x x x x dtt x x xx . 3. 下列计算是否正确, 试说明理由:(1)⎰⎰----=-=+-=+111111222)1arctan ()1(1)1(1πx xx d x dx ;解 计算不正确, 因为x 1在[-1, 1]上不连续. (2)因为⎰⎰--++-=++111122111t t dt tx x x dx , 所以⎰-=++11201x x dx .解 计算不正确, 因为t1在[-1, 1]上不连续.(3)01lim 122=+=+⎰⎰-∞→+∞∞-A A A dx x xdx x x . 解 不正确, 因为⎰⎰⎰⎰-+∞→+∞→+∞∞--∞→+≠+++=+A A A b b a a dx xxdx x x dx x x dx x x 2020221lim 1lim 1lim 1. 4. 设p >0, 证明⎰<+<+10111p x dx p p. 证明 p pp p p p px x x x x x x ->+-=+-+=+>11111111. 因为⎰⎰⎰<+<-1010101)1(dx x dxdx x pp,而 110=⎰dx , pp p x x dx x p p+=+-=-+⎰1)1()1(10110, 所以⎰<+<+10111pxdx p p. 5. 设f (x )、g (x )在区间[a , b ]上均连续, 证明: (1)⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222;证明 因为[f (x )-λg (x )]2≥0, 所以λ2g 2(x )-2λ f (x )g (x )+f 2(x )≥0, 从而 0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba ba ba dx x f dx x g x f dx x g λλ.上式的左端可视为关于λ的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即0)()(4])()([4222≤⋅-⎰⎰⎰ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f ,亦即 ⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222. (2)()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f , 证明⎰⎰⎰⎰++=+ba ba ba ba dx x g x f dx x g dx x f dx x g x f )()(2)()()]()([222。

利用定积分定义计算由抛物线y=x 2 , 两直线x =a,x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积. 题型：计算题答案：第一步: 在区间[a,b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a, b]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[xi -1, xi] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i n a b a x i i -+==ξ, 作和 n ab i n a b a x f S n i i i n i n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i n a b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[ ]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-=]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=nn n a b n n a b a a a b . 第三步: 令l =max {∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==n i i i b a x f dx x f S 10)(lim )(ξl]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b na b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.分数：10所属所属知识点：定积分的计算 难度：7利用定积分定义计算下列积分: (1)xdx ba ⎰(a <b);题型：计算题 答案：取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是 ∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n n i i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ)(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. 分数：10所属所属知识点：定积分的计算 难度：6利用定积分定义计算下列积分: dx e x ⎰10. 题型：计算题答案：取分点为ni x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nx i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点ni x i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nnn n nn n n n .分数：10所属所属知识点：定积分的计算 难度：6利用定积分的几何意义 说明下列等式 1210=⎰xdx ;题型：证明题答案：⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1. 分数：12所属所属知识点：定积分的计算 难度：5利用定积分的几何意义 说明下列等式41102π=-⎰dx x ;题型：证明题答案：⎰-1021dx x )表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x2+y2=1的面积的41: 414112102ππ=⋅⋅=-⎰dx x .分数：12所属所属知识点：定积分的计算 难度：5利用定积分的几何意义说明下列等式 ⎰-=ππ0sin xdx ;.题型：证明题答案：由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即 ⎰-=ππ0sin xdx . 分数：12难度：5利用定积分的几何意义 说明下列等式 ⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .题型：证明题答案： ⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积.因为cos x 为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即 ⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .分数：12所属所属知识点：定积分的计算 难度：5水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9×8h (kN/m2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P. 题型：计算题答案：建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆Pi =9.8x il ×∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim 8.9lim 8.98.9lim H L nn n H L n Hi n H L x L x P n ni n ni i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑.将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛). 分数：10所属所属知识点：定积分的计算 难度：7证明定积分性质 (1)⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1. 