[基本知识]
1．基本不等式：ab≤a＋b 2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式
?
????
(1)a 2＋b 2≥2ab ，a ，b ∈R ；(2)b a ＋a
b ≥2，ab >0；
(3)ab ≤???
?
a ＋
b 22
，a ，b ∈R ；(4)a 2
＋b 2
2≥
????
a ＋
b 22
，a ，b ∈R 当且仅当a ＝b 时
等号成立.
3．算术平均数与几何平均数
设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b
2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最
小)
(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2
4
.(简记：和定积最大)
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1
x 的最小值是2.( ) (2)函数f (x )＝cos x ＋
4
cos x
，x ∈????0，π2的最小值为4.( ) (3)x >0，y >0是x y ＋y
x ≥2的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1
a 2的最小值为2a .( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、填空题
1．当x >0时，函数f (x )＝2x
x 2＋1的最大值为________． 答案：1
2．已知a ，b ∈(0，＋∞)，若ab ＝1，则a ＋b 的最小值为________；若a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________．
解析：由基本不等式得a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取到等号；ab ≤? ??
?
?a ＋b 22
＝14，当且仅当a ＝b ＝1
2
时取到等号． 答案：2
1
4
3．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1
ab 的最小值为________． 解析：∵a ，b ∈R ，ab >0，
∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab
≥2
4ab ·1
ab
＝4，
当且仅当?????
a 2＝2
b 2
，
4ab ＝1
ab ，即???
a 2＝2
2，b 2＝24
时取得等号．
答案：4
4．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1
b 的最小值为________．
解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，所以2a ＋1
b ＝????13a ＋23b ????2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2 a 3b ·4b 3a ＝83.当且仅当a ＝2b ＝3
2时取等号． 答案：83
[全析考法]
考
法
一
通
过
拼
凑
法
利
用
基
本
不
等
式
求
最
值
利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
[例1] (1)(2019·泉州检测)已知0 2 C.34 D ．23 (2)(2019·南昌调研)已知函数y ＝x ＋ m x －2 (x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________． [解析] (1)∵0 ??x ＋(1－x )22＝3 4. 当且仅当x ＝1－x ，即x ＝1 2时等号成立． (2)∵x >2，m >0，∴y ＝x －2＋m x －2＋2≥2 (x －2)·m x －2 ＋2＝2m ＋2，当且仅当x ＝2 ＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋ m x －2 (x >2)的最小值为6，∴2m ＋2＝6，解得m ＝4. [答案] (1)B (2)4 [方法技巧] 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 考法二 通过常数代换法利用基本不等式求最值 [例2] (1)(2019·青岛模拟)已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋1 3y 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．2 3 (2)(2019·齐齐哈尔八校联考)若对x >0，y >0，x ＋2y ＝1，有2x ＋1 y ≥m 恒成立，则m 的最 大值是________． [解析] (1)因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以x ＋3y ＝1，所以1x ＋1 3y ＝????1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥4当且仅当3y x ＝x 3y ，即x ＝12，y ＝1 6 时取等号． (2)∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴2x ＋1y ＝(x ＋2y )·????2x ＋1y ＝2＋2＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y ＝8，当 且仅当x ＝12，y ＝14时取等号，∴2x ＋1y 的最小值为8，又2x ＋1 y ≥m 恒成立，∴m ≤8，即m 的最 大值为8. [答案] (1)C (2)8 [方法技巧] 通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． [集训冲关] 1.[考法一]已知x <0，则函数y ＝4 x ＋x 的最大值是( ) A ．－18 B ．18 C ．16 D ．－4 解析：选D ∵x <0，∴y ＝－???? ?? 4－x ＋(－x )≤－4，当且仅当x ＝－2时取等号． 2.[考法二]正数a ，b 满足1a ＋9 b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：因为a >0，b >0，1a ＋9b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·????1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16.由题意．得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，又x 2－4x －2＝(x －2)2－6的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6. 答案：[6，＋∞) 突破点二 基本不等式的综合问题 关于基本不等式的考题，涉及的知识点较多，常融合于函数、数列、立体几何、解析几何及实际问题中，此类问题一般难度较大，需要较强的分析问题、解决问题的能力． [全析考法] 考 法 一 基 本 不 等 式 的 实 际 应 用 问 题 [例1] 如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔挡的材料为铝合金，宽均为6 cm ，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28 800 cm 2，设该铝合金窗的宽和高分别为a cm ，b cm ，铝合金窗的透光部分的面积为S cm 2. (1)试用a ，b 表示S ； (2)若要使S 最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？ [解] (1)∵铝合金窗宽为a cm ，高为b cm ，a >0，b >0， ∴ab ＝28 800.