2017-2018学年四川省乐山四校高二上学期半期联考数学文试题 Word版

乐山市高中2020届期末教学质量检测文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．抛物线y2＝﹣4x的准线方程为（）( A )x＝﹣1 ( B )x＝1 ( C )x＝﹣2 ( D )x＝22．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）( A )充分不必要条件( B )必要不充分条件( C )充要条件( D )既不充分也不必要条件3．圆心在x轴上，并且过点A（﹣1，1）和B（1，3）的圆的方程为（）( A )（x+2）2+y2＝10 ( B )（x﹣2）2+y2＝10( C )（x+2）2+y2( D )（x﹣2）2+y24．过椭圆C：1的右焦点F2作倾斜角为α的直线l交椭圆C于A、B两点，则△ABF1的周长为（）( A )10 ( B )16 ( C )20 ( D )与α有关5．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点为E，CC1的中点为F，则异面直线B1E与DF所成角的余弦值为（）( A )( B )( C )( D )6．已知直线y x﹣2与圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0相交于A、B两点，则|AB|＝（）( A )( B )( C )( D )7．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的个交点，若2，则|QF|＝（）( A )6 ( B )3 ( C )( D )8．如图，P A⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且P A＝AD＝2，E、F分别是P A、CD的中点，EF与平面ABCD 所成的角为θ，点E到CD边的距离为d，则（）( A )d，tanθ( B )d，tanθ( C )d，tanθ( D )d，tanθ9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，现欲用草扇将米盖上”．具体数据见下面三视图，如图网格纸上小正方形的边长为1尺，粗线画出的是该米堆的三视图，圆周率估算为3．则此草扇的面积估计最少为（）( A )12平方尺( B )20平方尺( C )15平方尺( D )16平方尺10．双曲线1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝（）( A )1 ( B )2 ( C )( D )411．已知A、B、C、D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝2AB＝2，则该球的表面积为（）( A )( B )( C )( D )12．已知F1和F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）( A )( B )( C )( D )2二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13．命题：“若x＝2，则x2﹣x﹣2＝0”的否命题为．14．已知点P是椭圆1第一象限上的一点，且以点P及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则点P的坐标为．15．如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|，若MF⊥OA，则椭圆的方程为．16．已知△ABC的三边长分别为AB＝5，BC＝4，AC＝3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点．给出下列四个命题：①若P A⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的四个面都是直角三角形；②若PM⊥平面ABC，且M是AB边中点，则有P A＝PB＝PC；③若PC＝5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为；④若PC＝5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC的距离为．其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17．已知p：方程x2+mx+1＝0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．18．已知中心在原点，一个焦点为F（0，4）的双曲线被直线l：y＝3x﹣2截得的弦的中点横坐标为1，求此双曲线的方程．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点，（Ⅰ）求证：A1C1⊥BC1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1．20．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝4，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G 分别为AC，DC，AD的中点．（1）求证：EF⊥平面BCG；（2）求三棱锥D﹣BCG的体积．21．已知定点F（0，1）和直线l1：y＝﹣1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点( C )（1）求动点C的轨迹方程；（2）过点F在直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求的最小值．22．知点P（1，）在椭圆1（a＞b＞0）上，F（1，0）是椭圆的一个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）椭圆C上不与P点重合的两点D、E关于原点O对称，直线PD、PE分别交y轴于M、N两点；求证：以MN为直径的圆被直线y截得的弦长是定值．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．B2．A3．B4．C5．A6．D7．C8．D9．C10．B11．A12．C二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13．“若x≠2，则x2﹣x﹣2≠0”．14（，1）．15．∵F为椭圆的右焦点，|OF|，∴c．设椭圆方程为（b＞0），∵AB为椭圆的两个顶点，C是AB的中点，OC交椭圆于点M，MF⊥OA，∴A是长轴右端点，∴，∴M（，）∵A（，），B（0，b）∴C（，）∵OM的斜率＝OC的斜率，∴∴b，∴所求椭圆方程是．16．①②④．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17．由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，若p为真，则其等价于＞＜，解可得，m＞2；若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3，若p假q真，则＜＜，解可得1＜m≤2；若p真q假，则＞或，解可得m≥3；综上所述：m∈（1，2]∪[3，+∞）．18．双曲线被直线l：y＝3x﹣2截得的弦的中点横坐标为1，可得中点M（1，1）．设双曲线标准方程为：1（a＞b＞0）．设直线l与双曲线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．则有：1，．相减可得：0，又y1+y2＝2，x1+x2＝2，．∴，又a2+b2＝42，联立解得a2＝12，b2＝4．