四川省乐山十校2019-2020学年高二上学期期中联考试题 数学(文)【含答案】

2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题（全卷满分：150 分 考试用时：120 分钟）一、选择题：（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1. 已知曲线方程为221169x y +=，P 为曲线上任意一点，,A B 为曲线的焦点，则 A. 16PA PB += B. 8PA PB += C. 16PA PB -= D. 8PA PB -= 2. 抛物线24yx 的焦点坐标是A.（0,1）B. （1,0）C. (0，116) D.（116，0） 3．2017年3月2日至16日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的数据平均数分别为12,x x ，中位数分别为12,y y ，则 A ．12x x ，12y y B ．12x x ，12y y C ．12x x ，12y y D ．12x x ，12y y4. 双曲线22143x y 的渐近线方程为A.3yx B.34y x C.23y x D.43y x 5．下列对一组数据的分析，不正确的说法是 A 、数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B 、数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定 C 、数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定D 、数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定6. “0>>n m ”是“方程221x y n m+=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要 7. 过抛物线24y x 的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，若126x x ，则AB 的值为A.10B.8C.6D.48.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是 A ．恰有一个红球与恰有二个红球 B ．至少有一个红球与都是白球 C ．至少有一个红球与至少有一个白球 D ．至少有一个红球与都是红球9..过点()2,1A -的直线与抛物线x y 42=相交于,C D 两点，若A 为CD 中点，则直线的方程是A. 02=+y xB. 042=--y xC. 032=-+y xD.053=-+y x10.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己 知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l ）取线段2AB =，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取12BC AB =，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ．则点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE AF AE ≤≤的概率约为 2.236≈） A ．0.618 B. 0.472 C ．0.382 D ．0.23611.已知双曲线14222=-by x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A ．B ．C ．3D ．512.已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于B A ,两点．若AB A F =1，021=⋅B F B F ，则C 的离心率为A. 3B. 13+C.34D . 2二、填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13．设命题2:,2n p n N n ∃∈>,则:p ⌝为______ .14．P 为椭圆192522=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若︒=∠6021PF F ，则△21PF F 的面积为 ；15.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线和双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为 16.以下四个关于圆锥曲线的命题:（1）直角坐标系内,到点()1,2-和到直线2340x y +-=距离相等的点的轨迹是抛物线; （2）设,A B 为两个定点，若2PA PB -=，则动点P 的轨迹为双曲线； （3）方程22520x x -+=的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率； （4）若直线4mx ny +=和22:4O x y +=没有交点,则过点(),P m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为2.其中真命题的序号为 .(写出所有真命题的序号) 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）已知命题()0)2(3:<+-x x p ，命题05:>-x q ，若命题q p ∨为真命题，命题q p ∧为假命题，求实数x 的取值范围．18. （本小题满分12分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校，对学生进行视力检查.(Ⅰ) 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(Ⅱ) 若从抽取的6所学校中随即抽取2所学校作进一步数据分析： ①列出所有可能抽取的结果；②求抽取的2所学校没有大学的概率.19.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点为)0,1(F ，且椭圆上的点到点F 的最大距离为3，O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过右焦点F 倾斜角为︒60的直线与椭圆交于M 、N 两点，求弦长MN20. (本小题满分12分)某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[]0,2，(2,4]，…，(]14,16分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图.（图1） （图2）（Ⅰ）试估计100户居民用水价格的平均数和中位数；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2017年1～6月份的月用水费y (元)与月份x 的散点图，其拟合的线性回归方程是233y x =+. 若李某2017年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的水费．21. (本小题满分12分)已知抛物线C 的准线方程为41-=x . (Ⅰ)求抛物线C 的标准方程；(Ⅱ) 若过点)0,(t P 的直线l 与抛物线C 相交于、B A 两点，且以AB 为直径的圆过原点O ，求证t 为常数，并求出此常数。