① 设上栏框内高度为h cm ，则下栏框内高度为2h cm ，则3h ＋18＝b ，∴h ＝b －18 3， ∴透光部分的面积S ＝(a －18)×2(b －18)3＋(a －12)×(b －18) 3＝(a －16)(b －18)＝ab － 2(9a ＋8b )＋288＝28 800－2(9a ＋8b )＋288＝29 088－2(9a ＋8b )． (2)∵9a ＋8b ≥29a ·8b ＝29×8×28 800＝2 880，当且仅当9a ＝8b 时等号成立，此时b ＝9 8 a ，代入①式得a ＝160，从而 b ＝180，即当a ＝160，b ＝180时，S 取得最大值． ∴铝合金窗的宽为160 cm ，高为180 cm 时，可使透光部分的面积最大． [方法技巧] 利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解． (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． 考 法 二 基 本 不 等 式 与 其 他 知 识 的 交 汇 问 题 考向一 基本不等式与函数的交汇问题 [例2] (2019·北京西城区期末)已知A ，B 是函数y ＝2x 的图象上不同的两点，若点A ， B 到直线y ＝1 2 的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，－2) C ．(－∞，－3) D ．(－∞，－4) [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨设x 1 2，即y 1＋y 2＝1，即2x 1＋2x 2＝1.由基本不等式得1 ＝2x 1＋2x 2≥22x 1·2x 2，当且仅当x 1＝x 2＝－1时取等号，则2x 1＋x 2≤1 4，解得x 1＋x 2<－2(因 为x 1≠x 2，等号取不到)，故选B. [答案] B 考向二 基本不等式与数列的交汇问题 [例3] (2019·济宁期末)已知a >0，b >0，并且1a ，12，1 b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值 为( ) A ．16 B ．9 C ．5 D ．4 [解析] ∵1a ，12，1b 成等差数列，∴1a ＋1 b ＝1，∴a ＋9b ＝(a ＋9b )????1a ＋1b ＝10＋a b ＋9b a ≥10＋2 a b ·9b a ＝16，当且仅当a b ＝9b a 且1a ＋1b ＝1，即a ＝4，b ＝4 3时等号成立，故选A. [答案] A 考向三 基本不等式与解析几何的交汇问题 [例4] (2019·邢台月考)当双曲线M ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率最小时，M 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±1 2x [解析] 由题意得m >0，e ＝ 1＋m 2＋4m ＝ 1＋m ＋4 m ≥ 1＋2 m ·4m ＝5，当 且仅当m ＝4 m ，即m ＝2时等号成立，所以双曲线的方程为x 22－y 28＝1，所以渐近线方程为y ＝±2x ，故选A. [答案] A [方法技巧] 求与其他知识交汇的最值问题的类型及策略 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． [集训冲关] 1.[考法二· 考向一]已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1 n 的最小值为( ) A ．3－2 2 B ．5 C ．3＋2 2 D ．3＋ 2 解析：选C 令x ＋3＝1，得x ＝－2，故A (－2，－1)．又点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，则1m ＋1 n ＝????1m ＋1n (2m ＋n )＝3＋n m ＋2m n ≥3＋2 n m ·2m n ＝3＋2 2.当且仅当m ＝12＋2，n ＝12＋1时等号成立，所以1m ＋1 n 的最小值为3＋22，故 选C. 2.[考法二· 考向二]已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1 b ，则m ＋n 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析：选B 由题意知ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1 b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号． 3.[考法二· 考向三]两圆x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0和x 2＋y 2－4nx ＋4n 2－9＝0恰有一条公切线，若m ∈R ，n ∈R ，且mn ≠0，则 4m 2＋1 n 2 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选D 由题意可知两圆内切，x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0化为x 2＋(y －m )2＝1，x 2 ＋y 2－4nx ＋4n 2－9＝0化为(x －2n )2＋y 2＝9，故 4n 2＋m 2＝3－1＝2，即4n 2＋m 2＝4，4 m 2＋ 1n 2＝ 14????4m 2＋1n 2(4n 2 ＋m 2)＝2＋4n 2m 2＋m 24n 2≥2＋24n 2m 2·m 2 4n 2 ＝4. 4.[考法一]某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－ 2 t ＋1 .已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是多少万元？ 解：由题意知t ＝2 3－x －1(1 2 －3＝45.5－??????16(3－x )＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝11 4 时取等号，即最大月利润为37.5万元. [课时跟踪检测] [A 级 基础题——基稳才能楼高] 1．函数f (x )＝x x ＋1的最大值为( ) A.2 5 B ．12 C.22 D ．1 解析：选B 显然x ≥0.当x ＝0时，f (x )＝0；当x >0时，x ＋1≥2x ，∴f (x )≤1 2，当且 仅当x ＝1时取等号，f (x )max ＝1 2 . 2，若a ，b ∈R ，则下列恒成立的不等式是( ) A.|a ＋b |2≥|ab | B ．b a ＋a b ≥2 C.a 2＋b 22≥ ????a ＋b 22 D ．(a ＋b )???? 1a ＋1b ≥4 解析：选C 由于a ，b ∈R ，所以A 、B 、D 项不能直接运用基本不等式考察，先考虑C 项． ∵a 2＋b 22－? ?? ??a ＋b 22＝2(a 2＋b 2)－(a 2＋2ab ＋b 2)4＝a 2－2ab ＋b 24＝(a －b )24≥0，∴a 2＋b 2 2 ≥? ?? ??a ＋b 22. 3．(2018·东北三省四市一模)已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12 D ．16 解析：选B 由题意可得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·????4y ＋1x ＝5＋4x y ＋y x ≥5＋24x y ×y x ＝ 9，当且仅当4x y ＝y x ，即x ＝3，y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9. 4．已知x ，y 都为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1 y ＝5，则x ＋y 的最大值是( ) A ．3 B ．3.5 C ．4 D ．4.5 解析：选C 因为x ＋y ＋1x ＋1y ＝x ＋y ＋x ＋y xy ≥x ＋y ＋x ＋y ? ?? ??x ＋y 22 ＝x ＋y ＋4 x ＋y ，所以x ＋y ＋ 4 x ＋y ≤5.令x ＋y ＝t .则t 2－5t ＋4≤0，解得1≤t ≤4. 5．(2019·西藏林芝期中)若x ，y 均为正数，则3x y ＋12y x ＋13的最小值是( ) A ．24 B ．28 C ．25 D ．26 解析：选C 因为x ，y 均为正数，所以由基本不等式得3x y ＋12y x ＋13≥23x y ·12y x ＋13 ＝25，当且仅当x ＝2y 时等号成立，故3x y ＋12y x ＋13的最小值是25，故选C. [B 级 保分题——准做快做达标] 1．(2019·郑州外国语学校月考)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝1 2(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2， 则( ) A ．R B ．Q C ．P D ．