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2（2017徐汇一模）. 已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则其焦点到准线的距离为4（2017青浦一模）. 等轴双曲线222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，且||AB =，则该双曲线的实轴长等于4（2017崇明一模）. 抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为4（2017宝山一模）. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5（2017普陀一模）. 设k R ∈，2212y x k k -=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是6（2017浦东一模）. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6， 则b =6（2017金山一模）. 点(1,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 6（2017奉贤一模）. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆2215x y +=的右焦点重合，则p =7（2017虹口一模）. 若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线距离为线焦距等于8（2017普陀一模）. 已知圆222:220C x y kx y k ++++=（k R ∈）和定点(1,1)P -，若过P 可以作两条直线与圆C 相切，则k 的取值范围是9（2017浦东一模）. 过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交 双曲线C 的两条渐近线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为9（2017金山一模）. 方程22242340x y tx ty t +--+-=（t 为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是 （结果化为普通方程）9（2017杨浦一模）. 已知直线l 经过点(且方向向量为(2,1)-，则原点O 到直线l 的距离为10（2017松江一模）. 设(,)P x y 是曲线1C =上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ， 则12||||PF PF +的最大值为10（2017闵行一模）. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y +=，则22x y +的取值范围是10（2017杨浦一模）. 若双曲线的一条渐近线为20x y +=，且双曲线与抛物线2y x =的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为11（2017虹口一模）. 点(20,40)M ，抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，若对于 抛物线上的任意点P ，||||PM PF +的最小值为41，则p 的值等于11（2017杨浦一模）.平面直角坐标系中，给出点(1,0)A 、(4,0)B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得||2||PA PB =，则实数m 的取值范围是12（2017虹口一模）. 当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||32|x y a x y +++--的取 值与x 、y 均无关，则实数a 的取值范围是12（2017金山一模）. 曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2k （0k >）的点的轨迹，下列四个结论：① 曲线C 过点(1,1)-；② 曲线C 关于点(1,1)-成中心对称；③ 若点P 在曲线C 上，点A 、B 分别在直线1l 、2l 上，则||||PA PB +不小于2k ；④ 设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1:1l x =-，点(1,1)-及直线2:1l y =对称的点分别为1P 、2P 、3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k ；其中，所有正确结论的序号是13（2017奉贤一模）. 对于常数m 、n ，“0mn <”是“方程221mx ny +=表示的曲线 是双曲线”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14（2017静安一模）. 已知椭圆1C ，抛物线2C 焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 顶点均 为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则1C 的左焦点到2C 的准线之 间的距离为（ ）A.1 B. 1 C. 1 D. 215（2017崇明一模）. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A.221255x y += B. 2213010x y += C.2213616x y += D. 2214525x y +=16（2017杨浦一模）. 若直线1x ya b+=通过点(cos ,sin )P θθ，则下列不等式正确的是（ ） A. 221a b +≤ B. 221a b +≥ C. 22111a b +≤ D. 22111a b+≥16（2017闵行一模）. 曲线1:sin C y x =，曲线22221:()2C x y r r ++-=（0r >），它们交点的个数（ ）A. 恒为偶数B. 恒为奇数C. 不超过2017D. 可超过201716（2017徐汇一模）. 如图，两个椭圆221259y x +=、221259y x+=内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列三个判断：（1）P 到1(4,0)F -、2(4,0)F 、1(0,4)E -、2(0,4)E 四点的距离之和为定值（2）曲线C 关于直线y x =、y x =-均对称 （3）曲线C 所围区域面积必小于36 上述判断中正确命题的个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个17（20172017静安一模）. 设双曲线22:123x y C -=，1F 、2F 为其左右两个焦点； （1）设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求1OM F M ⋅的取值范围； （2）若动点P 与双曲线C 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值 为19-，求动点P 的轨迹方程； 18（2017普陀一模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，且12||6F F =，12arccos 9PF F ∠=，12PF F ∆的面积为（1）求椭圆Γ的方程；（2）若M 是椭圆上的动点，求||MQ 的最大值， 并求出||MQ 取得最大值时M 的坐标；18（2017宝山一模）. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-；（1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||AB =试求直线l 的倾斜角；18（2017杨浦一模）. 如图所示，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段，点A 、B 在1l 上，且位于M 点的两侧，C 在2l 上，AM BM NM CN ===； （1）求证：异面直线AC 与BN 垂直；（2）若四面体ABCN 的体积9ABCN V =，求异面直线1l 、2l 之间的距离；19（2017青浦一模）. 如图，1F 、2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点，且焦距为AB 平行于x 轴，且11||||4F A F B +=； （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 是椭圆C 上异于点A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，若2MF 、2NF 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅是定值；19（2017浦东一模）. 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的一条直线交椭圆于P 、Q 两点，若△12PF F 的周长为4+，且长轴长与短轴长； （1）求椭圆C 的方程；（2）若12||||F P F Q PQ +=，求直线PQ 的方程；19（2017金山一模）. 已知椭圆C 以原点为中心，左焦点F 的坐标是(1,0)-，长轴长是短倍，直线l 与椭圆C 交于点A 与B ，且A 、B 都在x 轴上方，满足180OFA OFB ︒∠+∠=； （1）求椭圆C 的标准方程；（2）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若 存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由；19（2017崇明一模）. 已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ︒∠=；（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值；19（2017杨浦一模）. 如图所示，椭圆22:14x C y +=，左右焦点分别记作1F 、2F ，过1F 、2F 分别作直线1l 、2l 交椭圆于AB 、CD ，且1l ∥2l ；（1）当直线1l 的斜率1k 与直线BC 的斜率2k 都存在时，求证：12k k ⋅为定值； （2）求四边形ABCD 面积的最大值；20（2017闵行一模）. 如图，椭圆2214y x +=的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B 为顶点，焦距为P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段AQ 中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点； （1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M 的纵坐标M y 的取值范围；（3）是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 方程，若不存在，请说明理由；20（2017奉贤一模）. 过双曲线2214y x -=的右支上的一点P 作一直线l 与两渐近线交于A 、B 两点，其中P 是AB 的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P 坐标为0(,2)x 时，求直线l 的方程； （3）求证：||||OA OB ⋅是一个定值；20（2017虹口一模）. 椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ；（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值； （3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定 值，如果不是，求出12k k +的取值范围；20（2017松江一模）. 已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线l 交双曲线于A 、B 两点；（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均 存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎 样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由；20（2017徐汇一模）. 如图，双曲线22:13x y Γ-=的左、右焦点1F 、2F ，过2F 作直线l 交y 轴于点Q ；（1）当直线l 平行于Γ的一条渐近线时，求点1F 到直线l 的距离；（2）当直线l 的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P ，满足110F P FQ ⋅=？，若存在， 求点P 的坐标，若不存在，说明理由；（3）若直线l 与Γ交于不同两点A 、B ，且Γ上存在一点M ，满足40OA OB OM ++= （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程；。
上海市普陀区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 若集合2{|,}A x y x y R ==∈，{|sin ,}B y y x x R ==∈，则A B =I 2. 若22ππα-<<，3sin 5α=，则cot 2α= 3. 函数2()1log f x x =+（1x ≥）的反函数1()fx -=4. 若550125(1)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则125a a a ++⋅⋅⋅+=5. 设k R ∈，2212y x k k -=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是 6. 设m R ∈，若23()(1)1f x m x mx =+++是偶函数，则()f x 的单调递增区间是7. 方程22log (95)2log (32)x x-=+-的解x =8. 已知圆222:220C x y kx y k ++++=（k R ∈）和定点(1,1)P -，若过P 可以作两条直 线与圆C 相切，则k 的取值范围是9. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，若1A C 与平面11B BCC 所成的角为6π， 则三棱锥1A ABC -的体积为10. 掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d ，则{2,1,0,1,2}d ∈--出现的概率的最大值 为 （结果用最简分数表示）11. 设地球半径为R ，若A 、B 两地均位于北纬45°，且两地所在纬度圈上的弧长为4R ，则A 、B 之间的球面距离是 （结果用含有R 的代数式表示） 12. 已知定义域为R 的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，且11x -≤<时，2()1f x x =-，函数lg ||,0()1,0x x g x x ≠⎧=⎨=⎩，若()()()F x f x g x =-，则[5,10]x ∈-，函数()F x 零点的个数是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若0a b <<，则下列不等关系中，不能成立的是（ ）A. 11a b> B.11a b a >- C. 1133a b < D. 22a b >14. 设无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ，则“11a q +=”是 “lim 1n n S →∞=”成立的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要15. 设l αβ--是直二面角，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且a 、b 与l 均不垂 直，则（ ）A. a 与b 可能垂直，但不可能平行B. a 与b 可能垂直，也可能平行C. a 与b 不可能垂直，但可能平行D. a 与b 不可能垂直，也不可能平行16. 设θ是两个非零向量a r 、b r 的夹角，若对任意实数t ，||a tb +r r的最小值为1，则下列判断正确的是（ ）A. 若||a r 确定，则θ唯一确定B. 若||b r确定，则θ唯一确定C. 若θ确定，则||b r 唯一确定D. 若θ确定，则||a r唯一确定三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 已知a R ∈，函数1()||f x a x =+； （1）当1a =时，解不等式()2f x x ≤；（2）若关于x 的方程()20f x x -=在区间[2,1]--上有解，求实数a 的取值范围；18. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，且12||6F F =，12PF F ∠=12PF F ∆的面积为（1）求椭圆Γ的方程；（2）若M 是椭圆上的动点，求||MQ 的最大值， 并求出||MQ 取得最大值时M 的坐标；19. 现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为7.83/g cm ，总重量为 5.8kg ，其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位：毫米）； （1）这堆螺帽至少有多少个；（2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要 耗材0.11千克，共需要多少千克防腐材料？ （结果精确到0.01）20. 已知数列{}n a 的各项均为正数，且11a =，对任意的*n N ∈，均有 2114(1)n n n a a a +-=⋅+，22log (1)1n n b a =+-；（1）求证：{1}n a +是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉{}n a 的项后，余下的项组成数列{}n c ，求12100c c c ++⋅⋅⋅+； （3）设11n n n d b b +=⋅，数列{}n d 的前n 项和为n T ，是否存在正整数m （1m n <<），使得1T 、m T 、n T 成等比数列，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由；21. 已知函数()y f x =，若存在实数m 、k （0m ≠），使得对于定义域内的任意实数x ， 均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数，有序数对(,)m k 称为函数()f x 的“平衡”数对；（1）若1m =，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若a R ∈，0a ≠，当a 变化，求证：2()f x x =与()2xg x a =+的“平衡”数对相同； （3）若1m 、2m R ∈，且1(,)2m π、2(,)4m π均为函数2()cos f x x =（04x π<≤）的“平衡”数对，求2212m m +的取值范围；上海市普陀区2017届高三一模数学试卷参考答案一. 填空题1. [0,1]2.7243. 12x -(1)x ≥4. 315. )+∞6. [0,)+∞7. 1x =8. 2k <-或0k >9. 6 10. 2311. 3R π12. 15二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（1）[1,)+∞；（2）9[,3]2--；18.（1）221123x y +=；（2）(M -，max ||2MQ =+ 19.（1）252个；（2）0.05千克；20.（1）21nn a =-；（2）11202；（3）2m =，12n =；21.（1）是；（2）平衡数对(2,0)；（3）(1,8]。