2019-2020学年四川省乐山市十校高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1．如图是由哪个平面图形旋转得到的( )A ．B ．C ．D ．2．若直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，则点(,)P a b 与圆221x y +=的位置关系是( ) A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．22(2)1x y +-= B ．22(2)1x y ++= C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1x y +-=4．设l 是直线，α，β是两个不同的平面( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥5．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1BB 、1CC 的中点，那么直线AE 与1D F 所成角的余弦值为( ) A ．45-B ．35C ．34 D ．35-6．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．22(2)(1)1x y -++= B ．22(2)(1)4x y -++= C ．22(4)(2)1x y ++-=D ．22(2)(1)1x y ++-=7．下列四个命题：（1）存在与两条异面直线都平行的平面；（2）过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行； （3）过平面外一点可作无数条直线与该平面平行； （4）过直线外一点可作无数个平面与该直线平行． 其中正确的命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．48．直线40x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[8，16]C ．，D ．9．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )A B ． C D 10．过点(1,2)-作圆22(1)1x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y =B ．12y =-C ．y =D ．14y =-11(2)3k x =-+有两个不等实根，则k 的取值范围是( ) A ．5(0,)12B ．1(3，3]4C ．5(12，)+∞D ．53(,]12412．如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C ，D 的动点，将ADE ∆沿AE 翻折成SAE ∆，使得平面SAE ⊥平面ABCE ，则下列说法中正确的有( ) ①存在点E 使得直线SA ⊥平面SBC ； ②平面SBC 内存在直线与SA 平行③平面ABCE 内存在直线与平面SAE 平行； ④存在点E 使得SE BA ⊥．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．已知(,)P x y 为圆22(2)1x y -+=上的动点，则344x y +-的最大值为 ．14．在三棱锥P ABC -中，6PB =，3AC =，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为 ．15．圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦的长为 ．16．若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB CD =，AC BD =，AD BC =，给出下列结论：①四面体ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90︒而小于180︒； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分． 其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（本题共6道小题，共70分） 17．已知一个几何体的三视图如图所示． （1）求此几何体的表面积；（2）如果点P ，Q 在正视图中所示位置，P 为所在线段中点，Q 为顶点，求在几何体侧面的表面上，从P 点到Q 点的最短路径的长．18．已知圆22:24200C x y x y +---=及直线:(21)(1)74()l m x m y m m R +++=+∈． （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交； （2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最小值及此时的直线方程．19．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且6PO OB ==．D 为线段AC 的中点， （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PDO ；（Ⅱ）若点E 在线段PB 上，且2PE EB =，求三棱锥E POC -体积的最大值．20．已知圆C 的圆心在直线30x y -=上，且与y 轴相切于点(0,1)． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线:0l x y m -+=交于A ，B 两点，分别连接圆心C 与A ，B 两点，若CA CB ⊥，求m 的值．21．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点． （1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45︒，求二面角M AB D --的平面角的余弦值．22．