三次函数的性质研究导数是中学数学的重要内容，它和向量和复数一样都是解决其它问题的工具，唯一不同的是它主要解决的是数学中抽象而又尤为重要的函数问题，特别是三次以上函数以及非常规的函数问题。
利用导数将三次函数问题转化为二次函数进行研究的思想实际上就是化归思想的具体体现，也就是说，熟练把握导数的相关性质和二次函数的性质是研究三次函数图像与性质的重要保证。
系列探究1：从最简单的三次函数3x y =开始反思1：三次函数31y x =+的相关性质呢？反思2：三次函数31y x =-+的相关性质呢？反思3：三次函数()311y x =-+的相关性质呢？系列探究2：探究一般三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的性质： 先求导2()32(0)f x ax bx c a '=++>，令2()320f x ax bx c '=++=的判别式222124(4)b ac b ac =-=-△()。
1．函数的定义域与值域均为R 。
2．单调性：（1）若22120b ac =-≤△()，此时函数()f x 在R 上是增函数；（2）若22120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <， 则()f x 在12(,),()x x -∞+∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减。
3．极值：（1）若0≤△，此时函数无极值；（2）若0△>，且2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，此时函数()f x 在1x x =处取极大值)(1x f ，在2x x =处取极小值)(2x f 。
4．奇偶性：函数当且仅当0==d b 时是奇函数。
5．对称性：函数图象关于点))3(,3(ab f a b --中心对称（了解）（1）证明：三次函数d cx bx ax x f +++=23)(关于点（m ，n ）对称的充要条件是n x m f x m f 2)()(=++-，即])()()([23d x m c x m b x m a +-+-+-+n d x m c x m b x m a 2])()()([23=++++++，整理得，n d mc bm am x b ma 2)2222()26(232=+++++据多项式恒等对应系数相等,可得a bm 3-=且d mc bm am n +++=23=)3()(a bf m f -=，从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是))3(,3(a bf a b--；系列探究3：一般三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的图像：（1）若22120b ac =-≤△()时，…（2）若22120b ac =->△()时，…反思4：由图像能够探究出在区间],[n m 的最大值与最小值吗？（1）若22120b ac =-≤△()，函数有最大值)(n f ，最小值)(m f ；（2）若22120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <， ①21x m x n ><或时，函数有最大值)(n f ，最小值)(m f ，②21x n m x ≤<<时，函数有最大值)(m f ，最小值)(n f ，③n x x m ≤<≤21时，函数有最大值)(1x f ，最小值)(2x f ，④21x n x m ≤<≤时，函数有最大值)(1x f ，最小值)}(),(min{n f m f ，⑤n x m x ≤<<21时，函数有最大值)}(),(max{n f m f ，最小值)(2x f 。
三次函数常见的性质及应用
一、性质
1、三次函数的图像一定是一个闭合曲线，其中心点为原点（0，0）；
2、三次函数的图像具有左右对称性；
3、三次函数图像的极值点（即最大值点和最小值点）一定位于曲线的拐点处；
4、三次函数的导数存在，其单调性与函数的单调性相反；
5、三次函数的二阶导数存在，其值大于等于0；
二、应用
1、三次函数可以用来描述经济学中的供求关系；
2、三次函数可以用来描述物理学中的力学变化；
3、三次函数可以用来描述数学中的曲线图形；
4、三次函数可以用来描述自然现象中的变化趋势；
5、三次函数可以用来描述计算机科学中的数据处理。
§1函数的单调性与极值1．1导数与函数的单调性(一)学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点函数的单调性与导数思考1已知函数(1)y＝2x－1，(2)y＝－3x，(3)y＝2x，请判断它们的导数的正负与它们的单调性之间的关系．答案(1)y′＝2>0，y＝2x－1是增函数；(2)y′＝－3<0，y＝－3x是减函数；(3)y′＝2x ln 2>0，y＝2x是增函数．思考2观察图中函数f(x)，填写下表．梳理函数的单调性与导数符号的关系1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上是减少的．(×)2．函数f(x)在某区间内是增加的，则一定有f′(x)>0.(×)3．函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．(√)类型一函数与导数的图像间的关系例1(1)f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是()考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数图像确定原函数图像答案 D解析由导函数的图像可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0<x<2时，f′(x)<0，即f(x)为减函数；当x>2时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知D正确．(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为()考点 函数的单调性与导数的关系 题点 根据原函数图像确定导函数的图像 答案 D解析 应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图像．反思与感悟 函数图像的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图像上升；符号为负，图像下降．看导函数图像时，主要是看图像在x 轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性．解决问题时，一定要分清是函数图像还是其导函数图像． 跟踪训练1 在同一坐标系中作出三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)及其导函数的图像，下列一定不正确的序号是( )A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④ 考点 题点 答案 C解析 当f ′(x )>0时，y ＝f (x )是增加的；当f ′(x )<0时，y ＝f (x )是减少的．故可得，①②中函数图像的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；而③中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误；④中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误． 类型二 利用导数求函数的单调区间 命题角度1 不含参数的函数求单调区间 例2 求下列函数的单调区间． (1)y ＝12x 2－ln x ；(2)y ＝x ＋bx(b >0)．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 解 (1)函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝(x ＋1)(x －1)x.若y ′>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)(x －1)>0，x >0，解得x >1；若y ′<0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －1)<0，x >0，解得0<x <1.故函数y ＝12x 2－ln x 的单调增区间为(1，＋∞)；单调减区间为(0,1)．(2)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋b x ′＝1－b x2， 令f ′(x )>0，则1x 2(x ＋b )(x －b )>0，所以x >b 或x <－b .所以函数的单调增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)． 令f ′(x )<0，则1x 2(x ＋b )(x －b )<0，所以－b <x <b 且x ≠0.所以函数的单调减区间为(－b ，0)，(0，b )． 