上海市宝山区2017届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 23lim1n n n →∞+=+2. 设全集U R =，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =≥，则U AC B =3. 不等式102x x +<+的解集为 4. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5. 设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =6. 若函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为7. 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为 8. 已知向量(1,2)a =，(0,3)b =，则b 在a 的方向上的投影为9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面 积为10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生 均有的概率为 （结果用最简分数表示）11. 设常数0a >，若9()a x x+的二项展开式中5x 的系数为144，则a =12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ， 那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型 标准数列的个数为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设a R ∈，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人， 为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120 人，则该样本中的高二学生人数为（ ）A. 80B. 96C. 108D. 110 15. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且1()5P M =，1()4P N =，则9()20P M N =； （2）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （3）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （4）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （5）若1()2P M =，1()3P N =，5()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之 间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次 函数，三点(2,(2)2)f --+、(0,(0)2)f +、(2,(2)2)f +均位于“04⊕型带状区域”，如 果点(,1)t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数|()|y f t =的最大值为（ ） A. 72 B. 3 C. 52D. 2三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为934，侧面积为36；（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1AC 与AB 所成的角的大小；18. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-； （1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||6AB =， 试求直线l 的倾斜角；19. 设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）； （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小 正整数n 的值；20. 设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）； （1）当2m =时，解不等式1()1f x >； （2）若(0)1f =，且1()()2x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg2n f x <对任意n N ∈均成立， 求实数x 的取值集合；21. 设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{|,}A B a b a A b B +=+∈∈； （1）已知{0,1,2}A =，{1,3}B =-，试用列举法表示A B +；（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，122{,,}993B =---，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由；上海市宝山区2017届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 23lim1n n n →∞+=+2. 设全集U R =，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =≥，则U AC B =3. 不等式102x x +<+的解集为 4. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5. 设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =6. 若函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为7. 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为 8. 已知向量(1,2)a =，(0,3)b =，则b 在a 的方向上的投影为9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面 积为10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生 均有的概率为 （结果用最简分数表示）11. 设常数0a >，若9()a x x+的二项展开式中5x 的系数为144，则a =12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ， 那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型 标准数列的个数为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设a R ∈，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人， 为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120 人，则该样本中的高二学生人数为（ ）A. 80B. 96C. 108D. 110 15. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且1()5P M =，1()4P N =，则9()20P M N =； （2）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （3）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （4）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （5）若1()2P M =，1()3P N =，5()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之 间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次 函数，三点(2,(2)2)f --+、(0,(0)2)f +、(2,(2)2)f +均位于“04⊕型带状区域”，如 果点(,1)t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数|()|y f t =的最大值为（ ） A. 72 B. 3 C. 52D. 2三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为934，侧面积为36；（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1AC 与AB 所成的角的大小；18. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-； （1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||6AB =， 试求直线l 的倾斜角；19. 设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）； （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小 正整数n 的值；20. 设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）； （1）当2m =时，解不等式1()1f x >； （2）若(0)1f =，且1()()2x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg2n f x <对任意n N ∈均成立， 求实数x 的取值集合；21. 设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{|,}A B a b a A b B +=+∈∈； （1）已知{0,1,2}A =，{1,3}B =-，试用列举法表示A B +；（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，122{,,}993B =---，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由；上海市崇明县2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 复数(2)i i +的虚部为 2. 设函数2log ,0()4,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((1))f f -=3. 已知{||1|2,}M x x x R =-≤∈，1{|0,}2xP x x R x -=≥∈+，则M P =4. 抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为5. 已知无穷数列{}n a 满足112n n a a +=*()n N ∈，且21a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和， 则lim n n S →∞=6. 已知,x y R +∈，且21x y +=，则xy 的最大值为7. 已知圆锥的母线10l =，母线与旋转轴的夹角30α︒=，则圆锥的表面积为8. 若21(2)nx x+*()n N ∈的二项展开式中的第9项是常数项，则n =9. 已知,A B 分别是函数()2sin f x x ω=(0)ω>在y 轴右侧图像上的第一个最高点和第一 个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是10. 将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同 一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是11. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数，已知函数：①2y x =；②2sin y x =；③1xy π=-；④cos()3y x π=+；其中为一阶格点函数的序号为 （注：把你认为正确的序号都填上）12. 已知AB 为单位圆O 的一条弦，P 为单位圆O 上的点，若()||f AP AB λλ=-()R λ∈ 的最小值为m ，当点P 在单位圆上运动时，m 的最大值为43，则线段AB 长度为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A. tan y x =B. 3xy = C. 13y x = D. lg ||y x =14. 设,a b R ∈，则“21a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 15. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满 足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A.221255x y += B. 2213010x y += C.2213616x y += D. 2214525x y += 16. 实数a 、b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2a b+、ab 按一定顺序构成的数列（ ） A. 可能是等差数列，也可能是等比数列 B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列 C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列 D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，12BB =，求： （1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小； （2）四棱锥111A B BCC -的体积；18. 在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E 正北55海 里处有一个雷达观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与 点A 相距402海里的位置B 处，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+ （其中26sin 26θ=，090θ︒︒<<）且与点A 相距1013海里的位置C 处； （1）求该船的行驶速度；（单位：海里/小时）（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断 它是否会进入警戒水域，并说明理由；19. 已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ︒∠=；（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值；20. 设12()2x x a f x b+-+=+，,a b 为实常数；（1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数； （2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ， 都有2()33f x c c <-+成立？若存在，试找出所有这样的D ；若不存在，说明理由；21. 已知数列{}n a 、{}n b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和； （1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =，求证：数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，并写出{}n a 通项公式； （3）在（2）的条件下，设nn na cb =，求证：数列{}nc 中的任意一项总可以表示成该数列 其他两项之积；参考答案一. 填空题1. 22. 2-3. [1,1]-4.34 5. 4 6. 187. 75π 8. 12 9. 833 10. 96 11. ②③ 12. 423二. 选择题13. C 14. B 15. C 16. D三. 解答题 17.（1）5arccos10；（2）33；18.（1）155；（2）357d =<，会进入警戒水域；19.（1）2212y x -=；（2）29；20.（1）(1)(1)f f -≠-；（2）12a b =⎧⎨=⎩，12a b =-⎧⎨=-⎩；（3）当121()22x x f x +-+=+，D R =；当121()22x x f x +--=-，(0,)D =+∞，25(,log ]7D =-∞；21.（1）12n b =；（2）1n a n =+；（3）略；上海市金山区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若集合2{|20}M x x x =-<，{|||1}N x x =>，则MN =2. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =3. 如果5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值是 4. 函数cos sin ()sin cos x xf x x x=的最小正周期是5. 函数()2x f x m =+的反函数为1()y f x -=，且1()y f x -=的图像过点(5,2)Q ，那么m =6. 点(1,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 7. 如果实数x 、y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值是8. 从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课 代表，共有 种不同的选法（结果用数值表示） 9. 方程22242340x y tx ty t +--+-=（t 为参数）所表示 的圆的圆心轨迹方程是 （结果化为普通方程） 10. 若n a 是(2)nx +（*n N ∈，2n ≥，x R ∈）展开式中2x 项的二项式系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+= 11. 