2017大兴区高三一模数学(文科)解析

2017年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，B={x|1＜x≤2}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2] C．[﹣1，2]D．[﹣1，2）2．设复数z满足（1+i）z=2i，则复数z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．设向量=（1，2），=（m，m+1），∥，则实数m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣34．双曲线的顶点到渐进线的距离等于虚轴长的，则此双曲线的离心率是（）A．2 B．C．3 D．45．一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．46．检测600个某产品的质量（单位：g），得到的直方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测的质量在100.5﹣105.5之间的产品数为150，则质量在115.5﹣120.5的长方形高度为（）A．B．C．D．7．已知数列{a n}是等差数列，满足a1+2a2=S5，下列结论中错误的是（）A．S9=0 B．S5最小C．S3=S6D．a5=08．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）在区间（，）内是增函数，则（）A．f（）=﹣1 B．f（x）的周期为C．ω的最大值为4 D．f（）=09．如图是用二分法求方程x3﹣2=0近似解的算法的程序框图，则①②两处应依次填入（）A．a=m，b=m B．b=m，a=m C．a=f（m），b=f（m）D．b=f（m），a=f（m）10．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A，B，若S△OAF=4S△OBF，则直线AB的斜率为（）A．± B．± C．± D．±11．已知四面体A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（）A．60πB．30πC．20πD．15π12．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（0）=2，则不等式f（x）﹣2e x＜0的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）二、填空题13.已知实数x，y满足则z=x+2y的最大值为．14．若0＜a＜2，0＜b＜2，则函数存在极值的概率为．15．若a＞0，b＞0，且2a+b=1，且的最大值是．16．各项均为正数的数列{a n}和{b n}满足：a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1=1，a2=3，则数列{a n}的通项公式为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC面积S的最大值．18．（10分）某市拟招商引资兴建一化工园区，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如表所示：（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在30岁以上的人有多少人被抽取；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在30岁以上的概率．19．（10分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点D为AC的中点，点E为AA1上．（Ⅰ）当AA1=4AE时，求证：DE⊥平面BDC1；（Ⅱ）当AA1=2AE时，求三棱锥C1﹣EBD的体积．20．（15分）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，其离心率，点P为椭圆上的一个动点，△PAB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）动直线l过椭圆的左焦点F1，且l与椭圆C交于M，N两点，试问在x轴上是否存在定点D，使得为定值？若存在，求出点D坐标并求出定值；若不存在，请说明理由．21．（15分）已知函数f（x）=2lnx+x2﹣ax+2（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈[﹣2，0），不等式f（x0）＞a2+3a+2﹣2me a（a+1）（其中e是自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：，曲线C2的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1的极坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）把C1绕坐标原点沿顺时针方向旋转得到直线C3，C3与C2交于A，B两点，求|AB|．选修4-5：不等式选讲23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|的最小值为4．（Ⅰ）求a+b的值；（Ⅱ）求的最小值．2017年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，B={x|1＜x≤2}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2] C．[﹣1，2]D．[﹣1，2）【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义和不等式性质求解．【解答】解：＜0，即（x+1）（x﹣2）＜0，解得﹣1＜x＜2，即A=（﹣1，2），B={x|1＜x≤2}=（1，2]，则A∩B=（1，2），故选：A【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2．