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《2.2基本不等式2a b +≤》教学设计 教材分析：“基本不等式”是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标【知识与技能】1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.2a b+≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.教学重难点【教学重点】2a b+≤的证明过程； 【教学难点】1.2a b+≤等号成立条件； 2.2a b+≤求最大值、最小值.教学过程1.课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地，∀a,b ∈R ，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立特别地，如果a >0，b >0，我们用√a ,√b 分别代替上式中的a ，b ，可得√ab ≤a+b 2①当且仅当a =b 时，等号成立.通常称不等式（1）为基本不等式（basicinequality ）.其中，a+b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，√ab 叫做正数a ，b 的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.思考:上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.2.讲授新课1）2a b+≤特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b+≤2）2a b+≤用分析法证明：要证2a b+≥（1） 只要证 a +b ≥ （2） 要证（2），只要证 a +b -≥0 （3） 要证（3），只要证 （-）2≥0 （4） 显然，（4）是成立的.当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立.探究1：在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC =a ,BC =b .过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD .2a bab +的几何解释吗？ 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为2ba +，显然，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把2ba +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2. 在数学中，我们称2ba +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力.例1 已知x >0，求x ＋1x 的最小值.分析：求x ＋1x 的最小值，就是要求一个y 0（=x 0＋1x ），使∀x >0，都有x ＋1x ≥y .观察x +1x ，发现x ∙1x =1.联系基本不等式，可以利用正数x 和1x 的算术平均数与几何平均数的关系得到y 0=2. 解：因为x >0，所以x ＋1x ≥2√x ∙1x =2当且仅当x =1x ，即x 2=1，x =1时，等号成立，因此所求的最小值为2.在本题的解答中，我们不仅明确了∀x >0，有x ＋1x ≥2，而且给出了“当且仅当x =1x ，即=1，x =1时，等号成立”，这是为了说明2是x ＋1x （x >0）的一个取值，想一想，当y 0<2时，x ＋1x =y 0成立吗？这时能说y .是x ＋1x （x >0）的最小值吗？例2已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2√P；S2.（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14证明：因为x，y都是正数，所以x+y≥√xy.2（1）当积xy等于定值P时，x+y≥√P，2所以x+y≥2√P，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值2√P.（2）当和x+y等于定值S时，√xy≤S,2所以xy≤1S2，4S2.当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，积xy有最大值14例3（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2（x+y）m.（1）由已知得xy=100.由x+y2≥√xy，可得x+y≥2√xy=20，所以2（x+y）≥40，当且仅当x=y=10时，上式等号成立因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知得2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xym2.由√xy≤x+y2=182=9，可得xy≤81，当且仅当x=y=9时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81m2. 例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低. 