两角和与差的三角函数

两角和与差的三角函数公式的证明数学三角函数两角和与差单位圆托勒密定理利用单位圆方法证明sin（α+β）= …与cos（α+β）= …，是进一步证明大部分三角函数公式的基础。

1、sin（α+β）=sinαcosβ+ cosαsinβ在笛卡尔坐标系中以原点O为圆心作单位圆，在单位圆中作以下线段：如图中所示，容易看出：sin（α+β）=CF；sinα=AB；cosα=OB； sinβ=CD；cosβ=OD 则：----------------------------------------------------------------------------------------------平面几何的证明方法：如图所示，过程见下面的【评论】中新浪网友的提示（非常感谢这位网友的提示，让我们看到了证明一个定理的多种途径，真是妙不可言！）----------------------------------------------------------------------------------附：如何证明托勒密定理？见 /69610635.html/b/2459822.html托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

原文：圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．（具体的推导方法详见数学目录下的博文，来自网友的提供！）思路：托勒密定理在平面几何中赫赫有名，其难点在于：把一条对角线分割成两条线段DE和BE。

第一步证明一对旋转的三角形相似：△ABE∽△ACD；第二步还需要证一对旋转的三角形相似△ADE∽△ACB；只有这两对相似的三角形出来了才能得到结论。

证明：以AB为边，作一个角等于已知角：即∠BAE=∠DAC；在ΔABE和ΔACD中，∵∠BAE=∠DAC；∠ABE=∠ACD；∴△ABE∽△ACD；∴ AB·DC=BE·AC①∵∠BAE=∠DAC；∴∠DAE=∠CAB；在ΔADE和ΔACB中，∵∠ADE=∠ACB；∠DAE=∠CAB；∴△ADE∽△ACB；∴ AD·BC=DE·AC②∴①+②得：AB·DC+ AD·BC= BE·AC+ DE·AC=（BE+DE）·AC=BD·AC。

两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式是指在给定两个角的情况下，通过公式计算它们的和或差的三角函数值的关系式。

这些公式在解决三角函数的实际问题和简化计算中起着重要的作用。

本文将介绍两角和与差的三角函数公式的基本知识点，包括公式的推导、证明和应用。

一、两角和与差的三角函数公式的推导1.两角和的公式对于两个角A和B，其正弦、余弦和正切的和公式如下：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这些公式可以通过将和角的正弦、余弦和正切分别展开为各自的和差形式，然后进行合并得到。