反思与感悟 求函数y ＝f (x )的单调区间的步骤 (1)确定函数y ＝f (x )的定义域． (2)求导数y ′＝f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数． (4)解不等式f ′(x )<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数． 跟踪训练2 函数f (x )＝(x 2＋2x )e x (x ∈R )的单调减区间为____________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 (－2－2，－2＋2) 解析 由f ′(x )＝(x 2＋4x ＋2)e x <0， 即x 2＋4x ＋2<0， 解得－2－2<x <－2＋ 2.所以f (x )＝(x 2＋2x )e x (x ∈R )的单调减区间为 (－2－2，－2＋2)．命题角度2 含参数的函数求单调区间例3 讨论函数f (x )＝12ax 2＋x －(a ＋1)ln x (a ≥0)的单调性．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数函数的单调区间 解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋1－a ＋1x ＝ax 2＋x －(a ＋1)x .①当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．②当a >0时，f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a (x －1)x，∵a >0，∴a ＋1a>0.由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数． 反思与感悟 (1)讨论参数要全面，做到不重不漏．(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解．跟踪训练3 设函数f (x )＝e x －ax －2，求f (x )的单调区间． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数函数的单调区间 解 f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上是增加的． 若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，ln a )上是减少的，在(ln a ，＋∞)上是增加的． 综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增加的； 当a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上是减少的，在(ln a ，＋∞)上是增加的.1．函数y ＝x ln x ，x ∈(0,1)( ) A ．在区间(0,1)上是增加的 B ．在区间(0,1)上是减少的C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减少的，在⎝⎛⎭⎫1e ，1上是增加的 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是增加的，在⎝⎛⎭⎫1e ，1上是减少的 考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 C解析 y ′＝ln x ＋1，当0<x <1e 时，y ′<0，函数y ＝x ln x 是减少的；当1e <x <1时，y ′>0，函数y ＝x ln x 是增加的．2．若函数f (x )的图像如图所示，则导函数f ′(x )的图像可能为( )考点函数的单调性与导数的关系题点根据原函数图像确定导函数图像答案 C解析由f(x)的图像可知，函数f(x)的单调增区间为(1,4)，单调减区间为(－∞，1)和(4，＋∞)，因此，当x∈(1,4)时，f′(x)>0，当x∈(－∞，1)和x∈(4，＋∞)时，f′(x)<0，结合选项知选C.3．函数f(x)＝(x－3)e x的递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数函数的单调区间答案 D解析f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x，令f′(x)>0，解得x>2，故选D.4．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________. 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知单调区间求参数值 答案 －32－6解析 f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知，f ′(x )＝0即3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根为－1和2.由⎩⎨⎧－1＋2＝－2b3，－1×2＝c3，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－6.5．试求函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数函数的单调区间 解 函数f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝k －1x ＝kx －1x.当k ≤0时，kx －1<0，∴f ′(x )<0， 则f (x )在(0，＋∞)上是减少的． 当k >0时，由f ′(x )<0，即kx －1x <0，解得0<x <1k；由f ′(x )>0，即kx －1x >0，解得x >1k .∴当k >0时，f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫0，1k ， 单调增区间为⎝⎛⎭⎫1k ，＋∞. 综上所述，当k ≤0时，f (x )的单调减区间为(0，＋∞)； 当k >0时，f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫0，1k ，单调增区间为⎝⎛⎭⎫1k ，＋∞.1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间．一、选择题1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是增加的．则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 A解析 f (x )＝x 3在(－1,1)内是增加的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，故选A.2．定义域为⎝⎛⎭⎫－32，3的可导函数y ＝f (x )的图像如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为( )A.⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3) B.⎣⎡⎦⎤－1，12∪⎣⎡⎦⎤43，83 C.⎝⎛⎭⎫－32，12∪(1,2)D.⎝⎛⎦⎤－32，－1∪⎣⎡⎦⎤12，43∪⎣⎡⎭⎫83，3 考点 函数的单调性与导数的关系 题点 根据原函数图像确定导函数图像 答案 A解析 f ′(x )≤0⇔f (x )是减函数，由图像知f (x )的递减区间为⎣⎡⎦⎤－13，1，[2,3)．故f ′(x )≤0的解集为⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3)． 3．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的递减区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，1) C ．(－1,3)D ．(0,2)考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 D解析 ∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3， ∴f ′(x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3＝x 2－2x ， 令f ′(x ＋1)<0，得0<x <2， 故函数f (x ＋1)的递减区间是(0,2)．4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e x C ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x 考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 B解析 B 项中，y ＝x e x ，y ′＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )， 当x ∈(0，＋∞)时，y ′>0， ∴y ＝x e x 在(0，＋∞)内为增函数．5．