设复数z满足（1+i）z=2i，则复数z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】（1+i）z=2i，可得（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），化简整理即可得出．【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），化为：2z=2（i+1），∴z=1+i．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭虚数的定义，考查了推理能力与技能数列，属于基础题．3．设向量=（1，2），=（m，m+1），∥，则实数m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量平行的性质求解．【解答】解：∵=（1，2），=（m，m+1），∥，∴，解得m=1．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行的性质的合理运用．4．双曲线的顶点到渐进线的距离等于虚轴长的，则此双曲线的离心率是（）A．2 B．C．3 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件列出方程，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线的顶点（a，0）到渐进线bx+ay=0的距离等于虚轴长的，可得，即2a=c，可得e=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．5．一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是四棱锥，再根据三视图判断四棱锥的高与底面长方形的长与宽，把数据代入棱锥的体积计算可得答案．【解答】解：由三视图知几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为3，四棱锥的底面是长方形，长方形的长、宽分别为1、2，∴几何体的体积V=×1×2×3=2．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．6．检测600个某产品的质量（单位：g），得到的直方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测的质量在100.5﹣105.5之间的产品数为150，则质量在115.5﹣120.5的长方形高度为（）A．B．C．D．【考点】频率分布直方图．【分析】求出质量在100.5﹣105.5之间的频率，设出前三组长方形的高度成等差数列的公差为d，利用频率和为1求出d的值，再求出115.5﹣120.5对应的长方形高．【解答】解：根据题意，质量在100.5﹣105.5之间的产品数为150，频率为=0.25；前三组的长方形的高度成等差数列，设公差为d，则根据频率和为1，得（0.25﹣d）+0.25+（0.25+d）+（0.25+d）+（0.25+d）=1；解得d=；所以质量在115.5﹣120.5的频率是×（0.25+）=，对应小长方形的高为÷5=．故选：D．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目．7．已知数列{a n}是等差数列，满足a1+2a2=S5，下列结论中错误的是（）A．S9=0 B．S5最小C．S3=S6D．a5=0【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式求出首项和公差的关系，然后逐一核对四个选项得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=a1+2a2，∴，解得：a1=﹣4d．∴=0，故A正确；=﹣10d，不一定最小，故B错误；S3=3a1+3d=﹣9d，，故C正确；a5=a1+4d=0，故D正确．∴错误的结论是B．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，属中档题．8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）在区间（，）内是增函数，则（）A．f（）=﹣1 B．f（x）的周期为C．ω的最大值为4 D．f（）=0【考点】正弦函数的单调性．【分析】由条件以及利用正弦函数的单调性，求得ω的最大值，可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）在区间（，）内是增函数，∴ω•+φ≥2kπ﹣，ω+φ≤2kπ+，且•≥﹣，∴ω≥，ω≤，且ω≤4．令k=1，可得6﹣≤ω≤5﹣，且ω≤4，故ω的最大值为4，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．9．如图是用二分法求方程x3﹣2=0近似解的算法的程序框图，则①②两处应依次填入（）A．a=m，b=m B．b=m，a=m C．a=f（m），b=f（m）D．b=f（m），a=f（m）【考点】程序框图．【分析】根据据二分法求方程近似解的步骤和程序框图，逐项分析不难确定答案．【解答】解：据二分法求方程近似解的步骤知：当f（m）f（b）＜0即f（m）f（a）＞0时，说明方程的根在区间（m，b）内，故处理框（1）应填写a=m．当f（m）f（a）＜0即f（m）f（b）＞0时，说明根在区间（a，m）内，故处理框（2）应填写b=m．故选：A．【点评】本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．二分法是把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而求零点近似值的方法．10．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A，B，若S△OAF=4S△OBF，则直线AB的斜率为（）A．± B．± C．± D．±【考点】直线与抛物线的位置关系．=4S△BOF，得|AF|=4|BF|，，求得﹣y1=4y2，设出直线AB的方程，与抛物线方【分析】据S△AOF程联立消去x，利用韦达定理求出斜率，即可求出tanα．【解答】解：根据题意设点A（x1，y1），B（x2，y2）．=4S△BOF，得|AF|=4|BF|，|，，得，由S△AOF故﹣y1=4y2，即．设直线AB的方程为y=k（x﹣）．联立，消元得ky2﹣2py﹣kp2=0．