P 解析：选C ∵a >b >1，∴lg a >lg b >0，1 2(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，即Q >P .∵a ＋b 2>ab ，∴ lg a ＋b 2>lg ab ＝1 2 (lg a ＋lg b )，即R >Q ，∴P 2．(2019·湖北稳派教育联考)若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条 件是( ) A ．x ＝y B ．x ＝2y C ．x ＝2且y ＝1 D ．x ＝y 或y ＝1 解析：选C ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy ，当且仅当x ＝2y 时取等号．故“x ＝2且y ＝1”是“x ＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件，故选C. 3．(2019·豫西南联考)已知正项等比数列{a n }的公比为2，若a m a n ＝4a 22，则2m ＋12n 的最小值为( ) A ．1 B ．12 C.34 D ．32 解析：选C 由题意知a m a n ＝a 212m ＋n －2＝4a 2122＝a 21 24，∴m ＋n ＝6，则2m ＋12n ＝16????2m ＋12n (m ＋n )＝16( 52＋2n m ＋m 2n )≥16×????52＋2＝34，当且仅当m ＝2n 时取等号，∴2m ＋1 2n 的最小值为3 4 ，故选C. 4．(2019·岳阳一中模拟)已知a >b >0，则2a ＋4a ＋b ＋1 a －b 的最小值为( ) A ．6 B ．4 C ．2 3 D ．3 2 解析：选A 因为4a ＋b ＋1a －b ＝12a ( 4a ＋b ＋1a －b )·[] (a ＋b )＋(a －b )＝1 2a [ 5＋a ＋b a －b ＋ 4(a －b )a ＋b ]≥12a (5＋4)＝92a (当且仅当a ＝3b 时取等号)，所以2a ＋4a ＋b ＋1a －b ≥2a ＋92a ≥6(当且仅当a ＝3 2 时后一个不等式取等号)，故选A. 5．(2019·甘肃诊断)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2 y 的最小值是( ) A.53 B ．83 C ．8 D ．24 解析：选C 因为a ∥b ，故3(y －1)＝－2x ，整理得2x ＋3y ＝3，所以3x ＋2y ＝1 3 (2x ＋3y )????3x ＋2y ＝13( 12＋9y x ＋4x y )≥13?? ? ? 12＋2 9y x ·4x y ＝8，当且仅当x ＝34，y ＝12时等号成立，所以3x ＋2y 的最小值为8，故选C. 6．若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝8，则a ＋b ＋c 的最大值为( ) A ．9 B ．2 3 C ．3 2 D ．2 6 解析：选D (a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝8＋2ab ＋2ac ＋2bc . ∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ， ∴8＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤2(a 2＋b 2＋c 2)＋8＝24，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴a ＋b ＋c ≤2 6. 7．(2019·林州一中模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9 ＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为( ) A ．10 B ．15 C ．20 D ．25 解析：选C 由题意可得a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8，由S 8－2S 4＝5可得S 8－S 4＝S 4 ＋5，由等比数列的性质可得S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，则S 4(S 12－S 8)＝(S 8－S 4)2，综上可得：a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8＝(S 4＋5)2S 4＝S 4＋25 S 4＋10≥2 S 4×25 S 4 ＋10＝20，当且 仅当S 4＝5时等号成立．故a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为20. 8．(2019·赣州月考)半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA ―→＋PB ―→)·PC ―→ 的最小值是( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2 解析：选D ∵O 为AB 的中点，∴PA ―→＋PB ―→＝2PO ―→，从而(PA ―→＋PB ―→)·PC ―→＝2PO ―→·PC ―→ ＝－2|PO ―→ |·|PC ―→|.又|PO ―→|＋|PC ―→|＝|OC ―→|＝12 AB ＝2≥2 |PO ―→|·|PC ―→|，∴|PO ―→|·|PC ―→|≤1， ∴－2|PO ―→|·|PC ―→|≥－2，∴当且仅当|PO ―→|＝|PC ―→|＝1，即P 为OC 的中点时，(PA ―→＋PB ―→)·PC ―→ 取得最小值－2，故选D. 9．(2019·玉溪月考)在△ABC 中，若a 2＋b 2＝2c 2，则内角C 的最大值为( ) A.π 6 B ．π4 C.π3 D ． 2π3 解析：选C ∵a 2＋b 2＝2c 2，∴由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ≥a 2＋b 2－c 2a 2＋b 2＝2c 2－c 2 2c 2＝ 12，当且仅当a ＝b 时取等号．∵C 是三角形的内角，∴角C 的最大值为π 3 ，故选C. 10．(2019·淮安学情调研)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1 y 的最小值为________． 解析：∵x >0，y >0，x ＋2y ＝3，∴y x ＋1y ＝y x ＋x ＋2y 3y ＝y x ＋x 3y ＋2 3 ≥2 y x ·x 3y ＋23＝23＋2 3 ，当且仅当y x ＝x 3y 即x ＝63－9，y ＝6－33时等号成立，∴y x ＋1 y 的最小值为23＋23 . 答案： 23＋2 3 11．(2019·嘉兴基础测试)若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________． 解析：由2m ＋n ＋6＝mn ，m >0，n >0，得22mn ＋6≤2m ＋n ＋6＝mn ，令2mn ＝t (t >0)，则2t ＋6≤t 2 2，即t 2－4t －12≥0，解得t ≤－2(舍)或t ≥6，即2mn ≥6，mn ≥18，则mn 的 最小值是18. 答案：18 12．(2019·张掖月考)设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1 b －1的最小值为________． 解析：∵a >0，b >1，a ＋b ＝2， ∴3a ＋1 b －1＝? ?? ??3a ＋1b －1(a ＋b －1) ＝3＋3(b －1)a ＋a b －1＋1 ＝4＋3(b －1)a ＋a b －1≥4＋23， 当3(b －1)a ＝a b －1 ， 即a ＝3－32，b ＝3＋12 时取等号， 故最小值为4＋2 3. 答案：4＋2 3 13．(2019·石家庄高三一检)已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2,3)，则a ＋b 的最小值为________． 解析：因为直线l 经过点(2,3)，所以2a ＋3b －ab ＝0，所以b ＝2a a －3>0，所以a －3>0， 所以a ＋b ＝a ＋ 2a a －3＝a －3＋6a －3 ＋5≥5＋2(a －3)·6 a －3 ＝5＋26，当且仅当a －3＝ 6 a －3 ，即a ＝3＋6，b ＝2＋6时等号成立． 答案：5＋2 6 14．(2018·唐山二模)已知a >0，b >0，c >0，d >0，a 2＋b 2＝ab ＋1，cd >1. (1)求证：a ＋b ≤2； (2)判断等式ac ＋bd ＝c ＋d 能否成立，并说明理由． 