题型：证明题 答案：(1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i n i i i ba dxx f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξl l (2)a b a b x x dx n i i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010l l l 分数：8难度：5估计下列各积分的值: ⎰+412)1(dx x 1); 题型：计算题答案：因为当1£x £4时, 2£x2+1£17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅£+£-⋅⎰dx x ,即51)1(6412£+£⎰dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6估计下列各积分的值 ⎰+ππ4542)sin 1(dx x题型：计算题 答案：因为当ππ454££x 时, 1£1+sin2x £2, 所以)445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅£+£-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542£+£⎰dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6估计下列各积分的值 ⎰331arctan xdx x ;题型：计算题答案：先求函数f(x)=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m.21arctan )(xx x x f ++='. 因为当331££x 时, f '(x)>0, 所以函数f(x)=x arctan x在区间]3 ,31[上单调增加. 于是 3631arctan31)31(π===f m ,33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-££-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ££⎰xdx x . 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6估计下列各积分的值 ⎰-022dx e xx .题型：计算题答案：先求函数xxe xf -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m.)12()(2-='-x e x f xx, 驻点为21=x . 比较f(0)=1, f(2)=e 2, 41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(220412-⋅££-⎰--e dx e e x x ,即 41022222---££-⎰e dx dx e e xx .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6设f(x)及g(x)在[a, b]上连续, 证明: (1)若在[a, b]上f(x)³0, 且0)(=⎰ba dx x f ,则在[a, b]上f(x)º0; (2)若在[a, b]上, f(x)³0, 且f(x)≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ; (3)若在[a, b]上, f(x)£g(x), 且⎰⎰=ba ba dx x g dx x f )()(, 则在[a b]上f(x)ºg(x). 题型：证明题答案：(1)假如f(x)≢0, 则必有f(x)>0. 根据f(x)在[a , b]上的连续性, 在[a , b]上存在一点x0, 使f(x0)>0, 且f(x0)为f(x)在[a , b]上的最大值. 再由连续性,存在[c, d]Ì[a, b], 且x0Î[c, d], 使当x Î[c, d]时,2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-³³++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a .这与条件0)(=⎰badx x f 相矛盾. 因此在[a, b]上f(x)º0. (2)证法一 因为f(x)在[a, b]上连续, 所以在[a, b]上存在一点x0, 使f(x0)>0, 且f(x0)为f(x)在[a, b]上的最大值. 再由连续性, 存在[c, d]Ì[a, b], 且x0Î[c, d], 使当x Î[c, d]时,2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-³³badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二 因为f(x)³0, 所以0)(³⎰b a dx x f .假如)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰badx x f ,根据结论(1), f(x)º0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F(x)=g(x)-f(x), 则在[a, b]上F(x)³0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba ba ba ba dx x f dx x g dx x f x g dx x F , 由结论(1), 在[a, b]上F(x)º0, 即f(x)ºg(x).分数：12所属所属知识点：定积分的计算 难度：7根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？ (2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？(4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？(5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？ 题型：计算题答案：(1)因为当0£x £1时, x2³x3, 所以⎰⎰³103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x2>x3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1£x £2时, x2£x3, 所以⎰⎰£213212dx x dx x . 又因为当1<x £2时, x2<x3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x . (3)因为当1£x £2时, 0£ln x <1, ln x ³(ln x)2, 所以⎰⎰³21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x £2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x)2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0£x £1时, x ³ln(1+x), 所以⎰⎰+³1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x £1时, x >ln(1+x), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx . (5)设f(x)=ex -1-x , 则当0£x £1时f '(x) =ex -1>0, f(x)=ex -1-x 是单调增加的. 因此当0£x £1时, f(x)³f(0)=0, 即ex ³1+x , 所以⎰⎰+³1010)1(dx x dx e x .又因为当0<x £1时, ex >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x .分数：10所属所属知识点：定积分的计算 难度：6 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.题型：计算题答案：x tdt dx d y x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0; 当4π=x 时, 224sin =='πy . 分数：6所属所属知识点：微积分的计算 难度：5求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x 的导数.题型：计算题答案：x '(t)=sin t , y '(t)=cos t , t t x t y dx dy cot )()(=''=. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5 求由⎰⎰=+xyttdt dt e 00cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy . 题型：计算题答案：方程两对x 求导得 0cos =+'x y e y, 于是y ex dx dy cos -=. 分数：6所属所属知识点：微积分的计算 难度：5当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？题型：计算题答案：2)(x xe x I -=', 令I '(x)=0, 得x =0. 因为当x <0时, I '(x)<0; 当x >0时, I '(x)>0, 所以x =0是函数I(x)的极小值点. 分数：6所属所属知识点：微积分的计算 难度：5计算下列各导数: (1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt t dx d ; (3)⎰x xdt t dx d cos sin 2)cos(π.