高三数学一轮复习 两角和与差的三角函数巩固与练习

第四章第四章　三角函数、解三角形第三讲　两角和与差的三角函数　二倍角公式第一课时　三角函数公式的基本应用知识梳理·双基自测名师讲坛·素养提升考点突破·互动探究知 识 梳 理知识点一　两角和与差的正弦、余弦和正切公式知识点二　二倍角的正弦、余弦、正切公式1．sin 2α＝_________________；2．cos 2α＝________________＝__________－1＝1－__________；2sin αcos αcos 2α－sin 2α2cos 2α2sin 2α知识点三　半角公式(不要求记忆)双 基 自 测题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( )√××(4)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( )[解析]　根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知(2)(3)(4)(5)是错误的，(1)是正确的．××题组二　走进教材2．(必修1P219例4改编)计算sin 43°cos 13°＋sin 47°cos 103°的结A果等于( )A题组三　走向高考DD－2三角函数公式的直接应用——自主练透DBA名师点拨：1．使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. 2．使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.三角函数公式的逆用与变形用——多维探究角度1　公式的逆用C角度2　公式的变形应用BDA名师点拨：1．注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．2．熟记三角函数公式的2类变式(1)和差角公式变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)．(2)倍角公式变形：【变式训练】DBA．5 B．4 C．3 D．2角的变换与名的变换——师生共研BBCA．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1名师点拨：2．名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.A。

2016届 高三数学一轮基础巩固 第4章 第4节 两角和与差的三角函数 新人教B 版一、选择题1．(文)(2015·烟台市期中)log2sin π12＋log2cos π12的值为( ) A ．－2 B ．－1C.12 D ．1 [答案] A[解析] log2sin π12＋log2cos π12＝log2(sin π12cos π12) ＝log2(12sin π6)＝log214＝－2.(理)(2014·浙江温州一适)已知sin2α＝13，则cos2(α－π4)＝( ) A.13 B ．－13C.23 D ．－23 [答案] C[解析] cos2(α－π4)＝1＋cos 2α－π22＝1＋sin2α2＝1＋132＝23，故选C. 2．(2014·新课标Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tanα＝1＋sinβcosβ，则( ) A ．3α－β＝π2 B ．3α＋β＝π2 C ．2α－β＝π2 D ．2α＋β＝π2 [答案] C[解析] 解法1：当2α－β＝π2时，β＝2α－π2， 所以1＋sin 2α－π2cos 2α－π2＝1－cos2αsin2α＝2sin2αsin2α＝tanα.解法2：∵tanα＝sinαcosα＝1＋sinβcosβ， ∴sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sin(π2－α)，∵α、β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2. 3．(文)在△ABC 中，C ＝120°，tanA ＋tanB ＝233，则tanAtanB 的值为( ) A.14 B ．13 C.12 D ．53[答案] B[解析] ∵C ＝120°，∴A ＋B ＝60°， ∴tan(A ＋B)＝tanA ＋tanB1－tanAtanB ＝3，∵tanA ＋tanB ＝233，∴tanAtanB ＝13.(理)(2014·湖北重点中学联考)若tanα＝lg(10a)，tanβ＝lg(1a )，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( ) A ．1B ．110C ．1或110D ．1或10[答案] C[解析] ∵tanα＝lg(10a)＝1＋lga ， tanβ＝lg(1a )＝－lga ， ∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝1＋lga ＋－lga 1－－lga ·1＋lga ＝11＋lga ＋lg2a＝1，∴lg2a ＋lga ＝0，∴lga ＝0或－1. ∴a ＝1或110.4．(2014·河北衡水中学五调)已知sin(α＋π3)＋sinα＝－435，－π2<α<0，则cos(α＋2π3)等于( ) A ．－45 B ．－35 C.45 D ．35 [答案] C[解析] ∵sin(α＋π3)＋sinα＝－435，－π2<α<0， ∴32sinα＋32cosα＝－435，∴32sinα＋12cosα＝－45.∴cos(α＋2π3)＝cosαcos 2π3－sinαsin 2π3 ＝－12cosα－32sinα＝45.5．