此双曲线的方程：．19．（Ⅰ）易知A1C1⊥BC，A1C1⊥CC1，且BC1∩CC1＝C1，可得A1C1⊥面BCC1B1，故AC⊥BC1；又A1C1∥AC，∴A1C1⊥BC1；（Ⅱ）设CB1与C1B交于E，连接DE，由于E、D分别是BC1和AB的中点，可得DE∥AC1，而AC1⊄平面CDB1，故AC1∥平面CDB1．20．证明：（1）∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，AB＝BC＝BD＝4，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点，∴△ABC≌△DBC，∵G是AD中点，∴CG⊥AD，同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，∴AD⊥平面BGC，∵E，F分别是AC，DC的中点，∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG．解：（2）在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O，如图，∵平面ABC⊥平面BCD，∴AO⊥平面BDC，又G为AD的中点，∴G到平面BDC的距离h是AO长的一半，在△AOB中，AO＝AB•sin60°＝2，∴三棱锥D﹣BCG的体积：V D﹣BCG＝V G﹣BCD4．21．（1）由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线∴所求轨迹的方程为x2＝4y（2）由题意直线l2的方程为y＝kx+1，与抛物线方程联立消去y得x2﹣4kx﹣4＝0．记P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4．因为直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为，，，，∵，当且仅当k2＝1时取到等号．，即的最小值为1622．（1）由题意可知椭圆的另一个焦点为F′（﹣1，0），且c＝1，∵点P（1，）在椭圆1（a＞b＞0）上，∴2a，∴a＝2，b，∴椭圆C的标准方程为：；（2）证明：由题意可知D，E两点与点P不重合，∵D，E两点关于原点对称，∴设D（m，n），E（﹣m，﹣n）（m≠±1），设以MN为直径的圆与直线y交于G（t，），H（﹣t，）（t＞0）两点，∴GM⊥GN，直线PD：y，当x＝0时，y，∴M（0，），直线PE：y，当x＝0时，y，∴N（0，），∴，，，，∵GM⊥GN，∴，∴t20，又∵，即3m2+4n2＝12，∴4n2﹣9＝3﹣3m2，∴t20，∴t，∴G（，），H（，），∴|GH|，∴以MN为直径的圆被直线y截得的弦长是定值．。

2017-2018学年四川省乐山市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设命题p：∀x∈R，|x|+2＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，|x|+2＞0B．∃x0∈R，|x|+2≤0C．∃x0∈R，|x|+2＜0D．∀x∈R，|x|+2≤02．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．3．（5分）已知椭圆的左焦点为，则k＝（）A．2B．3C．4D．94．（5分）一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O'A'B'C'，如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC的面积为（）A．1B．C．2D．5．（5分）“m＞1且m≠2”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）若抛物线x2＝2py的焦点与椭圆的上焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A．y＝﹣1B．y＝1C．y＝﹣2D．y＝27．（5分）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（）A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m8．（5分）已知椭圆的两个焦点是F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|﹣|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是（）A．B．C．D．9．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均相等，则BC1与平面AA1C1C所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）在三棱椎P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是（）A．AD⊥平面PBC且三棱椎D﹣ABC的体积为B．BD⊥平面P AC且三棱椎D﹣ABC的体积为C．AD⊥平面PBC且三棱椎D﹣ABC的体积为D．BD⊥平面P AC且三棱椎D﹣ABC的体积为12．（5分）椭圆的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线P A1斜率的取值范围是[1，2]，那么直线P A2斜率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13．（5分）抛物线y＝x2的焦点坐标是．14．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧棱P A⊥底面ABCD，P A＝2，E为AB的中点，则四面体P﹣BCE的体积为．15．（5分）设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|＝．16．（5分）如图梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD：BC：AB＝2：3：4，E、F 分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC，②BD⊥FC③平面DBF⊥平面BFC，④平面DCF⊥平面BFC．在翻折过程中，可能成立的结论是．（填写结论序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点．（1）求异面直线A1D与EF所成的角的大小；（2）求证：EF⊥BD1．18．（12分）已知双曲线的方程是4x2﹣9y2＝36．（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝16，求∠F1PF2的大小．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD 的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设AP＝1，，三棱锥P﹣ABD的体积，求A到平面PBC的距离．20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝﹣x的一个交点的横坐标为4．（1）求抛物线C的方程；（2）过点F的直线l2与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，求△AOB 的面积．21．（12分）已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且＝λ（0＜λ＜1）．（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？