故y1+y2=，y1y2=﹣p2．则，，解得k=，即直线AB的斜率为．故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的概念和性质，直线和抛物线的综合问题，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知四面体A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（）A．60πB．30πC．20πD．15π【考点】球的体积和表面积．【分析】当四面体的体积最大时，平面ABC⊥平面BCD，取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，求出EF，判断三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，求出半径，然后求解三棱锥的外接球的表面积．【解答】解：当四面体的体积最大时，平面ABC⊥平面BCD，取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，由题意知AF⊥DF，AF=CF=3，∴EF=AD=，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=DF2+OF2，∴R2=（）2+OE2，R2=32+（﹣OE）2，∴R=，∴三棱锥的外接球的表面积为4πR2=60π．故选A．【点评】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题．12．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（0）=2，则不等式f（x）﹣2e x＜0的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】构造函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，转化不等式即可得到结论．【解答】解：构造函数g（x）=，则函数的导数为g′（x）=，∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0，即g（x）在R上单调递减；又∵f（0）=2，∴g（0）==2，则不等式f（x）﹣2e x＜0化为＜2，它等价于g（x）＜2，即g（x）＜g（0），∴x＞0，即所求不等式的解集为（0，+∞）．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．二、填空题13.已知实数x，y满足则z=x+2y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+2y为，由图可知，当直线为过A（0，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为8．故答案为：8．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．若0＜a＜2，0＜b＜2，则函数存在极值的概率为．【考点】利用导数研究函数的极值；几何概型．【分析】求导，由函数存在极值，则f′（x）=0，存在两个不相等的实根，则△＞0，求得a＞2b，求得阴影部分的面积，利用几何概型概率公式，即可求得答案．【解答】解：由数，求导，f′（x）=x2+2+2b，由函数存在极值．则方程x2+2+2b=0，有两个不相等的实根，△=4a﹣4×2b＞0，即a＞2b，∴由题意可知阴影部分的面积S1=×2×1=1，a，b所围成图形的面积S=2×2=4，∴存在极值的概率S==，故答案为：．【点评】本题考查几何概型概率公式，极值存在的应用，考查计算能力，属于中档题．15．若a＞0，b＞0，且2a+b=1，且的最大值是．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】利用，可得≤，4a2+b2≥，即可得出．【解答】解：∵2a+b=1，a＞0，b＞0，∴由，可得≤，4a2+b2≥，∴S=2﹣（4a2+b2）≤，当且仅当b=2a=时取等号．∴S的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式及其变形应用，属于基础题．16．各项均为正数的数列{a n}和{b n}满足：a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1=1，a2=3，则数列{a n}的通项公式为．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】利用等差数列和等比数列中项的性质，运用等差数列的定义证明数列{}是等差数列．再利用等差数列的通项公式求出的通项公式，进而求出b n，a n．【解答】解：∵a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，∴2b n=a n+a n+1①，a n+12=bn•b n+1②．由②得a n+1=③．将③代入①得，对任意n≥2，n∈N*，有2b n=+．∵b n＞0，∴2=+，∴{}是等差数列．设数列{}的公差为d，由a1=1，b1=2，a2=3，得b2=．∴=，=，d=﹣=．∴=+（n﹣1）=（n+1），∴b n=（n+1）2，a n==n（n+1）=．故答案为：．【点评】本题考查了等差、等比数列的通项公式，利用构造等差数列法求得数列{}的通项公式是解答本题的突破口，本题还考查了学生的运算能力，运算要细心．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2017•辽宁一模）已知在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC面积S的最大值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得b2=a2+c2﹣ac，结合余弦定理，可求，即可得解B的值．（Ⅱ）由正弦定理可求b的值，利用余弦定理，基本不等式可求ac的最大值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，∴sin（A+B）=sinC，∴，由正弦定理得，即b2=a2+c2﹣ac，结合余弦定理，有，∴．