导数与三次函数的关系

4导数研究三次函数的性质复习目标：掌握三次函数的图象和性质，尤其是利用导数研究单调性、极值情况，以及三次函数的零点。

复习重点难点：（1）三次函数的图象的四种情况；（2）三次函数的极值情况；【典型例题】题型一：三次函数单调性的讨论例1．已知函数32()2f x ax x x =++在R 上恒为增函数，求实数a 的取值范围.例2．已知函数f (x )=-x 3＋3x 2＋9x ＋a ,（I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．题型二：三次函数极值，最值的讨论例3. 已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-；（1）若'(1)3f =，求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[]2,0上的最大值．例4．已知函数()f x 的导数2()33,f x x ax '=-(0).f b =,a b 为实数，12a <<.（1）若()f x 在区间[1, 1]-上的最小值、最大值分别为2-、1，求a 、b 的值；（2）设函数2()(()61)x F x f x x e '=++⋅，试判断函数()F x 的极值点个数．【课后作业】1.过曲线y ＝x 3+x-2上的点P 0的切线平行于直线y ＝4x-1,则切点P 0的坐标为2．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )．若函数f (x )＝a·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．3．函数f (x )=x 3＋x 2－x 在区间［－2，1］上的最大值和最小值分别是4.已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为5．设函数b x a ax x x f +-+-=2233231)( (0<a <1)． (1)求函数)(x f 的单调区间； (2)当x ∈[]2,1++a a 时，不等式|()x f/ |≤a ，求a 的取值范围．6.已知函数3221()21(0)32a f x x x a x a =--+> （1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()y f x =的图象与值线0y =恰有三个交点，求实数a 的取值范围；（3）已知不等式2'()1f x x x <-+对任意(1,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围.7.已知函数()()a x x f -=2()x b -,b a ,为常数,(1)若a b ≠,求证:函数()x f 存在极大值和极小值(2)设()x f 取得极大值、极小值时自变量分别为12,x x ,令点A 11(,()x f x ),B 22(,()x f x ),若a >b ，直线AB 的斜率为12-,求函数()x f 和/()f x 的公共递减区间的长度.答案：【典型例题】1． 61≥a . 2．（I ） 0)(,963)(2<'++-='x f x x x f 令，解得x <－1或x >3所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）)}2(),2(max{)(,5)1()(,3212m ax m in f f x f a f x f -=+-=-=∴<<-<-)2()2(,22)2(,2)2(->∴+=+=-f f a f a f 于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝－7，即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．3. 解析：（1）2'()32f x x ax =-．因为'(1)323f a =-=，所以0a =．又当0a =时，(1)1,'(1)3f f ==，所以曲线()(1,(1))y f x f =在处的切线方程为3x y --2=0．（2）令'()0f x =，解得1220,3a x x ==． 当203a ≤，即a ≤0时，()f x 在[0，2]上单调递增，从而max (2)84f f a ==-． 当223a ≥时，即a ≥3时，()f x 在[0，2]上单调递减，从而max (0)0f f ==． 当2023a <<，即03a <<，()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而max 84,0 2.0,2 3.a a f a -<≤⎧⎪=⎨<<⎪⎩综上所述，max 84, 2.0, 2.a a f a -≤⎧⎪=⎨>⎪⎩4.解（Ⅰ）由已知得，323()2f x x ax b =-+； 由()0f x '=，得10x =，2x a =． ∵[1, 1]x ∈-，12a <<，∴ 当[1, 0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 递增；当(0, 1]x ∈时，()0f x '<，()f x 递减．∴ ()f x 在区间[1, 1]-上的最大值为(0)f b =，∴1b =． 又33(1)11222f a a =-+=-，33(1)1122f a a -=--+=-，∴ (1)(1)f f -<． 由题意得(1)2f -=-，即322a -=-，得43a =．故43a =，1b =为所求． （Ⅱ） 2222()(3361)33(2)1x x F x x ax x e x a x e ⎡⎤=-++⋅=--+⋅⎣⎦． ∴ []222()63(2)233(2)1x x F x x a e x a x e '⎡⎤=--⋅+--+⋅⎣⎦22[66(3)83]x x a x a e =--+-⋅．二次函数266(3)83y x a x a =--+-的判别式为22236(3)24(83)12(31211)123(2)1a a a a a ⎡⎤∆=---=-+=--⎣⎦，令0∆≤，得：21(2),22333a a -≤-≤≤+令0∆>，得2,233a a <->+或 ∵20x e >，12a <<，∴当22a ≤<时，()0F x '≥，函数()F x 为单调递增，极值点个数为0；当12a <<()0F x '=有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数()F x 有两个极值点．【课后作业】1.(1,0)或(-1,-4)2.解：f (x )＝a·b ＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，……4分∴f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t . …………7分∵f (x )在(－1,1)上是增函数，∴－3x 2＋2x ＋t ≥0在x ∈(－1,1)上恒成立．∴t ≥3x 2－2x ， ……………11分令g (x )＝3x 2－2x ，x ∈(－1,1)．∴g (x )∈⎣⎡⎭⎫－13，5，∴t ≥5. ……………15分3． f (x )max =1,f (x )min =－2。

