7.3.2正弦型函数的性质与图像(1)教学设计

第七章三角函数7．3.2 正弦型函数的图像1.结合具体实例，了解y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义．2.能借助图像理解参数ω，φ，A的含义，了解参数变化对函数图像的影响．3．会求y＝A sin(ωx＋φ)的参数，如周期，定义域，最大、最小值．4.通过学习，提高学生直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．(一)教材梳理填空1．正弦型函数的定义：一般地，形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数，称为正弦型函数，其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，ω≠0.2．φ，ω，A对函数y＝sin(x＋φ)图像的影响(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响(3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的影响3．正弦型函数的性质(1)一般地，正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)的定义域为R ，值域为[－|A |，|A |]，周期是T ＝2π|ω|，而且函数的图像可通过对正弦曲线进行平移、伸缩得到． (2)正弦型函数中的常数A ，ω，φ的实际意义：|A |称为振幅；φ称为初相；周期T ＝2π|ω|，f ＝1T ＝|ω|2π称为频率．(二)基本知能小试 1．判断正误(1)“五点法”只能作函数y ＝sin x 的图像，而不能作函数y ＝sin(x ＋φ)的图像. ( )(2)利用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，“ωx ＋φ”依次取0，π2，π，3π2，2π五个值．( )(3)将y ＝sin x 的图像上的点的横坐标伸长到原来的3倍就得到y ＝sin 3x 的图像．( )答案：(1)× (2)√ (3)×2.函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1的最小正周期为( ) A. π2 B.π C ．2π D.4π答案：B3．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像，只要将y ＝sin x 的图像( ) A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向上平移π4个单位D.向下平移π4个单位解析：选B 将y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像． 4．函数f (x )＝－8sin 3x 为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数D.非奇非偶函数解析：选A 由于f (－x )＝－8sin 3(－x )＝8sin 3x ＝－f (x )，所以此函数为奇函数．第一课时 正弦型函数的图像题型一 “五点法”作正弦型函数的图像[学透用活][典例1] 用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6的图像．[解] 令t ＝x 2＋π6，列表如下：[方法技巧]用“五点法”作函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图像的步骤第一步：列表第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图像．[对点练清]1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图像只可能是( )解析：选B 当x ＝0时，y ＝A sin φ＞0，排除C 、D ；另外，由－π2＜ωx ＋φ＜π2得到其中一个单调增区间为⎝⎛⎭⎫－π＋2φ2ω，π－2φ2ω，结合图像，排除A ，故选B.2．用五点法作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，并指出函数的单调区间． 解：(1)列表：(2)描点．(3)连线．用光滑的曲线顺次连接各点，如图所示为该函数在一个周期内的图像，将图像左右平移(每次π个单位长度)即可得到该函数在定义域R 内的图像．可见在一个周期内，函数在⎣⎡⎦⎤π12，7π12上递减，又因为函数的周期为π，所以函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )． 同理，递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． 题型二 正弦型函数的图像变换[学透用活]对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的系数A ，ω，φ的三点说明 (1)A 越大，函数图像的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．(2)ω越大，函数图像的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图像向左平移，φ小于0时，函数图像向右平移，即“左加右减”． [典例2] (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像是由函数y ＝sin x 的图像通过怎样的变换得到的？(2)说明y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图像是由y ＝sin x 的图像经过怎样变换得到的． [解] (1)法一：法二：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)[法一 先伸缩后平移][法二 先平移后伸缩][方法技巧]由函数y ＝sin x 的图像通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的步骤[提醒] 确定函数y ＝sin x 的图像经过平移变换后图像对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x ”而言．[对点练清]1．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，只要将函数y ＝sin 2x 的图像( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：选C 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，所以将函数y ＝sin 2x 的图像向左平移π6个单位长度，就可得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像． 2．把函数y ＝f (x )的图像向左平移π4个单位长度，然后再把所得图像上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图像，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1 B.y ＝cos 2x C ．y ＝－cos 2xD.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2－1解析：选C 将函数y ＝sin x 的图像上每个点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin 2x 的图像，再将所得图像向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x 的图像．