（Ⅱ）∵，解得，∴（当且仅当a=c时取等），∴．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（10分）（2017•辽宁一模）某市拟招商引资兴建一化工园区，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如表所示：（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在30岁以上的人有多少人被抽取；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在30岁以上的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）设在“支持”的群体中抽取n个人，其中年龄在30岁以下的人被抽取x人，结合图表求出n和x的值即可；（Ⅱ）根据条件概率求出至少有1人在30岁以上的概率即可．【解答】解：（Ⅰ）设在“支持”的群体中抽取n个人，其中年龄在30岁以下的人被抽取x人，由题意，得n=60，则：人．所以在“支持”的群体中，年龄在30岁以下的人有45人被抽取．（Ⅱ）设所选的人中，有m人年龄在30岁以下，则，∴m=4．即从30岁以下抽取4人，另一部分抽取2人；分别记作A1，A2，A3，A4，B1，B2．则从中任取2人的所有基本事件为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2）（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）共15个，其中至少有1人在30岁以上的基本事件有9个．分别是（A1，B1），（A1，B2）（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）．所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在30岁以上的概率为．【点评】本题考查了条件概率问题，考查分层抽样，是一道中档题．19．（10分）（2017•辽宁一模）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点D为AC的中点，点E为AA1上．（Ⅰ）当AA1=4AE时，求证：DE⊥平面BDC1；（Ⅱ）当AA1=2AE时，求三棱锥C1﹣EBD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明BD⊥AC，BD⊥DE．连接EC1，证明ED⊥C1D，然后证明DE⊥平面BDC1．（Ⅱ）求出，说明BD为三棱锥B﹣C1DE的高，然后利用等体积法转化求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵△ABC为正三角形，点D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥面ACC1A1，从而BD⊥DE．连接EC1，∵AA1=4AE，AB=AA1=2，∴，，，，则，∴ED⊥C1D，又C1D∩BD=D，∴DE⊥平面BDC1．（Ⅱ）解：∵AA1=2AE，∴，∴，由（Ⅰ）知BD⊥面ACC1A1中，所以BD为三棱锥B﹣C1DE的高，所以．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，等体积法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20．（15分）（2017•辽宁一模）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，其离心率，点P为椭圆上的一个动点，△PAB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）动直线l过椭圆的左焦点F1，且l与椭圆C交于M，N两点，试问在x轴上是否存在定点D，使得为定值？若存在，求出点D坐标并求出定值；若不存在，请说明理由．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率，三角形的面积的最值列出方程，求解椭圆的几何量，得到椭圆方程．（Ⅱ）假设存在定点D（m，0），使得向量为定值n．①当直线l的斜率不为0时，椭圆C左焦点F1（﹣1，0），设直线l的方程为x=ty﹣1．联立，消去x，得（3t2+4）y2﹣6ty﹣9=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理化简数量积，求出n；②当直线l的斜率为0时，验证求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，且a2=b2+c2．解得．∴椭圆的标准方程为．（Ⅱ）假设存在定点D（m，0），使得向量为定值n．①当直线l的斜率不为0时，椭圆C左焦点F1（﹣1，0），设直线l的方程为x=ty﹣1．联立，消去x，得（3t2+4）y2﹣6ty﹣9=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则．，===．若为定值n，则，即，此时．②当直线l的斜率为0时，，亦符合题意；∴存在点，使得向量为定值．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21．（15分）（2017•辽宁一模）已知函数f（x）=2lnx+x2﹣ax+2（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈[﹣2，0），不等式f（x0）＞a2+3a+2﹣2me a（a+1）（其中e是自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）．令h（x）=2x2﹣ax+2，△=a2﹣16．通过①当a ≤0时，②当0＜a≤4时，③当a＞4时，分别判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解单调区间．