在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆顶点的坐标为(1,2)A -，(1,4)B ，(3,2)C ． （1）求ABC ∆外接圆E 的方程；（2）若直线l 经过点(0,4)，且与圆E 相交所得的弦长为，求直线l 的方程；（3）在圆E 上是否存在点P ，满足22212PB PA -=，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年四川省乐山市十校高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1．如图是由哪个平面图形旋转得到的( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的， 故轴截面的上部是直角三角形，下部为直角梯形构成， 故选：D ．2．若直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，则点(,)P a b 与圆221x y +=的位置关系是( ) A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能【解答】解：根据题意，直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，即直线与圆相交， 则有圆心到直线1ax by +=的距离1d r =<=，变形可得221a b +>，则点(,)P a b 在圆221x y +=的外部； 故选：B ．3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．22(2)1x y +-= B ．22(2)1x y ++= C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1x y +-=【解答】解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b ，1=，解得2b =，故圆的方程为22(2)1x y +-=． 故选A ．解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为(0,2)， 故圆的方程为22(2)1x y +-= 故选A ．解法3（验证法）：将点(1,2)代入四个选择支， 排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C ． 故选：A ．4．设l 是直线，α，β是两个不同的平面( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥【解答】解：若//l α，//l β，则//αβ或α，β相交，故A 不正确；根据线面平行的性质可得：若//l α，经过l 的直线与α的交线为m ，则//l m ，l β⊥，m β∴⊥，根据平面与平面垂直的判定定理，可得αβ⊥，故B 正确；若l α⊥，αβ⊥，则l β⊂或//l β，故C 错误；作出正方体ABCD A B C D -''''，设平面ABCD 为α，ADD A ''为β，则αβ⊥，观察正方体，得到：//B C α''，且//B C β''；//A D α''，且A D β''⊂；//A B α''，且A B ''与β相交．∴面α、β及直线l 满足：αβ⊥，//l α，则一定有//l β或l β⊂或l 与β相交，故D 不正确． 故选：B ．5．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1BB 、1CC 的中点，那么直线AE 与1D F 所成角的余弦值为( )A ．45-B ．35C ．34 D ．35-【解答】解：设正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴， 建立空间直角坐标系，则(2A ，0，0)，(2E ，2，11)(0D ，0，2)，(0F ，2，1) ∴(0AE =，2，1)，1(0D F =，2，1)-，设异面直线AE 与1D F 所成角为θ， 则cos |cos AE θ=<，13|||555D F >==． 故选：B ．6．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．22(2)(1)1x y -++= B ．22(2)(1)4x y -++= C ．22(4)(2)1x y ++-=D ．22(2)(1)1x y ++-=【解答】解：设圆上任意一点为1(x ，1)y ，中点为(,)x y ， 则114222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 112422x x y y =-⎧⎨=+⎩代入224x y +=得22(24)(22)4x y -++=，化简得22(2)(1)1x y -++=． 故选：A ． 7．下列四个命题：（1）存在与两条异面直线都平行的平面；（2）过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行； （3）过平面外一点可作无数条直线与该平面平行； （4）过直线外一点可作无数个平面与该直线平行． 其中正确的命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：（1）如图，a ，b 是两条异面直线， 过两条异面直线的公垂线的中点作公垂线的垂面，则此垂面与两条异面直线都平行，故（1）正确；（2）不正确．若过点A 与直线a 的平面α与直线b 平行时， 不存在符合要求的平面；（3）正确，因为过平面外一点有无数条直线与这个平面平行， 这些直线在与这个平面平行的平面内；（4）正确，过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行， 只须这些平面经过这条直线的平行线且不过这条直线即可． 故正确命题的个数为3． 故选：C ．8．直线40x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[8，16]C ．，D ．【解答】解：直线40x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，(4,0)A ∴-，(0,4)||B AB -∴=设圆心(2,0)到直线40x y ++=的距离为d ，则d ==，设点p 到直线40x y ++=的距离为h ，∴max h d r =+==，min h d r =-==h ∴的取值范围为，即ABP ∆的高的取值范围是， 又ABP ∆面积为1||2AB h ⨯⨯，所以ABC ∆面积的取值范围为[8，16]， 故选：B ．9．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )A B ． C D 【解答】解：1S π=，24S π=，1r ∴=，2R =，6()S r R l ππ==+，2l ∴=，h ∴=． 