22．（12分）如图，椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且•＝﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年四川省乐山市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即￢P：∃x0∈R，|x|+2≤0，故选：B．2．【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选：D．3．【解答】解：椭圆的左焦点为，可得：16﹣k2＝7，则k＝9．故选：B．4．【解答】解：把直观图O'A'B'C'还原为原图形，如图所示，则OA＝O′A′＝1，OB＝2O′B′＝2，∴原平面四边形OABC的面积为1×2＝2．故选：D．5．【解答】解：根据题意，当m＝3时，满足“m＞1且m≠2”，此时2﹣m＝﹣1＜0且m﹣1＝2＞0，方程没有意义，不能表示双曲线，则“m＞1且m≠2”不是“方程表示双曲线”的充分条件，反之“方程表示双曲线”，必有（2﹣m）（m﹣1）＞0，解可得1＜m＜2，则有m＞1且m≠2成立，“m＞1且m≠2”是“方程表示双曲线”的必要条件；故“m＞1且m≠2”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件；故选：B．6．【解答】解：椭圆的上焦点（0，2），所以抛物线x2＝2py的焦点（0，2），可得＝2，所以该抛物线的准线方程为：y＝﹣＝﹣2．即y＝﹣2．故选：C．7．【解答】解：对于A，∵l⊥β，且l⊂α，根据线面垂直的判定定理，得α⊥β，∴A正确；对于B，当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能垂直，∴B错误；对于C，当l∥β，且l⊂α时，α与β可能平行，也可能相交，∴C错误；对于D，当α∥β，且l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，∴D错误．故选：A．8．【解答】解：∵椭圆，焦点在x轴上，则a＝2，由椭圆定义：|PF1|+|PF2|＝4，|F1F2|＝2c＝2，∵|PF1|﹣|PF2|＝2，可得|PF1|＝3，|PF2|＝1，由12+（2）2＝9，∴△PF2F1是直角三角形，△PF1F2的面积|PF2|×|F1F2|＝×1×2＝．故选：D．9．【解答】解：以C1为原点，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均为2，则B（0，2，2），C1（0，0，0），A（，1，2），C（0，0，2），＝（0，﹣2，﹣2），＝（），＝（0，0，2），设平面AA1C1C的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，0），设BC1与平面AA1C1C所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴BC1与平面AA1C1C所成角的余弦值为：＝．故选：C．10．【解答】解：x＝2a时，代入双曲线方程可得y＝±b，取P（2a，﹣b），∴双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，∴＝∴e＝＝2+．故选：B．11．【解答】解：∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，又AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，∴BC⊥AD，又由三视图可得在△P AC中，P A＝AC＝4，D为PC的中点，∴AD⊥PC，∴AD⊥平面PBC．又BC＝4，∠ADC＝90°，BC⊥平面P AC．故．故选：C．12．【解答】解：由椭圆的方程可得a2＝2，b2＝2．由椭圆的性质可知：＝﹣＝﹣．∴．∵∈[1，2]，∴∈．故选：C．二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13．【解答】解：抛物线方程化为标准方程为：x2＝﹣4y∴2p＝4，∴＝1∵抛物线开口向下∴抛物线y＝x2的焦点坐标为（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）14．【解答】解：∵侧棱P A⊥底面ABCD，∴P A是四面体P﹣BCE的高，∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，∴AB＝BC＝2，∠EBC＝120°，∵E为AB的中点，∴BE＝1，∴三角形BCE的面积S＝，∴四面体P﹣BCE的体积为，故答案为：．15．【解答】解：抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x＝﹣2，直线AF的方程为y＝﹣（x﹣2），所以点A（﹣2，4）、P（4，4），从而|PF|＝4+2＝6．故答案为：6．16．【解答】解：①：因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则①不成立；②：设点D的在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD：BC：AB＝2：3：4可使条件满足，所以②正确；③：当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确．④：因为点D的射影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立．故答案为：②③．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】（1）解：连结A1C1，由题可知A1C1∥EF，则A1D与EF所成的角即为∠C1A1D，连结C1D，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∴A1C1＝A1D＝CD1，∴△A1C1D为等边三角形，∴∠CA1D＝60°，即直线A1D与EF所成的角为60°．（2）证明：连结BD，易知EF⊥BD，又D1D⊥面ABCD，即D1D⊥EF，∴EF⊥面D1DB，则EF⊥BD1，∴EF⊥BD1．18．【解答】解：（1）解：由4x2﹣9y2＝36得，所以a＝3，b＝2，，所以焦点坐标，，离心率，渐近线方程为．（2）解：由双曲线的定义可知||PF1|﹣|PF2||＝6，∴＝＝，则∠F1PF2＝60°．19．【解答】（1）证明：设BD与AC的交点为O，连接EO．因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，所以EO∥PB．又因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC．（2）解：．由，可得AB＝2．作AH⊥PB交PB于H．由题设知AB⊥BC，P A⊥BC，且P A∩AB＝4，所以BC⊥平面P AB，又AH⊂平面P AB，所以BC⊥AH，又PB∩BC＝B，做AH⊥平面PBC．∵PB⊂平面PBC，∴AH⊥PB，在Rt△P AB中，由勾股定理可得，所以，所以A到平面PBC的距离为．20．【解答】（1）解：易知直线与抛物线的交点坐标为（4，﹣4），∴（﹣4）2＝2p×4，∴2p＝4，∴抛物线方程为y2＝4x．（2）解：由（1）知，抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线为l：x＝﹣1，则x A+1＝3，则A的横坐标为2．代入y2＝4x中，得y2＝8，不妨令，则直线l2的方程为，联立，消去y得2x2﹣5x+2＝0，可得，故S△AOB＝S△AOF+S△BOF＝＝21．