(文)(2014·四川成都五校联考)已知锐角α满足cos2α＝cos(π4－α)，则sin2α等于( ) A.12 B ．－12 C.22D ．－22[答案] A[解析] ∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)，π4－α∈(－π4，π4)． 又cos2α＝cos(π4－α)， ∴2α＝π4－α或2α＋π4－α＝0， ∴α＝π12或α＝－π4(舍)， ∴sin2α＝sin π6＝12，故选A.(理)设α、β都是锐角，且cosα＝55，sin(α＋β)＝35，则cosβ＝( ) A.2525B ．255C.2525或255 D ．55或525 [答案] A[解析] 依题意得sinα＝1－cos2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin2α＋β＝±45.又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cosα>cos(α＋β)，因为45>55>－45， 所以cos(α＋β)＝－45.cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－45×55＋35×255＝2525，选A. 6．(2013·池州期末)已知θ是△ABC 中的最小角，则sin(θ＋π3)的取值范围是( ) A ．(32，1] B ．[32，1]C ．(12，1] D ．[12，1][答案] B[解析] ∵θ是△ABC 中的最小角，不妨设B ＝θ，则0<θ≤A,0<θ≤C ，∴0<3θ≤A ＋B ＋C ＝π，即0<θ≤π3. ∴π3<θ＋π3≤2π3，∴sin(θ＋π3)的取值范围是[32，1]，故选B. 二、填空题7．(2014·陕西咸阳质检)已知α∈(0，π2)，且2s in2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则sin α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________. [答案]268[解析] ∵α∈(0，π2)，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)(sinα＋cosα)＝0，∴2sinα＝3cosα，又∵sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝213，sinα＝313，∴sin α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22sinα＋cosαsinα＋cosα2＋cos2α－sin2α＝268.8．函数y ＝cos(π3－2x)＋sin(π2－2x)的最小正周期为________． [答案] π[解析] y ＝cos π3cos2x ＋sin π3sin2x ＋cos2x ＝32cos2x ＋32sin2x ＝3(32cos2x ＋12sin2x) ＝3sin(2x ＋π3)，∴T ＝π.9．(文)下列命题：①存在α、β∈R ，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ；②存在φ∈R ，使f(x)＝cos(3x ＋φ)为奇函数；③对任意α，β∈(0，π2)，若tanα·tanβ<1，则α＋β<π2；④△ABC 中，sinA>sinB 的充要条件是A>B.其中真命题的序号是________．[答案] ①②③④[解析] ①α＝0，β＝π3时，原式成立； ②φ＝π2时，f(x)为奇函数；③∵tanα·tanβ<1，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sinα·sinβcosα·cosβ<1，∴sinα·sinβ<cosα·cosβ， ∴cos(α＋β)>0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β<π2；④在△ABC 中，A>B ⇔a>b ⇔2RsinA>2RsinB ⇔sinA>sinB(其中R 为△ABC 外接圆的半径)． (理)(2015·新乡、许昌、平顶山调研)设函数f(x)＝1＋sin2x ，g(x)＝2cos2x ＋m ，若存在x0∈[0，π2]，f(x0)≥g(x0)，则实数m 的取值范围是________．[答案] m≤ 2[解析] 由f(x)≥g(x)得1＋sin2x≥2cos2x ＋m ，∴m≤sin2x －cos2x ， ∵y ＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)， 当x ∈[0，π2]时，y ∈[－1，2]，∴若存在x0∈[0，π2]，使f(x0)≥g(x0)，则m≤ 2.三、解答题 10．(2014·湖北理，17)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ [解析] (1)因为f(t)＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t)＝10－2sin(π12t ＋π3)． 又0≤t<24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin(π12t ＋π3)≤1.当t ＝2时，sin(π12t ＋π3)＝1；当t ＝14时，sin(π12t ＋π3)＝－1.于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. (2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2sin(π12t ＋π3)，故有10－2sin(π12t ＋π3)>11，即sin(π12t ＋π3)<－12. 