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为2元.根据题意，有z=150×48003+120（2×3x+2×3y）=240000+720（x+y）.由容积为4800m3，可得3xy=4800，因此xy=1600.所以z ≥240000+720×2√xy ，当x =y =40时，上式等号成立，此时z =297600.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 【设计意图】例题讲解，学以致用. 3.随堂练习1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2√ab ＞0 b ＋c ≥2√bc ＞0 c ＋a ≥2√ca ＞0∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2√ab ·2√bc ·2√ca ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc . 【设计意图】讲练结合，熟悉新知. 4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（a+b 2），几何平均数（√ab ）及它们的关系（a+b 2≥√ab ）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤a 2+b 22，ab ≤（a+b 2）2.我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.教学反思：略。
全国优质课——基本不等式教学设计(总7页)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March《3.4基本不等式》教学设计一、教学内容解析：1、本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版教材）高中数学必修5第三章第4节基本不等式，是在学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法、线性规划的基础上对不等式的进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点；2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选修4-5进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材；3、在学习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处；4、在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点．二、学情分析：1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助；2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少；3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。
三、教学目标：1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题；2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养；3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过程中，体会数学的严谨性，发现数学的实用性.四、教学重点与难点：1、教学重点：基本不等式的推导及其简单应用2、教学难点：分析法证明基本不等式思路的获得和应用基本不等式求最值.五、教学策略分析：1、由情景1和情景2引入课题，可明确本堂的主要内容，使学生学习目标明确，进而激发学生的学习兴趣；2、精心设置“问题串”，由简到难，由感性到理性，一步步引导学生自主探究，小组讨论推导基本不等式，让学生感受知识发生发展深化的过程，也体现学生为主体，老师为主导的教学理念；3、为突破分析法证明基本不等式思路的获得这一教学难点，采用先学生小组讨论，再师生共同完成的策略；4、为突破应用基本不等式求最值这一难点，先由例题归纳应用基本不等式求最值的要点，然后趁热打铁设置两个练习，由简到难，由浅入深，采用学生板演，抢答和小组讨论等方式，及时发现问题，及时纠错，让“一正二定三相等”深入人心；5、对于转化为函数进而用函数的图像和性质求最值的问题，教师只作适当提示，不作为重点；6、课堂小结重视知识间的联系和研究问题的方法，并强调了数学思想方法和数学核心素养在数学学习中的作用。
《不等式的性质》教学设计一. 教学内容解析；本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5）》（人教A 版）第三章第一节的第二课《不等式的性质》。
这节的主要内容是不等式的概念、不等式与实数运算的关系和不等式的性质．这部分内容是不等式变形、化简、证明的理论依据及基础．教材通过具体实例，让学生感受现实生活中存在大量的不等关系．在不等式与实数运算的关系基础上，系统归纳和论证了不等式的一系列性质．教学重点是比较两个实数大小的方法和不等式的性质。