【解答】证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC．（3分）又∵，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF⊂平面BEF，∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又∵平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC．（9分）∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，∴，（11分）∴，由AB2＝AE•AC得，∴，（13分）故当时，平面BEF⊥平面ACD．（14分）22．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），又∵P（0，1），且•＝﹣1，∴，解得a＝2，b＝，∴椭圆E的方程为：+＝1；（Ⅱ）结论：存在常数λ＝1，使得•+λ•为定值﹣3．理由如下：对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2＝0，∵△＝（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，从而•+λ•＝x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]＝（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1＝＝﹣﹣λ﹣2．∴当λ＝1时，﹣﹣λ﹣2＝﹣3，此时•+λ•＝﹣3为定值；②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时•+λ•＝+＝﹣2﹣1＝﹣3；故存在常数λ＝1，使得•+λ•为定值﹣3．。

2017-2018学年四川省乐山市四校联考高二（下）期中数学试卷（文科）一．选择题（每题5分，共60分）1．（5分）某学校为了了解高一、高二、高三三个年级的学生的课外阅读时间是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法2．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19B．20C．21.5D．233．（5分）一个正三棱锥的四个面上分别标有数字﹣2、﹣1、1、2，随机抛掷一次，记向下一面的数字为n，则函数y=﹣x3+nx在[1，+∞）上为减函数的概率为（）A．B．C．D．14．（5分）秦九韶（1208﹣1261年），字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省安岳县），南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9B．18C．20D．355．（5分）点P在边长为2的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|PA|＜2的概率为（）A．B．C．D．π6．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）7．（5分）设曲线y=ax﹣2ln（x+2）在点（0，f（0））处的切线方程垂直于直线x+2y=0，则a=（）A．0B．1C．2D．38．（5分）按如图程序框图，若输出结果为S=42，则判断框内应补充的条件为（）A．i＞3B．i＞5C．i＞7D．i＞99．（5分）向上抛掷一颗骰子1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件10．（5分）某校高二（16）班共有50人，如图是该班在四校联考中数学成绩的频率分布直方图，则成绩在[100，120]内的学生人数为（）A．36B．25C．22D．1111．（5分）已知a≥+lnx对任意x∈[，e]恒成立，则a的最小值为（）A．1B．e﹣2C．D．012．（5分）已知y=f（x）为R上的连续可导函数，当x≠0时，f′（x）+＞0，则关于x的函数g（x）=f（x）+的零点的个数为（）A．1B．0C．2D．0或2二．填空题（每题5分，共20分）13．（5分）某中学采用系统抽样方法，从该校高二年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是35，则在第1小组1～16中随机抽到的数是．14．（5分）为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得到如下实验数据，计算得回归直线方程为=0.95﹣0.15．由以上信息，得到下表中c的值为．15．（5分）已知总体的各个体的值从小到大为：﹣3、0、3、x、y、6、8、10，且总体的中位数为4．若要使该总体的方差最小，则2x﹣y=．16．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，则下列说法中正确结论的序号为．①当x=时函数取得极小值；②f（x）有两个极值点；③当x=2时函数取得极小值；④当x=1时函数取得极大值．三．解答题（17题10分，其余各题均12分，共70分）17．（10分）某厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C（x）=200x+（元），若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？18．（12分）央视记者柴静的《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出表中数据．（1）请画出表中数据的散点图；（画在答题卷上的坐标纸上）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归直线方程；（3）试根据（2）求出线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．（相关公式：，）19．（12分）已知函数f（x）=alnx++x（a≠0）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y=0垂直，求实数a 的值；（2）讨论函数f（x）的单调性．20．（12分）某企业招聘大学毕业生，经过综合测试，录用了14名女生和6名男生，这20名学生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），记成绩不小于80分者为A等，小于80分者为B等．（1）求女生成绩的中位数及男生成绩的平均数；（2）如果用分层抽样的方法从A等和B等中共抽取5人组成“创新团队”，则从A等和B等中分别抽几人？（3）在（2）问的基础上，现从该“创新团队”中随机抽取2人，求至少有1人是A等的概率．21．（12分）某校高安文科600名学生参加了12月的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、外语请客，利用随机数表法从抽取100名学生的成绩进行统计分析，将学生编号为000，001，002， (599)（1）若从第6行第7列的数开始右读，请你一次写出最先抽出的5个人的编号（下面是摘自随机数表的第4恒值第7行）；12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 3016 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 （2）抽出的100名学生的数学、外语成绩如下表：若数学成绩优秀率为35%，求m，n的值；（3）在外语成绩为良的学生中，已知m≥12，n≥10，求数学成绩优比良的人数少的概率．22．（12分）已知函数f（x）=e x+2x2﹣3x．