又0≤t<24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t<18. 在10时至18时实验室需要降温.一、选择题11．(2014·广东中山一模)已知cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈(0，π2)，则cos(α－β)的值等于( ) A ．－12 B ．12 C ．－13 D ．2327 [答案] D[解析] ∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)． ∵cosα＝13，∴cos2α＝2cos2α－1＝－79， ∴sin2α＝1－cos22α＝429，而α，β∈(0，π2)， ∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝223， ∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β) ＝(－79)×(－13)＋429×223＝2327.12．设动直线x ＝a 与函数f(x)＝2sin2(π4＋x)和g(x)＝3cos2x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN|的最大值为( ) A. 2 B ． 3 C ．2 D ．3 [答案] D[解析]易知|MN|＝|f(a)－g(a)|＝|2sin2(π4＋a)－3cos2a| ＝|1－cos(π2＋2a)－3cos2a| ＝|1＋2sin(2a －π3)|≤3，即最大值是3.13．(2015·山东菏泽期中)函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A>0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin2x 的图象，则只要将f(x)的图象( )A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度 [答案] A[解析] 由图象知A ＝1，T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π， ∴ω＝2πT ＝2，∴f(x)＝sin(2x ＋φ)，∵f(7π12)＝－1， ∴sin(7π6＋φ)＝－1，∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f(x)＝sin(2x ＋π3)．要得到g(x)＝sin2x 的图象，需将f(x)的图象右移π6个单位，故选A. 14．(2014·青岛模拟)若(4tanα＋1)(1－4tanβ)＝17，则tan(α－β)等于( ) A.14 B ．12C ．4D ．12 [答案] C[解析] 由已知得4tanα－16tanαtanβ＋1－4tanβ＝17， ∵tanα－tanβ＝4(1＋tanαtanβ)， ∴tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝4.二、填空题15．(2015·江西赣州博雅文化学校月考)α，β∈(0，π4)，cos(2α－β)＝32，sin(α－2β)＝－12，则cos(α＋β)的值等于________． [答案] 12[解析] ∵α、β∈(0，π4)，∴－π4<2α－β<π2，－π2<α－2β<π4，0<α＋β<π2，sin(α－2β)＝－12<0， ∴sin(2α－β)＝±12，cos(α－2β)＝32，若sin(2α－β)＝－12，则cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝32×32＋(－12)×(－12)＝1与0<α＋β<π2矛盾， ∴sin(2α－β)＝－12，∴cos(α＋β)＝12.16．(文)(2013·湖南师大附中月考)计算：tan12°－34cos212°－2sin12°＝________.[答案] －4[解析] 原式＝sin12°cos12°－322cos212°－1sin12°＝sin12°－3cos12°2sin12°cos12°cos24° ＝212sin12°－32cos12°sin24°cos24° ＝2sin 12°－60°12sin48°＝－4. (理)(2014·甘肃酒泉模拟)3tan12°－34cos212°－2sin12°＝________.[答案] －4 3[解析] 原式＝3·sin12°cos12°－322cos212°－1sin12°＝2312sin12°－32cos12°cos12°2cos24°sin12° ＝23sin －48°2cos24°sin12°cos12°＝－23sin48°sin24°cos24°＝－23sin48°12sin48°＝－4 3.三、解答题17．(文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知tanB ＝12，tanC ＝13，且c ＝1.(1)求tan(B ＋C)的值； (2)求a 的值．[解析] (1)因为tanB ＝12，tanC ＝13， 所以tan(B ＋C)＝tanB ＋tanC1－tanBtanC＝12＋131－12×13＝1.(2)因为A ＝180°－B －C ，tanA ＝tan[180°－(B ＋C)] ＝－tan(B ＋C)＝－1，又0°<A<180°，所以A ＝135°.因为tanC ＝13>0，且0°<C<180°， 所以sinC ＝1010.由a sinA ＝c sinC 得，a sin135°＝11010，∴a ＝ 5.