导数与三次函数(教案)

《三次函数》教学设计一．教学内容解析三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，是应用二次函数图象和性质的好素材.本节课是在复习了函数（二次函数）和导数的基础上的一节高三复习探究课.通过本节课的学习，有助于学生对导数知识的进一步理解和掌握.二．教学目标设置通过本节的学习，达到以下三个目标：1.知识与技能（1）用函数的观点系统梳理三次函数的概念、图象等有关性质。

（2）利用三次函数的导数(二次函数)进一步研究三次函数的图象特征,并准确记忆三次函数的图象及性质.（3）掌握与三次函数有关的常见问题及解决办法，以及在此过程中所渗透的转化,分类讨论,数形结合等数学思想.2.过程与方法利用导数及二次函数的知识去研究三次函数的图象，进一步利用导函数与原函数图象间的关系来解决函数单调性、极值、最值、方程根的个数（图象的交点个数）、和恒成立问题.3.情感态度价值观让学生经历从特殊到一般的认识事物和发现规律的过程，体会事物之间的内在联系. 三．学生学情分析本节课是在学生学习了二次函数以及导数的基础上进行的扩展探究，是对导数知识的拔高训练，虽有一定的知识储备，但是仍有一定的理解难度.四．教学策略分析利用学生已有的知识去探究其未了解的知识，一切以学生的认知结构为出发点，去设置问题和选题.层层递进，由浅入深，引导并鼓励学生自己发现并解决问题.五．教学过程1.知识梳理预设结果:① 在(,)a b 上,'()0f x >,则()f x 在(,)a b 上单调递增; '()0f x <,则()f x 在(,)a b 上单调递减;②当0∆≤时,原函数都是单调的且无极值点,而 0∆>时,原函数都是有三个单调区间且有两个极值点.设计意图: 是让学生更深刻的理解记忆二次导函数图象与原函数图象的关系. 2. 基本应用例1. 设函数32()21,f x x x x x R =-++∈. （1）求函数()f x 的单调区间和极值; （2）求函数()f x 在[]0,3上的最大值. 解:2'()341(1)(31)f x x x x x =-+=--由导数图知,1(,)3x ∈-∞或(1,)x ∈+∞,'()0f x >,()f x 单增,)+∞ 单增无极值1(,1)3x ∈,'()0f x <,()f x 单减,∴()f x 的单调递增区间为1(,)3-∞,(1,)+∞,单调递减区间为1(,1)3.又131()327f =,(1)1f =.∴()f x 的极大值为131()327f =,极小值为(1)1f =. (2)当1(0,)3x ∈,'()0f x >,()f x 单增,当1(,1)3x ∈,'()0f x <,()f x 单减,当(1,3)x ∈,'()0f x >,()f x 单增, 131()327f =,(3)13f =,max ()(3)13.f x f == 设计意图:利用基本问题,巩固基本方法. 变式(1)题干条件不变，分别讨论a 的取值范围,使得关于x 的方程()f x a = 有一个,两个，三个实根？(2)若关于x 的不等式()f x a ≤在[]0,3上恒成立,求a 的取值范围.解:(1)当3127a >或1a <时, 方程()f x a =有一个根; 当3127a =或1a =时, 方程()f x a =有两个根;当31127a <<时, 方程()f x a =有三个根;(2)max ()()a f x a f x ≥⇔≥,即13a ≥.问题2:（1）请同学们总结求函数单调区间，极值，最大（小）值的一般处理方法. ①求单调区间a.求'()f x (定义域)b.解不等式'()0,'()0f x f x ><c.对应的解集为单调增减区间.②求极值a. 求'()f x (定义域)b. 解方程'()0f x =c. 判断根两侧导数值符号 ③求函数最大(小)值 a. 求'()f x (定义域)b. 研究'()f x 在给定区间上图象情况,进而还原原函数图象c. 找到最大(小)值（2）总结求方程根的个数问题的一般处理方法.转化为直线与图象的交点问题. （3）总结恒成立问题的一般处理方法.转化为求最值问题.设计意图:通过变式进一步巩固基本方法,学生自己解决,获得成就感. 3.拓展升华例2.已知函数32()1,f x x ax x a R =+++∈.（1）讨论函数()f x 的单调区间；(2)设函数()f x 在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数，求a 的取值范围. 问题3: 该题目与例1有什么不同之处?如何转化求解?