二．教学目标设置；1.通过具体情境，让学生感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等关系与不等式的联系，会用不等式表示不等关系．2.理解并掌握比较两个实数大小的方法．3.引导学生归纳和总结不等式的性质，并利用比较实数大小的方法论证这些性质，培养学生的合情推理和逻辑论证能力．三．学生学情分析；在初中的学习中，学生已将掌握了不等式关于加减和乘除的性质，本节课所需要解决的问题是（1）利用公理化的体系构建学生对于所学不等式性质的认识，让学生更好的从本质上体会不等式的性质，（2）学习关于不等式原来不完善的地方，比如对称性和传递性，还要学习两个不等式间的加减乘除次方开方运算。
教学难点是让学生体会公理化体系下不等式性质的证明及其应用．四．教学策略分析；这节内容从实际问题引入不等关系，进而用不等式来表示不等关系，自然引出不等式的基本性质．通过求解方程和求解不等式相对照，梳理初中已学习的等式性质、不等式性质，探索等式、不等式的共性，归纳出等式性质、不等式性质的研究思路和思想方法，猜想不等式的基本性质，并给出证明。
让学生体会“运算”在研究不等式性质中的关键作用。
为了研究不等式的性质，首先学习比较两实数大小的方法，这是论证不等式性质的基本出发点，故必须让学生明确．在教师的引导下学生基本上可以归纳总结出不等式的一系列性质，但对于这些性质的证明有些学生认为没有必要或对论证过程感到困惑，为此，必须明确论证性质的方法和要点，同时引导学生认识到数学中的定理、法则等，要通过公理化的论证才予以认可，培养学生的数学理性精神．五．教学过程设计；引入：1．古诗横看成岭侧成峰，远近高低各不同，引出不等关系。
《基本不等式》教学设计青海省西宁市第五中学高丽一．教学内容解析基本不等式是选自人教A版数学必修5第三章第4节第1课时，是在学习了“不等关系与不等式”，“一元二次不等式及其解法”和“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究，是不等式的延续与拓展，为后面选修中不等式的学习打下了坚实的基础，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
本节课内容属于概念性知识，课程标准对它的要求是：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
因此，根据以上课标和学生实际我确定本节课的教学重点是：探索基本不等式的形成与正明，会利用基本不等式求解简单的最值问题。
在本节课中，学生通过观察，试验等方法抽象概括，归纳出基本不等式，其中渗透了数形结合的思想。
二．教学目标设置本章的课程目标是：不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，也是数学本质的体现。
根据本节课内容特点和以上分析，我确定了以下教学目标：知识与技能目标：了解基本不等式的几何背景和证明方法，理解基本不等式的几何意义，会利用基本不等式求解简单的最大（小）值问题；过程与方法目标：了解基本不等式的形成与证明过程，初步认识分析法证明问题的思路，体会利用基本不等式求解最值的方法；情感态度与价值观目标：通过实际背景抽象推导出基本不等式，又利用它解决实际生活中的问题，体现了数学来源于生活，又应用于生活；同时培养学生分析问题，解决问题的能力，充分激发学生学习数学的兴趣和勇于探索的精神。
基本不等式可以与函数，三角函数，数列等知识相结合，在求解取值范围和最值等问题时有着广泛的应用，时培养学生思维品质的重要途径。
三．学生学情分析在此之前，学生已经学习了完全平方差公式，圆，三角形以及比较法证明不等式等相关知识，具备了初步的观察能力，分析能力；但由于数学基础相对比较薄弱，还缺乏一定的探究归纳能力以及分析问题和解决问题的能力。
课堂上，教师问题逐步引导带领学生探究，归纳基本不等式与证明，由于数学学习是一个长期的过程，分析和解决问题的能力需要逐步提高。
四．教学策略分析学习知识的结果固然重要，但探索知识形成的过程同样重要。
因此，在课堂上，教师主要利用多媒体课件，几何画板的动态演示，课堂例题规范书写等方式启发引导学生自主探究，合作学习，以便于学生学会甚至会学。
由于学生个体之间存在着差异，因此，对于不同学生，学习目标达成的效果是有差距的。
在课堂上，对于不同程度学生给予相应的评价和鼓励，激发学生的学习兴趣和信心。
五．教学过程（一）创设情境如图是在北京召开的第24国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
【设计意图】：以会标图案引入，贴近生活，有利于充分激发学生的学习兴趣。
（二）探索发现，形成新知识下面请同学们思考以下问题。
问题1：会标中ABCD是什么形状吗？还有哪些图形？问题2：它们的面积之间存在着怎样的大小关系？如何a,表示？用b问题3：中间的正方形是怎样产生的？能消失吗？（几何画板展示）学生们开动脑筋，找到很多相等关系与不等关系。
4S S ≥大正方形直角三角形，得ab b a 222≥+。
【设计意图】：问题的设计，可以给学生提供更多独立思考的机会，启发引导学生得出不等关系。
进一步深化问题，思考等号成立的条件，几何画板演示，润物细无声地引导学生体会极限思想。
问题4：你能用代数方法证明吗？上式对正实数是成立的，那么对任意实数b a ,，上式都成立吗？（学生回答，学生比较自然的想到用“比较法”证明。
教师利用投影仪展示学生的完整证明过程。
强调b a =和b a ≠两种情况，说明“当且仅当”的含义。
）1. 重要不等式：对任意实数a b 、，有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，等号成立。
【设计意图】：思考变量取值范围和不等式证明过程，为后面基本不等式的条件和证明方法作铺垫。