解：(1)证明：由题意得(a ＋b )2＝3ab ＋1≤3? ?? ??a ＋b 22＋1，当且仅当a ＝b 时取等号． 解得(a ＋b )2≤4，又a ，b >0， 所以a ＋b ≤2. (2)不能成立． 理由：由均值不等式得ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d 2 ，当且仅当a ＝c 且b ＝d 时等号成立． 因为a ＋b ≤2， 所以ac ＋bd ≤1＋c ＋d 2. 因为c >0，d >0，cd >1， 所以c ＋d ＝c ＋d 2＋c ＋d 2≥c ＋d 2＋cd >c ＋d 2＋1≥ac ＋bd ，故ac ＋bd ＝c ＋d 不能成 立． 15．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度 x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝??? 175 (x 2 －130x ＋4 900)，x ∈[50，80)，12－x 60，x ∈[80，120]. (1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？ (2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？ 解：(1)当x ∈[50,80)时，y ＝ 175(x 2－130x ＋4 900)＝1 75 [(x －65)2＋675]， 所以当x ＝65时，y 取得最小值，最小值为1 75×675＝9. 当x ∈[80,120]时，函数y ＝12－x 60 单调递减， 故当x ＝120时，y 取得最小值，最小值为12－120 60＝10. 因为9<10，所以当x ＝65， 即该型号汽车的速度为65 km/h 时，可使得每小时耗油量最少． (2)设总耗油量为l L ，由题意可知l ＝y ·120 x ， ①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85? ???x ＋4 900x －130≥85??? ?2 x × 4 900x －130＝16， 当且仅当x ＝4 900 x ，即x ＝70时，l 取得最小值，最小值为16； ②当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440 x －2为减函数， 所以当x ＝120时，l 取得最小值，最小值为10. 因为10<16，所以当速度为120 km/h 时，总耗油量最少． (基本不等式)公开课 教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 基本不等式: 2 a b +≤ 授课人:祁玉瑞 授课类型：新授课 一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 二、重点及难点 重点：2 a b +≤的证明过程。 难点：2 a b +≤ 等号成立条件。 三、教学过程 1.课题导入 2a b +≤ 的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民 热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22 a b +。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：22 2a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时 有22 2a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果 ) ""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+ 当 22 ,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即 .2)(2 2ab b a ≥+ 4．12a b ab +≤ 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， (a>0,b>0)2a b ab +≤ 22a b ab +≤ 用分析法证明： 32a b ab +≤ 的几何意义 《基本不等式》教学设计 青海省西宁市第五中学高丽 一．教学内容解析 基本不等式是选自人教A版数学必修5第三章第4节第1课时，是在学习了“不等关系与不等式”，“一元二次不等式及其解法”和“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究，是不等式的延续与拓展，为后面选修中不等式的学习打下了坚实的基础，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。 本节课内容属于概念性知识，课程标准对它的要求是：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。因此，根据以上课标和学生实际我确定本节课的教学重点是：探索基本不等式的形成与正明，会利用基本不等式求解简单的最值问题。在本节课中，学生通过观察，试验等方法抽象概括，归纳出基本不等式，其中渗透了数形结合的思想。 二．教学目标设置 本章的课程目标是：不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，也是数学本质的体现。根据本节课内容特点和以上分析，我确定了以下教学目标： 知识与技能目标： 了解基本不等式的几何背景和证明方法，理解基本不等式的几何意义，会利用基本不等式求解简单的最大（小）值问题； 过程与方法目标： 了解基本不等式的形成与证明过程，初步认识分析法证明问题的思路，体会利用基本不等式求解最值的方法； 情感态度与价值观目标： 通过实际背景抽象推导出基本不等式，又利用它解决实际生活中的问题，体现了数学来源于生活，又应用于生活；同时培养学生分析问题，解决问题的能力，充分激发学生学习数学的兴趣和勇于探索的精神。 基本不等式可以与函数，三角函数，数列等知识相结合，在求解取值范围和最值等问题时有着广泛的应用，时培养学生思维品质的重要途径。 基本不等式 2a b +≤ 授课人:祁玉瑞 授课类型：新授课 一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 二、重点及难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，2 a b +≤的证明过程。 难点：2a b +≤等号成立条件。 三、教学过程 1.课题导入 2a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的 面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时 有222a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+ 当 22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即 .2)(22ab b a ≥+ 4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤ 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤ 22a b ab +≤ 用分析法证明： 32a b ab +≤的几何意义 探究：课本第98页的“探究” 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。过 点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。你能利用这个图形得出基本 2a b ab +≤的几何解释吗？ 《基本不等式》教学设计 一、教学内容解析： 1、本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版教材）高中数学必修5第三章第4节基本不等式，是在学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法、线性规划的基础上对不等式的进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点； 2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选修4-5进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材； 3、在学习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处； 4、在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点． 