导数在三次函数中的应用
欢迎来到三次函数与导数的世界！
首先，让我们来探讨一下什么是三次函数。

三次函数是一种把一个变量x关于另一个变量y的函数，其具体形式为：y=ax^3+bx^2+cx+d，其中a、b、c、d为实数，a不等于0。

大部分三次函数可以给出一个三次曲线，比如抛物线、弓形线等。

其次，让我们来讨论它的导数的概念。

在数学中，导数是表示函数变化率的量，也是函数的增量与x轴距离之比，也就是函数的斜率。

在三次函数中，它的一阶导数为：
y'=3ax^2+2bx+c；2阶导数为：y''=6ax+2b；3阶导数为：y'''=6a。

最后，让我们来讨论三次函数和导数在应用中的作用。

三次函数可以用来表示许多实际应用中的几何和物理运动,比如抛物线在射击中的运动，弓形线在心脏收缩的过程中的运动等。

三次函数的导数可以应用到各种数学和物理问题上，例如求一阶和二阶导数，可以用它来求抛物线的加速度、弓形线的加速度等等。

此外，可以用它来求解一些复杂的数学问题，比如求函数的极值，微分方程的积分等。

总而言之，三次函数和导数有着多功能的应用，它们可以用来解决许多数学和物理问题，并且有助于我们解决复杂的问题。

数学中的三次函数和导数是一个很重要的概念，并且可以应用到几乎任何物理问题之上。

为什么求三次函数的极值时，只需要先求导数，导数的△值大于零即可，为什么不能是大于等于零？
答：设f(x)是三次函数，则f(x)是（-∞,+∞)内的可导函数，其极值必在驻点处取到；
因为f'(x)是二次函数，所以f(x)的驻点至多只有两个；
如果f'(x)的判别式（或方程f'(x)=0的判别式）大于零，那么函数f'(x)的图像（抛物线）与x轴有且仅有两个不同的交点(横坐标分
别为x=x1,x=x2，不妨设x1<x2)，且可知f'(x)在（-∞,x1),(x2,+∞)内的符号与在（x1,x2)内的符号是相反的，因此x=x1,x=x2中恰有一个极大值点和一个极小值点。

而当f'(x)的判别式（或方程f'(x)=0的判别式）等于零时，函数的驻点（可能的极值点）有且只有一个（记为x=x0)，此时函数f'(x) 的图像（抛物线）与x轴相切(切点的横坐标为x=x0)，可知f'(x)在（-∞,x0)与(x0,+∞)内的符号是相同的，所以x=x0不是极值点；因此当f'(x)的判别式（或方程f'(x)=0的判别式）等于零时，函数f(x)无极值。