以正弦和公式为例，我们可以化简如下：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB由正弦的和差公式可得：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB= (sinAcosB + cosAsinB)(cosAcosB – sinAsinB)/(cosAcosB –sinAsinB)= sinAcosBcosAcosB – sinAsinBcosAcosB + cosAsinBcosAcosB –cosAsinBsinAsinB/(cosAcosB – sinAsinB)= sinAcosBcosAcosB – sinAsinBcosAcosB + cosAsinBcosAcosB –cosAsinBsinAsinB/(cos^2A - sin^2B)= sinAcos^2B - sinAsin^2B + cos^2AsinB - cosBsinA/(cos^2A - sin^2B)= sinA(cos^2B - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)/(cos^2A - sin^2B)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)/(cos^2A - sin^2B)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)2.两角差的公式对于两个角A和B，其正弦、余弦和正切的差公式如下：sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)同样，这些公式也可以通过将差角的正弦、余弦和正切展开为各自的差和比值形式，然后进行合并得到。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点要求(1)和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． (2)二倍角的三角函数公式①能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式．②利用两角和的公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．公式的变形 公式T (α±β)的变形：(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)． (2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin_αcos_α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 4．公式C 2α的变形(1)sin 2α＝12(1－cos 2α)．(2)cos 2α＝12(1＋cos 2α)．5.公式的逆用(1)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2. (2)sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．题型一 给角求值1．(2015·高考全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－32B.32 C ．－12 D.12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12.答案：D 2.2cos 10°sin 70°－tan 20°＝( )A. 3B.3－12 C ．1 D.32解析：利用三角函数公式求解.2cos 10°sin 70°－tan 20°＝2cos 10°cos 20°－sin 20°cos 20°＝2cos 30°－20°－sin 20°cos 20°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 20°＋12sin 20°－sin 20°cos 20°＝3，故选A.答案：A题型二 给值求值问题1. (1)(2015·高考重庆卷)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17B.16C.57D.56[解析] tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋tan β1－13tan β＝12，解得tan β＝17.[答案] A2.(2016·贵阳一模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( )A.79B.13 C ．－13 D ．－79[解析] 法一：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝79，∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－79.法二：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13， ∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝29－1＝－79.[答案] D3．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A ．－13B ．－23 C.13 D.23解析：∵cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝23.答案：D4．已知α为第二象限角，cos α＝－35，则tan 2α的值为( )A.2425 B.247 C ．－247 D ．－2425解析：因为α为第二象限角， 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， 所以tan α＝sin αcos α＝－43，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－431－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝247.题型三 三角函数式的化简1.化简(0＜θ＜π).【解析】因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以原式＝＝＝－cos θ.【点拨】先从角度统一入手，将θ化成θ2，然后再观察结构特征，如此题中sin2θ2－cos2θ2＝－cos θ. 2.化简2cos4x －2cos2x ＋122tan(π4－x)sin2(π4＋x).θθθθθ cos 22)2cos 2 )(sin cos sin 1(+-++2cos 2)2cos 2 )(sin 2 cos 22 cos 2 sin 2(22θθθθθθ-+2cos 2)2cos 2 (sin 2 sin 222θθθθ-【解析】原式＝12(2cos2x －1)22tan(π4－x)cos2(π4－x)＝cos22x 4cos(π4－x)sin(π4－x)＝cos22x 2sin(π2－2x)＝12cos 2x.3. 三角函数式的求值【例2】已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值； (2)求cos 2x2cos(π4＋x)sin x的值.【解析】(1)由sin x 2－2cos x 2＝0⇒tan x2＝2，所以tan x ＝＝2×21－22＝－43.(2)原式＝cos2x －sin2x 2(22cos x －22sin x)sin x [＝(cos x －sin x)(cos x ＋sin x)(cos x －sin x)sin x ＝cos x ＋sin x sin x ＝1tan x ＋1＝(－34)＋1＝14.【变式训练2】2cos 5°－sin 25°sin 65°＝ .【解析】原式＝2cos(30°－25°)－sin 25°cos 25°＝3cos 25°cos 25°＝ 3.4.已知f(x)＝1－x ，θ∈(3π4，π)，则f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝ .【解析】f(sin 2θ)＋f(－si n 2θ)＝1－sin 2θ＋1＋sin 2θ＝(sin θ－cos θ)2＋(sin θ＋cos θ)2＝|sin θ－co s θ|＋|sin θ＋cos θ|.因为θ∈(3π4，π)，所以sin θ－cos θ＞0，sin θ＋cos θ＜0.所以|sin θ－cos θ|＋|sin θ＋cos θ|＝sin θ－cos θ－sin θ－cos θ＝－2cos θ.题型四 三角函数式的简单应用问题1.】已知－π2＜x ＜0且sin x ＋cos x ＝15，求：(1)sin x －cos x 的值；(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)的值.【解析】(1)由已知得2sin xcos x ＝－2425，且sin x ＜0＜cos x ，所以sin x －cos x ＝－(sin x －cos x)2＝－1－2sin xcos x ＝－1＋2425＝－75. (2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x )＝cos3x －sin3x ＝(cos x －sin x)(cos2x ＋cos xsin x ＋s in2x)2tan 12tan 22xx＝75×(1－1225)＝91125. 