题型：计算题 答案：(1)dxdudt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令421221x x x u +=⋅+=. (2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d)()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ分数：15所属所属知识点：微积分的计算 难度：6⎰+-adx x x 02)13(;题型：计算题 答案：a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+2142)1(dx x x ; 题型：计算题 答案：852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+94)1(dx x x ;题型：计算题答案：94223942194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰6145)421432()921932(223223=+-+= 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+33121x dx ; 题型：计算题答案：66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx .分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：4⎰--212121x dx ; 题型：计算题 答案：3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：4⎰+ax a dx 3022; 题型：计算题 答案：aa a ax a x a dx a a30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰.分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰-124x dx ; 题型：计算题 答案：60arcsin 21arcsin 2arcsin 41012π=-==-⎰x x dx分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5dx x x x ⎰-+++012241133; 题型：计算题 答案：13012201224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=分数：5所属所属知识点：微积分的计算 . 难度：5⎰---+211e xdx ; 题型：计算题 答案：1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e .分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：4⎰42tan πθθd ;题型：计算题 答案：4144tan )(tan )1(sec tan 4040242πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5dx x ⎰π20|sin |;题型：计算题 答案：⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx x πππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰2)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>£+=1 2111)(2x x x x x f . 题型：计算题 答案：38|)61(|)21(21)1()(213102212102=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：6设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ; (2)⎰-=ππ0sin kxdx ;(3)⎰-=πππkxdx 2cos ; (4)⎰-=πππkxdx 2sin .题型：证明题 答案：(1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k k k k x k k kxdxcos 1cos 1=+-=ππk kk k . (3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx .(4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx 分数：20所属所属知识点：微积分的计算设k 及l 为正整数, 且k ¹l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ; (2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ; (3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .题型：证明题 答案：(1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos 0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k . (2)⎰⎰---++=ππππdxx l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k . (3)⎰⎰----+-=ππππdxx l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin .])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k 分数：15所属知识点：微积分的计算 难度：6求下列极限: (1)xdtt xx ⎰→02cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.题型：计算题 答案：(1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdt t x xx . (2)222222022)(2lim)(limx xt x t x xt x t x xedt e dt e dttedt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→22222202lim2limxxt x x x xt x xe dte xeedt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x .所属知识点：变上限积分函数 难度：6设⎩⎨⎧ÎÎ=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论(x)在(0, 2)内的连续性.题型：计算题 答案：当0£x £1时,302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ; 当1<x £2时,6121212131)()(221102-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xxϕ. 因此⎪⎩⎪⎨⎧£<-££=21 612110 31)(23x x x x x ϕ. 因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ, 316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ, 所以(x)在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续. 分数：10所属所属知识点：微积分的计算 难度：7设⎪⎩⎪⎨⎧><££=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.题型：计算题答案：当x <0时, 00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ; 当0£x £π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(00+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ; 当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x xx -=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧³££-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.分数：12所属所属知识点：微积分的计算 难度：7设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导且f '(x)£0, ⎰-=x adt t f a x x F )(1)(. 证明在(a, b)内有F '(x)£0. 题型：证明题答案：根据积分中值定理, 存在ξÎ[a, x], 使))(()(a x f dt t f xa-=⎰ξ. 