所谓最值,数学上的定义为在一个区间内,在某一点的值,都不大于或者不小于其他所有点的值,就成为它为一个最小（大）值点.
所谓极值,数学上的定义为在一个区间内,在它这个点的左右侧分别大于或者小于这个点的值,那么这个点就是一个极点.
不难看出：最值只要是有一个区间,就一定有,但是极值,假如单调递增,单调递减就没有.
PS：有些人喜欢犯错误,觉得极点是导数为0的点,但是这种说法错误,比如y=x^3,x＝0,不是它的极点,可以通过以上的描述性的定义来
确定这个关系。

如何用导数解一元三次方程导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

导数是函数的局部性质。

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

那么，问题来了，如何用导数解一元三次方程 ?你了解吗?如何用导数解一元三次方程一元三次方程求解[导数+牛顿迭代法]题目描述有形如：ax3+bx2+cx+d=0 这样的一个一元三次方程。

给出该方程中各项的系数(a，b，c，d 均为实数)，并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在-100至100之间)，且根与根之差的绝对值>=1。

要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后2位。

提示：记方程f(x)=0，若存在2个数x1和x2，且x1输入输出格式输入格式：一行，4个实数A，B，C，D。

输出格式：一行，三个实根，并精确到小数点后2位。

输入输出样例输入样例#1：1 -5 -4 20输出样例#1：-2.00 2.00 5.00怎麼用导数的思想判断一个一元三次方程方程有几个不同解：一元三次方程通过求导得到一个一元二次方程.一般可解得两个值.这两个值就是原方程的极值.根据这极值的符号情况可判定原方程有几个根.如果两极值异号,则原方程将会三次穿过X轴,那就是原方程有三个根.如果两极值同号,则原方程将只有一次穿过X轴,那就是原方程只有一个根.。

三次函数的导数与导函数引言三次函数是指次数为3的多项式函数，其一般形式为 f(x) =ax^3 + bx^2 + cx + d。

在本文中，将讨论三次函数的导数与导函数。

导数的定义导数是函数在某一点处的变化率。

对于三次函数 f(x) = ax^3 +bx^2 + cx + d，其导数可以通过求函数的微分得到。

微分就是对函数进行局部线性近似，即求切线的斜率。

三次函数的导数计算根据导数的定义，可以使用微分的方法求出三次函数的导数。

首先，对三次函数 f(x) 进行微分得到 f'(x)。

然后求导数的公式为f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c。

导函数的意义导函数是三次函数的导数，它描述了函数在不同点的变化率。

导函数的图像可以反映出原函数的整体趋势。

导函数的图像特点根据导函数的公式 f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c，可以得到以下结论：- 如果 a>0，那么导函数是向上开口的抛物线；- 如果 a<0，那么导函数是向下开口的抛物线；- b 的值决定了导函数的平移与压缩；- c 的值决定了导函数的上下偏移。

导函数与原函数的关系根据导函数与原函数的关系，可以推导出以下结论：- 如果三次函数 f(x) 在某一点处的导数为0，那么该点是函数的极值点；- 如果三次函数 f(x) 的导函数恒为正，那么原函数是递增的；- 如果三次函数 f(x) 的导函数恒为负，那么原函数是递减的。