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a∈[﹣2，0）时，函数f（x）在区间（0，1]上单调递增，当x∈（0，1]时，求出函数f（x）的最大值是f（1）=3﹣a，对任意的a∈[﹣2，0），都存在x0∈（0，1]，使得不等式成立，转化为：对任意的a∈[﹣2，0），不等式2me a（a+1）﹣a2﹣4a+1＞0都成立，记h（a）=2me a（a+1）﹣a2﹣4a+1，求出导函数，通过①当m≤1时，判断函数的单调性求出最值，②当m＞1时，（ⅰ）当1＜m＜e2时，（ⅱ）当m≥e2时，通过函数的地址求解m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）．令h（x）=2x2﹣ax+2，△=a2﹣16．①当a≤0时，﹣ax≥0，∴，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a≤4时，△=a2﹣16≤0，所以h（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；③当a＞4时，△=a2﹣16＞0，令h（x）=0，得，f′（x）＞0⇒x∈（0，x1）∪（x2，+∞）；f′（x）＜0⇒x∈（x1，x2）．所以，f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）单调递减．综上，1°当a≤1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；2°当a＞1时，f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）单调递减．（注：如果在每种情况中已说明函数在哪个区间上的单调性，不写综上不扣分；如果每种情况只解出不等式，最后没写综上扣1分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a∈[﹣2，0）时，函数f（x）在区间（0，1]上单调递增，所以当x∈（0，1]时，函数f（x）的最大值是f（1）=3﹣a，对任意的a∈[﹣2，0），都存在x0∈（0，1]，使得不等式成立，即对任意的a∈[﹣2，0），都成立，即对任意的a∈[﹣2，0），不等式2me a（a+1）﹣a2﹣4a+1＞0都成立，记h（a）=2me a（a+1）﹣a2﹣4a+1，则h'（a）=2me a（a+2）﹣2a﹣4=2（a+2）（me a﹣1）．∵a∈[﹣2，0），∴，且a+2≥0．①当m≤1时，me a﹣1＜0，∴h'（a）≤0，即a∈[﹣2，0）时，h（a）单调递减．∴h（a）＞0，只需h（0）≥0，解得，∴．②当m＞1时，令h'（a）=0得a=﹣2或a=﹣lnm，因为a∈[﹣2，0），所以2（a+2）≥0．（ⅰ）当1＜m＜e2时，﹣lnm∈[﹣2，0），当a∈（﹣2，﹣lnm）时，h'（a）＜0；当a∈（﹣lnm，0）时，h'（a）＞0，∴，解得，∴m∈（1，e2）．（ⅱ）当m≥e2时，因为﹣2≤a＜0，所以，所以me a≥1，所以h'（a）≥0，则h（a）在[﹣2，0）上单调递增，得h（﹣2）=5﹣2me﹣2＞0，即，∴．综上，m的取值范围是．【点评】本题考查函数的导数以及函数的单调性，极值以及最值的关系，构造法的应用，考查转化思想，分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）（2017•辽宁一模）在直角坐标系xOy中，直线C1：，曲线C2的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1的极坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）把C1绕坐标原点沿顺时针方向旋转得到直线C3，C3与C2交于A，B两点，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用ρsinθ=y，ρcosθ=x化简可得C1的极坐标方程；根据同角三角函数关系式，消去参数，可得C2直角坐标方程．（Ⅱ）由题意可得C3：，即，再根据点到直线的距离公式和直角三角形即可求出．【解答】解：（Ⅰ）直线C1：，曲线C2的普通方程为．（Ⅱ）C3：，即．圆C2的圆心到直线C3的距离．所以．【点评】本题考查了极坐标方程、参数方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23．（2017•辽宁一模）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|的最小值为4．（Ⅰ）求a+b的值；（Ⅱ）求的最小值．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式，结合条件求a+b的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b=4，由柯西不等式求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|≥|（x+a）﹣（x﹣b）|=a+b，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，所以f（x）的最小值为a+b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b=4，由柯西不等式得．即，当且仅当，即时，等号成立．所以，的最小值为．【点评】本题考查绝对值不等式，考查柯西不等式的运用，属于中档题．。

2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B={x|x＜}B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜}D．A∪B=R2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．0B．1C．2D．3 8．（5分）函数y=的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+211．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC ﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（）A．B．C．D．12．（5分）设A，B是椭圆C：+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．（0，]∪[4，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