（1）求证：函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点．（2）当x≥时，若关于x的不等式f（x）≥x2+（a﹣3）x+1恒成立，试求实数a的取值范围．2017-2018学年四川省乐山市四校联考高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（每题5分，共60分）1．（5分）某学校为了了解高一、高二、高三三个年级的学生的课外阅读时间是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经高一、高二、高三三个年级的学生的课外阅读时间是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．2．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19B．20C．21.5D．23【分析】根据中位数的定义进行求解即可．【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B．【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．3．（5分）一个正三棱锥的四个面上分别标有数字﹣2、﹣1、1、2，随机抛掷一次，记向下一面的数字为n，则函数y=﹣x3+nx在[1，+∞）上为减函数的概率为（）A．B．C．D．1【分析】随机抛掷一次，记向下一面的数字为n，则有{﹣2}，{﹣1}，{1}，{2}四种情况，利用导数和函数单调性的关系可得n≤1，即n可取{﹣2}，{﹣1}，{1}三种情况，根据局概率公式计算即可．【解答】解：一个正三棱锥的四个面上分别标有数字﹣2、﹣1、1、2，随机抛掷一次，记向下一面的数字为n，则有{﹣2}，{﹣1}，{1}，{2}四种情况，∵函数y=﹣x3+nx在[1，+∞）上为减函数，∴y′=﹣x2+n≤0在[1，+∞）上恒成立，∴n≤x2在[1，+∞）上恒成立，∴n≤1，∴n可取{﹣2}，{﹣1}，{1}三种情况，故函数y=﹣x3+nx在[1，+∞）上为减函数的概率为，故选：C．【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和古典概率的问题，属于中档题．4．（5分）秦九韶（1208﹣1261年），字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省安岳县），南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9B．18C．20D．35【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：由已知输入的x=2，n=3，故v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1，满足进行循环的条件，v=9，i=0，满足进行循环的条件，v=18，i=﹣1不满足进行循环的条件，故输出的v值为：18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答，属于基础题．5．（5分）点P在边长为2的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|PA|＜2的概率为（）A．B．C．D．π【分析】求出满足条件的正方形ABCD的面积，以及动点P到定点A的距离PA|≤2对应的平面区域面积，计算面积比即可．【解答】解：作出满足条件的正方形ABCD，如图所示；其中使得动点P到定点A的距离|PA|＜2的平面区域，是以A为圆心半径等于2的扇形ABD内部，如图中阴影所示；∵正方形的面积S=4，扇形ABD的面积S′=π•22=π；∴动点P到定点A的距离|PA|≤2的概率为P=．故选：C．【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．6．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【分析】求出导函数f′（x），由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．【解答】解：f′（x）=k﹣，∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴k≥，而y=在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是：[1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．7．（5分）设曲线y=ax﹣2ln（x+2）在点（0，f（0））处的切线方程垂直于直线x+2y=0，则a=（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据题意，求出函数f（x）的导数，计算可得f′（0）的值，由导数的几何意义可得切线斜率k=f′（0）=a﹣1，由直线垂直的判定方法可得a﹣1=2，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，曲线y=ax﹣2ln（x+2），其导数f′（x）=a﹣，有f′（0）=a﹣1，即切线的斜率k=f′（0）=a﹣1，又由切线方程垂直于直线x+2y=0，则有a﹣1=2，解可得a=3；故选：D．【点评】本题考查利用导数计算函数的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，8．（5分）按如图程序框图，若输出结果为S=42，则判断框内应补充的条件为（）A．i＞3B．i＞5C．i＞7D．i＞9【分析】由程序框图，写出每次循环i，S的取值，结合已知输出的结果为S=42即可确定判断框内应补充的条件．【解答】解：由程序框图知：i=1，S=0，S=0+2=2，i=1+2=3，不满足条件，执行循环体；S=2+8=10，i=2+3=5，不满足条件，执行循环体；S=10+32=42，i=5+2=7，满足条件，退出循环体，故判断框内应补充的条件为i＞5故选：B．【点评】本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．9．（5分）向上抛掷一颗骰子1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件【分析】利用互斥事件、对立事件的性质直接求解．【解答】解：向上抛掷一颗骰子1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则事件A与B能同时发生，故事件A与B不是互斥事件，故选A和B都不正确；事件B与事件C不能同时发生，但能同时不发生，故事件B与C是互斥而非对立事件，故选项C正确，选项D错误．故选：C．【点评】本题考查互斥事件的判断，考查互斥事件、对立事件的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．（5分）某校高二（16）班共有50人，如图是该班在四校联考中数学成绩的频率分布直方图，则成绩在[100，120]内的学生人数为（）A．36B．25C．22D．11【分析】由该班在四校联考中数学成绩的频率分布直方图，求出a=0.020，再求出成绩在[100，120]内的频率，由此能求出成绩在[100，120]内的学生人数．【解答】解：由该班在四校联考中数学成绩的频率分布直方图，得：（0.015+a+0.030+a+0.010+0.005）×10=1，解得a=0.020，成绩在[100，120]内的频率为：1﹣（0.015+0.020+0.010+0.005）×10=0.5，∴成绩在[100，120]内的学生人数为：0.5×50=25．故选：B．【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11．