结论本文介绍了三次函数的导数与导函数的概念，并讨论了它们的计算方法、图像特点以及与原函数的关系。

对于进一步理解三次函数及其特性具有一定的参考价值。

> 注意：本文所述内容仅为概念介绍，具体应用时请结合实际情况进行分析和计算。

运用导数解决三次函数问题作者：陈志国来源：《理科考试研究·高中》2014年第01期三次函数及其相关的问题，近年来在各级各类考查试卷中经常出现，其中大部分题型都可利用导数法来求解.本文介绍几种常见类型的求解方法，供参考.一、三次函数的切线例1 已知函数f（x）=x3-x+2，试求过点P（1，2）的曲线y=f（x）的切线方程.解析设切点P0（x0，y0），由f ′（x）=3x2-1，则f ′（x0）=3x20-1，过点P0的方程为y-y0=f ′（x0）（x-x0），即y-（x30-x0+2）=（3x20-1）（x-x0）. 又切线过点P（1，2），则2-（x30-x0+2）=（3x20-1）（1-x0），分解因式得（x0-1）2（2x0+1）=0，解之得x0=1或x0=-12.则f ′（-12）=-14，f ′（1）=2.故所求的切线方程为y-2=-14（x-1）和y-2=2 （x-1）.二、三次函数的单调性例2 已知函数f（x）=x3-ax+b，①若f（x）在实数集R上单调递增，求a的取值范围；②若f（x）在（-1，1）上单调递减，求a的取值范围.解析f ′（x）=3x2-a.①依题意，有3x2-a>0在R上恒成立，即a三、三次函数的极值例3 已知函数f（x）=13x3+12ax2+2bx+c，若当x ∈（0，1）时，f（x）取得极大值；x ∈（1，2）时，f（x）取得极小值；求b-2a-1的取值范围.解析f ′（x）=x2+ax+2b，令f ′（x）=0，由题意知，上述方程应满足：一根在（0，1）内，另一根在（1，2）内.由y=f ′（x）的图象知f ′（0）>0，f ′（1）f ′（2）>0b>0，a+2b+1a+b+2>0.图1在aOb坐标系中作出上述区域（如图1所示）.而b-2a-1的几何意义是：过两点P （a，b）与D（1，2）的直线斜率.而P（a，b）在区域内，由a+2b+1=0，a+b+2=0得A（-3，1），由b=0，a+b+2=0得B（-2，0），由b=0，a+2b+1=0得C（-1，0）.由图知kDA四、三次方程根的判定例4 设a∈R，试讨论关于x的三次方程x3-3x2-a=0有相异实根的个数.解析将方程变形为x3-3x2=a（*），令y= f（x）=x3-3x2，则y′=3x（x-2），令y′=0得x=0或x=2.当x∈（-∞，0）时，y′>0；图2当x∈（0，2）时，y′当x∈（2，+∞）时，y′>0.故f（x）的极大值是f（0）=0，极小值是f（2）=-4.于是函数y=f（x）=x3-3x2的大致图象如图2.因为方程（*）的相异实根的个数，是y= f（x）的图象和直线y=a的交点的个数，所以相异实根个数为：（1）当a0时，有1个；（2）当a=-4或a=0时，有2个；（3）当-4五、与三次函数有关的应用题例5 某工厂生产某种产品，已知该产品月产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为P=24200-15x2，且生产x吨的成本为R=50000+200x元，问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？解析每月生产x吨时的利润为f（x）= （24200-15x2）x-（50000+200x）=-15x3+24000 x-50000（x≥0）. 由f ′（x）=-35x2+24000=0解得x1=200， x2=-200（舍去）.因f（x）在[0，+∞）内只有一个极值点x=200，且x∈（0，200）时，f ′（x） >0，x∈（200，+∞）时，f ′（x）六、与三次函数有关的不等式问题例6 已知函数f（x）=x3+ax+b定义在区间[0，1]上，且f（0）=f（1），若x1，x2∈[0，1]，求证：|f（x1）-f（x2）|解析由f（0）=f（1），得1+a+b=ba=-1，所以f（x）=x3-x+b.f ′（x）=3x2-1，令f ′（x）=3x2-1=0，得x=±33.又x∈[0，1]，而x∈（0，33）时，f ′（x） 0.所以当x=33时，f （x）有最小值f（33）=b-239.又当x=0或1时，f（x）取最大值b.故|f（x1）-f（x2）|≤[f （x）]max- [f（x）]min=239。