17AD G OG FG天津市部分区2017年高考一模文科数学试卷解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出集合A∩B．【解答】解：∵集合A={x|0＜x≤3，x∈N}={1，2，3}，B={x|y=}={x|x≥1或x≤﹣1}，∴集合A∩B={1，2，3}．故选：B．2．【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型求概率，首先解得的区间长度以及与区间[﹣1，1]的长度，求比值即得．【解答】解：由3a+1＞0，解得：a＞﹣，故满足条件的概率p==，故选：C．3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体，分别求其体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体，棱柱的体积为：1×1×2=2，圆锥的底面半径为1，高为1，体积为：，故组合体的体积V=+2，故选：A4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的简单性质，求出a，b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线=1（a＞b＞0）的实轴长为2，可得a=1，离心率为，可得，可得c=，则b==2．则双曲线的方程为：x2﹣=1．故选：B．5．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．【解答】解：由|x﹣1|＜2，解得：﹣1＜x＜3，故p：﹣1＜x＜3；f（x）==x+的最小值为2，得x＞0，故q：x＞0，故p是q的既不充分也不必要条件，故选：D．6．【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】根据分段函数解析式的特点，分类讨论求出函数f（x）的值域，再求出f（f（a））和2f（a）成立，即可求出λ的取值范围【解答】解：方法一：∵函数f（x）=（λ∈R），任意的a∈R都有f（f（a））=2f（a）成立，∴f（a））≥1恒成立∴λ﹣1≥1即可，∴λ≥2，方法二：当x＜1时，f（x）＞f（1）=λ﹣1，当x≥1时，f（x）=2x，f（x）≥21=2，当λ﹣1≥2时，即λ≥3时，f（x）≥2，当λ﹣1＜2时，即λ＜3时，f（x）≥λ﹣1，∴①当λ≥3时，2f（a）∈[4，+∞），f（f（a））≥22=4∴f（f（a））=2f（a）恒成立②当λ＜3时，2f（a）∈[2λ﹣1，+∞），当2≤λ＜3时，f（f（a））≥2λ﹣1，∴f（f（a））=2f（a）恒成立，当λ＜2时，f（f（a））=﹣（λ﹣1）+λ=1，f（f（a））=2f（a）不恒成立，综上所述λ≥2，故选：C7．【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用已知条件，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系：在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则A（0，0），B（1，0），C（﹣1，），O（0，），M（0，），=（1，﹣），=（﹣1，）=﹣1﹣=﹣．故选：D．8．【考点】数列与函数的综合．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，n），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使n取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，n）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小n值．【解答】解：∵f（x）=cos（2x+）对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，n），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使n取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，n）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x n≤4π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|=16，按下图取值即可满足条件，即有|1+|+2×7+|1﹣|=16．则n的最小值为10．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．【考点】复数的基本概念．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的实部可求．【解答】解：由z（1+i）=3﹣i，得，则z的实部为：1．故答案为：1．10．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=6时，满足条件i≥6，退出循环，输出S的值即可．【解答】解：s=﹣2，i=0＜6第一次循环，s=﹣1，i=2，第二次循环，i=2＜6，s=1，i=4，第三次循环，i=4＜6，s=5，i=6≥6，输出s=5，故答案为：5．11．【考点】导数的运算．【分析】先求导函数f′（x），然后将x=0代入导函数即可求出f′（0）的值．【解答】解：=；∴．故答案为：2．12．【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意，设圆的圆心的坐标为（a，0），则圆的方程为（x﹣a）2+y2=5，（a＞0），由点到直线的距离公式计算可得圆心到直线x+2y=0的距离，由此可得1+（a）2=5，解可得a的值，将a的值代入圆的方程可得答案．【解答】解：根据题意，设圆的圆心坐标为（a，0），则其标准方程为（x﹣a）2+y2=5，（a＞0），则圆心到直线x+2y=0的距离d==a，又由该圆截直线x+2y=0所得弦的长为2，则有1+（a）2=5，解可得a=±2，又由a＞0，则a=2，故要求圆的方程为（x﹣2）2+y2=5，故答案为：（x﹣2）2+y2=5．13．