（5分）已知a≥+lnx对任意x∈[，e]恒成立，则a的最小值为（）A．1B．e﹣2C．D．0【分析】利用函数的导数求解函数的最大值然后推出a的最小值即可．【解答】解：a≥+lnx对任意x∈[，e]恒成立，只需求出y=+lnx的x ∈[，e]上的最大值，y′=，令x﹣1=0．可得函数的极值点为x=1，当x∈，y′＜0，函数是减函数；x∈（1，e），y′＞0，函数是增函数，所以函数y=+lnx在x=1时取得最大值：0．a≥+lnx对任意x∈[，e]恒成立，则a的最小值为0．故选：D．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．12．（5分）已知y=f（x）为R上的连续可导函数，当x≠0时，f′（x）+＞0，则关于x的函数g（x）=f（x）+的零点的个数为（）A．1B．0C．2D．0或2【分析】由题意可得，x≠0，因而g（x）的零点跟xg（x）的非零零点是完全一样的．当x＞0时，利用导数的知识可得xg（x）在（0，+∞）上是递增函数，xg（x）＞1恒成立，可得xg（x）在（0，+∞）上无零点．同理可得xg （x）在（﹣∞，0）上也无零点，从而得出结论．【解答】解：由于函数g（x）=f（x）+，可得x≠0，因而g（x）的零点跟xg（x）的非零零点是完全一样的，故我们考虑xg（x）=xf（x）+1 的零点．由于当x≠0时，f（x）+＞0，①当x＞0时，（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（f′（x）+）＞0，所以，在（0，+∞）上，函数x•g（x）单调递增函数．又∵[xf（x）+1]=1，∴在（0，+∞）上，函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，因此，在（0，+∞）上，函数x•g（x）=xf（x）+1 没有零点．②当x＜0时，由于（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（f′（x）+）＜0，故函数x•g（x）在（﹣∞，0）上是递减函数，函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，故函数x•g（x）在（﹣∞，0）上无零点．综上可得，函数g（x）=f（x）+在R上的零点个数为0，故选：B．【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，函数的零点，属中档题．二．填空题（每题5分，共20分）13．（5分）某中学采用系统抽样方法，从该校高二年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是35，则在第1小组1～16中随机抽到的数是7．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔，进行求解即可．【解答】解：从该校髙二年级全体800名学生中抽50名学生，则样本间隔为800÷50=16，则33〜48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1〜16中随机抽到的数39﹣32=7，故答案为：7．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．比较基础．14．（5分）为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得到如下实验数据，计算得回归直线方程为=0.95﹣0.15．由以上信息，得到下表中c的值为9．【分析】利用回归直线经过样本中心，从而求出c的值即可．【解答】解：=5，=．∵回归直线方程为=0.95﹣0.15．∴=5时，=0.95×5﹣0.15=4.6，∴=4.6，解得：c=9．故答案为：9．【点评】本题考查了回归直线方程问题，考查代入求值问题，是一道基础题．15．（5分）已知总体的各个体的值从小到大为：﹣3、0、3、x、y、6、8、10，且总体的中位数为4．若要使该总体的方差最小，则2x﹣y=4．【分析】根据这组数据的中位数的值，得到这组数据的最中间两个数字的和，把方差最小转化为二次函数求最值，则答案可求．【解答】解：由总体的中位数为4，则x+y=8，则平均数为，要使总体方差最小，只需使（x﹣3.5）2+（y﹣3.5）2最小．又∵（x﹣3.5）2+（y﹣3.5）2=（8﹣y﹣3.5）2+（y﹣3.5）2=（4.5﹣y）2+（y﹣3.5）2=2y2﹣16y+32.5，∴当y=4时，（x﹣3.5）2+（y﹣3.5）2取得最小值．又∵x+y=8，∴x=4，y=4，则2x﹣y=4．故答案为：4．【点评】本题考查中位数的求法，考查离散型随机变量方差的求法，是中档题．16．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，则下列说法中正确结论的序号为②③④．①当x=时函数取得极小值；②f（x）有两个极值点；③当x=2时函数取得极小值；④当x=1时函数取得极大值．【分析】由已知中导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），且为开口朝上的抛物线，分析出函数的单调性，并求出极值点，可得答案．【解答】解：由已知中导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），且为开口朝上的抛物线故当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，函数为增函数；当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，函数为减函数；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，函数为增函数；故f（x）有两个极值点，当x=1时函数取得极大值，当x=2时函数取得极小值故正确结论的序号为②③④故答案为：②③④【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，熟练掌握函数单调性及极值与导数的关系是解答的关键．三．解答题（17题10分，其余各题均12分，共70分）17．（10分）某厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C（x）=200x+（元），若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？【分析】先由题意建立利润L（x）的函数关系式，然后利用导数求函数的最值．【解答】解：设该厂生产x件这种产品的利润为L（x）元，则=，则，则由，解得x=60（件）．又当0≤x＜60时，L'（x）＞0，函数L（x）单调递增，当x＞60时，L'（x）＜0，函数L（x）单调递减，所以x=60是函数L（x）的极大值点，同时也是最大值点，所以当x=60时，L（x）=9500元．因此，要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9500元．【点评】本题的考点是利用导数解决生活中的优化问题，先建立函数关系，然后利用导数最值，要注意若函数在定义域内只有一个极值点，那么这个极值点也是最值点．18．（12分）央视记者柴静的《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出表中数据．（1）请画出表中数据的散点图；（画在答题卷上的坐标纸上）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归直线方程；（3）试根据（2）求出线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．（相关公式：，）【分析】（1）根据表中数据，画出散点图即可；（2）根据公式，计算线性回归方程的系数即可；（3）由线性回归方程预测x=9时，=7．