预设结果:例2系数中不含参数,本题含参,导致∆含参,使得()f x '图象与x 轴位置不确定,要通过讨论使之确定.而第(2)问则要去限制二次导函数的图象,用到一元二次方程根的分布.设计意图:鼓励学生对含参问题进行研究,深化学生的知识结构. 分析: (1)1)(23+++=x ax x x f ,则123)(2++='ax x x f ,∆=1242-a 中含参,则()f x '图象与x 轴位置不确定,则要对∆来分类讨论.（2）需要限制二次导函数的图象.解: ①当0≤∆，33≤≤-a ,'()0,()f x f x ≥单调增函数, 单调增区间为),(+∞-∞②当0>∆ 令()0f x '=,此时3321---=a a x 3322-+-=a a x 显然12x x >，由导函数图象知，得出三次函数单调性.所以函数)(x f 的单调递增区间为)33,(2----∞a a 和),33(2+∞-+-a a 单调递减区间为)33,33(22-+----a a a a(2)法一: ()f x 在区间21(,)33--内是减函数,'()0f x ∴≤在21(,)33--恒成立.由导函数图象知,27'()032412'()03f a a a f ⎧-≤⎧⎪≥⎪⎪⇒⇒≥⎨⎨⎪⎪≥-≤⎩⎪⎩, 2a ∴≥.法二:2'()3210f x x ax =++≤在21(,)33--上恒成立, 即23111(3)22x a x x x--≥=-+ 令1()3g x x x =+,由对勾函数图象得,27()32g -=-,1()43g -=-,(g =-4()g x ∴-<≤1()22g x ≤-<,2a ∴≥例3 已知函数323()1,2f x ax x x R =-+∈.0a >,若在区间112,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上, ()0f x >恒成立,求a 的取值范围.问题4: 函数()f x 在区间112,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调性如何?讨论的标准是什么? 预设结果:同样都是含参的问题,而此函数的导函数图象随着a 的确定基本可以确定,有两个不等实根,我们只需讨论区间端点与极值点的大小关系.亦或者使参数分离转而求函数的最值.设计意图:更深层的考查学生对知识的掌握情况,提高学生的转化问题应变能力.解:法一: 323()1,2f x ax x x R =-+∈,'2()33f x ax x =-, '10.()3()a f x ax x a>=-,如图.ⅰ)11,022a a ≥<≤即,'1,0,()0,()2x f x f x ⎛⎫∈-> ⎪⎝⎭单增,'10,,()0,()2x f x f x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭单减.1()02551()02f a f ⎧->⎪⎪∴⇒-<<⎨⎪>⎪⎩,02a ∴<≤. ⅱ) 11,22a a <>即,'1,0,()0,2x f x ⎛⎫∈-> ⎪⎝⎭ ()f x 单增,'10,,()0,x f x a ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭()f x 单减,'11,,()0,2x f x a ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭()f x 单增,1()0251()0f a f a⎧->⎪⎪∴⇒<<⎨⎪>⎪⎩,25a ∴<<.综上, 05a <<.法二: 323102ax x -+>对于任意的11[,]22x ∈-恒成立. 当0x =时, a R ∈;当1(0,]2x ∈时, 3312a x x >-; 当1[,0)2x ∈-时, 3312a x x <-; 令1,(,2][2,)t t x =∈-∝-+∝ ,33(),2t g t t =-+23'()3,2g t t =-+当[2,)t ∈+∝时,'()0,g t < ()g t 单调递减, max ()(2)5,5g t g a ==-∴>-;当(,2]t ∈-∝-时,'()0,g t < ()g t 单调递减, min ()(2)5,5g t g a =-=∴<;55a ∴-<<.又0,05a a >∴<<4.梳理总结问题5:本节课你的收获有哪些？请你从知识、经验、问题、方法等方面进行总结. 1、利用导数研究三次函数的图象和性质； 2、利用图象与性质解决三次函数的几类问题:①单调性、极值、最值问题； ②讨论三次方程根的问题； ③恒成立问题. 3、思想方法：数形结合,函数与方程，分类讨论，转化思想。