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式、对数的运算法则和单调性即可得出．【解答】解：∵实数x，y＞0，x+y2=4，∴4=x+y2≥2，化为xy2≤4，当且仅当x=2，y=时取等号．则log2x+2log2y=log2（xy2）≤log24=2．因此log2x+2log2y的最大值是2．故答案为：2．14．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】方程f（x）=x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解⇔方程f（x）﹣x=m（m∈R）恰有三个不相等的实数解令g（x）=f（x）﹣x=．画出函数g（x）的图像，由图求解解：方程f（x）=x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解⇔方程f（x）﹣x=m（m∈R）恰有三个不相等的实数解令g（x）=f（x）﹣x=．当x≤0时，函数h（x）=ln（x+1）﹣x，h′（x）=，可知函数h（x）在（0，+∞）递减，函数g（x）的图像如下，由图可知g（﹣）＜m＜0，∴﹣，故答案为：（﹣，0）．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理和余弦定理，解方程组求得a的值；（Ⅱ）利用余弦定理求得cosA的值，可得sinA的值，利用二倍角公式求得sin2A．cos2A的值，再利用两角和差的三角公式求得cos（2A﹣B）的值．16．【考点】简单线性规划的应用；函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）根据条件建立约束条件，画出约束条件的可行域如图，（Ⅱ）利用数形结合，结合线性规划的应用即可得到结论．17．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AD的中点G，连接OG，FG，证明OGFE为平行四边形，可得OE∥FG，即可证明：OE ∥平面ADF；（Ⅱ）证明BD⊥平面AFC，即可证明：平面AFC⊥平面ABCD；（Ⅲ）做FH⊥AC于H，∠FAH为AF与平面ABCD所成角，即可求AF与平面ABCD所成角．18．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由+=﹣2（n≥2，n∈N*）整理得（S n+1+S n﹣1）2=（2S n）2，结合题意，得S n+1+S n﹣1=2S n，可判断出数列{S n}为等差数列，继而可得S n=2n﹣1，从而可求数列{a n）的通项公式；（Ⅱ）利用裂项法可得c n==（﹣），从而可求得数列{c n}的前n项和为T n，即可证得：≤T n．19．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆的性质可在：a﹣c=b，平方，利用椭圆的离心率公式，即可求得椭圆C的离心率；（Ⅱ）将M代入椭圆方程，求得a和b的值，求得椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，代入求得k 的值，利用弦长公式即可求得|AB|的最大值．20．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求导，利用导数与函数的单调性的关系即可求得函数的单调区间；（Ⅱ）（i）当t=1时，求得g（x），当x=1是g（x）=（x﹣t）f′（x）的中间零点，令h（x）=x2+（a+2）x+a ﹣1，则h（1）=2a+2＜0，即可求得a的取值范围；（ii）由题意可知x1，x3，是x2+（a+2）x+a﹣1=0，根据等差数列的性质，分别讨论x1，x2，x3，b的排列，结合韦达定理，即可求得b的值．。

2017年云南省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的．1．设集合A={x｜﹣x2﹣x+2＜0｝，B=｛x｜2x﹣5＞0}，则集合A 与B的关系是（）A．B⊆A B．B⊇A C．B∈A D．A∈B2．设复数z满足z（2+i)=5i，则｜z﹣1｜=( )A．1 B．2 C．D．53．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（）A．32 B．33 C．34 D．354．设a=60。

7，b=log70.6，c=log0。

60.7，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,若B=，a=，sin2B=2sinAsinC，则△ABC的面积S△ABC=（)A．B．3 C．D．66．执行如图所示的程序框图，如果输入N=30，则输出S=（）A．26 B．57 C．225 D．2567．函数f（x）=sin（ωx+φ），（｜φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣1+4kπ，1+4kπ)，k∈Z B．（﹣3+8kπ,1+8kπ),k∈Z C．（﹣1+4k，1+4k），k∈Z D．（﹣3+8k，1+8k），k∈Z 8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，BB1=1，P是AB的中点,则异面直线BC1与PD所成角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．在平行四边形ABCD中，|｜=8,｜｜=6，N为DC的中点，=2，则•=（）A．48 B．36 C．24 D．1210．已知函数f（x）=,则不等式f（x﹣1）≤0的解集为（）A．{x|0≤x≤2} B．{x｜0≤x≤3｝ C．{x｜1≤x≤2｝ D．{x｜1≤x ≤3}11．某几何体的三视图如图所示，若这个几何体的顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是（）A．2πB．4πC．5πD．20π12．以双曲线C：﹣=1(a＞0，b＞0）上一点M为圆心作圆，该圆与x轴相切于C的一个焦点F，与y轴交于P,Q两点，若△MPQ 为正三角形,则C的离心率等于（）A．B．C．2 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）。