【点拨】求形如sin x ±cos x 的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sin x ±cos x 取值符号. 2.化简1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.【解析】原式＝1－[(cos2α＋sin2α)2－2sin2αcos2α]1－[(cos2α＋sin2α)(cos4α＋sin4α－sin2αcos2α)]＝2sin2αcos2α1－[(cos2α＋sin2α)2－3sin2αcos2α]＝23.总结提高1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具. (1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题； (2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”；(3)掌握角的演变规律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.题组 基础能力提升1、已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A ．－1－k 2B ．1－k 2C ．±1－k 2D ．－k【答案】A【解析】由cos α＝k ，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π得sin α＝1－k 2，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－1－k 2.故选A.2、已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B ．3715 C.3720D ．1315【答案】D【解析】.∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315.故选D.3、已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ＝( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3【答案】D【解析】∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3. ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.4、已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( )A.34 B ．－34C.43 D ．－43【答案】B【解析】因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34.故选B.5、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A.2 23B ．－223C ．13D ．－13【答案】D【解析】∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 6、若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，则θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B【解析】∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ>0，所以θ是第二象限角，故选B.7、已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( ) A ．150° B ．135° C ．300° D ．60°【答案】C【解析】因为sin 150°＝12>0，cos 150°＝－32<0，所以角α终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，又0°≤α<360°，所以角α的值是300°，故选C. 8、已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15B ．－35C ．15D ．35【答案】B9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43 B.34 C ．－34D ．±34解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35，显然α在第三象限，所以cos α＝－45，故tan α＝34.答案：B10．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )A.355 B.377C.31010D.13解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.答案：C11．(2015·枣庄模拟)已知cos α＝15，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan α＋πcos －αtan α的值为( )A ．2 6B ．－2 6C ．－612D.612解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan α＋πcos －αtan α＝－sin αtan αsin α＝－cos αsin α，∵cos α＝15，－π2<α<0，∴sin α＝－265，原式＝612.答案：D12．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12 D ．－12解析：由2tan α·sin α＝3，得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，又－π2<α<0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－32.答案：B13．若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限14、现有如下命题：①若点P (a ，2a )(a ≠0)为角α终边上一点，则sin α＝255；②同时满足sin α＝12，cos α＝32的角有且仅有一个；③设tan α＝12且π＜α＜3π2，则sin α＝－55；④设cos(sin θ)·tan(cos θ)＞0(θ为象限角)，则θ在第一象限． 则其中正确的命题是________．(将正确命题的序号填在横线上) 【答案】③【解析】①中，当α在第三象限时，sin α＝－255，故①错误；②中，同时满足sin α＝12，cos α＝32的角为α＝2k π＋π6(k ∈Z)，有无数个，故②错误；③正确；④θ可能在第一象限或第四象限，故④错误．综上选③.15、已知sin x ＋3cos x 3cos x －sin x ＝5，则sin x cos x ＋cos 2x ＝________．【答案】35．【解析】由已知，得tan x ＋33－tan x＝5，解得tan x ＝2，所以sin x cos x ＋cos 2x ＝sin x cos x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝tan x ＋1tan 2x ＋1＝2＋122＋1＝35. 16、已知在△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A ＝________.【答案】－1213【解析】∵在△ABC 中，tan A ＝－512，∴A 为钝角，cos A ＜0.由sin A cos A ＝－512，sin 2A ＋cos 2A ＝1，可得cos A＝－1213.17、若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________． 【答案】1－ 5【解析】由题意知：sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得：m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 18、若sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α的值等于________．【答案】－25【解析】由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，所以sin α cos α＝tan α1＋tan 2α＝－25. 19．(2015·高考广东卷)已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α－1－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.20、已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αtan ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin －π－α.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．【答案】(1) －cos α (2)265【解析】(1)f (α)＝sin α·cos α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝－cosα.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－2 65.故f (α)＝265.。