【解答】解：（1）根据表中数据，画出散点图如图所示：（2）根据公式，计算x i y i=4×2+5×3+7×5+8×6=106，=（4+5+7+8）=6，=（2+3+5+6）=4，=42+52+72+82=154，则===1；=﹣=4﹣6=﹣2，所以线性回归方程为=x+=x﹣2，（3）由线性回归方程可以预测，燃烧烟花爆竹的天数为x=9时，雾霾天数为=9﹣2=7天．【点评】本题考查了统计知识中的画散点图与求线性回归方程的应用问题，解题的关键是求出线性归回方程中的系数，是基础题目．19．（12分）已知函数f（x）=alnx++x（a≠0）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y=0垂直，求实数a 的值；（2）讨论函数f（x）的单调性．【分析】（1）先求导函数，然后根据曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y=0垂直则f′（1）=﹣2，从而可求出a的值；（2）确定函数的定义域，求导函数，利用导数的正负，分类讨论，即可求得函数f（x）的单调性．【解答】解：（1）f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=﹣+1（x＞0）根据题意，有f′（1）=﹣2，所以2a2﹣a﹣3=0，解得a=﹣1或a=；（2）f′（x）=（x＞0）（1）当a＞0时，因为x＞0，由f′（x）＞0得（x﹣a）（x+2a）＞0，解得x＞a；由f′（x）＜0得（x﹣a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜a．所以函数f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减；（2）当a＜0时，因为x＞0，由f′（x）＞0得（x﹣a）（x+2a）＞0，解得x＞﹣2a；由f′（x）＜0得（x﹣a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜﹣2a．所以函数f（x）在（﹣2a，+∞）上单调递增，在（0，﹣2a）上单调递减．【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调区间，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）某企业招聘大学毕业生，经过综合测试，录用了14名女生和6名男生，这20名学生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），记成绩不小于80分者为A等，小于80分者为B等．（1）求女生成绩的中位数及男生成绩的平均数；（2）如果用分层抽样的方法从A等和B等中共抽取5人组成“创新团队”，则从A等和B等中分别抽几人？（3）在（2）问的基础上，现从该“创新团队”中随机抽取2人，求至少有1人是A等的概率．【分析】（1）利用中位数、平均值的意义即可得出；（2）利用分层抽样，即可求出，（3）利用列举法，古典概型的计算公式即可得出．【解答】解：（1）女生共14人，中间两个成绩是75和76，它们的平均数为75.5．因此女生的成绩的中位数是75.5．男生的平均成绩（69+76+78+85+87+91）=81（2）成绩不小于80分者为A等的有8人，小于80分者为12人，用分层抽样的方法从A和B中抽取5人，每个人被抽中的概率是=，故A等中抽取×8=2，B等中抽取×12=3，（3）记选中的A等的大学毕业生A1，A2，选中的B等的大学毕业生为B，C，D．从这5人中选2人的所以可能情况为：（A1，A2），（A1，B），（A1，C），（A1，D），（A2，B），（A2，C），（A2，D），（B，C），（B，D），（C，D），共10种．其中至少有1人是A等的结果有7种．因此，至至少有1人是A等的概率是，【点评】熟练掌握中位数、平均值的意义、分层抽样及列举法、古典概型的计算公式是解题的关键．21．（12分）某校高安文科600名学生参加了12月的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、外语请客，利用随机数表法从抽取100名学生的成绩进行统计分析，将学生编号为000，001，002， (599)（1）若从第6行第7列的数开始右读，请你一次写出最先抽出的5个人的编号（下面是摘自随机数表的第4恒值第7行）；12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 （2）抽出的100名学生的数学、外语成绩如下表：若数学成绩优秀率为35%，求m，n的值；（3）在外语成绩为良的学生中，已知m≥12，n≥10，求数学成绩优比良的人数少的概率．【分析】（1）利用随机数表法能求出最先抽出的5人的编号．（2）由频率=，能求出m，n．（3）由题意m+n=35，且m≥12，n≥10，由此利用列举法能求出数学成绩优比良的人数少的概率．【解答】解：（1）从第6行第7列的数开始右读，最先抽出的5人的编号依次为：544，354，378，520，384．（2）由，解得m=18，∵8+9+8+18+n+9+9+11+11=100，解得n=17．（3）由题意m+n=35，且m≥12，n≥10，∴满足条件的（m，n）有：（12，23），（13，22），（14，21），（15，20），（16，19），（17，18），（18，17），（19，16），（20，15），（21，14），（22，13），（23，12），（24，11），（25，10），共14种，且每种出现都是等可能的，记“数学成绩优比良的人数少”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（12，23），（13，22），（14，21），（15，20），（16，19），（17，18），共6种，∴P（M）=．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意随机数表法、列举法的合理运用．22．（12分）已知函数f（x）=e x+2x2﹣3x．（1）求证：函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点．（2）当x≥时，若关于x的不等式f（x）≥x2+（a﹣3）x+1恒成立，试求实数a的取值范围．【分析】（1）求得f（x）的导数，判断单调性，计算x=0，1的导数值，由零点存在定理即可得证；（2）由题意可得a≤﹣x﹣的最小值，求得g（x）=﹣x﹣的导数，由e x≥x+1＞0，可得g（x）的单调性，求得最小值，即可得到所求范围．【解答】解：（1）证明：函数f （x）=e x+2x2﹣3x的导数为f′（x）=e x+4x﹣3，在（0，1）递增，可得f′（0）=1﹣3=﹣2＜0，f′（1）=e+4﹣3=e+1＞0，即有函数f （x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；（2）当x≥时，若关于x的不等式f （x）≥x2+（a﹣3）x+1恒成立，即为a≤﹣x﹣的最小值，由g（x）=﹣x﹣的导数g′（x）=﹣+，由y=e x﹣x﹣1的导数为y′=e x﹣1，可得x＞0，函数y=e x﹣x﹣1递增，x＜0时，函数y递减，则e x﹣x﹣1≥0，且e x≥x+1＞0，则﹣+≥﹣+=＞0，则g（x）在[，+∞）递增，可得g（）取得最小值，且为2e﹣，则a≤2e﹣．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数零点存在定理和参数分离、构造函数法，考查不等式恒成立问题解法，属于中档题．。