故选C.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．用五点法作y ＝2sin 2x 的图像时，首先应描出的五点的横坐标可以是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB.0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD.0，π4，π3，π2，2π3解析：选B 由2x ＝0，π2，π，3π2，2π，得x ＝0，π4，π2，3π4，π.2．把y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位长度，得到的图像的解析式为( )A ．y ＝－cos xB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 D.y ＝cos x解析：选D y ＝sin x ――――→向左平移π2个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x . 3．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图像，只要将函数y ＝sin x2的图像( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移2π3个单位D.向右平移2π3个单位解析：选C 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3＝sin 12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，所以将函数y ＝sin x 2的图像向左平移2π3个单位即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图像．4．将函数y ＝sin 3x 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)可得到函数________的图像．解析：将函数y ＝sin 3x 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)可得，函数y ＝sin(3×3x )＝sin 9x 的图像.答案：y ＝sin 9x 二、创新应用题5．已知函数f (x )的图像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图像沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图像与y ＝12sin x 的图像相同，求f (x )的解析式．解：反过来想，三、易错防范题6．为了得到y ＝sin 12x 的图像，只需要将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图像( ) A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位解析：选C ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6＝sin 12⎝⎛⎭⎫x －π3，∴将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图像向左平移π3个单位，可得y ＝sin 12x 的图像． [易错矫正] 本题中有三个易错点：①审题不清，没有弄清楚哪一个函数图像移动变换得另一个函数图像．②平移方向上应该是“左加右减”．③平移的单位长度由于忽视了x 的系数导致错误．解决本类题目谨记平移只是针对x 而言的．[课下双层级演练过关] A 级——学考水平达标练1．函数y ＝3sin 3x 的图像可看作是由y ＝sin x 的图像按下列哪种变换得到( ) A ．横坐标不变，纵坐标变为原来的13倍B ．横坐标变为原来的13倍，纵坐标变为原来的3倍C ．横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍D ．横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的13倍解析：选B2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位解析：选B 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B.3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32＜0，排除B 、D.当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C ，故选A.4．用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，且x 1＋x 5＝3π2，则x 2＋x 4等于( )A.π2 B ．π C.3π2D.2π解析：选C 由五点法作图原理知，x 2－x 1＝x 3－x 2＝x 4－x 3＝x 5－x 4＝T4，故x 1与x 5的中点是x 3, x 2与x 4的中点是x 3，所以x 2＋x 4＝2x 3＝x 1＋x 5＝3π2.5．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图像向右平移π4个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数图像的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π2 D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 解析：选D 将原函数图像向右平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图像，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4的图像． 6．将函数y ＝sin x 的图像的横坐标和纵坐标同时伸长到原来的3倍，再将图像向右平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为________________．解析：y ＝sin x ―――――――――→横坐标伸长到原来的3倍纵坐标伸长到原来的3倍y ＝3sin x 3―――――→向右平移3个单位长度y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤13(x －3)＝3sin ⎝⎛⎭⎫13x －1. 答案：y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫13x －1 7．某同学给出了以下结论：①将y ＝sin x 的图像向右平移π个单位长度，得到y ＝－sin x 的图像； ②将y ＝sin x 的图像向右平移2个单位长度，得到y ＝sin(x ＋2)的图像； ③将y ＝sin(－x )的图像向左平移2个单位长度，得到y ＝sin(－x －2)的图像． 其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)．解析：将y ＝sin x 的图像向右平移π个单位长度所得图像的解析式为y ＝sin(x －π)＝－sin(π－x )＝－sin x ，所以①正确；将y ＝sin x 的图像向右平移2个单位长度所得图像的解析式为y ＝sin(x －2)，所以②不正确； 将y ＝sin(－x )的图像向左平移2个单位长度所得图像的解析式为y ＝sin [－(x ＋2)]＝sin(－x －2)，所以③正确．答案：①③8．