1(142)3V π∴=++=．故选：D ．10．过点(1,2)-作圆22(1)1x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y =B ．12y =-C ．y =D ．14y =-【解答】解：圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)C ，半径为1， 以(1,2)-、(1,0)C 为直径的圆的方程为：22(1)(1)1x y -++=，将两圆的方程相减，即得公共弦AB 的方程为210y +=． 即12y =-．故选：B ．11(2)3k x =-+有两个不等实根，则k 的取值范围是( ) A ．5(0,)12B ．1(3，3]4C ．5(12，)+∞D ．53(,]124【解答】解：由题意，等式左边是一段圆弧224x y +=(0)y … 右边是条直线32y kx k =+-，直线恒过定点(2,3)根据点到直线的距离小于半径时才有和圆弧所在的圆有两个交点 512k ∴>当直线过点(2,0)-时，34k =23kx k =-+有两个不等实根时，53124k <… 故选：D ． 12．如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C ，D 的动点，将ADE ∆沿AE 翻折成SAE ∆，使得平面SAE ⊥平面ABCE ，则下列说法中正确的有( )①存在点E 使得直线SA ⊥平面SBC ；②平面SBC 内存在直线与SA 平行③平面ABCE 内存在直线与平面SAE 平行；④存在点E 使得SE BA ⊥．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①若直线SA ⊥平面SBC ，则直线SA 与平面SBC 均垂直，则SA BC ⊥，又由//AD BC ，则SA AD ⊥，这与SAD ∠为锐角矛盾，故①错误； ②平面SBC ⋂直线SA S =，故平面SBC 内的直线与SA 相交或异面，故②错误；③取AB 的中点F ，则//CF AE ，由线面平行的判定定理，可得//CF SAE 平行，故③正确； ④若SE BA ⊥，由//EC AB ，可得SE EC ⊥，这与SEC ∠不为直角矛盾，故④错误； 故选：A ．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．已知(,)P x y 为圆22(2)1x y -+=上的动点，则344x y +-的最大值为 7 ．【解答】解：把圆圆22(2)1x y -+=的方程转换为2cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）， 所以3443cos 4sin 25sin()2x y θθθα+-=++=++．当sin()1θα+=时，344x y +-的最大值为7．故答案为：714．在三棱锥P ABC -中，6PB =，3AC =，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为 8 ．【解答】解：如图所示，过点G 作//EF AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作//FM PB 交BC 于点M ，过点E 作//EN PB 交AB 于点N ．由作图可知：//EN FM ，∴四点EFMN 共面可得////MN AC EF ，////EN PB FM ． ∴23EF MN AC AC ==， 可得2EF MN ==．同理可得：2EN FM ==．∴截面的周长为8．故答案为：8．15．圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦的长为【解答】解：圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的方程相减得：20x y -+=， 由圆2240x y +-=的圆心(0,0)，半径r 为2，且圆心(0,0)到直线20x y -+=的距离d ==则公共弦长为==．故答案为：16．若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB CD =，AC BD =，AD BC =，给出下列结论：①四面体ABCD 每组对棱相互垂直；②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90︒而小于180︒； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分．其中正确结论的序号是 ②④ ．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：由题意可知四面体ABCD 为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示；当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，∴①错误；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，∴②正确；当四面体的所有棱长相等时，过任意一个定点的两条棱的夹角均为60︒，∴两两夹角之和为180︒，③错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，④正确．综上，正确的命题序号是②④．故答案为：②④．三、解答题（本题共6道小题，共70分）17．已知一个几何体的三视图如图所示．（1）求此几何体的表面积；（2）如果点P，Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体侧面的表面上，从P点到Q点的最短路径的长．【解答】解：（1）根据几何体的三视图，转换为几何体，是由一个圆锥和一个圆柱组成．该几何体的表面积是由圆锥的侧面积和圆柱的侧面积及圆柱的底面积组成．所以2122S a a π=⋅=圆锥的侧面积． 2224S a a a ππ=⋅=圆柱的侧面积．2S a π=圆柱底面积．)25S a π=+表面积． （2）沿点P 与点Q 所在的母线剪开圆柱的侧面，如图所示：所以PQ ==，即最短路径．18．已知圆22:24200C x y x y +---=及直线:(21)(1)74()l m x m y m m R +++=+∈．（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最小值及此时的直线方程．