于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f a x --=. 由f '(x)£0可知f(x)在[a, b]上是单调减少的, 而a £ξ£x , 所以f(x)-f(ξ)£0. 又在(a, b)内, x -a >0, 所以在(a, b)内 0)]()([1)(£--='ξf x f ax x F . 分数：10所属所属知识点：微积分的计算 难度：8试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.题型：计算题 答案：x tdt dx d y x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0; 当4π=x 时, 224sin =='πy 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：4求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x 的导数. 题型：计算题答案：x '(t)=sin t , y '(t)=cos t , t t x t y dx dy cot )()(=''=. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：4求由⎰⎰=+xyt tdt dt e 000cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy . 题型：计算题答案：方程两对x 求导得 e y y ' +cos x =0, 于是 y exdx dy cos -=. 分数：6所属所属知识点：微积分的计算 难度：5当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？ 题型：计算题答案：2)(x xe x I -=', 令I '(x)=0, 得x =0. 因为当x <0时, I '(x)<0; 当x >0时, I '(x)>0, 所以x =0是函数I(x)的极小值点.分数：6所属所属知识点：微积分的计算 难度：5计算下列各导数: (1)⎰+2021x dt t dxd ;题型：计算题答案：(1)42022021221112x x x u dxdu dt t du d u x dt t dx d u x +=⋅+=⋅+=+⎰⎰令. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5计算下列各导数: ⎰+32411x x dt tdx d ;题型：计算题 答案：⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx xx +++-=.分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5计算下列各导数:⎰xx dt t dxd cos sin 2)cos(π题型：计算题 答案：⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dxd dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ =-cos(πsin 2x)(sin x)'+ cos(πcos 2x)( cos x)' =-cos x ×cos(πsin 2x)-sin x ×cos(πcos 2x) =-cos x ×cos(πsin2x)- sin x ×cos(π-πsin2x) =-cos x ×cos(πsin2x)+ sin x ×cos(πsin2x) =(sin x -cos x)cos(πsin2x) 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+-adx x x02)13(;题型：计算题答案： a a a x x x dx x x aa+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+2142)1(dx x x ;题型：计算题 答案： 852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx xx 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+94)1(dx x x ;题型：计算题 答案： 6145)421432()921932(|)2132()()1(22322394223942194=+-+=+=+=+⎰⎰x x dx x x dx x x 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+33121x dx ; 题型：计算题 答案： 66331arctan3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰xxdx分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰--212121xdx ;题型：计算题 答案：3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰xx dx分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+axa dx 3022;题型：计算题 答案：aa a a x a x a dxa a30arctan 13arctan 1arctan1303022π=-==+⎰. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰-124xdx ;题型：计算题 答案：60arcsin 21arcsin 2arcsin41012π=-==-⎰x x dx . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5dx x x x ⎰-+++012241133;题型：计算题答案：41)1arctan()1(|)arctan ()113(11333013012201224π+=----=+=++=+++---⎰⎰x x dx x x dx x x x . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰---+211e x dx ;题型：计算题 答案：1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰402tanπθθd ;题型：计算题 答案：4144tan )(tan )1(sec tan 40402402πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5dx x ⎰π20|sin |;题型：计算题答案：⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx x =-cos x|π0+cos x|ππ2=-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰20)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>£+=1 211 1)(2x x x x x f .题型：计算题答案：38|)61(|)21(21)1()(2131022121020=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 分数：6所属所属知识点：微积分的计算 难度：5设k 为正整数. 试证下列各题:(1)⎰-=ππ0cos kxdx ; (2)⎰-=ππ0sin kxdx ; (3)⎰-=πππkxdx 2cos ; (4)⎰-=πππkxdx 2sin .题型：证明题答案：(1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2). (3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 分数：20所属所属知识点：微积分的计算 难度：6设k 及l 为正整数, 且k ¹l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ; (2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ; (3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .题型：证明题 答案：(1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos 0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k .(2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k . (3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin .0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k . 