(理)已知0<α<π2，π2<β<π，且tan α2＝12，sin(α＋β)＝513. (1)求cosα和cosβ的值； (2)求tan α－β2的值．[解析] (1)∵tan α2＝12，∴tanα＝2tan α21－tan2α2＝43，∴sinα＝43cosα，代入sin2α＋cos2α＝1中消去sinα得，cos2α＝925，∵0<α<π2，∴cosα＝35，∴sinα＝45，∵π2<α＋β<3π2，sin(α＋β)＝513>0，∴π2<α＋β<π， ∴cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1213，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝－1213×35＋513×45＝－1665.∴cosα和cosβ的值依次为35和－1665. (2)由(1)知cosβ＝－1665，又已知π2<β<π， ∴sinβ＝6365，∴tanβ＝－6316.∴2tan β21－tan2β2＝－6316，∵π2<β<π，∴tan β2>0，∴tan β2＝97， ∴tan α－β2＝tan α2－tan β21＋tan α2·tan β2＝12－971＋12×97＝－1123.18．(文)(2014·广东东莞一模)已知f(x)＝2cos x 2(3sin x 2＋cos x2)－1，x ∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设α，β∈(0，π2)，f(α)＝2，f(β)＝85，求f(α＋β)的值．[解析] (1)f(x)＝3sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋π6)，f(x)的最小正周期T ＝2π. (2)∵2sin(α＋π6)＝2，∴sin(α＋π6)＝1， ∵π6<α＋π6<2π3，∴α＋π6＝π2，∴α＝π3.∵2sin(β＋π6)＝85，∴sin(β＋π6)＝45， ∵π6<β＋π6<2π3，45<32， ∴π6<β＋π6<π2，cos(β＋π6)＝35， ∴f(α＋β)＝2sin(α＋β＋π6) ＝2sin(π2＋β)＝2cosβ ＝2cos[(β＋π6)－π6]＝2cos(β＋π6)cos π6＋2sin(β＋π6)sin π6＝33＋45.(理)(2014·北京海淀一模)已知函数f(x)＝2sin π6x·cos π6x ，过两点A(t ，f(t))，B(t ＋1，f(t ＋1))的直线的斜率记为g(t)． (1)求g(0)的值；(2)写出函数g(t)的解析式，求g(t)在[－32，32]上的取值范围．[解析] (1)f(x)＝sin π3x ，g(0)＝f 1－f 01＝sin π3－sin0＝32.(2)g(t)＝ft ＋1－f tt ＋1－t＝sin(π3t ＋π3)－sin π3t＝sin π3tcos π3＋cos π3tsin π3－sin π3t ＝－12sin π3t ＋32cos π3t ＝－sin(π3t －π3)， 因为t ∈[－32，32]，所以π3t －π3∈[－5π6，π6]，所以sin(π3t －π3)∈[－1，12]，所以g(t)在[－32，32]上的取值范围是[－12，1]．。

(1)熟记公式结构特征以及符号规律.
(2)注意与诱导公式、同角三角函数关系式相结合综合应用.
(3)注意配方法、因式分解、整体换元思想的运用.
对点训练1(1) 已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=(
A.
5
3
2
B.3
1
C.
3
(2)若
D.
3
tan(α-β)=2,tan
5
1+tan
(2)由已知得 2tan θ=7,即 tan2θ-4tan θ+4=0,解得
1-tan
1
1
(3)对于 A,sin 15°cos 15°=2sin 30°=4,A 项错误;
tan θ=2.
对于B,sin 75°cos 15°+cos 75°sin 15°=sin(75°+15°)=sin 90°=1,B项正确;
12
(2)若 3sin α-sin β=
π
8
π
1-ta n 2
8
D.
tan
π
10,α+β= ,则
2
sin α=
,cos 2β=
.
3 10
(2)
10
答案 (1)AD
4
5
17π
π
π
π
解析(1)A,sin =sin(2π+π- )=sin(π- )=sin
6
6
6
6
π
π
B,sin12 cos12
C,cos
)
)
1+cos40°
(3)由于 cos 40°=2cos 20°-1,所以 cos 20°=±

第1页共24页2024年高考数学一轮复习第4章第3讲：两角和与差的正弦余弦和正切公式学生版考试要求 1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；(2)公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(3)公式S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；(4)公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；(5)公式T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β；(6)公式T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β.(√)(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(×)(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)。