【解答】解：（1）证明：直线l 的方程可化为(4)(27)0x y m x y +-++-=，由方程组40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩， 所以直线过定点(3,1)M ，圆C 化为标准方程为22(1)(2)25x y -+-=，所以圆心坐标为(1,2)，半径为5，因为定点(3,1)M 到圆心(1,2)5=<， 所以定点(3,1)M 在圆内，故不论m 取什么实数，过定点(3,1)M 的直线l 与圆C 总相交；（2）设直线与圆交于A 、B 两点，当直线l 与半径CM 垂直与点M 时，直线l 被截得的弦长||AB 最短，此时||AB ==== 此时12AB CM k k =-=，所以直线AB 的方程为12(3)y x -=-，即250x y --=．故直线l被圆C截得的弦长的最小值为l的方程为250x y--=．19．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且6PO OB==．D为线段AC的中点，（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PDO；（Ⅱ）若点E在线段PB上，且2PE EB=，求三棱锥E POC-体积的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：在AOC∆中，因为OA OC=，D为AC的中点，所以AC OD⊥，又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO AC⊥；又DO PO O=，所以AC⊥平面PDO；又AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PDO；（Ⅱ）由23PE PB=，则23POE POBS S∆∆=，所以221333E POC C POE C POB P OCB P ACBV V V V V-----====三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥；又点C在圆O上，所以当CO AB⊥时，C到AB的距离最大，且最大值为6；又12AB=，所以ABC∆面积的最大值为1126362⨯⨯=；又三棱锥P ABC-的高为6PO=，所以三棱锥P ABC-体积的最大值为1366723⨯⨯=；综上知，三棱锥E POC-体积的最大值为172243⨯=．20．已知圆C 的圆心在直线30x y -=上，且与y 轴相切于点(0,1)． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线:0l x y m -+=交于A ，B 两点，分别连接圆心C 与A ，B 两点，若CA CB ⊥，求m 的值．【解答】解：（Ⅰ）设圆心坐标为(,)C a b ，则3a b =， 圆与y 轴相切于点(0,1)，则1b =，|0|r a =-，∴圆C 的圆心坐标为(3,1)，半径3r =．则圆的方程为22(3)(1)9x y -+-=；（Ⅱ）CA CB ⊥，||||CA CB r ==，ABC ∴∆为等腰直角三角形，||||3CA CB r ===，∴圆心C 到直线l 的距离d =则d ==，解得1m =或5-． 21．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点． （1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45︒，求二面角M AB D --的平面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：取PA 的中点F ，连结EF ，BF ， E 是PD 的中点，//EF AD ∴，12EF AD =，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒， //BC AD ∴，//EF BC ，EF BC =，∴四边形BCEF 是平行四边形，//CE BF ∴，BF ⊂平面PAB ，CE ⊂/平面PAB ，∴直线//CE 平面PAB ．（2）解：如图，取AD 中点O ，连结PO ，CO ，PAD ∆是正三角形，PO AD ∴⊥，侧面PAD 是等边三角形，且垂直于底面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，又CO ⊂平面ABCD ，PO CO ∴⊥， 12AO AB BC AD ===，且90BAD ABC ∠=∠=︒， ∴四边形ABCO 是正方形，CO AD ∴⊥，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设112AB BC AD ===，则1OA OD AB CO ====，OP =， POC ∆是直角三角形，||||OC OP =， 60PCO ∴∠=︒，作MN CO ⊥，垂足为N ，连结BN ， PO CO ⊥，//MN PO ∴，且PO ⊥平面ABCD ，MN ∴⊥平面ABCD ，MBN ∴∠是直线BM 与平面ABCD 所成角， 设CN t =，60PCO ∠=︒，MN ∴=，BN = 45MBN ∠=︒，MN BN ∴=，∴=，解得t =1ON ∴=，MN =， (0A ∴，1-，0)，(1B ，1-，0)，(1M -0，(0D ，1，0)， ∴(1AB =，0，0)，(0AD =，2，0)，(1AM =，1， 设平面MAB 和平面DAB 的法向量分别为(n x =，y ，)z ，(m x =，y ，)z ，则02(102AB n x AM n x y ⎧==⎪⎨=-++=⎪⎩，取2z =-，得(0n =，2)-，同理得(0m =，0，1)，cos ,||||10n m n m n m ∴<>===， 由图形得二面角M AB D --的平面角是锐角，∴二面角M AB D --．22．在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆顶点的坐标为(1,2)A-，(1,4)B ，(3,2)C ．（1）求ABC ∆外接圆E 的方程；（2）若直线l 经过点(0,4)，且与圆E 相交所得的弦长为，求直线l 的方程；（3）在圆E 上是否存在点P ，满足22212PB PA -=，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=， 则14201164094320D E F D E F D E F +-++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，解得241D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，ABC ∴∆外接圆E 的方程为222410x y x y +--+=；（2）①当直线l 的斜率k 不存在时，直线l 的方程为0x=，联立2202410x x y x y =⎧⎨+--+=⎩，解得02x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或02x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩， 