课题：运用导数解决三次函数问题（教案）一．教学目标引导学生归纳反思运用导数工具研究三次函数的有关问题，进一步体会导数在研究函数性质中的重要作用。

二、教学重点：运用导数工具认识三次函数图像及与其有关的切线、极值等有关问题三、教学难点：灵活解决三次函数中含参数以及与坐标轴的交点问题。

课前准备：学生阅读教材并完成本节学案四、教学过程：引例1：画一画：如何画出下面函数函数的图像133123+--=x x x y 动画演示：（几何画板） （一）想一想:三次函数与其导函数图象之间的关系a>0 a<0 f′(x )= 3ax 2+ 2bx+c 判判别式△>0 △=0 △<0 △>0 △=0 △<0 图图象f (x )=ax 3+bx 2+cx +d单单调性图图象引例2：练一练：方程x 3－6x 2+9x －10=0的实根个数是（二）探一探：三次函数图像与x 轴交点有哪几种可能性？回顾三次函数的图像情况：结论：1. 三次函数没有极值或极大值小于零或极小值大于零时图像与x 轴交点只有一个；2. 三次函数极大值等于零或极小值等于零时图像与x 轴交点有二个；3. 三次函数极大值大于零且极小值小于零时图像与x 轴交点有三个.（三）与三次函数有关问题：例1：（2009北京文）设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点))2(,2(f 处与直线8y =相切，求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）()'233f x x a =-,∵曲线()y f x =在点))2(,2(f 处与直线8y =相切，∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩ （Ⅱ）∵()()()'230f x x aa =-≠, 当0a <时，()'0f x >，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，此时函数()f x 没有极值点.当0a >时，由()'0f x x =⇒=当(,x ∈-∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当(x ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当)x ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，∴此时x =()f x的极大值点，x =()f x 的极小值点.小结1：（1） 切线问题处理（2） 单调性、极值问题例2：设函数329()62f x x x x a =-+-,若方程 f (x )=0 有且仅有一个实根，求 a 取值范围． 解：'2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--, 因为 当1x <时, '()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >; 所以 当1x =时,()f x 取极大值 5(1)2f a =-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52a >. 变式：(1）若方程 f (x )=0 有三个不同的实根，求 a 的取值范围（2）若函数y=f (x )图象与直线y =4 有三个不同的实根，求 a 的取值范围（3）设函数 g (x )=2x+b-a .若f (x )、g (x )图像只有一 个公共点，求b 的取值范围.小结2：方程根的情况与相应函数图像与x 轴交点之间的关系。

导数法解“三次”函数问题新教材中导数内容的介入，为研究函数的性质提供了新的活力，通过求导可以研究函数的单调性和极值，其操作的步骤学生易掌握，判别的方法也不难。

特别地，当f(x)为三次函数时，通过求导得到的f /(x)为二次函数，且原函数的极值点就是二次函数的零点；同时利用导数的几何意义：曲线在某一点P （00,y x ）处的切线的斜率)(0/x f k =，可得到斜率 k 为关于0x 的二次函数。

根据这些特点，一般三次函数问题，往往可通过求导，转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决。

下面笔者从课堂或试卷上出现的这一类型题目中选择几例，同时结合学生产生的问题，略作说明。

例1：已知f(x)=d cx bx x +++23在（—∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为α、2、β.（1） 求c 的值；（2） 求证：f(1)≥2（3） 求｜α-β｜的取值范围。

解：（1）,23)(2/c bx x x f ++=由题意可得：x=0为f(x)的极值点，∴0,0)0(/=∴=c f（2）令023)(2/=+=bx x x f ，得32,021b x x -== ∵f(x)在（—∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数， ∴232≥-b ，即3-≤b 又∵b d d b f 48,048,0)2(--=∴=++∴=∴.2371)1(≥--=++=b d b f（3）∵方程f(x)=0有三个根α、2、β.∴设),)(2()(223n mx x x d cx bx x x f ++-=+++= 由待定系数法得2,2d n b m -=+= ∴α、β为方程02)2(2=-++d x b x 的两根， ∴ α+β=-（b+2），αβ=-d/2；∴｜α-β｜2=16)2(1242)2(222--=--=++b b b d b∵3-≤b ，∴｜α-β｜2≥9，∴｜α-β｜ ≥3一般地，若已知三次函数f(x)=)0(23>+++a d cx bx ax 在（—∞，m ）上是增函数，在[m ，n]上是减函数，在（n,+∞）上是增函数,则二次方程f /(x)=0即0232=++c bx ax 的两个根为m ，n ；且当),(),(+∞⋃-∞∈n m x 时f /(x)>0，当),(n m x ∈时f /(x)<0，反之亦然。