三次函数教案范文【教学目标】知识与能力：1.掌握三次函数的定义和性质；2.理解三次函数的图像特征；3.能够应用三次函数解决相关问题。

过程与方法：培养学生观察、分析、推理和解决问题的能力。

情感态度与价值观：培养学生多角度思考问题，善于发现问题的本质和创新解决问题的能力。

【教学重点】三次函数的定义和性质。

【教学难点】三次函数的图像特征。

【教学过程及设计】一、导入（10分钟）1.导入前，教师可以准备一些花类的图片，让学生观察并思考花的生长过程是怎样的。

2.引导学生讨论，探究花的生长过程中是否存在一定的规律。

二、新课呈现（30分钟）1. 定义三次函数：三次函数是指函数的定义域为全体实数，且函数的公式为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d（a ≠ 0）的函数。

2.引导学生观察三次函数的图像，并讨论函数的性质。

三、讲解三次函数的性质（30分钟）1.零点：f(x)=0的解为三次函数的零点，零点的个数最多为3个。

2.极值点：三次函数的顶点为极值点，极大值或极小值。

3.两三次函数的图像的特征：对称性、开口方向。

4.其他性质：函数的增减性、奇偶性等。

四、解决相关问题（40分钟）1.给定函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5，求解它的零点和极值点。

2.物质的表面积S随时间t的变化关系为S=2t^3-3t^2+2t，求此物质的变化趋势。

3.商品的价格p与其销量q的关系为p=0.02q^3-0.1q^2+100，求出销售这种商品的最佳销量。

【教学反思】通过本节课的学习，学生能够掌握三次函数的基本定义和性质，了解三次函数的图像特征，并能够应用三次函数解决实际问题。

同时，通过教学设计的合理安排，培养学生观察、分析、推理和解决问题的能力，提高学生的自主学习能力。

导数与三次函数（教案）教学目标（1）知识目标:以三次函数为载体，掌握用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题的方法。

（2）能力目标:深化数形结合、转化与化归、分类讨论、从特殊到一般等数学思想在解有关问题中的运用，培养学生探究问题的能力和综合分析、解决问题的能力。

（3）情感目标:以数形联系的观点看数学问题，体会由特殊到一般的方法探究数学问题的过程。

鼓励学生大胆猜想，敢于质疑，严密论证。

教学重点:导数应用。

教学难点:三次函数的单调性、极值点个数的探求。

教学模式:以问题为主线，运用探究式与变式教学相结合的教学模式。

教学过程一 回顾复习 引出本课课题叙述利用导数求可导函数单调区间的步骤。

二 再现陈题 掌握导数应用例1 已知函数3()3f x x x =-,R x ∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求()f x 在[0，3]上的最值；（3）过点A （2，2）作曲线y=f(x)的切线，求切线方程。

特别警示：求切线方程首先要判断该点是否在曲线上点评1 导数的主要应用：可导函数的单调性、极值、在闭区间上的最值，以及利用导数的几何意义研究切线问题。

变式一 若关于x 的不等式()f x a ≥在0≤x ≤3上恒成立，求实数a 的取值范围； 变式二 关于x 的方程f(x)=a 恰有3个不等的实根，求实数a的取值范围.(图象法)画3()3f x x x =-草图的方法：利用函数有关性质(1)确定极值点对应的点（简称关键点） (2)结合单调性 点评 2 数形结合，以形助数来解决问题。

二 改变命题 探求字母系数例 2 若函数32()331f x kx x x =+++(0k ≠)在R 上是增函数,求实数k 的取值范围。

分析 '()f x =2363kx x ++，0k ≠，'()f x ∴图象是一条过（0，3）的抛物线，由于f(x)在R 上是增函数，则 1）300k >⎧⎨∆<⎩，即01k <<，这时'()0f x >在R 上恒成立，f(x)在R 上是增函数；2）300k >⎧⎨∆=⎩，即1k =，323()331(1)f x x x x x =+++=+,显然f(x)在R 上是增函数；3）300k >⎧⎨∆<⎩，不符合题意。

“三次函数的图象与性质”教学设计一、教学内容解析：三次函数是高中数学人教版选修2-2第一章第三节的内容。

三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，有着重要的地位，围绕三次函数命制的试题，近几年来在全国各地高考及模拟试题中频繁出现，已成为高考数学的一大亮点，特别是文科数学。

因此学习和掌握三次函数的基本性质很有必要。

但教材也没提及三次函数的这一概念，题型也局限在只是解决系数为常数的极值和单调区间问题，各种教辅资料中也往往只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的探索，而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述。

本节课是高三复习探究课，具体内容是：借助信息技术、通过几何画板的操作生成关于三次函数的动态效果，从而以三次函数的图像的形状特征为主线，探究三次函数的单调性和极值问题，加强学生对三次函数图像与性质的感性认识、引发学生的理性思考，形成经验。

同时在此过程中体会数形结合、分类讨论、化归与类比等思想方法。

基于对教材的认识和分析，本节课的教学重点和难点分别确定为：重点：（1）探究系数a,b,c,d 的大小的变化与三次函数图像之间的变化规律； （2）根据图像探究三次函数的性质：单调性和极值。

难点：根据图像分析出三次函数的性质：单调性和极值。

二、教学目标设置：根据本节课的内容和地位，让学生通过这节课的教学达到下列三个目标： 1、知识与能力：①加深对三次函数图像和性质的认识，学会利用三次函数解决问题；增强分析问题，解决问题的能力。