分数：15所属所属知识点：微积分的计算 难度：6求下列极限: (1)xdt t x x ⎰→02cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.题型：计算题 答案：(1)11cos lim cos lim 2002==→→⎰x xdtt x xx .(2)2222222222002002000022002lim2lim)(2lim)(limx xt x x xxt x x xt xt x xt xt x xedt e xee dt e xedt e dt e dttedt e ⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→→→=⋅='⋅=⎰--=+-=-+-=-=ππππππππ0cos 1cos 1)(cos 1cos 1|cos 1sin k k k k k k k k kx k kxdx2212lim22lim2020222=+=+=→→x ex ee x x x x x .分数：10所属所属知识点：微积分的计算 难度：7设⎩⎨⎧ÎÎ=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=xdt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论(x)在(0, 2)内的连续性. 题型：计算题答案：当0£x £1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ; 当1<x £2时,6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x x x ϕ. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧£<-££=21 612110 31)(23x x x x x ϕ. 因为31)1(=ϕ, 3131lim)(lim 30101==-→-→x x x x ϕ, 316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ, 所以(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.分数：10所属所属知识点：微积分的计算 难度：8设⎪⎩⎪⎨⎧><££=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=xdt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式. 题型：计算题答案：当x <0时, 00)()(00===⎰⎰xx dt dt t f x ϕ; 当0£x £π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xx xϕ; 当x >π时,10cos 21cos 21|cos 210sin 21)()(000=+-=-=+==⎰⎰⎰πϕπππt dt tdt dt t f x xx . 因此⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧³££-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.分数：12所属所属知识点：微积分的计算 难度：8设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导且f '(x)£0, ⎰-=xa dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a, b)内有F '(x)£0. 题型：证明题答案：根据积分中值定理, 存在ξÎ[a, x], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ. 于是有))(()(1)(1)(1)()(1)(22a x f a x x f a x x f a x dt t f a x x F xa----=-+--='⎰ξ)]()([1ξf x f ax --=. 由f '(x)£0可知f(x)在[a, b]上是单调减少的, 而a £ξ£x , 所以f(x)-f(ξ)£0. 又在(a, b)内, x -a >0, 所以在(a, b)内0)]()([1)(£--='ξf x f ax x F . 分数：8所属所属知识点：微积分的计算 难度：8⎰+πππ2)3sin(dx x ;题型：计算题答案：0212132cos 34cos)3cos()3sin(22=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . 分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5⎰-+123)511(x dx;题型：计算题 答案：51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5⎰203cossin πϕϕϕd ;题型：计算题 答案：⎰⎰-=20323sin cos cos sin ππϕϕϕϕϕd s d410cos 412cos 41cos 4144204=+-=-=πϕπ.分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5⎰-πθθ03)sin1(d ;题型：计算题答案：⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5⎰262cosππudu ;题型：计算题 答案：2626262622sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5dx x ⎰-222;题型：计算题 答案：dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-202022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令2)2sin 21(20ππ=+=t t .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5dy y ⎰--22228;题型：计算题 答案：⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dyy dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5⎰-121221dx x x ;题型：计算题 答案：41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 12424224212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx xx 令.分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5⎰+31221xxdx ;题型：计算题 答案：⎰⎰⋅⋅=+34223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰--1145xxdx ;题型：计算题 答案：61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x xxdx 令. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰+411xdx ;题型：计算题 答案：)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x xdx 令.分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰--14311x dx ;题型：计算题 答案：2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(11111210210021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰-axa xdx 20223;题型：计算题 答案：)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6dt tet ⎰-1022;题型：计算题 答案：2110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e e t d edt tet t t .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰+21ln 1e xx dx ;题型：计算题 答案：)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx.分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰-++02222x x dx;题型：计算题 答案：2)1arctan(1arctan )1arctan()1(1122022222π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰-222cos cos ππxdx x ;题型：计算题答案：32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 22322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . 分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰--223cos cos ππdx x x ;题型：计算题 答案：⎰⎰---=-222223cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 2023223202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x 分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰+π2cos 1dx x .题型：计算题答案：22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππx xdx dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;(2)⎰-224cos 4ππθθd ;(3)⎰--2121221)(arcsin dx x x ;(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 题型：计算题答案：(1) 因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰⎰⎰+==-202204224)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(2πθπ=++=x x .(3) ⎰⎰⎰=-=--21221022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx xx dx xx324)(arcsin 3232103π==x .因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .分数：20所属所属知识点：定积分的计算 难度：6证明: ⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中(u)为连续函数.题型：证明题答案：因为被积函数(x2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a, a]关于原点对称, 所以有 ⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ. 分数：6所属所属知识点：定积分的计算 难度：5设f(x)在[-b, b]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.题型：证明题答案：令x =-t, 则dx =-dt, 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是⎰⎰⎰----=--=b b bb b b dt t f dt t f dx x f )()1)(()(, 而⎰⎰---=-bb b b dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=b b bb dx x f dx x f )()(.分数：8所属所属知识点：定积分的计算 难度：6设f(x)在[a, b]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.题型：证明题答案：令x =a +b -t , 则dx =dt , 当x =a 时t =b, 当x =b 时t =a , 于是⎰⎰⎰-+=--+=b a b a abdt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba b a dx x b a f dt t b a f )()(, 所以 ⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 分数：8所属所属知识点：定积分的计算 难度：7 证明: ⎰⎰>+=+11122)0(11xx x x dx x dx .题型：证明题答案：令tx 1=, 则dt t dx 21-=, 当x =x 时xt 1=, 当x =1时t =1, 于是 ⎰⎰⎰+=-⋅+=+11121122211)1(1111x x xdt t dt t tx dx , 而 ⎰⎰+=+x x dx x dt t 1121121111, 所以⎰⎰+=+1112211x x x dx x dx.分数：10所属所属知识点：定积分的计算 难度：7证明: ⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 题型：证明题答案：令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x xm n n m.分数：8所属所属知识点：定积分的计算 难度：6证明: ⎰⎰=ππ020sin 2sin xdx xdx n n . 题型：证明题 答案：⎰⎰⎰+=ππππ2020sin sin sinxdxxdx xdx n n n, 而 ⎰⎰⎰⎰==---=202022sin sin ))((sin sinπππππππxdxtdt dt t tx xdx n n nn 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sin xdx xdx nn .分数：8所属所属知识点：定积分的计算 难度：8设f(x)是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关. 题型：证明题 答案：已知f(x +l)=f(x).⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala llla lla a adxx f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令, 所以 ⎰⎰=+l a adx x f dx x f 01)()(. 因此⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关. 分数：10所属所属知识点：定积分的计算 难度：8若f(t)是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f(t)是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数. 题型：证明题答案：设⎰=xdt t f x F 0)()(. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而 )()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f ut dtt f x F xx xx===---==-⎰⎰⎰⎰-令, 即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数. 若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而 )()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f ut dtt f x F xx xx-=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令, 即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.分数：12所属所属知识点：定积分的计算。

42文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.第五章 定积分第一节 定积分的概念与性质一、填空题： 在⎰+1031dx x 与⎰+141dx x 中值比较大的是 ．二、选择题(单选)： 1．积分中值定理⎰-=baa b f dx x f ))(()(ξ，其中：(A) ξ是[]b a ,上任一点； (B) ξ是[]b a ,上必定存在的某一点； (C) ξ是[]b a ,唯一的某点； (D) ξ是[]b a ,的中点．答：( )2．曲线xe y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围成图形的面积值为： (A) ⎰-10)(dx ex e x ； (B)⎰-edy y y y 1)ln (ln ；(C)⎰-e xx dx xe e 1)(； (D)⎰-1)ln (ln dy y y y ．答：( )第二节 微积分基本公式一、填空题： 1．=-⎰-2121211dx x．2．0)32(02=-⎰kdx xx )0(>k ，则=k ．二、选择题(单选)：若)(x f 为可导函数，且已知0)0(=f ，2)0(='f ，则2)(limxdt t f x x ⎰→(A)0； (B)1； (C)2； (D)不存在．答：( )三、试解下列各题：1．设⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,1)(32x x x x x f ，求⎰20)(dx x f ．43文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.2．设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f ,0,00,sin 21)(，求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在),(∞+-∞上的表达式．四、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，⎰⎰+=x axbt f dtdt t f x F )()()(．证明： (1)2)('≥x F ；(2)方程0)(=x f 在),(b a 内有且仅有一个根．第三节 定积分的换元法和分部积分法一、填空题： 1．=-⎰-212121arcsin dx xx ．2．⎰-=++43432cos 1)arctan 1(ππdx x x ．3．{}=⎰-222,1max dx x ．4．设)(x f 是连续函数，且⎰+=1)(2)(dt t f x x f ，则=)(x f ．二、选择题(单选)：⎰>=aa dx x f x I 023)0()(，则I 为：(A)⎰20)(a dx x xf ；(B) ⎰adx x xf 0)(； (C) ⎰20)(21a dx x xf ； (D) ⎰a dx x xf 0)(21．答：( )三、试解下列各题： 1．⎰+21ln 1e xx dx．2．)0(0222⎰>-a a dx x a x ．3．设⎩⎨⎧≥<+=-0,0,1)(2x e x x x f x ，求⎰-31)2(dx x f ．五、计算下列定积分：44文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.1．⎰e xdx x 2ln ．2．⎰20cos πxdx e x ．六、已知1)(=πf ，)(x f 二阶连续可微．且3sin )]()([0=''+⎰πxdx x f x f ，求)0(f ．第四节 反常积分一、填空题： 1．=⎰∞+12ln dx x x． 2．=-⎰121)1(arcsin dx x x x ．二、选择题(单选)： 1．若⎰∞+adx x f )(及⎰∞+adx x g )(均发散，则dx x g x f a⎰∞++)]()([一定：(A)收敛； (B)发散； (C)敛散性不能确定．答：( )2．若⎰∞-a dx x f )(发散，⎰∞+adx x f )(发散，则⎰∞+∞-dx x f )(一定：(A)收敛； (B)发散； (C)敛散性不能确定． 答：( )三、判别下列各反常积分的敛散性，如果收敛，则计算反常积分的值： 1．⎰-202)1(x dx．2．⎰∞++0)1(1dx xx ．四、利用递推公式计算反常积分⎰∞+-=dx e x I x n n (n 为自然数)．第五章自测题一、填空题(每小题5分，共20分)：1．a ，b 为正常数，且1sin 1lim20=+-⎰→x x dt ta t x bx ，则=a ，=b ． 2．=-⎰201dx x ．45文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.3．=+⎰-ππdx xxx 21cos ． 4．=⎰→xdt t x x 020cos lim．二、选择题(单选)(每小题5分，共10分)： 1．⎰-x dt t dxd sin 021等于： (A) x cos ； (B) x x cos cos ； (C) x 2cos -； (D) x cos ．答：( )2．设)(x f 连续，则⎰+ba dy y x f dxd )(等于： (A)⎰+'bady y x f )(；(B) )()(a x f b x f +-+；(C) )(a x f +；(D) )(b x f +．答：( )三、试解下列各题(每小题10分，共40分)： 1．⎰-21224dx x x ． 2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=0,110,11)(x e x xx f x，求⎰-20)1(dx x f ．3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<=πππx x x x f 2,02,cos )(，求dt t f x F ⎰-=ππ)()(在],[ππ-上的表达式．4．求位于曲线21xy =)1(≥x 的下方，x 轴上方的图形的面积． 四、试解下列各题(每小题15分，共30分)： 1．设)(x f 在],[b a 上连续，证明⎰⎰-+-=badx x a b a f a b dx x f 1])([)()(．2．证明：⎰⎰-=aaadx x dx x 022)(2)(ϕϕ，其中)(u ϕ为连续函数．。

第五章 定积分第一节 定积分的概念与性质一、填空题: 在⎰+1031dx x 与⎰+141dx x 中值比较大的是 ．二、选择题(单选)： 1．积分中值定理⎰-=baa b f dx x f ))(()(ξ,其中:(A ） ξ是[]b a ,上任一点； (B ） ξ是[]b a ,上必定存在的某一点； (C) ξ是[]b a ,唯一的某点； （D ） ξ是[]b a ,的中点．答：（ ）2．曲线x e y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围成图形的面积值为： （A ） ⎰-10)(dx ex e x； （B)⎰-edy y y y 1)ln (ln ；(C ）⎰-e x x dx xe e 1)(； (D)⎰-10)ln (ln dy y y y ．答：( )第二节 微积分基本公式一、填空题: 1．=-⎰-2121211dx x．2．0)32(02=-⎰kdx x x )0(>k ，则=k ．二、选择题（单选)：若)(x f 为可导函数，且已知0)0(=f ，2)0(='f ，则2)(limxdt t f x x ⎰→（A ）0； (B ）1； （C)2； （D ）不存在．答：( )三、试解下列各题：1．设⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,1)(32x x x x x f ，求⎰20)(dx x f ．2．设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f ,0,00,sin 21)(，求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在),(∞+-∞上的表达式．四、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，⎰⎰+=x axbt f dtdt t f x F )()()(．证明: (1)2)('≥x F ；(2）方程0)(=x f 在),(b a 内有且仅有一个根．第三节 定积分的换元法和分部积分法 一、填空题： 1．=-⎰-212121arcsin dx xx ．2．⎰-=++43432cos 1)arctan 1(ππdx x x ．3．{}=⎰-222,1max dx x ．4．设)(x f 是连续函数,且⎰+=1)(2)(dt t f x x f ,则=)(x f ．二、选择题(单选):⎰>=aa dx x f x I 023)0()(,则I 为：（A ）⎰20)(a dx x xf ；（B) ⎰adx x xf 0)(； (C) ⎰20)(21a dx x xf ； （D) ⎰a dx x xf 0)(21．答:（ )三、试解下列各题: 1．⎰+21ln 1e xx dx．2．)0(0222⎰>-a a dx x a x ．3．设⎩⎨⎧≥<+=-0,0,1)(2x e x x x f x ，求⎰-31)2(dx x f ．五、计算下列定积分： 1．⎰e xdx x 2ln ．2．⎰20cos πxdx e x ．六、已知1)(=πf ,)(x f 二阶连续可微．且3sin )]()([0=''+⎰πxdx x f x f ，求)0(f ．第四节 反常积分一、填空题： 1．=⎰∞+12ln dx x x． 2．=-⎰121)1(arcsin dx x x x．二、选择题(单选)： 1．若⎰∞+adx x f )(及⎰∞+adx x g )(均发散，则dx x g x f a⎰∞++)]()([一定:（A ）收敛； (B)发散； （C ）敛散性不能确定．答：( )2．若⎰∞-a dx x f )(发散，⎰∞+adx x f )(发散,则⎰∞+∞-dx x f )(一定：(A)收敛； (B ）发散; (C)敛散性不能确定．答:（ ）三、判别下列各反常积分的敛散性，如果收敛，则计算反常积分的值： 1．⎰-202)1(x dx．2．⎰∞++0)1(1dx xx ．四、利用递推公式计算反常积分⎰∞+-=0dx e x I x n n （n 为自然数)．第五章自测题一、填空题(每小题5分，共20分)：1．a ，b 为正常数，且1sin 1lim 020=+-⎰→x x dt ta t x bx ，则=a ，=b ．2．=-⎰201dx x ．3．=+⎰-ππdx x xx 21cos ．4．=⎰→xdt t x x 020cos lim．二、选择题(单选)(每小题5分，共10分)： 1．⎰-x dt t dxd sin 021等于:(A) x cos ； (B ） x x cos cos ； （C) x 2cos -; （D ） x cos ．答:( )2．设)(x f 连续，则⎰+ba dy y x f dxd )(等于: (A)⎰+'bady y x f )(;（B ） )()(a x f b x f +-+；（C ） )(a x f +;（D) )(b x f +． 答：（ )三、试解下列各题（每小题10分，共40分)： 1．⎰-21224dx x x ．2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=0,110,11)(x ex xx f x ，求⎰-20)1(dx x f ．3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<=πππx x x x f 2,02,cos )(，求dt t f x F ⎰-=ππ)()(在],[ππ-上的表达式．4．求位于曲线21x y =)1(≥x 的下方，x 轴上方的图形的面积．四、试解下列各题（每小题15分,共30分)： 1．设)(x f 在],[b a 上连续，证明⎰⎰-+-=badx x a b a f a b dx x f 1])([)()(．2．证明：⎰⎰-=aaadx x dx x 022)(2)(ϕϕ,其中)(u ϕ为连续函数．。