课题：两角和与差的三角函数公式个性化教学辅导教案第3讲两角和与差的三角函数公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；（2）cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin αsin_β；（3）tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）sin 2α＝2sin_αcos__α．（2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．（3）tan 2α＝2tan α1－tan2α.3．有关公式的逆用、变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，＝a 2＋b 2sin(α＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a＝a 2＋b 2·cos(α－φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .三个变化1．变角：通过对角的拆分尽可能化为同角、特殊角、已知角的和与差，其手法通常是“配凑”．2．变名：通过变换尽可能减少函数种类，降低次数，减少项数，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等． 3．变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更简化、更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”“逆用变形用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等．1．(必修4 P 127练习T 2改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α为( ) A.210B ．－210C.7210 D ．－7210解析：选A.∵cos α＝－35，α是第三象限的角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－35－22×⎝⎛⎭⎫－45＝210. 2．(必修4 P 130例4(1)改编)化简cos 18°cos 42°－cos 72°·sin 42°的值为( ) A.32B ．12C ．－12D ．－32解析：选B.法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°·sin 42° ＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12.法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42° ＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.3．(必修4 P 135练习T 2改编)已知sin(α－k π)＝35(k ∈Z )，则cos 2α的值为( )A.725B ．－725C.1625D ．－1625解析：选A.由sin(α－k π)＝35(k ∈Z )得sin α＝±35.∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫±352＝1－1825＝725.故选A.4．(必修4 P 138A 组T 19(4)改编)11－tan 15°－11＋tan 15°＝________.解析：原式＝2tan 15°（1－tan 15°）（1＋tan 15°）＝2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. 答案：335．(必修4 P 137A 组T 10改编)tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两个实数根．α，β均为锐角，则α＋β＝________． 解析：由题意知tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16，∴tan(α＋β )＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π4. 答案：π4两角和与差公式的应用(2015·高考四川卷)sin 15°＋sin 75°的值是________． [解析] 法一：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15° ＝2(22sin 15°＋22cos 15°) ＝2(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°) ＝2sin 60°＝2×32＝62. 法二：sin 15°＋sin 75° ＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°) ＝2sin 45°cos 30°＝2×22×32＝62. [答案]62用两角和与差的三角函数公式直接求三角函数值时，只需在α±β中知道α，β的三角函数值，用公式展开后直接代入求值即可．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 扫一扫 进入 精品微课1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A ．7 B ．17C ．－17D ．－7解析：选B.因α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，且cos α＝－45， 所以sin α<0，即sin α＝－35，所以tan α＝34.所以tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－341＋34＝17.2．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________． 解析：tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α∈(0，π)，tan 2α＝43＞0， ∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin 2α＝45，cos 2α＝35， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2α·cos π3＋cos 2α·sin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 答案：4＋3310两角和与差公式的逆向应用(2015·高考全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝( ) A ．－32B ．32C ．－12D ．12[解析] sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10° ＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10° ＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.[答案] D两角和与差的三角函数的公式的逆向应用，注意两点：①角的统一；②三角函数名称的对应．1．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A ．－22B ．22C ．32D ．1解析：选B.原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22. 2.cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°的值为( )A.33B ． 3C ．－33D ．－ 3解析：选B.原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.3．sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )的值为( ) A.2 B ．22 C ．12D ．32解析：选 B.原式＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22.利用两角和与差公式求角度设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2[解析] 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴由sin(α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2.[答案] B利用两角和与差的三角函数公式求角度，需要注意：①根据基本关系和公式求出需要求的角的三角函数值；②确定所求角的范围，求出对应的角度．1．已知α，β均为锐角，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，则α＋β为( ) A.π6B ．π4C ．π3D ．3π4解析：选B.由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2得 tan α＋tan β＝1－tan αtan β，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1－tan αtan β1－tan αtan β＝1.∵0<α，β<π2，∴0<α＋β<π，∴α＋β＝π4.2．设α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则α的值为( ) A.π6B ．π3C ．π4D ．5π12解析：选C.由cos(α＋β)＝sin(α－β)，得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， 即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(cos β＋sin β)， 因为β为锐角，所以cos β＋sin β≠0，所以cos α＝sin α， 所以tan α＝1.∴α＝π4，故选C.3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12B ．π3C ．π4D ．π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. ∴β＝π4.故选C.二倍角公式及其应用(2015·高考广东卷)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．[解] (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4 ＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.利用二倍角公式求三角函数值时，应注意：①cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α的选择应用； ②高次化简求值时，用cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos2α2降次； ③注意用恒等式(sin α±cos α)2＝1±sin 2α等价转化．1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16B ．13C ．12D ．23＝45×22＋35×22＝7210. 答案：7210一、选择题1．(必修4 P 69A 组T 8(3)改编)已知tan α＝3，则(sin α－cos α)2等于( )A.35B ．25C ．75D ．85解析：选B.∵tan α＝3，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2sin α cos αsin 2α＋cos 2α＝1－2tan αtan 2 α＋1＝1－610＝25. 2．(必修4 P 146A 组T 8(3)改编)化简sin 3αsin α－2cos 2α等于( ) A ．sin αB ．cos αC ．1D ．0 解析：选C.sin 3αsin α－2cos 2α ＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α－2cos 2α ＝2cos 2α＋cos 2α－2cos 2α＝2cos 2α－(2cos 2α－1)＝1.3．(必修4 P 143A 组T 2(2)改编)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，若tan α＝m tan β，则m 的值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13， ∴sin αcos β＝512，cos αsin β＝112， ∴tan α＝5tan β，∴m ＝5，故选C.二、填空题4．(必修4 P 137A 组T 5改编)已知sin(30°＋α)＝35，60°<α<150°，则cos(2α＋150°)＝________． 解析：设30°＋α＝t ，∴90°<t <180°，∵sin t ＝35， ∴cos t ＝－45， ∴cos(2α＋150°)＝cos[2(t －30°)＋150°]＝cos(2t ＋90°)＝－sin 2t ＝－2sin t cos t ＝2425. 答案：2425三、解答题5．(必修4 P 125～126内文改编)用向量法证明cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.证明：如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B .则OA →＝(cos α，sin α)，OB →＝(cos β，sin β)．由向量数量积的坐标表示，有OA →·OB →＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β.设OA →与OB →的夹角为θ，则OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|cos θ＝cos θ＝cos αcos β＋sin αsin β.另一方面，由图(1)可知，α＝2k π＋β＋θ；由图(2)可知，α＝2k π＋β－θ.于是α－β＝2k π±θ，k ∈Z .所以cos(α－β)＝cos θ.则cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.一、选择题1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( )。