二、学情分析： 1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助； 2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少； 3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。 三、教学目标： 1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题； 2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养； 3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过 《基本不等式》教学设计 一．教学内容解析 基本不等式是选自人教A版数学必修5第三章第4节第1课时，是在学习了“不等关系与不等式”，“一元二次不等式及其解法”和“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究，是不等式的延续与拓展，为后面选修中不等式的学习打下了坚实的基础，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。 本节课内容属于概念性知识，课程标准对它的要求是：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。因此，根据以上课标和学生实际我确定本节课的教学重点是：探索基本不等式的形成与正明，会利用基本不等式求解简单的最值问题。在本节课中，学生通过观察，试验等方法抽象概括，归纳出基本不等式，其中渗透了数形结合的思想。 二．教学目标设置 本章的课程目标是：不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，也是数学本质的体现。根据本节课内容特点和以上分析，我确定了以下教学目标： 知识与技能目标： 了解基本不等式的几何背景和证明方法，理解基本不等式的几何意义，会利用基本不等式求解简单的最大（小）值问题； 过程与方法目标： 了解基本不等式的形成与证明过程，初步认识分析法证明问题的思路，体会利用基本不等式求解最值的方法； 情感态度与价值观目标： 通过实际背景抽象推导出基本不等式，又利用它解决实际生活中的问题，体现了数学来源于生活，又应用于生活；同时培养学生分析问题，解决问题的能力，充分激发学生学习数学的兴趣和勇于探索的精神。 基本不等式可以与函数，三角函数，数列等知识相结合，在求解取值范围和最值等问题时有着广泛的应用，时培养学生思维品质的重要途径。 《§3.4.1基本不等式》的教学设计 教材：人教版高中数学必修5第三章 一、教学内容解析 本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。在探究基本不等式内涵和证明的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。 二、教学目标设置 1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识； 2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。 3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。 三、学生学情分析 对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。 四、教学策略分析 在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条件，因此本节课的重点内容是对基本不等式的理解和运用。在运用过程中生成的规律，在学生做题时能灵活运用是难点，因此理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点 五、教学过程： （一）情景引入 下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。 基本不等式教学课件 基本不等式教学课件 基本不等式教学课件 【学习目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【能力培养】 培养学生严谨、规范的学习能力，分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；及其在求最值时初步应用 【教学难点】 基本不等式等号成立条件 【教学过程】 一、课题导入 基本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，教师引导学生从面积的关系去找不等关系。 二、讲授新课 1．问题探究——探究图形中的不等关系。 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形abcd中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形efgh缩为一个点，这时有。 2.总结结论：一般的，如果 （结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导） 3．思考证明：（让学生尝试给出它的'证明） 4．特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b，可得， 通常我们把上式写作： ①从不等式的性质推导基本不等式 用分析法证明：（略） ②理解基本不等式的几何意义 探究：对课本第98页的“探究”（几何证明） 注:在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式 2 a b + 授课人:祁玉瑞授课类型：新授课 一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 二、重点及难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，2a b +≤ 的证明过程。 难点：2a b +≤ 等号成立条件。 三、教学过程 1.课题导入 2a b ab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。这样，4个直角三角形的面积的和 是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就 得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果 ) ""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为222)(2b a ab b a -=-+ “ 2 a b +≤ ”教学设计 一． 教材分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教A 版）第三章第4节第一课时，主要 2a b +≤ 的推导与简单应用．它以前面已学习的有关不等式的基本知识为依据，从 2a b +≤2 a b +≤的应用，而且在基本不等式 2 a b +≤的推导过程中渗透了分析法的解题方法，为学生后续学习推理与论证的内容埋下伏笔，同时 在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法，此内容都是学生今后学习中必备的数学素养． 二．学情分析 学生有了不等式的基本知识作为铺垫，对不等式的学习已具备基本的认识，而基本不等式来自生活，是从生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，学生也能够较容易理解基本不等式的推导，且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的． 三．目标分析 教学目标： 1．学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等． 2．探索并了解基本不等式的证明过程，在基本不等式的证明过程体会从特殊到一般的思维过程，领悟数形结合思想的应用． 3．培养学生生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中实际问题的意识，有利于数学生活化、大众化，同时通过学生自身的探索研究，领略获取新知的喜悦． 教学重难点： 2 a b +≤的证明过程． 