乐山市高中2018届教学质量检测试题（数学含文理科）考试时间2017年1月11日一、选择题（每题5分，共60分）1.命题“对任意的x∈R,都有|x|≥0”的否定为（）A.对任意的x∈R,都有|x|<0B.不存在x∈R,都有|x|<0C.存在x0∈R,都有|x0|≥0D. 存在x0∈R,都有|x0|<02.直线x+y−1=0与圆x2+(y−a)2=2相切，则实数a的范围是（）A.-1B.3C.-1或3D.-3或13.“−3<a<−1”是“方程x 2a+3+y21−a=1表示椭圆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设P为圆(x+1)2+y2=1上的动点，PQ是圆的切线，且|PQ|=1，则Q点的轨迹方程为（）A.(x+1)2+y2=4B.(x+1)2+y2=2C. x2+(y+1)2=1D.x2+(y+1)2=45.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥α或n⊥βB.若m不垂直与α,则m不可能垂直于α内的无数条直线C.若α∩β=m,n∥m,且n⊄α,n⊄β,则n‖α且n‖βD.若α⊥β,n∥m,n⊥β,则m‖α6.已知直线L：y=kx+√3k与双曲线C:x 22−y2=1的左支交于A、B两点，F1、F2分别是双曲线C的左、右焦点，若△ABF2的周长为8√2，则|AB|=（）7.如图已知△ABC 的直观图是边长为a 的等边三角形A 1B 1C 1，那么原三角形的，面积为（ ）A.√32a 2 B. √34a 2 C. √62a 2D.√6a 28.（理科）已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为L ，P 是L 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点。

若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|QF |=（ ） A.83B.43C. 72D. 52（文科）过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线与A 、B 两点，若|AF |=5，则|BF |=（ ）A ．54B. 14C.1D.29.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.28π3B.16π3C. 4π3+8 D.12π10已知双曲线x 24−y 2=1，直线L 过点P （3,1）交双曲线与P 1，P 2两点，若P1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线L 方程为（ ）A.4x −3y −5=0B. 4x −3y +5=0C. 3x −4y −5=0D. 3x −4y +5=011.（理）已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等，A 1在地面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则直线AB 1与底面ABC 所成角的正弦值为（ ） A. 13B. √23C. √33D. 23Y A OB C x 原图A 1 y 1O 1B 1C 1 x 1 直观图与平面B 1DC 所成角的正弦值为（ ）A. 35 B. 45 C. 34 D. √5512.（理）已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0，b >0)的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的外圆，则双曲线的取值范围是A.(1，√2)B.(√2，√3)C. (√3，2)D. (2，+∞) （文）设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|+|PF 2|=2b ，|PF 1|·|PF 2|=83ab ，则该双曲线的离心率为（ ） A.√103B.√10C.3D.2 二、填空题（每题5分，共20分）13.若抛物线y 2=2Px 的准线方程为x =12，则P = .14.一个六棱锥的体积为2√3，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 .15.(理)直线3x −4y +4=0与抛物线x 2=4y 和圆x 2+(y −1)2=1从左到右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |的值为 .（文）已知F 是抛物线x 2=4y 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |+|BF |=5，则线段AB 的中点到x 轴的距离为 .16.点P 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，给出 下列4个命题：①三棱锥A −D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1；③DP ⊥BC 1；④ 平面PDB 1⊥平面ACD 1 D CA BPD1 C1三、解答题：（除第17题10分，其余题12分，共70分）17.已知命题P ：关于x 的不等式a x >1(a >0,a ≠1)的解集是{x |x <0},命题q ：函数y =lg (ax 2−x +a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围.18.已知点A (−√3,0)和点B (√3，0)，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线y =x −2交于D 、E 两点， （1）求动点C 的轨迹方程； （2）求线段DE 的长.19.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2，E 为棱CC 1的中点. （1）求证：B 1D 1⊥AE ； （2）求证：AC ∥平面B 1DE .20.已知直线AB 与抛物线y 2=2Px （P >0）交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，OD ⊥AB 于点D ，点D 的坐标为（2,1），求抛物线的方程.21．（理）如图，三棱锥P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC=3，∠ACB=π2，D 、E 分别为线段AB 、BC 上的点，且CD=DE=√2，CE=2EB=2. （1）证明：DE ⊥平面PCD ； （2）求二面角A-PD-C 的余弦值.E D CA BD 1 C 1A 1B 1（文）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA=2√3， BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=π3.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若侧棱PC 上的点F 满足PF=7FC ， 求三棱锥P-BDF 的体积.22.（理）已知椭圆分别是x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴与点Q ，且2F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，过A 、Q 、F 2三点的圆半径为2，过定点M （0,2）的直线L 与椭圆C 交于G 、H 两点（G 在M 、H 之间）. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线L 的斜率k >0，在x 轴上是否存在点P （m ，0），使得以PG 、PH 为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由。