§1 两角和与差的三角函数知识梳理1.两角和与差的余弦公式（1）公式：cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β；cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.（2）理解和记忆：①上述公式中的α、β都是任意角.②和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos(a±β)≠cos α±cos β.③公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用公式，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)= cos30°=21. ④第一章中所学的部分诱导公式可通过本节公式验证.⑤记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反.2.两角和与差的正弦公式（1）公式：sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β；sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.（2）理解和记忆：①上面公式中的α、β均为任意角.②与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β. ③和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcos α-cos2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α.当α或β中有一个角是2π的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便. ④使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而采用整体思想，进行如下变形：sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin ［(α+β)-β］=sin α，这也体现了数学中的整体原则.⑤记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相同.3.两角和与差的正切（1）公式：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+；tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-. （2）理解和记忆：①公式成立的条件：α≠k π+2π，β≠k π+2π，α+β≠k π+2π或α-β≠k π+2π，以上k∈Z .当tan α、tan β、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式解决.②两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)就可以解决诸如tan25°+tan20°+tan25°tan20°的问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.③与和差角的弦函数公式一样，公式对分配律不成立，即tan(α+β)≠tan α+tan β. 知识导学要学好本节有必要复习任意角的三角函数和平面向量的数量积；本节的重点是公式的应用，难点是公式的变形应用；在学习过程中，要善于应用联系的观点看待问题.难疑突破1.形如函数f (x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值是什么？剖析：受思维定势的影响，总是认为y=sinx 和y=cosx 的最大值都是1，它们的最小值都是-1，则函数f(x)的最大值是|a|+|b|，最小值是 -|a|-|b|，其实不然.其突破口是分析y=sinx 和y=cosx 取最值时，自变量x 取值情况.当x=2k π+2π (k∈Z )时，y=sinx 取最大值1，当x=2k π-2π (k∈Z )时，y=sinx 取最小值-1；当x=2k π(k∈Z )时，y=cosx 取最大值1，当x=2k π+π(k∈Z )时，y=cosx 取最小值-1；由此看y=sinx 取最值时，y=cosx=0，而y=cosx 取最值时，y=sinx=0.所以y=sinx 和y=cosx 不能同时取最值，因此这样求最值是错误的.求形如函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值，常用方法是化归为求y=Asin(ωx+φ)+b 的最值.例如：求函数f(x)=2sinx-32cosx ，x∈R 的最值.可将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)后，再求最值. f(x)=2sinx-32cosx =4(21sinx-23cosx) =4(sinxcos3π-cosxsin 3π) =4sin(x-3π)， ∴函数f(x)的最大值是4，最小值是-4.很明显函数f(x)的最大值不是2±32，最小值不是-2-32.下面讨论函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)，x∈R 的最值. f(x)=asinx+bcosx=22b a +(22b a a+sinx+22b a b +cosx)， ∵(22b a a+)2+(22b a b +)2=1, ∴可设cos θ=22b a a +，sin θ=22b a b +,则tan θ=ab （θ又称为辅助角）. ∴f(x)= 22b a + (sinxcos θ+cosxsin θ)= 22b a +sin(x+θ).