设数列{}n a 是集合{|33,stx x s t =+<且,}s t N ∈中所有的数从小到大排列成的数列， 即14a =，210a =，312a =，428a =，530a =，636a =，，将数列{}n a 中各项按 照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则15a 的值为12. 曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2k （0k >）的点的轨迹，下列四个结论：① 曲线C 过点(1,1)-；② 曲线C 关于点(1,1)-成中心对称； ③ 若点P 在曲线C 上，点A 、B 分别在直线1l 、2l 上，则||||PA PB +不小于2k ；④ 设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1:1l x =-，点(1,1)-及直线2:1l y =对称的点分别为1P 、2P 、3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k ； 其中，所有正确结论的序号是41012283036⋅⋅⋅二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 给定空间中的直线l 与平面α，则“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于平面α上 无数条直线”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分也不必要 14. 已知x 、y R ∈，且0x y >>，则（ ） A.110x y-> B. 11()()022x y -<C. 22log log 0x y +>D. sin sin 0x y -> 15. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A. 283π-B. 83π- C. 82π- D. 23π16. 已知函数2(43)30()log (1)10a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A. 2(0,]3B. 23[,]34C. 123[,]{}334D. 123[,){}334三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PB 、PD 与 平面ABCD 所成的角依次是4π和1arctan 2，2AP =，E 、F 依次是PB 、PC 的中点；（1）求异面直线EC 与PD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）求三棱锥P AFD -的体积；18. 已知△ABC 中，1AC =，23ABC π∠=，设BAC x ∠=，记()f x AB BC =⋅； （1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）试写出函数()f x 的单调递增区间，并求方程1()6f x =的解；19. 已知椭圆C 以原点为中心，左焦点F 的坐标是(1,0)-，长轴长是短轴长的2倍，直 线l 与椭圆C 交于点A 与B ，且A 、B 都在x 轴上方，满足180OFA OFB ︒∠+∠=； （1）求椭圆C 的标准方程；（2）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若 存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由；20. 已知函数2()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1， 记()(||)f x g x =，x R ∈； （1）求实数a 、b 的值；（2）若不等式222()()log 2log 3f x g x k k +≥--对任意x R ∈恒成立，求实数k 的范围； （3）对于定义在[,]p q 上的函数()m x ，设0x p =，n x q =，用任意i x (1,2,,1)i n =⋅⋅⋅- 将[,]p q 划分成n 个小区间，其中11i i i x x x -+<<，若存在一个常数0M >，使得不等式01121|()()||()()||()()|n n m x m x m x m x m x m x M --+-+⋅⋅⋅+-≤恒成立，则称函数()m x为在[,]p q 上的有界变差函数，试证明函数()f x 是在[1,3]上的有界变差函数，并求出M 的最小值；21. 数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有(1)2n n n S +=； （1）试证明数列{}n b 是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个(1)i i b -*()i N ∈后，得到一个新数列{}n c ，求数列{}n c 中所有项的和； （3）如果存在*n N ∈，使不等式11820(1)()(1)n n n n n b n b b b λ++++≤+≤+成立，若存在， 求实数λ的范围，若不存在，请说明理由；参考答案一. 填空题1. (1,2)2. 12i -3. 512-4. π5. 16. 557. 4 8. 48 9. 20x y -= 10. 2 11. 324 12. ②③④二. 选择题13. A 14. B 15. A 16. C三. 解答题 17.（1）310arccos 10；（2）43；18.（1）2211()sin sin()sin(2)33366f x x x x ππ=+=+-，(0,)3x π∈； （2）递增区间(0,]6π，6x π=；19.（1）2212x y +=；（2）(2,0)-； 20.（1）0b =，1a =；（2）1[,8]2；（3）min 4M =；21.（1）n b n =；（2）201822033134+；（3）不存在；上海市虹口区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,4,6,8}A =，{|2,}B x x k k A ==∈，则A B =2. 已知21zi i=+-，则复数z 的虚部为 3. 设函数()sin cos f x x x =-，且()1f a =，则sin 2a =4. 已知二元一次方程111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是111113-⎛⎫⎪⎝⎭，则此方程组的解是5. 数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是它前n 项和，则2lim n n nSa →∞=6. 已知角A 是ABC ∆的内角，则“1cos 2A =”是“3sin 2A =”的 条件（填“充 分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）7. 若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线距离为22，则该双曲线焦距等于8. 若正项等比数列{}n a 满足：354a a +=，则4a 的最大值为 9. 一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平 面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于10. 设函数61()211x x f x x x ⎧≥=⎨--≤-⎩，则当1x ≤-时，则[()]f f x 表达式的展开式中含2x 项的系数是11. 点(20,40)M ，抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，若对于抛物线上的任意点P ，||||PM PF +的最小值为41，则p 的值等于12. 当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||32|x y a x y +++--的取值与x 、y 均无关， 则实数a 的取值范围是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 在空间，α表示平面，m 、n 表示二条直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 若m ∥α，m 、n 不平行，则n 与α不平行 B. 若m ∥α，m 、n 不垂直，则n 与α不垂直 C. 若m α⊥，m 、n 不平行，则n 与α不垂直 D. 若m α⊥，m 、n 不垂直，则n 与α不平行14. 已知函数()sin(2)3f x x π=+在区间[0,]a （其中0a >）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. 02a π<≤B. 012a π<≤C. 12a k ππ=+，*k N ∈ D. 2212k a k πππ<≤+，k N ∈15. 如图，在圆C 中，点A 、B 在圆上，则AB AC ⋅的值（ ）A. 只与圆C 的半径有关B. 既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关C. 只与弦AB 的长度有关D. 是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值16. 定义(){}f x x =（其中{}x 表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}3=，{4}4=，以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ）①(2)2()f x f x =；② 若12()()f x f x =，则121x x -<；③ 任意1x 、2x R ∈，1212()()()f x x f x f x +≤+；④1()()(2)2f x f x f x ++=； A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在正三棱锥P ABC -中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4； （1）求证：PA BC ⊥；（2）求此三棱锥的全面积和体积；18. 如图，我海蓝船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其北偏东30° 方向与它相距20海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海蓝船正东18海里处； （1）求此时该外国船只与D 岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行，为了将该船拦截在 离D 岛12海里的E 处（E 在B 的正南方向），不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定 海蓝船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）；19. 已知二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[0,)+∞； （1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在2[,)a+∞的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出()f x 在[1,)+∞上的最小值()g a ，并求()g a 的值域；20. 椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ；（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值； （3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定 值，如果不是，求出12k k +的取值范围；21. 已知函数()2|2||1|f x x x =+-+，无穷数列{}n a 的首项1a a =； （1）若()n a f n =（*n N ∈），写出数列{}n a 的通项公式；（2）若1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），要使数列{}n a 是等差数列，求首项a 取值范围； （3）如果1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），求出数列{}n a 的前n 项和n S ；参考答案一. 填空题1. {2,4,8}2. 13. 04. 21x y =⎧⎨=⎩ 5. 146. 充分非必要7. 68. 29. 43 10. 6011. 22或42 12. [5,)+∞二. 选择题13. A 14. B 15. C 16. C三. 解答题17.（1）略；（2）9793S =+，63V =； 18.（1）291；（2）东偏北41.8︒， 6.4v =海里/小时； 19.（1）非奇非偶函数；（2）单调递增；（3）当02a <<，()0g a =；当2a ≥，4()4g a a a=+-；值域[0,)+∞； 20.（1）22143x y +=；（2）12；（3）2；21.（1）3n a n =+；（2）{3}[1,)a ∈--+∞；（3）当2a ≤-，3(1)(2)(1)(3)2n n n S a n a --=+---+；当21a -<≤-，3(1)(2)(1)(35)2n n n S a n a --=+-++；当1a >-，3(1)2n n n S na -=+；上海市闵行区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 方程lg(34)1x +=的解x = 2. 若关于x 的不等式0x ax b->-（,a b R ∈）的解集为(,1)(4,)-∞+∞，则a b += 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为21n n S =-，则此数列的通项公式为4. 函数()1f x x =+的反函数是5. 6(12)x +展开式中3x 项的系数为 （用数字作答）6. 如图，已知正方形1111ABCD A BC D -，12AA =，E 为 棱1CC 的中点，则三棱锥1D ADE -的体积为 7. 从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排， 则其中含有“a ”的共有 种排法（用数字作答）8. 集合{|cos(cos )0,[0,]}x x x ππ=∈= （用列举法表示） 9. 如图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P 为弧AB 上的一个动点，则OP AB ⋅取值范围是 10. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y+=，则22x y +的 取值范围是11. 已知两个不相等的非零向量a 和b ，向量组1234(,,,)x x x x 和1234(,,,)y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，记11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅，那么S 的所有可能取值中的最 小值是 （用向量a 、b 表示）12. 已知无穷数列{}n a ，11a =，22a =，对任意*n N ∈，有2n n a a +=，数列{}n b 满足 1n n n b b a +-=（*n N ∈），若数列2{}nnb a 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满 足要求的1b 的值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 若a 、b 为实数，则“1a <”是“11a>”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 14. 若a 为实数，(2)(2)4ai a i i +-=-（i 是虚数单位），则a =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 215. 函数2()||f x x a =-在区间[1,1]-上的最大值是a ，那么实数a 的取值范围是（ ） A. [0,)+∞ B. 1[,1]2 C. 1[,)2+∞ D. [1,)+∞16. 曲线1:sin C y x =，曲线22221:()2C x y r r ++-=（0r >），它们交点的个数（ ）A. 恒为偶数B. 恒为奇数C. 不超过2017D. 可超过2017三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 中点，现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上一点，且90BOC ∠=︒， （1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的大小； （用反三角函数表示）18. 已知(23,1)m =，2(cos ,sin )2An A =，A 、B 、C 是ABC ∆的内角； （1）当2A π=时，求||n 的值；（2）若23C π=，||3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长；19. 如图所示，沿河有A 、B 两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河 里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污 水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送）， 依据经验公式，建厂的费用为0.7()25f m m=⋅（万元），m 表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）() 3.2g x x =（万元），x 表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A 和城镇B 的污水流量分别为13m =、25m =，A 、B 两城镇连接污水处理 厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排 入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A 和城镇B 单独建厂，共需多少总费用？ （2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A 到拟建厂 的距离为x 千米，求联合建厂的总费用y 与x 的函数关系 式，并求y 的取值范围；20. 如图，椭圆2214y x +=的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B 为顶点，焦距 为25，点P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段AQ 的中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点； （1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M 的纵坐标M y 的取值范围； （3）是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 方程，若不存在，请说明理由；21. 