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像向右平移π4个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得图像对应的解析式为____________．解析：将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6的图像，再将所得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6的图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －5π6的图像．答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －5π6 9．将函数y ＝12sin 2x 的图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍，然后横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，求所得图像的函数解析式．解：y ＝12sin 2x ――――→横坐标变为原来的2倍y ＝12sin 2·⎝⎛⎭⎫12x ＝12sin x ――――→纵坐标变为原来的一半y ＝14sin x . 即所得图像的解析式为y ＝14sin x .10．已知函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4. (1)用“五点法”画函数的图像；(2)说出此图像是由y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到的． 解：(1)列表：描点：在坐标系中描出下列各点⎝⎛⎭⎫π2，0，⎝⎛⎭⎫3π2，3，⎝⎛⎭⎫5π2，0，⎝⎛⎭⎫7π2，－3，⎝⎛⎭⎫9π2，0. 连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图像，如图所示．这样就得到了函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4在一个周期内的图像，再将这部分图像向左或向右平移4k π(k ∈Z )个单位长度，得函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图像．(2)①把y ＝sin x 的图像上所有的点向右平行移动π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像； ②把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图像；③将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图像．B 级——高考水平高分练1．将函数y ＝sin x 的图像上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 解析：选C 将函数y ＝sin x 的图像上的点向右平移π10个单位长度可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10的图像；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10的图像，所以所求函数的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 2．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像向右平移π8个单位，所得图像对应的函数是( )A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D.偶函数解析：选D 把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像向右平移π8个单位得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x 的图像，y ＝－cos 2x 是偶函数．3．若ω>0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图像向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图像重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图像向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3＋π3的图像．因为所得函数图像与函数y ＝sin ωx 的图像重合，所以－ωπ3＋π3＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝－72－6k (k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值52.答案：524．设ω＞0，若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图像向右平移4π3个单位长度后与原图像重合，求ω的最小值．解：将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图像向右平移4π3个单位长度后，所得图像的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4ωπ3＋2.因为平移后的图像与原图像重合， 所以有4ωπ3＝2k π(k ∈Z )，即ω＝3k2(k ∈Z )，又因为ω＞0，所以k ≥1， 故ω＝3k 2≥32.故ω的最小值为32.5．设m 为实常数，已知方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝m 在开区间(0,2π)内有两相异实根α，β. (1)求m 的取值范围； (2)求α＋β的值．解：作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在区间(0,2π)上的图像如图所示．(1)若方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝m 在区间(0,2π)内有两相异实根α，β，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像与y ＝m 有两个相异的交点．观察图像知，当－2＜m ＜2且m ≠1时有两个相异的交点，即方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝m 在区间(0,2π)内有两个相异实根，故实数m 的取值范围为(－2，1)∪(1，2)．(2)当m ∈(－2，1)时，由图像易知两交点关于直线x ＝5π4对称，∴α＋β2＝5π4，α＋β＝5π2. 当m ∈(1，2)时，由图像易知两交点关于直线x ＝π4对称，∴α＋β2＝π4，α＋β＝π2.故α＋β的值为5π2或π2.。