三次函数的导数问题在微积分学中，导数被用于研究函数的变化率。

在下面的文章中，我们将研究三次函数的导数问题。

三次函数的定义三次函数是指具有一次、二次和三次项的函数，可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中a、b、c和d是常数。

三次函数的图像通常是一个“S”形的曲线，其形状取决于函数的系数。

具体来说，当a>0时，曲线呈现“下凸”，当a<0时，曲线则呈现“上凸”。

三次函数的导数三次函数的导数通常表示为f'(x)，它是指在某个点x处的切线斜率，也是函数在该点处的变化率。

为了求出三次函数的导数，我们可以使用微积分理论中的求导法则。

具体来说，我们需要求出三次函数的每一项的导数，然后将它们相加。

因此，三次函数的导数可以表示为：f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c其中3a、2b和c是三次函数的一次导数项的系数。

三次函数的导数图像三次函数的导数图像通常是一个二次函数，并且其形状与三次函数本身的形状有很大的关系。

当三次函数的a>0时，它的导数图像呈现“上凸”的U形；当a<0时，导数图像则呈现“下凸”的n形。

如果三次函数有其导数为0的点，则该点是函数的临界点，也是函数的最值点之一。

应用三次函数的导数在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，三次函数可以用来描述物体的加速度变化；在经济学中，三次函数可以用来描述收入和消费之间的关系；在工程学中，三次函数可以用来描述材料的强度和韧性之间的关系等等。

结论通过本文，我们学习了三次函数的导数问题。

我们发现，三次函数的导数是函数变化率的表示，它可以帮助我们更好地理解和使用这些函数。

同时，我们也了解到了三次函数和导数图像的形状及其应用。

tan三次方x的导数要求求解tan(x)的三次方导数，就是求出[tan(x)]^3关于x的导数。

为了求解这个问题，我们需要使用一些基本的导数公式和三次方函数的求导规则。

首先，我们可以回忆一下tan(x)的导数公式，即d/dx tan(x) = sec^2(x) （其中sec(x)表示secant(x)）然后，我们可以使用链式法则来求解[tan(x)]^3的导数。

根据链式法则，如果我们有一个外部函数f(g(x))，那么它的导数可以通过以下公式计算：d/dx f(g(x)) = f'(g(x)) * g'(x)在这种情况下，外部函数是f(x) = x^3，内部函数是g(x) = tan(x)。

首先，我们需要计算内部函数的导数g'(x)，然后再计算外部函数的导数f'(g(x))。

1. 计算g'(x)：由于g(x) = tan(x)，我们可以使用之前提到的tan(x)的导数公式，即d/dx tan(x) = sec^2(x)那么，g'(x) = sec^2(x)2. 计算f'(g(x))：由于f(x) = x^3，那么f'(x) = 3x^2。

由于我们的内部函数是g(x) = tan(x)，我们需要将f'(x)替换为f'(g(x))，即将x替换为g(x)：f'(g(x)) = 3[g(x)]^2 = 3[tan(x)]^2接下来，我们将以上的计算结果放入链式法则中：d/dx [tan(x)]^3 = f'(g(x)) * g'(x)= 3[tan(x)]^2 * sec^2(x)最终得到[tan(x)]^3的导数为3[tan(x)]^2 * sec^2(x)。