在平面直角坐标系上，有一点列01231,,,,,,n n P P P P P P -⋅⋅⋅，设点k P 的坐标(,)k k x y （k N ∈，k n ≤），其中k x 、k y Z ∈，记1k k k x x x -∆=-，1k k k y y y -∆=-，且满足 ||||2k k x y ∆⋅∆=（*k N ∈，k n ≤）； （1）已知点0(0,1)P ，点1P 满足110y x ∆>∆>，求1P 的坐标；（2）已知点0(0,1)P ，1k x ∆=（*k N ∈，k n ≤），且{}k y （k N ∈，k n ≤）是递增数列， 点n P 在直线:38l y x =-上，求n ；（3）若点0P 的坐标为(0,0)，2016100y =，求0122016x x x x +++⋅⋅⋅+的最大值；上海市松江区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =2. 已知a 、b R ∈，i 是虚数单位，若2a i bi +=-，则2()a bi +=3. 已知函数()1x f x a =-的图像经过(1,1)点，则1(3)f -=4. 不等式|1|0x x ->的解集为5. 已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为6. 里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道，在由2名中国运动员和6 名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 7. 按下图所示的程序框图运算：若输入17x =，则输出的x 值是8. 设230123(1)n n n x a a x a x a x a x +=++++⋅⋅⋅+，若2313a a =，则n = 9. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么 这个圆锥的侧面积是 2cm10. 设(,)P x y 是曲线22:1259x y C +=上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则12||||PF PF +的最大值为11. 已知函数243,13()28,3xx x x f x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()F x f x kx =-在其定义域内有3个零点，则实数k ∈12. 已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若1||2n n n a a +-=*()n N ∈，且21{}n a -是递增数 列，2{}n a 是递减数列，则212lim n n na a -→∞=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知a 、b R ∈，则“0ab >”是“2b aa b+>”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在截面1A DB 上，则线段AP 的最小值为（ ） A.13 B. 12 C. 33 D. 2215. 若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭满足：11a 、12a 、21a 、22{0,1}a ∈，且111221220a a a a =，则这样的互不相等的矩阵共有（ ）A. 2个B. 6个C. 8个D. 10个 16. 解不等式11()022xx -+>时，可构造函数1()()2x f x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数 及()(1)f x f >，可得1x <，用类似的方法可求得不等式263arcsin arcsin 0x x x x +++> 的解集为（ ）A. (0,1]B. (1,1)-C. (1,1]-D. (1,0)-三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==，E 是棱PC 的中点； （1）求证：PC BD ⊥；（2）求直线BE 与PA 所成角的余弦值；18. 已知函数21()21x xa f x ⋅-=+（a 为实数）； （1）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的1x ≥，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围；19. 松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”， 兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高，如图，记O 点为塔基、P 点为塔尖、 点P 在地面上的射影为点H ，在塔身OP 射影所在直线上选点A ，使仰角45HAP ︒∠=， 过O 点与OA 成120︒的地面上选B 点，使仰角45HBP ︒∠=（点A 、B 、O 都在同一水平 面上），此时测得27OAB ︒∠=，A 与B 之间距离为33.6米，试求：（1）塔高；（即线段PH 的长，精确到0.1米） （2）塔的倾斜度；（即OPH ∠的大小，精确到0.1︒）20. 已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线l 交双曲线于A 、B 两点；（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均 存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎 样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由；21. 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称为“H 型数列”；（1）若数列{}n a 为“H 型数列”，且113a m =-，21a m=，34a =，求实数m 的范围； （2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“H 型数列”，其前n 项和n S 满足2n S n n <+*()n N ∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H 型数列”； 若23n n b a =，n c =5(1)2n n a n -+⋅，当数列{}n b 不是“H 型数列”时， 试判断数列{}n c 是否为“H 型数列”，并说明理由；参考答案一. 填空题1. {1}2. 34i -3. 24. (0,1)(1,)+∞5. π6.147. 143 8. 11 9. 17π 10. 10 11. 3(0,)312. 12-二. 选择题13. B 14. C 15. D 16. A三. 解答题 17.（1）略；（2）33； 18.（1）1a =-，偶函数；1a =，奇函数；a R ∈且1a ≠±，非奇非偶函数； （2）[2,3]；19.（1）18.9米；（2）6.9°；20.（1）2213y x -=；（2）3；（3）(1,0)-； 21.（1）1(,0)(,)2-∞+∞；（2）不存在；（3）132n n a -=⋅时，{}n c 不是“H 型数列”；14n n a -=时，{}n c 是“H 型数列”；上海市浦东新区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知U R =，集合{|421}A x x x =-≥+，则U C A =2. 三阶行列式351236724---中元素5-的代数余子式的值为 3. 8(1)2x -的二项展开式中含2x 项的系数是4. 已知一个球的表面积为16π，则它的体积为5. 一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球，这些球的质地和形状一样，从中 任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是6. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6，则b =7. 若复数(1)(2)ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =8. 函数()(3sin cos )(3cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期为9. 过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为10. 若关于x 的不等式1|2|02xx m --<在区间[0,1]内恒 成立，则实数m 的范围11. 如图，在正方形ABCD 中，2AB =，M 、N 分别是 边BC 、CD 上的两个动点，且2MN =，则AM AN ⋅的取值范围是12. 已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有*()f n N ∈，且(())3f f n n =恒成立，则(2017)(1999)f f -=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（ ） A. cos(2)3y x π=+ B. cos(2)6y x π=+C. cos(2)3y x π=-D. cos(2)6y x π=-14. 已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，则()y f x =-与1()y f x -=-图像（ ） A. 关于y 轴对称 B. 关于原点对称 C. 关于直线0x y +=对称 D. 关于直线0x y -=对称 15. 设{}n a 是等差数列，下列命题中正确的是（ ）A. 若120a a +>，则230a a +>B. 若130a a +<，则120a a +<C. 若120a a <<，则213a a a >D. 若10a <，则2123()()0a a a a --> 16. 元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元， 而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A 元， 购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是（ ）A. A B >B. A B <C. A B =D. A 、B 的大小关系不确定三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在长方体1111ABCD A BC D -中（如图），11AD AA ==，2AB =，点E 是棱AB 中点； （1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角 形的四面体成为鳖臑，试问四面体1DCDE 是 否为鳖臑？并说明理由；18. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ； （1）若3B π=，7b =，△ABC 的面积332S =，求a c +的值； （2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=，求角C ；。
普陀区高三数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数f(x) = x^2 - 6x + 8，则f(1)的值为（）A. 3B. -3C. 1D. -12. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B等于（）A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 4}D. {1, 2, 3, 4}3. 函数y = 2x + 3的图象与x轴的交点坐标为（）A. (-1.5, 0)B. (1.5, 0)C. (-3, 0)D. (3, 0)4. 已知等差数列{a_n}的首项a_1=2，公差d=3，则a_5的值为（）A. 17B. 14C. 11D. 85. 若复数z = 1 + i，则|z|的值为（）A. √2B. 2C. 1D. √36. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 6x + 8y - 24 = 0，该圆的半径为（）A. 10B. 8C. 6D. 47. 已知向量a=(3, -4)，向量b=(-2, 3)，则向量a与向量b的点积为（）A. -23B. 23C. -5D. 58. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在x=1处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
）9. 已知函数f(x) = x^3 - 9x，求导数f'(x) = ________。
10. 已知向量a=(1, 2)，向量b=(2, -3)，则向量a与向量b的夹角的余弦值为 ________。
11. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n + 1，求a_3的值为________。
12. 已知函数y = ln(x+1) - 2x，求导数y' = ________。
三、解答题（本大题共3小题，共40分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2017年上海市普陀区高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，满分54分）1．（4分）若集合A={x|y2=x，y∈R}，B={y|y=sinx，x∈R}，A∩B=．2．（4分）若﹣＜a＜，sinα=，则cot2α=．3．（4分）函数f（x）=1+log2x（x≥1）的反函数f﹣1（x）=．4．（4分）若（1+x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a1+a2+…+a5=．5．（4分）设k∈R，若﹣=1表示焦点在y轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是．6．（4分）设m∈R，若函数f（x）=（m+1）x+mx+1是偶函数，则f（x）的单调递增区间是．7．（5分）方程log2（9x﹣5）=2+log2（3x﹣2）的解为．8．（5分）已知圆C：x2+y2+2kx+2y+k2=0（k∈R）和定点P（1，﹣1），若过P点可以作两条直线与圆C相切，则k的取值范围是．9．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，若A1C与平面B1BCC1所成的角为，则三棱锥A1﹣ABC的体积为．10．（5分）掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d，则d∈{﹣2，﹣1，0，1，2}出现的概率的最大值为（结果用最简分数表示）11．（5分）设地球半径为R，若A、B两地均位于北纬45°，且两地所在纬度圈上的弧长为πR，则A、B之间的球面距离是（结果用含有R的代数式表示）12．（5分）已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），且﹣1≤x＜1时，f（x）=1﹣x2；函数g（x）=，若F（x）=f（x）﹣g（x），则x ∈[﹣5，10]，函数F（x）零点的个数是．二、选择题（共4小题，满分20分）13．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式关系中，不能成立的是（）A．B．C．a D．a2＞b214．（5分）设无穷等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，前n项和为S n，则“a1+q=1”=1”成立（）是“SA．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件15．（5分）设α﹣l﹣β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a、b与l均不垂直，则（）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行16．（5分）设θ是两个非零向量、的夹角，若对任意实数t，|+t|的最小值为1，则下列判断正确的是（）A．若||确定，则θ唯一确定B．若||确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则||唯一确定D．若θ确定，则||唯一确定三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）已知a∈R，函数f（x）=a+（1）当a=1时，解不等式f（x）≤2x；（2）若关于x的方程f（x）﹣2x=0在区间[﹣2，﹣1]上有解，求实数a的取值范围．18．（14分）已知椭圆Г：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F1、F2，P是椭圆上位于第一象限内的点，PQ⊥x轴，垂足为Q，且|F1F2|=6，∠PF1F2=arccos，△PF1F2的面积为3．（1）求椭圆Г的方程；（2）若M是椭圆上的动点，求|MQ|的最大值．并求出|MQ|取得最大值时M 的坐标．19．（14分）现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为7.8g/cm3，总重量为5.8kg，其中一个螺帽的三视图如图所示，（单位毫米）（1）这堆螺帽至少有多少个；（2）对于上述螺帽做防腐处理，每平方米需要耗材0.11千克，共需要多少千克防腐材料？（结果精确到0.01）20．（16分）已知数列{a n}的各项均为正数，且a1=1，对任意的n∈N*，均有a n+12﹣1=4a n（a n+1），b n=2log2（1+a n）﹣1．（1）求证：{1+a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}中去掉{a n}的项后，余下的项组成数列{c n}，求c1+c2+…+c100；（3）设d n=，数列{d n}的前n项和为T n，是否存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．21．（18分）已知函数y=f（x），若存在实数m、k（m≠0），使得对于定义域内的任意实数x，均有m•f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，则称函数f（x）的“可平衡”函数，有序数对（m，k）称为函数f（x）的“平衡“数对．（1）若m=1，判断f（x）=sinx是否为“可平衡“函数，并说明理由；（2）若a∈R，a≠0，当a变化时，求证f（x）=x2与g（x）=a+2x的平衡“数对”相同．（3）若m1、m2∈R，且（m1，）（m2，）均为函数，f（x）=cos2x（0）的“平衡”数对，求m12+m22的取值范围．2017年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，满分54分）1．（4分）若集合A={x|y2=x，y∈R}，B={y|y=sinx，x∈R}，A∩B={x|0≤x≤1} ．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|y2=x，y∈R}={x|x≥0}，B={y|y=sinx}={y|﹣1≤y≤1}，∴A∩B={x|0≤x≤1}，故答案为：{x|0≤x≤1}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（4分）若﹣＜a＜，sinα=，则cot2α=．【分析】根据α的取值范围求得cosα=，由同角三角函数关系得到tanα=，结合倍角公式进行解答．【解答】解：∵﹣＜a＜，sinα=，∴cosα=，∴tanα=，∴tan2α===，∴cot2α==．故答案是：．【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式和二倍角的应用，属于基本知识的考查．