教案：正弦型函数的图像和性质第一章：正弦函数的定义与图像1.1 引入正弦函数的概念解释正弦函数的定义：y = sin(x)说明正弦函数的单位圆定义：在一个单位圆上，正弦函数表示的是圆上一点的y 坐标值1.2 绘制正弦函数的图像利用图形计算器或绘图软件，绘制y = sin(x)的图像观察图像的特性：周期性、振幅、相位、对称性等1.3 分析正弦函数的性质周期性：正弦函数的图像每隔2π重复一次振幅：正弦函数的最大值为1，最小值为-1相位：正弦函数的图像向左或向右平移，但不改变其形状第二章：余弦函数的定义与图像2.1 引入余弦函数的概念解释余弦函数的定义：y = cos(x)说明余弦函数的单位圆定义：在一个单位圆上，余弦函数表示的是圆上一点的x 坐标值2.2 绘制余弦函数的图像利用图形计算器或绘图软件，绘制y = cos(x)的图像观察图像的特性：周期性、振幅、相位、对称性等2.3 分析余弦函数的性质周期性：余弦函数的图像每隔2π重复一次振幅：余弦函数的最大值为1，最小值为-1相位：余弦函数的图像向左或向右平移，但不改变其形状第三章：正切函数的定义与图像3.1 引入正切函数的概念解释正切函数的定义：y = tan(x)说明正切函数的定义域：正切函数在除原点以外的所有实数上都有定义3.2 绘制正切函数的图像利用图形计算器或绘图软件，绘制y = tan(x)的图像观察图像的特性：周期性、振幅、相位、对称性等3.3 分析正切函数的性质周期性：正切函数的图像每隔π重复一次振幅：正切函数没有振幅限制，可以无限增大或减小相位：正切函数的图像向左或向右平移，但不改变其形状第四章：正弦型函数的图像与性质4.1 引入正弦型函数的概念解释正弦型函数的定义：y = A sin(Bx C) + D说明正弦型函数的参数：A表示振幅，B表示周期，C表示相位，D表示垂直平移4.2 绘制正弦型函数的图像利用图形计算器或绘图软件，绘制y = A sin(Bx C) + D的图像观察图像的特性：振幅、周期、相位、对称性等4.3 分析正弦型函数的性质振幅：正弦型函数的最大值为A，最小值为-A周期：正弦型函数的图像每隔B个单位重复一次相位：正弦型函数的图像向左或向右平移C个单位垂直平移：正弦型函数的图像向上或向下平移D个单位第五章：正弦型函数的实例分析5.1 分析y = sin(x)的图像和性质利用图形计算器或绘图软件，绘制y = sin(x)的图像分析其振幅、周期、相位、对称性等性质5.2 分析y = cos(x)的图像和性质利用图形计算器或绘图软件，绘制y = cos(x)的图像分析其振幅、周期、相位、对称性等性质5.3 分析y = tan(x)的图像和性质利用图形计算器或绘图软件，绘制y = tan(x)的图像分析其振幅、周期、相位、对称性等性质第六章：正弦型函数的应用6.1 简谐运动解释简谐运动的定义和特点利用正弦函数表示简谐运动的位移、速度、加速度等物理量6.2 电磁波解释电磁波的产生和传播利用正弦函数表示电磁波的振荡电流或电压6.3 音乐信号处理解释音乐信号的振幅和频率特性利用正弦函数表示音乐信号的波形和频谱第七章：正弦型函数的积分与微分7.1 积分讲解正弦型函数的不定积分和定积分利用积分公式计算正弦型函数的定积分值7.2 微分讲解正弦型函数的导数利用导数公式求解正弦型函数的导数值7.3 应用案例利用积分和微分方法解决实际问题，如计算物体的位移、速度、加速度等第八章：正弦型函数的复合与变换8.1 复合函数讲解正弦型函数的复合方法利用复合函数的性质分析复合后的函数图像和性质8.2 函数变换讲解正弦型函数的平移、缩放、反转等变换利用变换公式分析变换后的函数图像和性质8.3 应用案例利用复合和变换方法解决实际问题，如设计电子电路的滤波器、振荡器等第九章：正弦型函数的极限与连续性9.1 极限讲解正弦型函数的极限概念和性质利用极限公式求解正弦型函数的极限值9.2 连续性讲解正弦型函数的连续性概念和性质利用连续性定理判断正弦型函数的连续性9.3 应用案例利用极限和连续性方法解决实际问题，如信号处理、物理现象分析等第十章：正弦型函数的综合应用10.1 正弦型函数在数学领域的应用讲解正弦型函数在几何、代数、微积分等数学领域的应用10.2 正弦型函数在自然科学领域的应用讲解正弦型函数在物理学、生物学、地球科学等领域的应用10.3 正弦型函数在工程与技术领域的应用讲解正弦型函数在电子工程、通信技术、机械工程等领域的应用重点和难点解析重点环节一：正弦函数的定义与图像重点关注内容：正弦函数的单位圆定义，正弦函数的图像特点，如周期性、振幅、相位、对称性等。

正弦型函数的性质与图像【教学目标】1．了解正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义及各参数对图像变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等．2．会用“图像变换法”作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像．【教学重难点】会求正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期、最值、单调区间．【教学过程】一、问题导入日常生活中，一般家用电器使用的电流都是交流电流，交流电流i 与时间t 的关系一般可以写成i=I m sin （wt+φ）的形式.显然，上述x 与i 都是t 的函数，那么，这种类型的函数具有什么性质呢？怎样研究这种类型的函数的性质？ 二、新知探究1.正弦型函数的图像与性质【例1】用五点法作函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋3的图像，并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程．[思路探究]先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期的图像，左、右扩展可得图像，然后根据图像求性质．[解]①①描点连线作出一周期的函数图像．①把此图像左、右扩展即得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋3的图像．由图像可知函数的定义域为R ，值域为[1,5]，周期为T ＝2πω＝2π，频率为f ＝1T ＝12π，初相为φ＝－π3，最大值为5，最小值为1． 令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ①Z )得原函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋56π(k ①Z )．令2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋32π，(k ①Z )得原函数的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋116π(k ①Z )．令x －π3＝k π＋π2(k ①Z )得原函数的对称轴方程为x ＝k π＋56π(k ①Z )． 【教师小结】（1）用五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，32π，2π，然后解出自变量x 的对应值，作出一周期内的图象．（2）求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，首先把x 的系数化为正值，然后利用整体代换，把ωx ＋φ代入相应不等式中，求出相应的变量x 的范围．2.三角函数的图像变换【例2】函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2的图像是由函数y ＝sin x 的图像通过怎样的变换得到的？[思路探究]由周期知“横向缩短”，由振幅知“纵向伸长”，并且需要向左、向下移动．【教师小结】三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略：(1)确定函数y ＝sin x 的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x ”而言.(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位.3.求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例3】如图所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图像，确定其一个函数解析式．[思路探究]解答本题可由最高点、最低点确定A ，再由周期确定ω，然后由图像所过的点确定φ.