此时弦长为，满足题意，②当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为4y kx -=，即联立2242410y kx x y x y =+⎧⎨+--+=⎩，得2(1)(42)10k x k x ++-+=， △2340k k =->，解得0k <或34k >， 设直线与圆交于点1(E x ，1)y ，点2(F x ，2)y ， 则122241k x x k -+=+，12211x x k =+，弦长为，∴= 解得34k =-，∴直线l 的方程为34160x y +-=， 综上所求：直线l 的方程为0x =或34160x y +-=；（3）假设存在点p ，设出点P 的坐标为(,)x y ， 22212PB PA -=，(1,2)A -，(1,4)B ， 2222(1)(4)2(1)2(2)12x y x y ∴-+--+--=，即22650x y x +++=，联立22226502410x y x x y x y ⎧+++=⎨+--+=⎩，两式相减得210x y ++=， 联立222102410x y x y x y ++=⎧⎨+--+=⎩，方程组无解， ∴圆E 上不存在点P ，满足22212PB PA -=．。

机密★启用前【考试时间：2019年11月12日：8:00—10:00】乐山十校高2021届第三学期半期联考数学(理科)测试卷命题人：(乐山一中) 审题人：(乐山一中)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题(本题共12道小题,每小题5分,共60分)1. 如图是由哪个平面图形旋转得到的( )A. B. C. D.2. 若直线与圆有两个公共点,则点与圆的位置关系是( )A. 在圆上B. 在圆外C. 在圆内D. 以上皆有可能3. 圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是( )A.x2＋(y－2)2＝1B.x2＋(y＋2)2＝1C.(x－1)2＋(y－3)2＝1D.x2＋(y－3)2＝14. 设l是直线,α,β是两个不同的平面( )A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l∥α,l⊥β,则α⊥βC.若β⊥α,l⊥α,则l∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β5. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为( )A.45B.35C.23D.576.点P (4,－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( )A. (x －2)2＋(y ＋1)2＝1B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 7. 下列四个命题：(1)存在与两条异面直线都平行的平面；(2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行； (3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行； (4)过直线外一点可作无数个平面与该直线平行. 其中正确的命题的个数是( ) A. 1B. 2C. 3D. 48.直线x +y +4=0分别与x 轴,y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆(x -2)2+y 2=2上,则△ABP 面积的取值范围是( )A.[2,6]B.[8,16]C.[,3]D.[2,3]9.圆台上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,这个圆台的体积是( )23πB.2373π73π 10. 过点P (1,－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线,切点分别为A ,B ,则AB 所在直线的方程为( ) A.34y =-B.12y =-C.32y =-D.14y =-11. 方程3)2(42+-=-x k x 有两个不等实根,则k 的取值范围是( )A.)125,0( B.]43,31[ C.),125(+∞ D.]43,125(∆沿AE翻折成12. 如图1,点E为正方形ABCD边CD上异于点C、D的动点,将ADE∆,使得平面SAE⊥平面ABCE(如图2),则下列说法中正确的有( )SAE①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行；③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；⊥.④存在点E使得SE BAA.1个B. 2个C. 3个D. 4个第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)13. 已知P (x ,y )为圆(x －2)2＋y 2＝1上的动点,则344x y +-的最大值为________.14. 在三棱锥P-ABC 中,PB=6,AC=3,G 为△PAC 的重心,过点G 作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB 和AC ,则截面的周长为 . 15. 圆与圆的公共弦的长为________.16.若四面体ABCD 的三组对棱分别相等,即AB ＝CD ,AC ＝BD ,AD ＝BC ,则________(写出所有正确结论的编号).①四面体ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分.三、解答题(本题共6道小题,共70分) 17.(10分)已知一个几何体的三视图如图所示.(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P ,Q 在正视图中所示位置,P 为所在线段中点,Q 为顶点,求在几何体侧面的表面上,从P 点到Q 点的最短路径的长.18.(12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －20＝0及直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4(m ∈R).(1)证明：不论m 取什么实数,直线l 与圆C 总相交； (2)求直线l 被圆C 截得的弦长的最小值及此时的直线方程.19.(12分)如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,PO 垂直于圆O 所在的平面,且6PO OB ==.D 为线段AC 的中点,(Ⅰ)求证:平面PAC ⊥平面PDO ；(Ⅱ)若点E 在线段PB 上,且2PE EB =,求三棱锥E POC -体积的最大值.20.