②培养自主学习的能力和利用计算机软件《几何画板》探求新知识的能力。

③掌握一定的多媒体环境下研究性学习的方法和手段，提高现代教育技术素养。

2、过程与方法：通过对函数)0(,)(23≠+++=a d cx bx ax x f 性质的研究，引导学生建立讨论函数性质的基本框架，知道函数性质的基本内容及其作用，掌握研究函数性质的基本过程和方法。

3、情感态度与价值观：通过直观的图形和抽象的函数性质的统一，培养学生的辨证唯物主义思想观；在研究的过程中，通过同学之间的讨论与协作，培养合作精神。

导数与三次函数一、教学目标1.知识与技能（1）理解导数的概念及其几何意义；（2）掌握三次函数的导数的计算方法；（3）能够利用导数求解三次函数的最值、单调性等问题。

2.过程与方法（1）通过观察、讨论和实例分析的方式，引导学生发现导数的概念及其几何意义；（2）通过导数的定义，推导出三次函数的导数计算公式；（3）通过练习、例题和实际问题的分析，培养学生运用导数求解最值和单调性等问题的能力。

3.情感、态度与价值观（1）培养学生观察、思考和分析问题的能力；（2）激发学生学习数学的兴趣和动力；（3）培养学生合作和创新的意识和能力。

二、教学重点（1）导数的概念及其计算方法；（2）三次函数的导数计算方法。

三、教学难点三次函数的导数计算方法。

四、教学准备黑板、彩色粉笔、教师用电脑及投影仪。

五、教学过程1.导入（1）教师以黑板和投影仪为媒介，展示一张由不同函数图象组成的图片，让学生观察并思考：这些函数之间有什么共同的特点？（2）学生回答后，教师引导他们讨论，并得出结论：这些函数图象的斜率是否恒定？（3）然后，教师告诉学生这种函数图象的斜率在不同点上是不同的，这个斜率就是导数。

2.导入导数的概念（1）教师在黑板上写下函数的定义：若函数f(x)在点x处有导数，则称函数在点x处可导，导数记为f'(x)，定义如下：\[f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]（2）教师通过具体的实例进行解释，通过图像展示导数的几何意义：导数表示函数图象在其中一点处的切线的斜率。

3.计算三次函数的导数（1）教师在黑板上写下三次函数的一般形式：\[f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\]（2）教师引导学生思考，讨论如何计算这个函数的导数。

（3）通过讨论，教师引导学生推导出三次函数的导数计算公式：\[f'(x)=3ax^2+2bx+c\]4.练习（1）教师出示一道示例题，让学生计算函数\[f(x)=2x^3-4x^2+5x-3\]在$x=2$处的导数。

三次函数研究专题导学案(一)作者：邢志华 2014.3.18（1）定义 定义1、形如)0()(23≠+++=a d cx b a x f x x的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。

定义2、三次函数的导数)0(23)(2≠++='a c bx ax f x，把ac b 1242-=∆叫做三次函数导函数的判别式。

（2）三次函数图象与性质的探究 2.单调性：探究1 讨论三次函数)0()(23≠+++=a d cx b ax f x x在R 上为增（或减）函数的充要条件。

结论 1 三次函数)(x f 的导函数)0(23)(2≠++='a c bx ax f x的判别式ac b 1242-=∆，若)(x f 在R 上为增函数：若)(x f 在R 上为减函数：大致画出导函数与原函数的图像：导函数 原函数 0>a0<a思考：若0>∆，单调性又如何？你能大致画出导函数与原函数的图像吗？3.极值点与极值：探究2 讨论三次函数)0()(23≠+++=a d cx b ax f x x极值点的个数。

探究3 讨论)0(023≠=+++a d cx b ax x 有一个根，两个根，三个根的情况。

结论3 若0>∆，则设0)(='x f 的两个根xx 21<（1）有1个根： （2）有2个根： （3）有3个根：1.例题讲解例1、已知函数1)2(33)(23++++=x a axx f x 既有极大值也有极小值，求实数a 的取值范围。

例2、设b a <，则函数)()(2b x a x y --=的图像可能是（ ）例3、已知函数c bx ax x x f +++=23)(在132=-=x x 与时都取得极值，（1）求b a ,的值与函数)(x f 的单调区间；（2）若对[]2,1-∈x ，不等式2)(c x f <恒成立，求c 的取值范围。

四、牛刀小试1.函数223)(23-++=ax ax x x f 在),(+∞-∞上为单调增函数，求a 的取值范围。