《高等数学》章节自测题答案第1部分函数、极限与连续（单元自测题）一．单项选择题（共18分）（ A ）（ B ）（ D ）（ D ）（ B ）时有（ D ）二．填空题（共15分）的连续区间是三．判断下列各组极限运算的正误（8分）1．２．；；３．；；；四．求下列极限（20分）答案：2答案：答案：答案：1五．求函数的间断点，并判断类型（10分）答案：为第一类（可去）间断点；为第二类（无穷）间断点六．已知是连续函数，求的值（9分）答案：七．用零点定理证明方程在内有两个实根（20分）答案：两次利用零点定理即可．第2部分导数与微分（单元自测题）一．单项选择题（共10分）（ D ）表示（ B ）（ C ）（ D ）,函数的导数是（ C ）二．填空题（共22分）将适当的函数填入括号内(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)三．求下列函数的导数（16分）1．答案：２．答案：３．答案：4．答案：四．求下列函数的二阶导数（16分）1．答案：２．答案：３．答案：4．答案：五．设，求（16分）答案：六．已知曲线的方程是，求曲线在点处的切线方程（10分）答案：七．已知曲线的参数方程是，求曲线在处的切线方程和法线方程．答案：切线方程；法线方程．第3部分导数的应用（单元自测题）一．单项选择题（共10分）在区间（ B ）上满足罗尔定理条件（ D ）（ D ）（ A ）极限（ C ）二．填空题（共15分）,最小值是的单调减少区间是三．求下列极限（20分）答案：答案：答案：答案：答案：四．求函数的极值和单调区间（10分）答案：五．证明曲线总是凹的（10分）答案：六．曲线弧上哪一点处的曲率半径最小？并求出该点处的曲率半径．（10分）答案：七．求函数的四阶麦克劳林公式（10分）答案：．八．要做一圆锥形漏斗，其母线长为20cm，问要使得漏斗体积最大，其高应为多少？答案：第4部分不定积分（单元自测题）一．单项选择题（共15分）（ B ）（ B ）（ B ）（ C ）；；不定积分（ D ）二．填空题（共15分），称为的不定积分三．求下列不定积分（55分）答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：四．试用三种方法求不定积分（15分）答案：方法一：令；方法二：分子；方法三：令第5部分定积分（单元自测题）一．单项选择题（共18分）（ C ）（ A ）（ C ）（ B ）；；；（ D ）（ B ）二．填空题（共15分）原函数三．计算下列定积分（24分）答案：答案：答案：答案：答案：答案：四．下列积分中，使用的变换是否正确?如不正确，请改正，并计算各定积分．（12分）答案：不正确，直接法，答案：正确，答案：不正确，几何意义或者令，五．已知有连续的二阶导数，求（10分）答案：六．判断下列广义积分的收敛性（12分）答案：答案：发散答案：答案：发散七．研究函数的单调性，并求其极值（9分）答案：第6部分定积分的应用（单元自测题）一．单项选择题（共20分）（ A ）而成的立体体积为（ B ）（ A ）4 （ C ）（ D ）二．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：三．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：四．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：五．求曲线所围成的图形绕轴旋转而成的立体体积（10分）答案：六．半径为10m的半球形水池内充满了水，求把池内水抽干所做的功（15分）答案：七．一水坝中有一直立矩形闸门，宽10m，深6m，求当水面在闸门顶上8m的时闸门所受水的压力（15分）答案：八．抛物线分圆盘为两部分，求这两部分面积的比（10分）答案：第7部分常微分方程（单元自测题）一．解下列可分离变量方程（共12分）答案：答案：答案：二．解下列齐次方程（8分）答案：答案：三．解下列一阶线性方程（25分）答案：答案：答案：答案：答案：四．解下列可降阶的高阶微分方程（15分）答案：答案：答案：五．解下列二阶常系数线性微分方程（30分）答案：答案：答案：答案：．答案：六．已知某厂的纯利润对广告费的变化率为,与常数和纯利润之差成正比，当时，,试求纯利润与广告费之间的函数关系.（1０分）答案：第8部分空间解析几何与向量代数（单元自测题）一．各类计算题（共30分）在坐标面上求与三已知点等距离的点答案：已知向量的方向角且，求答案：求过点且与平面垂直的直线方程答案：求同时垂直于向量和向量的单位向量答案：5．求过直线的平面方程答案：已知垂直，求答案：二．求以为顶点的四边形面积(10分)答案：三．求两平面，的夹角（10分）答案：四．判断下列线与线、线与面之间的位置关系（20分）答案：互相垂直答案：重合答案：平行答案：直线在平面上五．求点到直线的距离（10分）答案：六．求平面曲线绕轴旋转所得曲面的方程（10分）答案：七．求曲线在面上的投影（10分）答案：第9部分多元函数微积分（单元自测题）一．关于一阶偏导数（共16分）若，求答案：若，求答案：若，求答案：若，求答案：二．关于高阶（二阶）偏导数（12分）若，求答案：若，求答案：三．关于复合函数的偏导数（10分）若，求答案：若，求答案：四．关于隐函数的偏导数（10分）若，求答案：若，求答案：五．关于极值问题（12分）求的极值答案：设，求在条件下的极小值答案：六．交换下列积分次序（16分）答案：答案：答案：答案：七．计算下列二重积分（24分），答案：答案：，答案：，答案：第10部分无穷级数（单元自测题）一．判断下列级数的敛散性（共30分）答案：收敛答案：发散答案：收敛答案：发散5．答案：条件收敛答案：绝对收敛答案：绝对收敛答案：时绝对收敛；时发散答案：收敛答案：收敛二．证明（6分）答案：利用级数收敛的必要条件三．求下列级数的收敛域（12分）答案：答案：答案：答案：四．求下列幂级数在收敛域内的和函数（12分）答案：答案：五．将下列函数展开成的幂级数，并求其收敛域（12分）答案：答案：答案：六．将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛域（12分）答案：答案：七．把下列函数展成傅立叶级数（16分）答案：答案：第11部分概率（单元自测题）一．单项选择题（共24分）（ B ）设为随机事件，,则必有（ A ）设互为对立事件，且,则下列各式中错误的是（ A ）抛一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为，将此硬币连抛4次，则恰好3次正面朝上的概率是（ C ）设随机变量的分布函数为，下列结论中不一定成立的是（ D ）下列各函数中是随机变量分布函数的是（ B ）如果函数是某连续型随机变量的概率密度，则区间可以是（ C ）设随机变量的概率密度为，令,则的概率密度为（ D ）二．填空题（15分）设与互相独立，则某射手命中率为，他独立地向目标射击4次，则至少命中一次的概率为设为连续型随机变量，是一个常数，则= 0设∽，则= 0.5设∽，则的概率密度=三．设（8分）答案：0.4四．设为两个随机事件，证明与相互独立（10分）五．已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率为0.03，求：（10分）(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格品的产品确实是合格品的概率．答案：(1)0.9325；(2)0.9984六．袋中有2个白球，3个红球，现从袋中随机地抽取2个球，以表示取到的红球，求的分布律（10分）答案：0 1 2七．设的概率密度为, 求：（10分）(1) 的分布函数；(2) ．答案：(1) ；(2)0.625，0.625八．已知某种类型电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，它的概率密度为，一台仪器装有4个此种类型的电子元件，其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作，假设4个电子元件损坏与否互相独立。