(12分)已知圆C 的圆心在直线上,且与y 轴相切于点.Ⅰ求圆C 的方程；Ⅱ若圆C 与直线l ：交于A ,B 两点,分别连接圆心C 与A ,B 两点,若,求m 的值.21.(12分)如图,四棱锥中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,12AB BC AD ==,BAD ABC ∠=∠＝90°,E 是PD 的中点. (1)证明：直线CE //平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成角 为45°,求二面角的平面角的余弦值.22.(12分)在平面直角坐标系xOy 中,顶点的坐标为A (-1,2),B (1,4),C (3,2).(1)求外接圆E 的方程；(2)若直线l经过点,且与圆E相交所得的弦长为,求直线l的方程；(3)在圆E上是否存在点P,满足,若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.。

四川省乐山十校2019-2020学年高二上学期期中联考试题数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1. 如图是由哪个平面图形旋转得到的( )A. B. C. D.2. 若直线与圆有两个公共点,则点与圆的位置关系是( )A. 在圆上B. 在圆外C. 在圆内D. 以上皆有可能3. 圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝14. 设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若β⊥α，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为( )A.45B.35C.23D.576.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( )A． (x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝17. 下列四个命题：（1）存在与两条异面直线都平行的平面；（2）过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行； （3）过平面外一点可作无数条直线与该平面平行； （4）过直线外一点可作无数个平面与该直线平行． 其中正确的命题的个数是( ) A. 1B. 2C. 3D. 48.直线x +y +4=0分别与x 轴,y 轴交于A,B 两点,点P 在圆(x -2)2+y 2=2上,则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2,6]B.[8,16]C.[,3]D.[2,3]9.圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )23πB ．373π73π 10. 过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A.34y =-B.12y =-C.32y =-D.14y =-11. 方程3)2(42+-=-x k x 有两个不等实根，则k 的取值范围是( )A ．)125,0(B ．]43,31[C ．),125(+∞ D ．]43,125( 12. 如图1，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C 、D 的动点，将ADE ∆沿AE 翻折成SAE ∆，使得平面SAE ⊥平面ABCE （如图2），则下列说法中正确的有( )①存在点E 使得直线SA ⊥平面SBC ； ②平面SBC 内存在直线与SA 平行；③平面ABCE 内存在直线与平面SAE 平行； ④存在点E 使得SE BA ⊥. A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13. 已知P (x ，y )为圆(x －2)2＋y 2＝1上的动点，则344x y +-的最大值为________． 14. 在三棱锥P-ABC 中,PB=6,AC=3,G 为△PAC 的重心,过点G 作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB 和AC,则截面的周长为 . 15. 圆与圆的公共弦的长为________．16.若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分.三、解答题（本题共6道小题，共70分） 17.（10分）已知一个几何体的三视图如图所示.（1）求此几何体的表面积；（2）如果点P ，Q 在正视图中所示位置，P 为所在线段中点，Q 为顶点，求在几何体侧面的表面上，从P 点到Q 点的最短路径的长.18.（12分）已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －20＝0及直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4(m ∈R)．（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交； （2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最小值及此时的直线方程．19.（12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且6PO OB ==．D 为线段AC 的中点，（Ⅰ）求证:平面PAC ⊥平面PDO ；（Ⅱ）若点E 在线段PB 上，且2PE EB =,求三棱锥E POC -体积的最大值．20.（12分）已知圆C 的圆心在直线上,且与y 轴相切于点．Ⅰ求圆C 的方程； Ⅱ若圆C 与直线l ：交于A ,B 两点,分别连接圆心C 与A ,B 两点,若,求m 的值．21.（12分）如图,四棱锥中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,12AB BC AD ==,BAD ABC ∠=∠＝90°,E 是PD 的中点． （1）证明：直线CE//平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成角 为45°,求二面角的平面角的余弦值．22.（12分）在平面直角坐标系xOy 中,顶点的坐标为A(-1，2),B(1，4),C(3，2)．（1）求外接圆E 的方程；（2）若直线l 经过点,且与圆E 相交所得的弦长为,求直线l 的方程；（3）在圆E 上是否存在点P ,满足,若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由．。