∴当x∈R 时， f(x)的最大值是22b a +，最小值是-22b a +.特别是当a b =±1，±3，±33时，θ是特殊角，此时θ常取4π，3π，6π. 对于形如y=asinx+bcosx(ab≠0)的式子引入辅助角化归为y=Asin(x+θ)的形式，可进行三角函数的化简，求周期、最值等，这是高考和模拟的必考内容之一.例如：2006江苏南京一模，7 若函数f(x)=sinax+cosax(a ＞0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为（ ） A.(8π-,0) B.(0,0) C.(-81,0) D.(81,0) 思路分析：化为y=Asin(ωx+θ)形式，再讨论其对称中心.f(x)=sinax+cosax=2sin(ax+4π)(a ＞0)， ∴T=a π2=1.∴a=2π.∴f(x)=2sin(2πx+4π)(a ＞0).又∵f(x)与x 的交点是其对称中心，经验证仅有(-81,0)是函数f(x)的对称中心. 答案：C3.2 两角和与差的三角函数课堂导学三点剖析1.两角和与差的三角函数公式的简单运用【例1】 若sin α=55,sin β=1010且α、β是锐角，求α+β的值. 思路分析:可先求出α+β的某种三角函数值，然后再确定α+β的值.解:∵α、β是锐角，∴cos α=552)55(12=-,cos β=10103)1010(12=-. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=22. 又∵sin α=55<21,sin β=1010<21， ∴0°<α<30°，0°<β<30°.∴0°<α+β<60°.∴α+β=45°.各个击破类题演练 1计算sin33°cos27°+sin57°cos63°的值.解析:原式=sin33°cos27°+cos33°sin27°=sin(33°+27°)=sin60°=23， 或：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°)=cos30°=23. 变式提升 1sin163°sin223°＋sin253°sin313°=___________.解析：原式=sin(180°-17°)·sin(180°+43°)+sin(270°-17°)+sin(270°+43°) =-sin17°sin43°+cos17°cos43° =cos(17°+43°)=cos60°=21. 答案：21 2.两角差的余弦公式的运用【例2】 已知cos(α+β)=31,cos(α-β)=51，求tan αtan β的值. 思路分析：题目中要求的是单角α与 β的函数值，所以自然要想到用和差公式分解，然后用商式求解. 解：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+)2.(51sin sin cos cos )1(,31sin sin cos cos .51)cos(,31)cos(βαβαβαβαβαβα得 ①+②得cos αcos β=154, ②-①得sin αsin β=151-, ∴tan αtan β=βαβαcos cos sin sin =41-. 友情提示在利用两角和差公式的同时，运用同角三角函数关系，把不同类型的公式放在一起使用是本章题目的特点.类题演练 2设a∈(0,2π),若sin α=53,则2cos(α+4π)等于（ ） A.57 B.51 C.57- D.-51 解析：∵α∈(0,2π)，sin α=53,∴cos α=54, 又2cos(α+4π)=2(cos α·cos 4π-sin α·sin 4π) =cos α-sin α=51. 答案：B变式提升 2已知α、β为锐角，且cos α=71，cos(α+β)=1411-，求β的值. 解析：∵α是锐角，cos α=71,∴sin α=734)71(12=-. ∵α、β均为锐角，∴0<α+β<π.又cos(α+β)=1411-,∴sin(α+β)=1435)1411(12=--. ∴cos β=cos ［(α+β)-α］=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=（1411-）·71+7341435∙=21. 又∵β为锐角，∴β=3π. 3.两角和与差的三角函数的变式应用【例3】 已知α,β∈(-2π,2π)，tan α,tan β是一元二次方程x 2+33x+4=0的两根，求 α+β.思路分析：由根与系数关系可得tan α+tan β、tan αtan β，因此可先求tan(α+β).解：由题意知tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,①∴tan(α+β)=3tan tan 1tan tan =-+βαβα. 又∵α,β∈(-2π,2π) 且由①知α∈(-2π,0),β∈(-2π,0), ∴α+β∈(-π,0).∴α+β=32π-. 类题演练 3计算tan10°+tan50°+3tan10°tan50°的值.解析：原式=tan(10°+50°)(1-tan10°tan50°)+3tan10°tan50° =3(1-tan10°tan50°)+3tan10°tan50°=3.变式提升 3求值:tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°.解析：原式=tan10°tan20°+3(tan10°+tan20°)=tan10°tan20°+3tan30°(1-tan10°tan20°)=1.。