[解]由图像，知A ＝3，T ＝π，又图像过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，①所求图像由y ＝3sin 2x 的图像向左平移π6个单位得到， ①y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.【教师小结】确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω已知或代入图象与x 轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口.“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2； “第五点”为ωx ＋φ＝2π. 4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称性 [探究问题]（1） 如何求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴方程？[提示]与正弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的对称轴通过函数图像的最值点且垂直于x 轴．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k ①Z )，则x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω (k ①Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的对称轴方程为x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ①Z )．（2） 如何求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心？[提示]与正弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像的对称中心即函数图像与x 轴的交点．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π(k ①Z )，则x ＝k π－φω(k ①Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－φω，0(k ①Z )成中心对称．【例4】已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)．（1）若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为偶函数，求φ的值； （2）若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)关于x ＝π8对称，求出φ的值及f (x )的所有的对称轴方程及对称中心的坐标．[思路探究]利用正弦函数的性质解题．[解]（1）①f (x )为偶函数，①φ＝k π＋π2，又φ①(0，π)，①φ＝π2.（2）①f (x )＝sin(2x ＋φ)关于x ＝π8对称，①f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即sin φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝cos φ，①tan φ＝1，φ＝k π＋π4(k ①Z )．又φ①(0，π)，①φ＝π4，①f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由2x ＋π4＝k π＋π2(k ①Z )，得x ＝k π2＋π8(k ①Z )，由2x ＋π4＝k π，得x ＝k π2－π8(k ①Z )，①f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8(k ①Z )，对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ①Z )．【教师小结】（1）函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质较为综合，主要围绕着函数单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等考查．（2）有关函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质运用问题，要特别注意整体代换思想的运用． 三、课堂总结1．φ对函数y ＝sin(x ＋φ)的图象的影响函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R (其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．2．ω(ω>0)对函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0，且ω≠1)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到的．3．A (A >0)对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0且A ≠1)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A >1时)或缩短(当0<A <1)当原来的A 倍(横坐标不变)而得到的，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的值域为[－A ，A ]．最大值为A ，最小值为－A .4．由y ＝sin x 变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的方法 (1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移 四、课堂检测1．(2019·全国卷①)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝()A ．2B ．32C ．1D ．12A [由题意及函数y ＝sin ωx 的图像与性质可知， 12T ＝3π4－π4，①T ＝π，①2πω＝π，①ω＝2． 故选A ．]2．要得到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像，只需将y ＝3sin 2x 的图像()A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π8个单位D ．向右平移π8个单位C [y ＝3sin 2x 的图像――――――――→向左平移π8个单位y ＝3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8的图像，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像．]3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3图像的一条对称轴是________．(填序号)①x ＝－π2；①x ＝0；①x ＝π6；①x ＝－π6. ①[由正弦函数对称轴可知． x ＋π3＝k π＋π2，k ①Z ，x ＝k π＋π6，k ①Z ，k ＝0时，x ＝π6.]4．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图像的一部分，试求该函数的解析式．[解]由图像可知A ＝2，T ＝4×(6－2)＝16，ω＝2πT ＝π8.又x ＝6时，π8×6＋φ＝0，①φ＝－3π4，且|φ|<π.①所求函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4.。