3．（4分）函数f（x）=1+log2x（x≥1）的反函数f﹣1（x）=2x﹣1（x≥1）．【分析】由x≥1，可得y=1+log2x≥1，由y=1+log2x，解得x=2y﹣1，把x与y互换即可得出反函数．【解答】解：∵x≥1，∴y=1+log2x≥1，由y=1+log2x，解得x=2y﹣1，故f﹣1（x）=2x﹣1（x≥1）．故答案为：2x﹣1（x≥1）．【点评】本题考查了反函数的求法、指数与对数的互化，属于基础题．4．（4分）若（1+x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a1+a2+…+a5=31．【分析】依题意，分别令x=0（可求得a0=1）与x=1，即可求得a1+a2+…+a5的值．【解答】解：∵（1+x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，∴当x=0时，a0=1；当x=1时，（1+1）5=a0+a1+a2+…+a5=32，∴a1+a2+…+a5=32﹣1=31．故答案为：31．【点评】本题考查二项式定理的应用，突出考查赋值法的运用，属于中档题．5．（4分）设k∈R，若﹣=1表示焦点在y轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是（，+∞）．【分析】利用双曲线的焦点坐标的位置，列出不等式组求解k，然后求解半焦距的取值范围即可．【解答】解：若﹣=1表示焦点在y轴上的双曲线，可得，可得k＞2，半焦距c==．则半焦距的取值范围是：（，+∞）．故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6．（4分）设m∈R，若函数f（x）=（m+1）x+mx+1是偶函数，则f（x）的单调递增区间是[0，+∞）．【分析】由题意函数f（x）=（m+1）x+mx+1是偶函数，则mx=0，可得m=0，可得f（x）=x+1，可求单调递增区间．【解答】解：由题意：函数f（x）=（m+1）x+mx+1是偶函数，则mx=0，故得m=0，那么：f（x）=x+1，根据幂函数的性质可知：函数f（x）的单点增区间为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查了幂函数的图象及性质的运用．属于基础题．7．（5分）方程log2（9x﹣5）=2+log2（3x﹣2）的解为1．【分析】可先将2+log2（3x﹣2）化为对数，利用对数的性质，即可将问题转化为一元二次方程问题，求出方程的解，注意验证解得x的值．【解答】解：由题意可知：方程log2（9x﹣5）=2+log2（3x﹣2）化为：log2（9x﹣5）=log24（3x﹣2）即9x﹣5=4×3x﹣8解得x=0或x=1；x=0时方程无意义，所以方程的解为x=1．故答案为1．【点评】本题考查的是对数方程问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想注意，解方程的思想．注意隐含条件的利用，值得同学们体会和反思．8．（5分）已知圆C：x2+y2+2kx+2y+k2=0（k∈R）和定点P（1，﹣1），若过P点可以作两条直线与圆C相切，则k的取值范围是（0，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．．【分析】把圆的方程化为标准方程后，由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式，让其大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集，求出两解集的并集即为实数k的取值范围．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+k）2+（y+1）2=1，由过定点（1，﹣1）可作圆的2条切线可知点（1，﹣1）应在已知圆的外部，把点代入圆方程得：（1+k）2+（﹣1+1）2＞1∴k＞0或k＜﹣2，则实数k的取值范围是（0，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．故答案为（0，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．【点评】此题考查了点与圆的位置关系，一元二次不等式的解法．理解过已知点总利用作圆的两条切线，得到把点坐标代入圆方程其值大于0是解本题的关键．9．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，若A1C与平面B1BCC1所成的角为，则三棱锥A1﹣ABC的体积为．【分析】由已知可得A1B1⊥平面BB1C1C，连接B1C，则∠A1CB1为A1C与平面B1BCC1所成的角为，求解直角三角形得到BB1，再由棱锥体积公式求得三棱锥A1﹣ABC的体积．【解答】解：如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵∠ABC=90°，A1B1⊥平面BB1C1C，连接B1C，则∠A1CB1为A1C与平面B1BCC1所成的角为，∵A 1B1=AB=1，∴，又BC=1，∴．∴．故答案为：．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，考查直角三角形的解法，是中档题．10．（5分）掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d，则d∈{﹣2，﹣1，0，1，2}出现的概率的最大值为（结果用最简分数表示）【分析】掷两颗骰子得两个数，共有36种情况，d=﹣2，有4种情况，d=﹣1，有5种情况，d=0，有6种情况，d=1，有5种情况，d=2，有4种情况，即可求出d∈{﹣2，﹣1，0，1，2}出现的概率的最大值．【解答】解：掷两颗骰子得两个数，共有36种情况，d=﹣2，有4种情况，d=﹣1，有5种情况，d=0，有6种情况，d=1，有5种情况，d=2，有4种情况，∴d∈{﹣2，﹣1，0，1，2}出现的概率的最大值为=．故答案为．【点评】本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．（5分）设地球半径为R，若A、B两地均位于北纬45°，且两地所在纬度圈上的弧长为πR，则A、B之间的球面距离是R（结果用含有R的代数式表示）【分析】求出北纬45°圈的纬度圈半径，利用两地所在纬度圈上的弧长为πR，求出球心角，即可求出球面距离．【解答】解：北纬45°圈上两点A、B，设纬度圈半径为r，∴r=R•cos45°．∵两地所在纬度圈上的弧长为πR，∴|α|=∴|AB|==R，∴∠AOB=∴A、B两点间的球面距离为R．故答案为：R．【点评】本题考查球的有关经纬度知识，球面距离，弧长公式，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．12．（5分）已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），且﹣1≤x＜1时，f（x）=1﹣x2；函数g（x）=，若F（x）=f（x）﹣g（x），则x ∈[﹣5，10]，函数F（x）零点的个数是15．【分析】由题意可得f（x）的周期为2，令F（x）=0，即f（x）=g（x），分别作出y=f（x）和y=g（x）的图象，找出在[﹣5，10]的交点个数，即可得到函数F （x）零点的个数．【解答】解：定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），可得f（x）的周期为2，F（x）=f（x）﹣g（x），则令F（x）=0，即f（x）=g（x），分别作出y=f（x）和y=g（x）的图象，观察图象在[﹣5，10]的交点个数为15．则函数F（x）零点的个数是15．故答案为：15．【点评】本题考查函数零点个数的求法，注意运用数形结合的思想方法，同时考查函数的周期的运用，属于中档题．二、选择题（共4小题，满分20分）13．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式关系中，不能成立的是（）A．B．C．a D．a2＞b2【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可【解答】解：对于A：a＜b＜0，两边同除以ab可得，＞，故A正确，对于B：a＜b＜0，即a﹣b＞a，则两边同除以a（a﹣b）可得＜，故B错误，对于C，根据幂函数的单调性可知，C正确，对于D，a＜b＜0，则a2＞b2，故D正确，故选：B．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．14．（5分）设无穷等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，前n项和为S n，则“a1+q=1”=1”成立（）是“SA．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】根据充要条件的定义，结合无穷缩减数列和的极限值公式，可得答案．【解答】解：当a 1＜0时，q＞1，则S n=﹣∞≠1，故“a 1+q=1”是“S n=1”不充分条件，若“S=1”，则a1=1﹣q，即“a1+q=1”，故“a 1+q=1”是“S n=1”必要条件，综上可得：“a 1+q=1”是“S n=1”成立必要非充分条件，故选：B．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，无穷缩减数列和的极限值公式，难度中档．15．（5分）设α﹣l﹣β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a、b与l均不垂直，则（）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行【分析】利用空间中线线间的位置关系求解．【解答】解：∵α﹣l﹣β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a、b与l均不垂直，∴当a∥l，且b∥l时，由平行公理得a∥b，即a，b可能平行，故A与D错误；当a，b垂直时，若二面角是直二面角，则a⊥l，与已知矛盾，∴a与b不可能垂直，也有可能平行．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．16．（5分）设θ是两个非零向量、的夹角，若对任意实数t，|+t|的最小值为1，则下列判断正确的是（）A．若||确定，则θ唯一确定B．若||确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则||唯一确定D．若θ确定，则||唯一确定【分析】令g（t）==+2t+，可得△≤0，恒成立．当且仅当t=﹣=﹣时，g（t）取得最小值1，代入即可得出．【解答】解：令g（t）==+2t+，∴△=4﹣4≤0，恒成立．当且仅当t=﹣=﹣时，g（t）取得最小值1，∴﹣2×+=1，化为：sin2θ=1．∴θ确定，则||唯一确定．故选：D．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）已知a∈R，函数f（x）=a+（1）当a=1时，解不等式f（x）≤2x；（2）若关于x的方程f（x）﹣2x=0在区间[﹣2，﹣1]上有解，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a=1时，分类讨论解不等式f（x）≤2x；（2）若关于x的方程f（x）﹣2x=0在区间[﹣2，﹣1]上有解，即a=2x﹣在区间[﹣2，﹣1]上有解，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）≤2x，即1+≤2x，x＞0，可化为2x2﹣x﹣1≥0，解得x≥1；x＜0，可化为2x2﹣x+1≤0，无解，综上所述，不等式的解集为{x|x≥1}；（2）关于x的方程f（x）﹣2x=0在区间[﹣2，﹣1]上有解，即a=2x﹣在区间[﹣2，﹣1]上有解，∴a=2x+在区间[﹣2，﹣1]上单调递增，∴﹣≤a≤﹣3．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查方程解的问题，正确转化是关键．18．（14分）已知椭圆Г：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F1、F2，P是椭圆上位于第一象限内的点，PQ⊥x轴，垂足为Q，且|F1F2|=6，∠PF1F2=arccos，△PF1F2的面积为3．（1）求椭圆Г的方程；（2）若M是椭圆上的动点，求|MQ|的最大值．并求出|MQ|取得最大值时M 的坐标．【分析】由【解答】解：（1）由△PF1F2的面积为3，|F1F2|=6，得，∴，又∠PF1F2=arccos，∴，则由，解得．∴，解得：．∴2a=4，a=2，c=3，b2=a2﹣c2=3．∴椭圆Г的方程为；（2）由（1）知，，代入，可得x p=2，∴Q（2，0），设M（x0，y0），则，∴．∴|MQ|===．∵，∴当时，．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，19．（14分）现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为7.8g/cm3，总重量为5.8kg，其中一个螺帽的三视图如图所示，（单位毫米）（1）这堆螺帽至少有多少个；（2）对于上述螺帽做防腐处理，每平方米需要耗材0.11千克，共需要多少千克防腐材料？（结果精确到0.01）【分析】（1）一个六角螺帽毛坯的体积为，再利用螺帽的个数=5.8×1000÷（7.8n）即可得出．（2）求出正六棱柱型金属螺帽毛坯的表面积，即可得出结论．【解答】解：（1）由三视图可得，正六棱柱型金属螺帽毛坯的底面六边形边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm．一个六角螺帽毛坯的体积=≈2.956（cm3）．∴螺帽的个数=5.8×1000÷（7.8×2.956）≈252（个）．（2）正六棱柱型金属螺帽毛坯的表面积是6××2+6×12×10﹣π•52•2+2π•5•10≈1625.224（mm3）．∵每平方米需要耗材0.11千克，∴0.001625224×0.11×252≈0.05千克．【点评】本题考查了六棱柱与圆柱的体积、表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20．（16分）已知数列{a n}的各项均为正数，且a1=1，对任意的n∈N*，均有a n+12﹣1=4a n（a n+1），b n=2log2（1+a n）﹣1．（1）求证：{1+a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}中去掉{a n}的项后，余下的项组成数列{c n}，求c1+c2+…+c100；（3）设d n=，数列{d n}的前n项和为T n，是否存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）对任意的n∈N*，均有a n+12﹣1=4an（a n+1），可得a n+12=，又数列{a n}的各项均为正数，可得a n+1=2a n+1，变形为a n+1+1=2（a n+1），即可证明．（2）b n=2log2（1+a n）﹣1=2n﹣1．由n=7时，a7=127；n=8时，a8=255＞213=b107．可得c1+c2+…+c100=b1+b2+…+b106+b107（a1+…+a6+a7）即可得出．（3）d n===，可得数列{d n}的前n项和为T n=．假设存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，则=T1T n，即=，即=＞0，解出即可判断出结论．【解答】（1）证明：∵对任意的n∈N*，均有a n+12﹣1=4an（a n+1），∴a n+12=，又数列{an}的各项均为正数，∴a n+1=2a n+1，变形为a n+1+1=2（a n+1），∴{1+a n}是等比数列，公比为2，首项为2，∴1+a n=2n，即a n=2n﹣1．（2）解：b n=2log2（1+a n）﹣1=2n﹣1．∵n=7时，a7=127；n=8时，a8=255＞213=b107．∴c1+c2+…+c100=b1+b2+…+b106+b107（a1+…+a6+a7）=﹣+7=11449﹣256+9=11202．（3）解：d n===，∴数列{d n}的前n项和为T n=+…+==．假设存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，则=T1T n，即=，即=＞0，即2m2﹣4m﹣1＜0，解得1﹣＜m＜1+．∵m是正整数且m＞1，∴m=2，此时n=12当且仅当m=2，n=12时，T1、T m、T n成等比数列．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“裂项求和”方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（18分）已知函数y=f（x），若存在实数m、k（m≠0），使得对于定义域内的任意实数x，均有m•f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，则称函数f（x）的“可平衡”函数，有序数对（m，k）称为函数f（x）的“平衡“数对．（1）若m=1，判断f（x）=sinx是否为“可平衡“函数，并说明理由；（2）若a∈R，a≠0，当a变化时，求证f（x）=x2与g（x）=a+2x的平衡“数对”相同．（3）若m1、m2∈R，且（m1，）（m2，）均为函数，f（x）=cos2x（0）的“平衡”数对，求m12+m22的取值范围．【分析】（1）当m=1时，f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，求出k=2nπ±，n ∈Z，可得结论；（2）证明（2，0）分别是函数f（x）=x2与g（x）=a+2x的“平衡“数对，可得结论；（3）假设存在实数m、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有m•f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，则mcos2x=cos2（x+k）+cos2（x﹣k）=[1+cos2（x+k）]+[1+cos2（x﹣k）]，得出m12+m22的函数，即可求m12+m22的取值范围．【解答】解：（1）当m=1时，f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，∴sinx=sin（x+k）+sin（x﹣k）=sinxcosk+cosxsink+sinxcosk﹣cosxsink=2sinxcosk，∴sinx（1﹣2cosk）=0，∵对于定义域内的任意实数x，f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，∴1﹣2cosk=0，即cosk=，∴k=2nπ±，n∈Z，∴f（x）=sinx是“可平衡“函数；（2）∵f（x）=x2的定义域为R．假设存在实数m、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有m•f（x）=f（x+k）+f （x﹣k）成立，则mx2=（x+k）2+（x﹣k）2=2x2+2k2，即（m﹣2）x2=2k2，由于上式对于任意实数x都成立，∴，解得m=2，k=0，∴（2，0）是函数f（x）=x2的“平衡“数对，∵g（x）=a+2x，∴m（a+2x）=a+2x+k+a+2x﹣k，∴，解得m=2，k=0，∴（2，0）是函数g（x）=a+2x的“平衡“数对，∴f（x）=x2与g（x）=a+2x的平衡“数对”相同（3）假设存在实数m、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有m•f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，则mcos2x=cos2（x+k）+cos2（x﹣k）=[1+cos2（x+k）]+[1+cos2（x﹣k）]∴m（1+cos2x）=[1+cos2（x+k）]+[1+cos2（x﹣k）]∴m+mcos2x=1+cos2xcos2k﹣sin2xsin2k+1+cos2xcos2k+sin2xsin2k，∴m（1+cos2x）=2+2cos2xcos2k，∵（m1，）（m2，）均为函数，∴m1（1+cos2x）=2+2cos2xcosπ=2﹣2co2x，m2（1+cos2x）=2+2cos2xcos=2，∵0，∴0＜2x≤，∴0＜cos2x≤1，∴m1====2tan2x，m2==∴m12+m22=4tan4x+，设h（x）=4tan4x+，（0）∴h（0）≤h（x）≤h（），即1≤h（x）≤8∴m12+m22的取范围为[1，8]【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的性质和运用，考查运算能力，属于难题．。