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图像画在同一个直角坐标系中，则下列不可能正确的是( )考点 函数的单调性与导数的关系 题点 根据导函数图像确定原函数图像 答案 D解析 函数y ＝f (x )在某个区间内可导，若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间内是增加的；若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间内是减少的．对于D ，若x 轴上方是导函数的图像，则函数f (x )应该是增加的，不符合；若x 轴下方是导函数的图像，则函数f (x )是减少的，不符合．其他三项均符合． 6.函数f (x )的导函数f ′(x )的图像如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是( )A ．f (cos A )<f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (sin A )>f (cos B )考点 利用导数研究函数的单调性 题点 比较函数值的大小 答案 D解析 根据图像知，当0<x <1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在区间(0,1)上是增函数．∵△ABC 为锐角三角形，∴A ，B 都是锐角且A ＋B >π2，则0<π2－B <A <π2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2－B <sin A ， ∴0<cos B <sin A <1，∴f (sin A )>f (cos B )．7．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( ) A ．f (0)＋f (2)>2f (1) B ．f (0)＋f (2)＝2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 比较函数值的大小 答案 C解析 ∵(x －1)f ′(x )<0，∴当x >1时，f ′(x )<0，当x <1时，f ′(x )>0，则f (x )在(1，＋∞)上是减少的，在(－∞，1)上是增加的， ∴f (0)<f (1)，f (2)<f (1)， 则f (0)＋f (2)<2f (1)． 二、填空题8．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的递减区间为________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 (－1,11)解析 f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)， 令f ′(x )<0，解得－1<x <11， 所以递减区间为(－1,11)．9.在R 上可导的函数f (x )的图像如图所示，则关于x 的不等式xf ′(x )<0的解集为________．考点 函数的单调性与导数的关系 题点 利用单调性确定导数值的正负号 答案 (－∞，－1)∪(0,1) 解析 由xf ′(x )<0可得，⎩⎨⎧x >0，f ′(x )<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f ′(x )>0，由题图可知当－1<x <1时，f ′(x )<0， 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，－1<x <1或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x <－1或x >1，解得0<x <1或x <－1，∴xf ′(x )<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．10．已知函数f (x )＝k e x －1－x ＋12x 2(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行，则f (x )的单调增区间为_____． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数的函数的单调区间 答案 (0，＋∞)解析 f ′(x )＝k e x －1－1＋x ，∵曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行， ∴f ′(0)＝k ·e －1－1＝0，解得k ＝e ， 故f ′(x )＝e x ＋x －1. 令f ′(x )>0，解得x >0，故f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．11．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)，(2，＋∞)上是增加的，且在区间(0,2)上是减少的，则a 的值为________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知单调区间求参数值 答案 －6解析 由题意得f ′(x )＝6x 2＋2ax ＝0的两根为0和2，可得a ＝－6.12．定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，f ′(x )<2，则满足f (x )>2x －1的x 的取值范围是______． 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用 答案 (－∞，1)解析 令g (x )＝f (x )－2x ＋1， 则g ′(x )＝f ′(x )－2<0， 又g (1)＝f (1)－2×1＋1＝0，当g (x )>g (1)＝0时，x <1， ∴当x <1时，f (x )－2x ＋1>0， 即f (x )>2x －1的解集为(－∞，1)． 三、解答题13．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间． 考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数的函数的单调区间 解 (1)由y ＝f (x )的图像经过点P (0,2)，知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0， 知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1.又f ′(－1)＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3，故所求函数解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)由(1)得f ′(x )＝3x 2－6x －3. 令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2； 令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调增区间为(－∞，1－2)，(1＋2，＋∞)，单调减区间为(1－2，1＋2)．四、探究与拓展14．函数f (x )＝(x 2－2x )e x (e 为自然对数的底数)的大致图像是( )考点 函数的单调性与导数的关系 题点 根据导函数图像确定原函数图像 答案 A解析 f (x )＝(x 2－2x )e x 的定义域为R ，且f ′(x )＝(x －2)(x ＋2)e x .令f ′(x )>0，得x <－2或x >2；令f ′(x )<0，得－2<x < 2.所以f (x )在(－∞，－2)上是增加的，在(－2，2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，故排除B ，D.又f (0)＝0，所以排除C.故选A. 15．已知函数f (x )＝x －2x ＋a (2－ln x )，a >0，试讨论f (x )的单调性．考点 利用导函数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数的函数的单调区间 解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.方程x 2－ax ＋2＝0的判别式Δ＝a 2－8.(1)当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0，都有f ′(x )>0，此时f (x )是(0，＋∞)上的单调增函数； (2)当Δ＝0，即a ＝22时，当且仅当x ＝2时，有f ′(x )＝0，对定义域内其余的x 都有f ′(x )>0，此时f (x )也是(0，＋∞)上的单调增函数；(3)当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根：x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上是增加的；在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上是减少的．。