2 a b +≤ 等号成立条件． 四．教学策略 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路．同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点． 教法: 问题引导、启发探究和归纳总结相结合 基本不等式教学设计 海南省文昌中学 王姿婷 一．教学目标： 知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，掌握基本不等式的证明，并能应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。 二．教学重点： 应用数形结合的思想理解不等式ab b a 222≥+，并从不同角度探索不等式 2 a b ab +≤ 的证明过程； 通过简单的变形发现基本不等式在最值问题上的作用，并能够进行使用条件辨析及其简单运用。 三．教学难点: 基本不等式2 a b ab +≤使用限制条件 基本不等式2 a b ab +≤等号成立条件 基本不等式在最值问题中的运用 四．教学过程： （一）课题引入：卖家诚信吗？ 从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤短两，于是他想出了一个办法： 先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售，你觉得，店主这个买卖做到诚信无欺了吗？请说明理由. 利用几何画板演示，让学生清楚的看到两个互为倒数的正实数算术平均值是不小于1 的，留下疑问。 （二）知识建构： 1. 重要不等式： 下图是根据赵爽的弦图设计的，初中时，曾利用该图证明过勾股定理（2 22c b a =+），现在，你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？你能给出它的证明吗？ 对于任意实数b a ，,有2 2b a +___ab 2，当且仅当_______时，等号成立. 2. 代数证明：实为求证：已知R b a ∈,，证明：ab b a 222≥+ 简单变形：2 2 2b a +___ab 思考：如果用x 与y 整体替换2a 和2b ，式子会变形为？此时的x 与y 有没有什么限制？ （三）要点直击： 1. 基本不等式：对于任意∈b a ， ，有2 b a +___ab ，当且仅当_______时，等号成立. 2. 两个子概念： b a ，的算术平均： ； b a ，的几何平均： 思考：基本不等式与重要不等式对b a ，的范围限制相同吗？ 《基本不等式》说课稿 各位评委老师，上午好，我选择的课题是必修5第三章第四节《基本不等式》第一课时。关于本课的设计，我将从以下五个方面向各位评委老师汇报。 ★教材分析 ★教法说明 ★学法指导 ★教学设计 ★板书设计 一、教材分析 ◆本节教材的地位和作用 ◆教学目标 ◆教学重点、难点 1、本节教材的地位和作用 “基本不等式”是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了（展示课本和参考书封面）。它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。 ２、教学目标 （1）知识目标:探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决最值问题。 （2）能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。 （3）情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领 略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。 ３、教学重点、难点 根据课程标准制定如下的教学重点、难点 重点: 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式。 难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。 二、教法说明 本节课借助几何画板，使用多媒体辅助进行直观演示.采用启发式教学法创设问题情景，激发学生开始尝试活动．运用生活中的实际例子,让学生享受解决实际问题的乐趣. 课堂上主要采取对比分析；让学生边议、边评；组织学生学、思、练。通过师生和谐对话,使情感共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，使认知效益最大。让学生爱学、乐学、会学、学会。 三、学法指导 为更好的贯彻课改精神,合理的对学生进行素质教育,在教学中,始终以学生主体，教师为主导.因此我在教学中让学生从不同角度去观察、分析,指导学生解决问题，感受知识的形成过程,培养学生数形结合的意识和能力，让学生学会学习。 四、教学设计 ◆运用2002年国际数学家大会会标引入 ◆运用分析法证明基本不等式 ◆不等式的几何解释 ◆基本不等式的应用 1、运用2002年国际数学家大会会标引入 如图，这是在北京召开的第２４届国际数学 Ｃ Ｄ Ｇ Ｆ Ｈ 《3.4基本不等式》教学设计 1、本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版教材）高中数学必修5第三章第4节基本不等式，是在学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法、线性规划的基础上对不等式的进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点； 2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选修4-5进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材； 3、在学习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处； 4、在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点． 二、学情分析： 1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助； 2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少； 3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。 三、教学目标： 1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题； 2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养； 3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过程中，体会数学的严谨性，发现数学的实用性. 四、教学重点与难点： 1、教学重点：基本不等式的推导及其简单应用 2、教学难点：分析法证明基本不等式思路的获得和应用基本不等式求最值. 五、教学策略分析： 1、由情景1和情景2引入课题，可明确本堂的主要内容，使学生学习目标明确，进而激发学生的学习兴趣； 2、精心设置“问题串”，由简到难，由感性到理性，一步步引导学生自主探究，小组讨论推导基本不等式，让学生感受知识发生发展深化的过程，也体现学生为主体，老师为主导的教学理念； 3、为突破分析法证明基本不等式思路的获得这一教学难点，采用先学生小组讨论，再师生共同完成的策略； 4、为突破应用基本不等式求最值这一难点，先由例题归纳应用基本不等式求最值的要点，然后趁热打铁设置两个练习，由简到难，由浅入深，采用学生板演，抢答和小组讨论等方式，及时发现问题，及时纠错，让“一正二定三相等”深入人心； 5、对于转化为函数进而用函数的图像和性质求最值的问题，教师只作适当提示，不作为重点； 6、课堂小结重视知识间的联系和研究问题的方法，并强调了数学思想方法和数学核心素养在数学学习中的作用。 基本不等式教学设计- 《基本不等式》教学设计 刘敏 教材分析： 这节课是必修5第三章第四节的第一课时，主要内容是使学生了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明及应用。不等关系和相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。 学情分析： 现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，逻辑能力不强，很难用数学的观点和思想提炼生活中的实际问题。