普陀区一模高三数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x2. 已知等差数列{a_n}的前三项分别为1，4，7，则该数列的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 函数y = 2x - 3与x轴的交点坐标为（）A. (1, 0)B. (3, 0)C. (-3/2, 0)D. (0, -3)4. 已知圆心在原点，半径为5的圆的方程为（）A. x^2 + y^2 = 25B. x^2 + y^2 = 16C. x^2 + y^2 = 9D. x^2 + y^2 = 495. 已知抛物线y^2 = 4px（p > 0）的焦点坐标为（）A. (p, 0)B. (-p, 0)C. (0, p)D. (0, -p)6. 已知直线l的方程为y = 2x + 1，直线m的方程为x - y + 3 = 0，直线l与直线m的交点坐标为（）A. (-1, -3)B. (1, 3)C. (-1, 1)D. (1, -1)7. 已知复数z = 1 + i，那么|z| =（）A. √2B. 2C. √3D. 18. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的数量积为（）A. 4B. -1C. 1D. 79. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，那么f'(x) =（）A. 3x^2 - 6x + 2B. 3x^2 - 6x - 2C. x^2 - 6x + 2D. x^2 - 6x - 210. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），且f(-1) = 0，f(1) = 0，则函数f(x)的图像与x轴的交点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列函数中，是奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = 1/xD. f(x) = x^32. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(1) = 2，f(-1) = -2，则f(0)的值为（）A. 0B. 2C. -2D. 43. 在等差数列{an}中，a1 = 3，公差d = 2，则第10项a10的值为（）A. 19B. 21C. 23D. 254. 下列复数中，是纯虚数的是（）A. 3 + 4iB. 3 - 4iC. 4 + 3iD. 4 - 3i5. 若log2x + log4x = 3，则x的值为（）A. 2B. 4C. 8D. 166. 已知等比数列{an}中，a1 = 2，公比q = 3，则第n项an的值为（）A. 2×3^(n-1)B. 6×3^(n-1)C. 6×3^(n-2)D. 2×3^(n-2)7. 已知圆C：x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0，则圆心坐标为（）A. (1, 2)B. (2, 1)C. (1, -2)D. (-2, 1)8. 若向量a = (2, 3)，向量b = (3, -2)，则向量a·b的值为（）A. 12B. -12C. 6D. -69. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x > 3x + 1B. 2x < 3x + 1C. 2x ≥ 3x + 1D. 2x ≤ 3x + 110. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. 3x - 3D. 3x + 3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 若log2(3x - 1) = 2，则x = ________。
上海市普陀区2017届上学期高三年级期末调研考试试卷（数学理）（含答案）word版上海市普陀区2017届上学期高三年级期末调研考试数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）1. 设平面向量，，则 .2. 已知函数,,若的反函数的图像经过点，则.3. 已知集合，，则 .4. 若数列对任意的都有，且，则= .5. 若直线的一个法向量为，则直线的倾斜角为 .6. 已知，其中是第四象限角，则 .7. 已知一个球的半径为，一个平面截该球所得小圆的半径为，该小圆圆心到球心的距离为，则关于的函数解析式为 .8. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆的一个焦点，则此抛物线的焦点到其准线的距离为 .9. 若函数，则 .10. 某种电子产品的采购商指导价为每台200元，若一次采购数量达到一定量，还可享受折扣. 右图为某位采购商根据折扣情况设计的算法程序框图，则该程序运行时，在输入一个正整数之后，输出的变量表示的实际意义是；若一次采购85台该电子产品，则元.11. 方程为的曲线上任意两点之间距离的最大值为 .12. 高一数学课本中，两角和的正弦公式是在确定了两角差的余弦公式后推导的. 即. （填入推导的步骤）13. 已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是 .14. 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是（写出所有正确结论的编号）①能构成每个面都是等边三角形的四面体；②能构成每个面都是直角三角形的四面体；③能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体；④能构成三个面为不都全等的直角三角形，一个面为等边三角形的四面体.二、选择题（本大题满分20分）15. “”是“”的（）A. 充分非必要条件；B.必要非充分条件；C. 充要条件；D. 既非充分又非必要条件.16. 设为非零实数，则关于函数，的以下性质中，错误．．的是（）A. 函数一定是个偶函数；B. 函数一定没有最大值；C. 区间一定是的单调递增区间；D. 函数不可能有三个零点.17. 双曲线上到定点的距离是6的点的个数是（）A. 0个；B. 2个；C. 3个；D. 4个.18. 若对于任意角，都有，则下列不等式中恒成立的是（）A. ；B. ；C. ；D..三、解答题（本大题满分74分）19. （本题满分10分）已知数列（，），试判定：依据、的不同取值，集合含有三个元素，并用列举法表示集合.20. （本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）为了贯彻节能减排的理念，国家制定了家电能耗的节能标准.以某品牌的节能型冰箱为例，该节能型冰箱使用一天（24小时）耗电仅度，比普通冰箱约节省电能，达到国家一级标准.经测算，每消耗100度电相当于向大气层排放千克二氧化碳，而一棵大树在60年的生命周期内共可以吸收1吨二氧化碳.（1）一台节能型冰箱在一个月（按天不间断使用计算）中比普通冰箱相当于少向大气层排放多少千克的二氧化碳（精确到千克）？（2）某小城市数千户居民现使用的都是普通冰箱. 在“家电下乡”补贴政策支持下，若每月月初都有150户居民“以旧换新”换购节能型冰箱，那么至少多少个月后（每月按30天不间断使用计算），该市所有新增的节能型冰箱少排放的二氧化碳的量可超过150棵大树在60年生命周期内共吸收的二氧化碳的量？21. （本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）已知的三个内角A、B、C的对边分别为、、.（1）若当时，取到最大值，求的值；（2）设的对边长，当取到最大值时，求面积的最大值.22.（本题满分16分，其中第1小题9分，第2小题7分）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，高为（），动点在侧棱上移动.设与侧面所成的角为.（1）当时，求点到平面的距离的取值范围；（2）当时，求向量与夹角的大小..23. （本题满分20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分.）平面直角坐标系中，已知，…，是直线上的个点（，、均为非零常数）.（1）若数列成等差数列，求证：数列也成等差数列；（2）若点是直线上一点，且，求的值；（3）若点满足，我们称是向量，，…，的线性组合,是该线性组合的系数数列.当是向量，，…，的线性组合时，请参考以下线索：①系数数列需满足怎样的条件，点会落在直线上？②若点落在直线上，系数数列会满足怎样的结论？③能否根据你给出的系数数列满足的条件，确定在直线上的点的个数或坐标？试提出一个相关命题（或猜想）并开展研究，写出你的研究过程.【本小题将根据你提出的命题（或猜想）的完备程度和研究过程中体现的思维层次，给予不同的评分】高三调研数学试卷参考答案及评分标准一、填空题（每小题4分，满分56分）：1. ；2. 4；3. ；4. （文，理）40；5. ；6. （或）；7. ，；8. 4； 9.理：；文：； 10.表示一次采购共需花费的金额; ；11. ；12. ；13. 理：；文：2； 14. 理：①②③④；文：①②③.二、选择题（每题4分，满分16分）：题号15 16 17 18 答案 B C B D三、解答题：19.（本题满分10分）（理科）解：由结论：“当时，”且根据本题条件，故本题需根据变量和常数1的大小比较进行分类讨论：（1）当时，；（2）当时，；（3）当或时，有. 故集合含有以上三个元素，用列举法表示集合. ...3 ...6 ...9 (10)（文科）解：如图，延长DA至E，CB至F，使得DA=AE，CB=BF. 联结AF，PF，EF，DF. 因为ABCD是正方形，所以AD//BF，且AD=BF，所以AF//BD. 故（或其补角）的大小即为异面直线与所成角的大小. (3)又正方形边长为2，PD=1，故，，.所以，.于是，，所以异面直线与所成角的大小为.…7…9(10)20.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）解:（1）由于节能型冰箱比普通冰箱约节省电能，故一台节能型冰箱一天（小时）消耗的度电相当于比普通冰箱少消耗的电能，即一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱要少消耗电：（度）；设一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱要少排放千克的二氧化碳，则（千克）.故一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱少向大气层排放约千克的二氧化碳.（2）设个月后()，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过150棵大树在年生命周期内所吸收的二氧化碳的量.依题意，有，因为，故可解得.所以，至少经过10个月后，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过150棵大树在年生命周期内共吸收的二氧化碳的量.…3…6(10)(14)21. （本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）解：（1）因为…2故当时，原式取到最大值，即三角形的内角时，最大值为.（2）由（1）结论可得，此时. 又，因此，当且仅当时等号成立.所以.故面积的最大为. ...5 ...7 ...9 ...12 (14)22.（本题满分16分，理科：第1小题9分，第2小题7分；文科：第1小题3分，第2小题6分，第3小题7分）（理科）解：（1）设BC的中点为D，连结AD、DM，则有于是，可知即为AM与侧面BCC1所成角.因为，点到平面的距离为，不妨设，.在Rt△ADM 中，.由,,故.而当时，，即，所以，点到平面的距离的取值范围是. （2）解法一：当时，由（1）可知,故可得,.设向量与的夹角为，因为...3 (6)...9 ...11 ...13 (15).所以，故向量与夹角的大小为.解法二：如图，以中点O 为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在直线为轴（其中点为中点），建立空间直角坐标系. 由（1）可知，当时，.所以有，，，,，即，. 设向量与夹角为，则故向量与夹角的大小为.解法三：如图，过点作//，交于.联结.因为是正三棱柱，故可得.当时，由（1）可知,故可得.在等腰三角形中，不难求得，即异面直线与所成角为，而图中不难发现，与夹角的大小为异面直线与所成角的补角，即与夹角的大小为. …16 …10 …13 …16 …11 …14 …16（文科）解:（1）为偶函数，对恒成立，即对恒成立，又，于是得对恒成立，.（2）由（1）得可知，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为和，单调递减区间为和.（3）解法一：由偶函数的性质得：函数在区间上也必定有零点，即方程在区间上有实数解，则，设，可知函数在区间上单调递增，则，.解法二：若函数在区间上存在零点，则必有即.…3…6…9(12)(14)(16)(13)(16)23. （本题满分20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分）解：（1）证：设等差数列的公差为,因为，所以为定值，即数列也成等差数列.（2）证：因为点、和都是直线上一点，故有()…4…6于是，令，，则有.（3）（文科）假设存在点满足要求, 则有，又当时，恒有，则又有，所以又因为数列成等差数列，于是，所以，故，同理，且点在直线上（是、的中点），即存在点满足要求. ...9 ...10 (12)(15)...18 (20)（3）（理科）提出命题：（在本题大前提下）若点满足，则系数数列的和是点在直线上的充要条件.证明：设，由条件，先证充分性：“当时，点在直线上”.因为，。
2017年高考数学一模分类汇编--三角一、填空题汇编：（第1--6题4分/题；第7--12题5分/题）1、（17年普陀一模2） 若22ππα-<<，3sin 5α=，则cot 2α=2、（17年浦东一模8） 函数()3cos 3sin )f x x x x x =+-的最小正周期为3、（17年长宁/嘉定一模2） 函数sin()3y x πω=-（0ω>）的最小正周期是π，则ω=4、（17年长宁/嘉定一模9）如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5AD =，7AC =，3DC =，则AB 的长为5、（17年杨浦一模4）若ABC ∆中，4=+b a ，︒=∠30C ，则ABC ∆面积的最大值是 .6、（17年松江一模5）已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为7、（17年闵行一模1）集合[]{}cos(cos )0,0,x x x ππ=∈=_____________ ．（用列举法表示）8（17年松江一模）如右图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P 为弧AB 上的一个动点，则OP AB ⋅的取值范围是_____________．9、（17年静安一模2）．函数⎪⎭⎫⎝⎛+-=4sin 31)(2πx x f 的最小正周期为 ．10、（17年静安一模6）．已知为锐角，且，则________ ．11、（17年静安一模9）．直角三角形ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，点M 是三角形ABC 外接圆上任意一点，则AB AM ⋅的最大值为___________．12、（17年金山一模3）．如果5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值是 13、（17年金山一模4）．函数cos sin ()sin cos x xf x x x=的最小正周期是14、（17年虹口一模3）．设函数()sin cos f x x x =-，且()1f α=，则sin2α= ． 15、（17年虹口一模6）．已知角A 是ABC ∆的内角，则“1cos 2A =”是“3sin A =的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．16、（17年奉贤一模11）．参数方程[)πθθθθ2,0,sin 12cos2sin ∈⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x 表示的曲线的普通方程是_________.3cos()45πα+=sin α=17、（17年奉贤一模12）．已知函数()()sin cos 0,f x wx wx w x R =+>∈，若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为____________.18、（17年崇明一模9）．已知,A B 分别是函数()2sin f x x ω=(0)ω>在y 轴右侧图像上的第一个最高点和第一个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是19、（17年崇明一模11）．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数，已知函数：①2y x =；②2sin y x =； ③1xy π=-；④cos()3y x π=+；其中为一阶格点函数的序号为 （注：把你认为正确的序号都填上）20、（17年宝山一模6）． 若函数cos sin sin cos x x y x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为二、选择题汇编：（5分/题） 1、（17年徐汇一模13）、“4x k ππ=+()k Z ∈”是“tan 1x =”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要2、（17年青浦一模13）、已知()sin3f x x π=，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =现从集合A 中任取两个不同元素s 、t ，则使得()()0f s f t ⋅=的可能情况为 （ ）.A ．12种B ．13种C ．14种D ．