在解题过程中，我们使用了tan(x)的导数公式和链式法则。

这些是基本的导数规则，对于求解各种函数的导数都非常重要。

另外，我们也复习了关于tan(x)和sec(x)的定义，这些定义在求导过程中也经常会出现。

导数与函数的三次样条插值一、导数的定义与性质导数是微积分中的重要概念，用于描述函数的变化率。

对于函数f(x)，其导数表示为f'(x)，定义如下：f'(x) = lim[(f(x+h) - f(x))/h]，其中h趋近于0。

导数具有以下性质：1. 可微性：如果函数在某一点处可导，则必然在该点连续。

2. 右导数和左导数：函数在某一点处的导数，可以分为右导数和左导数。

右导数表示函数从右侧逼近该点时的导数值，左导数表示函数从左侧逼近该点时的导数值。

3. 导数与函数的关系：函数在一点处可导，则该点为函数的连续点。

但函数在某点连续，并不一定在该点可导。

二、三次样条插值的概念与原理样条插值是一种常用的插值方法，用于在给定的数据点上拟合出平滑的曲线。

三次样条插值是指拟合曲线为三次多项式的情况。

三次样条插值的原理如下：1. 分段插值：将整个插值区间划分为若干个子区间，每个子区间用一个三次多项式拟合。

2. 内插条件：对于每个子区间，函数在该区间的两个端点处，需要满足函数值与导数值的限制条件。

一般可以选择自然边界条件，即在两个端点处的二阶导数值为0。

3. 数值求解：根据给定的数据点，利用线性方程组的方法求解各个子区间的系数，并得到整体的插值函数。

三、导数与三次样条插值的关系导数与三次样条插值之间有着密切的联系。

在三次样条插值中，拟合曲线是一段段的三次多项式，这些多项式具有连续的一阶导数。

具体地说，对于三次样条插值中的每个子区间，其拟合曲线是一个三次多项式，设该多项式为P(x)，则P(x)在该子区间上是连续可导的。

这意味着在子区间的内部，P(x)的导数f'(x)是存在的。

因此，三次样条插值不仅能够很好地拟合给定的数据点，还可以提供连续的导数值。

这对于很多应用场景来说非常重要，比如函数的光滑性要求较高的图像绘制、物理模拟等领域。

四、导数与三次样条插值的应用导数与三次样条插值在实际问题中具有广泛的应用。

三次函数常见的性质及应用在数学中，三次函数是把实数当做自变量的函数，其形式为： f(x)=ax+bx+cx+d其中，a≠0，b、c、d为常数。

三次函数是最常用的幂函数之一，也是处理数学实际问题的重要函数。

它可以通过它的性质及应用，来提高我们的数学认知水平。

二、三次函数的性质1、三次函数的一阶导数根据定义，一阶导数是指函数的斜率。

设f(x)=ax+bx+cx+d，其一阶导数为：f(x)=3ax+2bx+c综上所述，可以看出，三次函数的导数为二次函数。

2、三次函数的局部极值三次函数的局部极值问题可以使用一阶导数法来解决。

即求出f(x)=3ax+2bx+c的极值，再根据其值判断f(x)的极值情况。

也就是求出f(x)=0的解，即可找出f(x)的极大值和极小值。

3、三次函数的对称轴若令f(x)=0，即可得出f(x)的对称轴，它是函数图像的对称轴。

当b=0时，它可以是x轴，当b≠0时，它可以是一条直线。

三、三次函数的应用1、三次函数在求解复杂函数中的应用复杂函数是指有交叉部分的函数，如正弦函数、余弦函数等。

在求解这类复杂函数中，三次函数可以帮助我们把函数分解成几个子函数，并将其组合起来。

这样可以更方便地求解，也更容易理解。

2、三次函数在物理中的应用在物理学中，三次函数可以用来描述力学系统中物体的运动轨迹。

比如在动量定理中，物体在受外力作用时，其运动可以用三次函数来进行描述。

此外，三次函数还可以用于喷气发动机的设计中，是一种非常有效的工具。

四、总结以上就是三次函数的常见性质及应用。

它不仅可以把复杂的函数分解成若干个子函数，同时还可以在物理学中得到重要的应用。

只要我们熟悉三次函数的性质和应用，就可以更好地利用它来进行数学实际问题的解决，提高我们的数学认知水平。