所以这节课应通过一系列的具体问题情境，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解一些不等式产生的实际背景的前提下，学习基本不等式的有关内容使学生感受到不等式的广泛应用，增强学习的兴趣，动员学生实际参与能力。 教学目标：1.理解并掌握基本不等式的证明及其应用。 2. 探索基本不等式的证明过程，进一步领悟不等式 2b a a b + ≤ 成立的条件，会用基本不等式解决简单最大（小）值问题。 3.体验探究的乐趣，培养学生主动运用数形结合的思想，去分析问题，解决问题和应用问题的能力。 教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同的角度 探索基本不等式 2b a a b + ≤的证明过程。 教学难点：用基本不等式求最大值和最小值。 教学方法：引导，启发与讲授相结合 教学过程： 一、 问题情境（5分钟） 北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表ab 2中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？ 在正方形中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边的长为，那么正方形的边长为)(,b a b a ≠，这样，4个直角三角形的面积和为ab 2，正方形的面积为22b a +。由于正方形大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式ab b a 222>+。当直角三角形为等腰直角三角形，即b a =，正方形中空白处缩为一个点。这是有ab b a 222=+。 一般的，对于任意实数b a ,，我们有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，等号成立。 基本不等式教案 一、教学目标： 1、知识与技能： ①了解基本不等式的推导过程，理解几何意义，并掌握基本不等式取得等号的条件； ②能够初步运用基本不等式以及等号取得的条件，求出一些简单函数的最值(最大最小值)，并能解决一些较为简单的实际问题。 2、过程与方法： 本节内容是学生对不等式认识上的一次提升。要引导学生从数、形两方面探究基本不等式的证明，从而进一步突破难点。定理的证明要严密，要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等严密严谨的思维能力。 3、情感与价值： 培养学生举一反三的逻辑推理能力、严谨求实的科学态度，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。同时通过基本不等式的几何解释，提高学生数形结合的能力。 二、教学重点和难点： 重点：用数形结合思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 2 a b +≤的多种解释； 难点：理解“当且仅当a b =时取等号”的数学内涵，并会应用基本不等式求解函数的最大最小值问题，以及解决一些简单的实际问题.。 三、学法与教学用具： 先让学生观察常见的图形，通过图形的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题突出数学本质，可调动学生的学习兴趣。定理的证明要留一部分给学生，让他们自主探究。教学用具：直角板、圆规、投影仪，如有条件可以使用多媒体(几何画板)进行教学。 四、教学设想： 1、几何操作，引入问题： 给出如右的所示的几何图形，AB 是O 的直 径，点C 是AB 上任意一点，过点C 作垂直于AB 的 弦交O 于DD '，连结AD 、BD ，同学们，能通过这个圆以及简单的三角形得到一些相等和不等的关系吗? 提问一：现在我们不妨假设2AC a =，2BC b =，那么CD 的长度是多少？、 由AB 为直径可知ABD ?是直角三角形，再根据DC AB ⊥，容易证得ACD ?∽DCB ?，即得CD ab =； 提问二：根据初中学习的知识，在一个圆中，任意一条弦长与这个圆的直径有什么关系？ 任意一条弦长不大于直径的长度，而且当且仅当弦为直径时，长度相等。 提问三：结合上面两个问题，我们可能得到一个不等式，写出这个不等式，并说出等式两遍能否相等，若可以，等号成立的条件是什么？ 首先由垂径定理可知，12 CD DD '=，因此有2DD ab '=，即为O 的一条弦长，而22a b +表示的是O 直径的长度，根据上一问的结论可以得知有不等式222a b ab +≥，两边同时除以2，不等式可以表示为： 基本不等式 2 a b +≤ 授课人:祁玉瑞 授课类型：新授课 一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 二、重点及难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，2 a b +的证明过程。 难点：2 a b +≤ 等号成立条件。 三、教学过程 1.课题导入 2a b +≤ 的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22 a b +。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：22 2a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时 有22 2a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+ 当 22 ,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即 .2)(2 2ab b a ≥+ 4．12a b ab +≤ 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， (a>0,b>0)2a b ab +≤ 2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤ 用分析法证明： 32a b ab +≤ 的几何意义 探究：课本第98页的“探究” 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。你能利用这个图形得出基本 2a b ab +≤ 的几何解释吗？ “ 2 a b +≤”教学设计 一． 教材分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教A 版）第三章第4节第一课时，主要 2 a b +≤ 的推导与简单应用．它以前面已学习的有关不等式的基本知识为依据，从 2a b +≤2 a b +≤的应用，而且在基本不等式 2a b +≤的推导过程中渗透了分析法的解题方法，为学生后续学习推理与论证的内容埋下伏笔，同时在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法，此内容都是学生今后学习中必备的数学素养． 二．学情分析 学生有了不等式的基本知识作为铺垫，对不等式的学习已具备基本的认识，而基本不等式来自生活，是从生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，学生也能够较容易理解基本不等式的推导，且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的． 三．目标分析 教学目标： 1．学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等． 2．探索并了解基本不等式的证明过程，在基本不等式的证明过程体会从特殊到一般的思维过程，领悟数形结合思想的应用． 3．培养学生生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中实际问题的意识，有利于数学生活化、大众化，同时通过学生自身的探索研究，领略获取新知的喜悦． 教学重难点： 2a b +≤的证明过程． 2 a b +≤等号成立条件． 四．教学策略 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路．同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点． 教法: 问题引导、启发探究和归纳总结相结合 不等关系与不等式 教学目的： 1 了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； 2 掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会用求差法比较两实数或代数式的大小． 3 培养学生数形结合的数学思想和灵活应变的解题能力. 