两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式属于高中数学的重要内容，主要通过利用三角函数的性质，研究两个角的和与差的三角函数值之间的关系。

在解决三角方程、证明恒等式等问题时，这些公式的应用非常广泛。

本文将从公式的定义、推导及应用方面进行详细解析。

一、两角和的三角函数公式1.余弦和公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。

我们知道，其对应的三条直角边分别是x、x'、x"和y、y'、y"，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个内角之和应该等于180°，即有：∠POR+∠POQ+∠QOR=180°∠A+∠B+∠(A+B)=180°2A+B=180°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：cos(A+B) = x" = x'x - y'y = cosAcosB - sinAsinB2.正弦和公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。

同样，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个边长之和应该等于2，即有：PR+PQ+QR=2∠POR+∠POQ+∠QOR=360°∠A+∠B+∠(A+B)=360°2A+B=360°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：sin(A+B) = y" = xy' + yx' = sinAcosB + cosAsinB二、两角差的三角函数公式1.余弦差公式：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A-B。

两角和与差的正弦公式与余弦公式角的和与差的正弦公式正弦函数是三角函数中的一种，描述了一个角度与其对应弧的长度之间的关系。

在数学中，角的和与差的正弦公式可以帮助我们计算两个角的正弦值之和与差。

具体来说，我们有以下两个公式：1.两角和的正弦公式：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的正弦值之和等于第一个角的正弦乘以第二个角的余弦，再加上第一个角的余弦乘以第二个角的正弦。

2.两角差的正弦公式：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的正弦值之差等于第一个角的正弦乘以第二个角的余弦，再减去第一个角的余弦乘以第二个角的正弦。

例如，假设角A的正弦值是0.5，角B的余弦值是0.7，我们可以使用两角和的正弦公式计算两个角的和的正弦值：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB= 0.5 * 0.7 + cosA * sinB= 0.35 + cosA * sinB这样，我们可以使用已知的角A和B的正弦和余弦值，计算出两个角的和的正弦值。

角的和与差的余弦公式除了正弦函数之外，余弦函数也是三角函数中的一种，描述了一个角度与其对应弧的长度之间的关系。

与角的和与差的正弦公式类似，我们也可以使用公式来计算两个角的余弦值之和与差。

具体来说，我们有以下两个公式：1.两角和的余弦公式：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的余弦值之和等于第一个角的余弦乘以第二个角的余弦，再减去第一个角的正弦乘以第二个角的正弦。

2.两角差的余弦公式：cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的余弦值之差等于第一个角的余弦乘以第二个角的余弦，再加上第一个角的正弦乘以第二个角的正弦。