15种3、（17年浦东一模13） 将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（ ） A. cos(2)3y x π=+ B. cos(2)6y x π=+ C. cos(2)3y x π=-D. cos(2)6y x π=- 4、（17年长宁/嘉定一模15）给出下列命题：① 存在实数α使3sin cos 2αα+=；② 直线2x π=-是函数sin y x =图像的一条对称轴；③ cos(cos )y x =（x R ∈）的值域是[cos1,1]；④ 若α、β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；其中正确命题的题号为（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5、（17年长宁/嘉定一模16） 如果对一切实数x 、y ，不等式29cos sin 4y x a x y-≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. 4(,]3-∞ B. [3,)+∞ C. [- D. [3,3]-6、（17年杨浦一模13）若直线1=+bya x 通过点()θθsin ,c os P ，则下列不等式正确的是 （ ）（A ）122≤+b a （B ）122≥+b a （C ）11122≤+b a （D ）11122≥+ba7、（17年松江一模16）解不等式11()022x x -+>时，可构造函数1()()2x f x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数及()(1)f x f >，可得1x <，用类似的方法可求得不等式263arcsin arcsin 0x x x x +++>的解集为（ ）A. (0,1]B. (1,1)-C. (1,1]-D. (1,0)-8、（17年虹口一模14）．已知函数()sin(2)3f x x π=+在区间[]0,a （其中0a >）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）．.A 02a <≤π.B 012a π<≤.C ,12a k k N ππ*=+∈ .D 22,12k a k k N <≤+∈πππ9、（17年奉贤一模15）．已知函数22sin ,()cos(),x x f x x x α⎧+⎪=⎨-++⎪⎩00x x ≥<([0,2)απ∈是奇函数，则α=（ ）A ．0 B ．2πC ．πD ．23π10、（17年崇明一模13）． 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A. tan y x =B. 3xy = C. 13y x = D. lg ||y x =三、解答题汇编1、（17年徐汇一模18）、已知函数2sin ()1x xf x x -=；（1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若()2Af =4a =，5b c +=， 求△ABC 的面积；2、（17年青浦一模18）、本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.已知函数()()221cos 42f x x x x π⎛⎫=+--∈ ⎪⎝⎭R .（1） 求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值； （2）在ABC ∆中，若A B <，且()()12f A f B ==，求BCAB的值.3、（17年浦东一模13）已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ；（1）若3B π=，b =ABC 的面积S =a c +的值； （2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=，求角C ；4、（17年长宁/嘉定一模18）（14分） 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且28sin 2cos 272B C A +-=；（1）求角A 的大小；（2）若a =3b c +=，求b 和c 的值；5、（17年杨浦一模17）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题6分. 如图，某柱体实心铜质零件的截面边界是长度为55毫米线段AB 和88毫米的线段AC 以及圆心为P ，半径为PB 的一段圆弧BC 构成，其中︒=∠60BAC . （1）求半径PB 的长度；（2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）.6、（17年松江一模19）松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”，兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高，如图，记O 点为塔基、P 点为塔尖、 点P 在地面上的射影为点H ，在塔身OP 射影所在直线上选点A ，使仰角45HAP ︒∠=， 过O 点与OA 成120︒的地面上选B 点，使仰角45HBP ︒∠=（点A 、B 、O 都在同一水平 面上），此时测得27OAB ︒∠=，A 与B 之间距离为33.6米，试求： （1）塔高；（即线段PH 的长，精确到0.1米） （2）塔的倾斜度；（即OPH ∠的大小，精确到0.1︒）60° A B PC7、（17年松江一模18）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．已知()23,1m =，2cos ,sin 2A n A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，A B C 、、是ABC △的内角． （1）当2A π=时，求n 的值；（2）若23C π=，3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长.8、（17年静安一模18）．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向2cos θ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．(1) 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； (2) 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？9、（17年金山一模18）． 已知△ABC 中，1AC =，23ABC π∠=，设BAC x ∠=，记()f x AB BC =⋅； （1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）试写出函数()f x 的单调递增区间，并求方程1()6f x =的解；10、（17年虹口一模18）．（本题满分14分）如图，我海监船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其北偏东30︒方向与它相距20海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D 岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D 岛12海里的E 处（E 在B 的正南方向），不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值(角度精确到0.1︒，速度精确到0.1海里/小时)．A11、（17年奉贤一模19）．（本题满分14分）本题共有1个小题，满分14分一艘轮船在江中向正东方向航行，在点观测到灯塔在一直线上，并与航线成角α()0900<<α．轮船沿航线前进b 米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东β()0900<<α方向，0090αβ<+<．求．（结果用,,b αβ的表达式表示）．12、（17年崇明一模18）．在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A相距B 处，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+（其中sin θ=090θ︒︒<<）且与点A相距海里的位置C 处； （1）求该船的行驶速度；（单位：海里/小时） （2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断 它是否会进入警戒水域，并说明理由；P A B ，C A 45︒B CB。
2015－2０１6学年第一学期普陀区高三质量教研卷理科数学 ２0１5.1２.23一、填空题（本大题56分)本大题共有14小题,要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中,每小空格填对得4分，填错或不正确的位置一律得零分）１.若全集U R =，集合{|(2)0}M x x x =-≤,{1,2,3,4}N =，则UN M =_＿___＿＿.2.若函数()1f x =-()g x =则()()f x g x +=_＿______.3.在7(21)x -的二项展开式中,第四项的系数为___＿______. 4.在44x ππ-≤≤，则函数tan y x =的值域为＿＿_＿__＿＿＿_.5.在数列{}n a 中,11a =，*121()n n a a n N +=+∈, 则数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的各项和为______．6.若函数()0)f x x =≥的反函数是1()f x -,则不等式1()()f x f x ->的解集为__＿_＿__.７.设O 为坐标原点,若直线1:02l y -=与曲线0y τ=相交于A B 、点,则扇形AOB 的面积为__＿_____＿．8.若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为18０,则这个棱柱的体积为___＿_＿＿__. 9.若在北纬45的纬度圈上有A B 、两地,经度差为90，则A B 、两地的球面距离与地球半径的比值为__＿_＿＿＿_．10．方程22log (45)2log (22)x x -=+-的解x =__＿_____．1１.设P 是双曲线22142x y -=上的动点，若P 到两条渐近线的距离分别为12,d d ，则12d d ⋅=__＿＿__＿__.1２.如图,已知正方体111ABCD A B C D - ,若在其12条棱中随机地取3条, 则这三条棱两两是异面直线的概率是____＿___＿＿_(结果用最简分数表示) 13．若F 是抛物线24y x =的焦点,点(1,2,3,...,10)i P i =在抛物线上，且 12100...0PF P F P F +++= ,则12100||||...||PF P F P F +++=____＿___.A BCD1A 1B 1C 1D14．若函数2()|sin |(,)3sin f x x t x t R x=++∈+ 最大值记为()g t ，则函数()g t 的最小值为＿_________.二、选择题(本大题2０分,共４小题,每小题5分）１5.下列命题中的假命题是（ ） A ． 若0a b <<,则11a b >ﻩ ﻩB. 若11a>,则01a << C. 若0a b >>,则44a b > D. 若1a <，则11a<1６．若集合{}R ,lg 230,R A x y x B x x x ⎧⎫⎪⎪==∈=-<∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭,则“x A ∈”是“x B ∈”成立的（ )A ． 充分非必要条件 ﻩﻩB. 必要非充分条件C. 充要条件ﻩ ﻩ Ｄ． 既不充分也不必要条件１７.如图，在四面体ABCD ,AB CD =，,M N 分别是,BC AD 的中点，若AB 与CD 所成的角的大小为60︒，则MN 和CD 所成的角的大小为( ) Ａ. 30B. 60︒Ｃ． 30或60︒ﻩ D ． 15或60︒18、若函数()()lg 1,1sin ,12x x f x a x x π⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，关于x 的方程()()()210f x a f x a -++=,给出下列结论:①存在这样的实数a ，使得方程由３个不同的实根;②不存在这样的实数a ，使得方程由4个不同的实根;③存在这样的实数a ,使得方程由5个不同的实数根；④不存在这样的实数a ，使得方程由6个不同的实数根.其中正确的个数是( ).A １个 .B 2个 .C 3个 .D 4个B三、解答题:（本大题满分74分)本大题共有５题,解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.１９.（本题满分１2分）本题共2个小题，第1小题满分６分，第二小题满分6分如图，椭圆221259x y+=的左、右两个焦点分别为12,F F,A为椭圆的右顶点,点P在椭圆上且127cos8PF F∠=.(1）计算1PF的值；（2)求1PF A∆的面积.20．(本题满分14分）本题共2个小题,第1小题满分６分,第二小题满分8分某种“笼其”由内，外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和圆柱,其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不计,已知圆柱的底面周长为24cmπ，高为30cm，圆锥的母线长为20cm.(1）求这种“笼其”的体积(结果精确到0.13cm);（2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼其”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？O xAyP1F２１.(本题满分14分)本题共2个小题，第１小题满分６分，第二小题满分８分 已知函数()22sin sin 21f x x x =+-. (1）求函数()f x 的单调递增区间;(2)设20cos cos sin 266x f ππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,其中00x π<<，求0tan x 的值.２２．（本题满分１6分)本题共有3个小题,第１小题4分，第2小题6分,第3小题6分已知*n N ∈,数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n a S -=． （1)求证:数列{}n a 是等比数列,并求出通项公式； (2）对于任意{}12,,,i j n a a a a a ∈、(其中1i n ≤≤，1j n ≤≤，i j 、均为正整数），若i a 和j a 的所有乘积i j a a ⋅的和记为n T ，试求lim 4nnx T →∞的值； (3）设()12113log ,1n n n n n n b a c b b +++==-⋅,若数列{}n c 的前n 项和为n C ，是否存在这样的实数t ,使得对于所有的n 都有2n C tn ≥成立,若存在，求出t 的取值范围;若不存在,请说明理由．23.(本题满分１８分）本题共有3个小题，第1小题４分,第2小题6分,第3小题8分 已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体，存在实数()0a k k ≠、,对于定义域内的任意x 均有()()f a x kf a x +=-成立，称数对(),a k 为函数()f x 的“伴随数对” （1）判断()2f x x =是否属于集合M ,并说明理由;(2)若函数()sin f x x M =∈，求满足条件的函数()f x 的所有“伴随数对”; （3)若()()1,1,2,1-都是函数()f x 的“伴随数对”，当12x ≤<时,()cos 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭;当2x =时,()0f x =.求当20142016x ≤≤时,函数()y f x =的解析式和零点.参考答案。
2017上海高考各区一模《函数》精编1.（2017嘉定区一模）有以下命题：①若函数()f x 既是奇函数又是偶函数，则()f x 的值域为{0}；②若函数()f x 是偶函数，则(||)()f x f x =；③若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，则()f x 不存在反函数；④若函数()f x 存在反函数1()f x -，且1()f x -与()f x 不完全相同，则()f x 与1()f x -图 像的公共点必在直线y x =上；其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）2.（2017普陀区一模）已知定义域为R 的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，且11x -≤<时，2()1f x x =-，函数lg ||,0()1,0x x g x x ≠⎧=⎨=⎩. 若()()()F x f x g x =-，则[5,10]x ∈-，函数()F x 零点的个数是 153.（2017崇明县一模）设12()2x x a f x b+-+=+，,a b 为实常数； （1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数；（2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ， 都有2()33f x c c <-+成立？若存在，试找出所有这样的D ；若不存在，说明理由； 解：（1）(1)(1)f f -≠-；（2）12a b =⎧⎨=⎩，12a b =-⎧⎨=-⎩；（3）当121()22x x f x +-+=+，D R =；当121()22x x f x +--=-，(0,)D =+∞，25(,log ]7D =-∞； 4.（2017虹口区一模）已知二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[0,)+∞；（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断此函数在2[,)a+∞的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； （3）求出()f x 在[1,)+∞上的最小值()g a ，并求()g a 的值域；解：（1）非奇非偶函数；（2）单调递增；（3）当02a <<，()0g a =；当2a ≥，4()4g a a a=+-；值域[0,)+∞； 5.（2017金山区一模）已知函数2()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1，记()(||)f x g x =，x R ∈；（1）求实数a 、b 的值；（2）若不等式222()()log 2log 3f x g x k k +≥--对任意x R ∈恒成立，求实数k 的范围； （3）对于定义在[,]p q 上的函数()m x ，设0x p =，n x q =，用任意i x (1,2,,1)i n =⋅⋅⋅- 将[,]p q 划分成n 个小区间，其中11i i i x x x -+<<，若存在一个常数0M >，使得不等式 01121|()()||()()||()()|n n m x m x m x m x m x m x M --+-+⋅⋅⋅+-≤恒成立，则称函数()m x 为在[,]p q 上的有界变差函数，试证明函数()f x 是在[1,3]上的有界变差函数，并求出M 的最小值；解：（1）0b =，1a =；（2）1[,8]2；（3）min 4M =；6.（2017青浦区一模）已知函数2()2f x x ax =-（0a >）；（1）当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<；（2）函数()y f x =在[,2]t t +的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值；（3）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使得在整个区间[0,()]M a 上，不等式|()|5f x ≤恒成立，求出()M a 的解析式；7.