教学重点：1 比较两实数或代数式的大小． 2 理解在两个实数a 、b 之间具有以下性质： >-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?b>0)，若再加m (m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为 a b ，加入m 克糖后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>a b 即可 怎么证呢? 二、讲解新课： (一) 打出投影片，让同学们解决下列问题： 问题１：回顾不等式的定义，常用的不等号有哪些？ 问题2：数轴的三要素是什么?. 问题3：把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序排列： 213-，5-，０，4-，2 3. ［师生共析］在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. 基本不等式教学设计 一、教学目标 1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想； 2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力； 3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想； 4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式 的三个限制条件 （一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略． 以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节． 二、教学重点和难点 重点：利用一个表格进行对式子大小进行猜测，应用数形结合的思想证明基本不等式，并从不同角度探索基本不等式2 b a a b +≤的证明过程及应用。 难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式． 三、教学过程 2 b a ab +≤ 1.探究引入 用一个表格，对表格中后两组数据比较得出一般情况下猜测： ab b a 222≥+当且仅当b a =时等号成立。 2．动手操作，证明基本不等式。 如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的． ⑴几何证明一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？ 在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为， 那么正方形的边长为 ．于是， 4个直角三角形的面积之和， ABCD b a ,2 2b a +ab S 21= 《不等式的基本性质》教学设计 教材分析 不等式的基本性质是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》八年级下册第二章第二节内容，本章主要是研究不等式和不等式组的解法；本节要求理解知识与技能目标：掌握不等式的基本性质。经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。所以本节的重点是正确理解题意列出不等式。 不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同，掌握不等式的基本性质。 教学目标 【知识与能力目标】 （1）知识与技能目标： ①掌握不等式的基本性质。 ②经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。 【过程与方法目标】 ①能说出一个不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，发展其代数变形能力，养成步步有据、准确表达的良好学习习惯。 ②进一步发展学生的符号表达能力，以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。【情感态度价值观目标】 ①尊重学生的个体差异，关注学生的学习情感和自信心的建立。 ②关注学生对问题的实质性认识与理解。 教学重难点 【教学重点】 用不等关系解决实际问题。 【教学难点】 正确理解题意列出不等式。 课前准备 教师准备 课件、多媒体； 学生准备； 练习本； 教学过程 第一环节：情境导入，提出问题 活动内容：利用班上同学站在不同的位置上比高矮。请最高的同学和最矮的同学“同时站在地面上”，“矮的同学站在桌子上”，“高的同学站到楼下一楼”三种不同的情况下比较高矮。问题1：怎样比才公平？ 活动目的：让学生体会当两位同学同时增高相同的高度或同时减少相同的高度时，比较才是公平的，高的同学仍然高，矮的同学仍然矮，这是不可能改变的事实。 活动实际效果：学生对能自己参与的活动很感兴趣，体会到不相等的两个量的比较要在“公平”的情况下进行，即要加同时加，要减同时减。 第二环节：活动探究，验证明确结论 活动内容： 参照教材与多媒体课件提出问题： （1） 还记得等式的基本性质吗？ （2） 等式的基本性质1用字母可以表示为： c b c a b a ±=±∴=, ，那么不 等式的基本性质1是什么？先猜一猜。 （3） 如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式，结果会怎样？请举几例试一 试，并与同伴交流。 （4） 不等式的基本性质与等式的基本性质类似，对于等式的基本性质2，用字母可 以表示为：c b c a c b c a b a ÷=÷?=?∴=,, ，其中0≠c 。对应 的大家能不能归纳出不等式的基本性质2是什么呢？ （5） 例如：如果比高度的两个人不是同时增加或减少相同的高度，而是成倍的增加 （或缩小）自身的高度，结果又会怎样？ （6） 例如：商场A 种服装的标价高于B 种服装的标价，如果都打八折出售，那么还 是A 种服装价格高。通过这些例子，你发现了什么？能得到一个什么类似的结 论？ 《“基本不等式”省优质课比赛教学设计及反思》 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 “基本不等式 2 a b ab +≤ ”教学设计 一． 教材分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教A 版）第三章第4节第一课时， 主要内容为基本不等式2a b ab +≤ 的推导与简单应用．它以前面已学习的有关不等式的基本知识为依据，从利用基本不等式2a b ab +≤求最值这个侧面来体现基本不等式2 a b ab +≤的应用，而且 在基本不等式2 a b ab +≤的推导过程中渗透了分析法的解题方法，为学生后续学习推理与论证的内 容埋下伏笔，同时在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法，此内容都是学生今后学习中必备的数学素养． 二．学情分析 学生有了不等式的基本知识作为铺垫，对不等式的学习已具备基本的认识，而基本不等式来自生活，是从生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，学生也能够较容易理解基本不等式的推导，且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的． 三．目标分析 教学目标： 1．学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等． 2．探索并了解基本不等式的证明过程，在基本不等式的证明过程体会从特殊到一般的思维过程，领悟数形结合思想的应用． 3．培养学生生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中实际问题的意识，有利于数学生活化、大众化，同时通过学生自身的探索研究，领略获取新知的喜悦． 教学重难点： 本节课教学重点是应用数形结合的数学思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式2 a b ab +≤的证明过程． 教学难点是基本不等式2 a b ab +≤ 等号成立条件． 四．教学策略 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路．同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点．(基本不等式)公开课教案
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