（2017嘉定区一模）已知函数()9233x xf x a =-⋅+；（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ，若存在，求出m 、n 的值，若不存在，请说明理由；8.（2017宝山区一模）设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）；（1）当2m =时，解不等式1()1f x>；（2）若(0)1f =，且()x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围； （3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg 2nf x <对任意n N ∈均成立， 求实数x 的取值集合；9.（2017普陀区一模）已知函数()y f x =，若存在实数m 、k （0m ≠），使得对于定义域内的任意实数x ，均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数，有序数对(,)m k 称为函数()f x 的“平衡”数对；（1）若1m =，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若a R ∈，0a ≠，当a 变化，求证：2()f x x =与()2x g x a =+的“平衡”数对相同；（3）若1m 、2m R ∈，且1(,)2m π、2(,)4m π均为函数2()cos f x x =（04x π<≤）的“平 衡”数对，求2212m m +的取值范围；10.（2017闵行区一模）在平面直角坐标系上，有一点列01231,,,,,,n n P P P P P P -⋅⋅⋅，设点k P 的坐标(,)k k x y （k N ∈，k n ≤），其中k x 、k y Z ∈，记1k k k x x x -∆=-，1k k k y y y -∆=-，且满足||||2k k x y ∆⋅∆=（*k N ∈，k n ≤）；（1）已知点0(0,1)P ，点1P 满足110y x ∆>∆>，求1P 的坐标；（2）已知点0(0,1)P ，1k x ∆=（*k N ∈，k n ≤），且{}k y （k N ∈，k n ≤）是递增数列，点n P 在直线:38l y x =-上，求n ；（3）若点0P 的坐标为(0,0)，2016100y =，求0122016x x x x +++⋅⋅⋅+的最大值；11.（2017浦东新区一模）已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈， 都有*()f n N ∈，且(())3f f n n =恒成立，则(2017)(1999)f f -=12.（2017浦东新区一模）已知定义在R 上的函数()x ϕ的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上()x ϕ都不是常值函数，设011i i n a t t t t t b -=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=，其中分点1t 、2t 、⋅⋅⋅、1n t -将区间[,]a b 划分为n *()n N ∈个小区间1[,]i i t t -，记0112{,,}|()()||()()|M a b n t t t t ϕϕϕϕ=-+-1|()()|n n t t ϕϕ-+⋅⋅⋅+-，称为()x ϕ关于区间[,]a b 的n 阶划分的“落差总和”；当{,,}M a b n 取得最大值且n 取得最小值0n 时，称()x ϕ存在“最佳划分”0{,,}M a b n ；（1）已知()||x x ϕ=，求{1,2,2}M -的最大值0M ；（2）已知()()a b ϕϕ<，求证：()x ϕ在[,]a b 上存在“最佳划分”{,,1}M a b 的充要条件是()x ϕ在[,]a b 上单调递增；（3）若()x ϕ是偶函数且存在“最佳划分”0{,,}M a a n -，求证：0n 是偶数，且 00110i i n t t t t t -++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=；。
普陀区2017学年第一学期高三数学质量调研2017.12考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1．设全集{}=1,2,3,4,5U ，若集合{}3,4,5A =，则U A =ð . 2. 若1sin 4θ=，则3cos()2πθ+= . 3. 方程222log (2)log (3)log 12x x -+-=的解=x .4. 91)x的二项展开式中的常数项的值为 . 5. 不等式111x ≥-的解集为_______.6. 函数()22cos 2xf x x =+的值域为 _ . 7. 已知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若1i012iz +=，则z 在复平面内所对应的点所在的象限为第________象限.8. 若数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-++*(N )n ∈，则lim3nn a n→∞= _ .9. 若直线:5l x y +=与曲线22:16C x y +=交于两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221x y x y +的 值为 .10. 设1234,,,a a a a 是1,2,3,4的一个排列，若至少有一个()1,2,3,4i i =使得i a i =成立，则满足此条件的不同排列的个数为 .11. 已知正三角形ABCM 是ABC ∆所在平面内的任一动点，若1MA =，则MA MB MC ++的取值范围为________.12. 双曲线2213x y -=绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数()f x 的图像.关于此函数()f x 有如下四个命题： ①()f x 是奇函数；②()f x的图像过点32⎫⎪⎝⎭或32⎫-⎪⎝⎭； ③()f x 的值域是33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；④函数()y f x x =-有两个零点. 则其中所有真命题的序号为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 若数列{}n a *N n ∈（）是等比数列，则矩阵124568a a a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭所表示方程组的解的个数是（ ） )A (0个 ()B 1个 ()C 无数个 ()D 不确定14. “0m >”是“函数()(2)f x x mx =+在区间(0,)+∞上为增函数”的 ………………（ ）)A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件15. 用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为 ……………………（ ） )A ( 2258cm ()B 2414cm ()C 2416cm ()D 2418cm16. 定义在R 上的函数()f x 满足22,01,()42,10.xxx f x x -⎧+≤<⎪=⎨--≤<⎪⎩，且(1)(1)f x f x -=+，则函数35()()2x g x f x x -=--在区间[1,5]-上的所有零点之和为 ……………………………（ ） )A (4 ()B 5 ()C 7 ()D 8三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图1所示的圆锥的体积为3，底面直径2AB =,点C 是弧AB 的中点，点D 是母 线PA 的中点.（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB 与CD 所成角的大小.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本. 已知购买x 台机器人的总成本为()21150600p x x x =++万元. （1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 设函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><，已知角ϕ的终边经过点(1,，点11(,)M x y ，22(,)N x y 是函数()f x 图像上的任意两点，当12()()2f x f x -=时，12x x -的最小值是2π. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）已知△ABC 的面积为C 所对的边c =cos 4C f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求△ABC 的周长.20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设点1F ，2F 分别是椭圆C :222212x y t t+=(0)t >的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点2F 的距离的最小值为2. 点M ，N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量1F M 与向量2F N平行.（1）求椭圆C 的方程；（2）当120F N F N ⋅=时，求1FMN ∆的面积；（3）当21F N F M -=2F N 的方程.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前n 项和n T ，满足1(1)2n n n n T b +=-*(N )n ∈，且52d a b ==. 若实数{}23|k k k m P x a x a -+∈=<<（*N ,3k k ∈≥），则称m 具有性质k P . （1）请判断12,b b 是否具有性质6P ，并说明理由；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若{}2n n S a λ-是单调递增数列，求证：对任意的k （*N ,3k k ∈≥），实数λ都不具有性质k P ；（3）设n H 是数列{}n T 的前n 项和，若对任意的*N n ∈，21n H -都具有性质k P ，求所有满足条件的k 的值.普陀区2017学年第一学期高三数学质量调研评分标准（参考）一、填空题二、选择题三、解答题17.（1）由圆锥的体积21()32ABV OPπ=⋅⋅⋅=，……………………………2分得OP=2PB==, ……………………………………………4分则该圆锥的侧面积为112212222S OB PBπππ=⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=. ……………………6分与（2）联结,O D，由条件得//OD PB，即CDO∠是异面直线PBCD所成角或其补角，……………………………………2分点C是弧AB的中点，则CO AB⊥,又PO为该圆锥的高，则PO CO⊥,即CO⊥平面PAB，……………………………4分OD在平面PAB内，则CO OD⊥，即CDO∆为直角三角形，又112DO PB CO===，则4CDOπ∠=，……………………7分即异面直线PB与CD所成角的大小为4π.………………………8分18.（1）由题意得每台机器人的平均成本为()11501600p xxx x=++…………………2分12≥=……………………4分当且仅当150600x x=*(N )x ∈，即300x =时取等号， 则要使每台机器人的平均成本最低，应买300台. ………………………………………6分（2）当130m ≤≤时，每台机器人日平均分拣量8()(60)15q m m m =- 28(30)48015m =--+，当30m =时，每台机器人的日平均分拣量最大值为480……2分当30m >时，每台机器人的日平均分拣量仍为480，则引进300台机器人后，日平均分拣量的最大值为19.（1）由角ϕ的终边经过点(1,得tan ϕ= 又2πϕ<，则3πϕ=-，………………………………………………………………3分当12()()2f x f x -=时，12x x -的最小值是2π，则(0)2ππωω=>，即2ω=， ………………………………………………………………………………5分 则所求函数的解析式为()sin(2)3f x x π=-. ………………………………………6分（2）由（1）得1cos sin(2)sin 44362C f ππππ⎛⎫==⨯-==⎪⎝⎭，又△ABC 的面积为1sin 2ab C =20ab =， ……………………4分由余弦定理得22212202a b =+-⨯⨯，即2()80a b +=,即a b +=7分则所求的△ABC 的周长为 …………………………………………………………8分20．（1）由0t >得点2(,0)F t ，又椭圆C 上的点到点1F 的距离的最小值为2，2t -=， ………………………………………………3分即2t =，故椭圆C 的方程为22184x y +=.………………………………4分 （2）设11(,)N x y ，22M(,)x y ，则2211184x y +=，2222184x y +=且12y 0,0y >>， 由（1）得1(2,0)F -，2(2,0)F ，即111(2,y )F N x =+ ，211(2,y )F N x =-，又212111(2)(2)0F N F N x x y ⋅=-++= ，即22114x y +=，联立221122111844x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩， 解得1102x y =⎧⎨=⎩，即(0,2)N . ………………………………………………………………2分又1//F M 2F N 且12F N F N ⊥ ，则1(2,2)F N = 是直线1FM 的一个法向量，即直线1F M 的 点法向式方程为2(2)20x y ++=，即2220x y ++=.联立22222218420x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩消去2x 整理 化简得2223440y y +-=，即223y =或22y =-（舍）， 得228323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即82(,)33M -. ………………………………………………………………4分则1201140212382133F MN S ∆-==-，即1F MN ∆的面积为43.………………………………6分 说明：三角形面积的求法不唯一，可以图形分割，用面积求差来解；也可以用点到直线的距离求出高，再用两点之间的距离公式求出底，用底与高乘积的一半来求等；也可等面积转换求解，请相应给分.（3）延长线段2NF 交椭圆C 于点G ，向量1F M 与向量2F N平行，根据椭圆的中心对称性得21F G FM =且21F N FM >，即2122F N F M F N F G -=-=……………2分 又21F N FM >，则直线2F N 的斜率一定存在且值为负，可设直线2F N 的方程为：(2)y k x =-，点1,1N()x y ，2,2G()x y ，且122x x <<，联立方程22184(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 整理化简得2222(12)8880k x k x k +-+-=，则2122812k x x k +=+.则221222F N F G -=--124)x x =+-2228(4)1212k k k=-=++，=4212450k k +-=，即22(65)(21)0k k +-=……………5分 又0k <，则2k =-，故直线2F N的方程为20x -=. ……………………6分 21.（1）由1111122T b b +=+=-得114b =-， ………………………………1分 又312334123441188111616T b b b b T b b b b b⎧+=+++=-⎪⎪⎨⎪+=++++=⎪⎩，得214b =………………………………3分可得5114(5)(5)444n n a a n d n -=+-=+-= 从而65|04P x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭故1b 不具有性质6P ，2b 具有性质6P . …………………………………………4分说明：求2b 是难点，第（1）问不必这样求解，可以直接用等差数列单调性判断下结论，可相应的评分，求2b 以及数列的通项公式的评分可在第（2）问解答过程中体现.（2）()()2174163142242448n n n n n n n S a n λλλλ--++-⎛⎫-=-+⋅-=⎪⎝⎭， ………………………………………2分 因为数列{}2n n S a λ-单调递增，所以74322λ+<，即1λ<-，…………………4分 又数列{}n a 单调递增，则数列{}n a 的最小项为1314a =->-， 则对任意()*,3k k N k ∈≥，都有2314k a λ-<-<-≤， 故实数λ都不具有性质k P . ……………………………………………………6分（3）因为1(1)2n n n n T b +=-，所以1*1111(1)(2,N )2n n n n T b n n ----+=-≥∈， 两式相减得 111111(1)(1)22n n n n n n n n T T b b -----+-=---*(2,N )n n ≥∈，即 11(1)(1)2n nn n n n b b b --=-+-*(2,N )n n ≥∈，当n 为偶数时，112n n n nb b b --=+，即112n n b -=-，此时1n -为奇数； 当n 为奇数时，112n n n n b b b --=--，即1122n n n b b --=-，则1112n n b --=，此时1n -为偶数；则 11(21(2n n nn b n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数）为偶数），*N n ∈. ……………………………………3分则 11(20(n n n T n +⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数）为偶数）故 2112342221n n n H T T T T T T ---=+++++246822211(1)1111111124(1)12222223414n n n--=-------=-=--- ……………5分 因为114n -对于一切*N n ∈递增，所以311144n ≤-<，所以 211134n H --<≤-.若对任意的*N n ∈，21n H -都具有性质k P ，则11(,]34--⊆6144k k x x ⎧--⎫<<⎨⎬⎩⎭， 即61431144k k -⎧≤-⎪⎪⎨-⎪>-⎪⎩，解得1403k <≤，又*2,N k k >∈，则3k =或4，即所有满足条件的正整数k 的值为3和4.………………………………………8分 说明：此处可不求n T ，直接用求和定义得2112342221n n n H T T T T T T ---=+++++1234232221=(21)(22)(23)(24)32n n n n b n b n b n b b b b ----+-+-+-++++ 1234232221=[(21)(22)][(23)(24)][32]n n n n b n b n b n b b b b ----+-+-+-++++请相应评分.。