问题5：对于上式，如果0,0>>b a ,用b a ,代替b a ,可得到什么结论？2b a ab +≤，当且仅当a b =时，等号成立。
2.基本不等式 通常我们把不等式 )0,0(2>>+≤b a b a ab ，当且仅当b a =时等号成立。
称为基本不等式。
我们把 2b a + 叫做正数b a ,的算术平均数，ab 叫做正数b a ,的几何平均数。
基本不等式文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
由于基本不等式中含有两个平均数，因此，我们又把基本不等式叫均值不等式（均值定理）基本不等式实质反映的是两个正数的和与积之间的不等关系。
【设计意图】：演绎变换，得出本节课的核心内容。
其中，渗透a,b 的取值范围为正数。
【过渡】实际上，在许多几何图形中也都蕴含着基本不等式，下面就让我们回归到直观图形进一步理解基本不等式【问题6】动手操作现在我们来做一个实验，请拿出准备好的两个正方形纸张，记一张面积为a ，另一张面积为b .步骤一：把两张纸张沿对角线对折，把对折后的两部分纸张沿对角线靠拢，则两部分的总面积为2a b +； 步骤二：此时靠拢的两张纸张的下半部分可看成一个矩形（见下图），则其中一个边长为步骤三：由图显然可得基本不等式：矩形面积不大于整个面积，即2a b+≤其实，用我们初中所学过的平面几何的知识也可以解释基本不等式。
【问题7】你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?如图,点C 是AB 上一点, AC=a ，BC=b ， 以AB 为直径作圆, O 为圆心，过点C 作垂直于AB 的弦DC,连接AD 、BD 、OD 。
①如何用a, b 表示OD?②如何用a, b 表示CD?③OD 与CD 的大小关系怎样?(教师问题引导，学生观察图形回答问题，教师用几何画板展示说明）【设计意图】：根据所学过的圆和三角形相似的知识，结合图形得出几何解释，几何画板的动态演示，既使学生从数和形的角度感受等号成立的条件，又在同时激发着他们对数学的无限兴趣。
刚才我们从几何方面体会了基本不等式。
数缺形时少直观，形少数时难入微。
因此，代数证明是不可缺少的。
你可以想到哪些方法呢？（学生回答作差法，这个问题留作课下自己推导）今天我们尝试一种新的证明方法方法二：分析法教师多媒体展示证明过程，学生观察思考。
要证ab b a ≥+2① 只要证ab b a 2≥+ ②要证②,只要证02≥-+ab b a ③要证③,只要证0)(2≥-b a ④显然, ④是成立的。
当且仅当a=b 时, ④中的等号成立 。
因此①式成立。
这种执果索因的证明方法叫做分析法，在本节课做一个了解内容，还会在后面的选修中继续学习。
【设计意图】：一方面，渗透分析法证明问题的思路即执果索因；另一方面从代数的角度证明不等式，培养学生严谨的学习态度。
（三）初步应用，归纳提升 判断下列式子的正误：.211,12121,0.1有最小值是时即，当且仅当则若xx x x x x x x x x +===⋅≥+>.21112121,1.2有最小值是时时，即，当且仅当则若xx x x x x x x x x +===⋅≥+>.)1(21,12121)1(,10.3有最大值时即，当且仅当则若x x x x x x x x x x -=-==-+≤-<<【设计意图】：本题逐步变换条件，引起学生对三个限制条件的分析，培养学生分析问题解决问题的能力，从而突破本节课难点。
实际应用：(1).现用篱笆为我家金毛制作一面积为4㎡的矩形窝，如何设计所用篱笆最短。
(2).若用长为8m 的篱笆为我家金毛制作一矩形窝，如何设计使得此窝面积最大？【设计意图】：例题的设计，用到了三个限制条件，得出了解决此类问题的两个变形，突出了本节课的重点，体会了数学在实际中的应用价值。
课堂练习证明不等式：)1(,311>≥-+a a a （四）反思总结，培养能力两个不等式：________________________________________两个概念：___________________;_____________________三种语言：符号语言_______________________________________文字语言________________________________________几何语言_________________________________________几种证法：数学思想：【设计意图】从知识到数学思想，反思总结，巩固提高。
（五）教学目标检测（附：最后）（六）板书设计六．教学反思设计本节课的理念是以学生为主体。
从实际生活数学家大会会标的引入到基本不等式的推导，从几何解释到代数证明，从师生互动到动手操作，从课内练习到实际应用，最后由教师引导学生归纳，将本节课划上圆满的句号。
在课堂问题设计方面，力争提问准确到位，以便于学生思考和回答。
在课堂中，能够明确教学目标，通过课堂师生活动突出重点，突破难点。
我忍为本节课的设计中有以下几个亮点，1.几何画板的演示，使学生感性的认识基本不等式，化解了等号成立这一难点；2.课堂上的动手操作折纸实验，让学生亲身体验知识的形成过程；3.例题的设计，来源于教材，又不拘泥于教材；4.本节课的小结，从知识到思想方法逐步加深。
在课堂上，对学生提问的提问还不够多，学生回答问题的评价有待进一步的提高。
《基本不等式》教学目标检测一、 知识梳理1. 重要不等式：2. 基本不等式：3. 几个变式(1)(2)二、 基础自测1. 若,0,22a b a b ab >+=且。
则的最大值为若,0,12a b ab a b >=+且。
则的最小值为2. 若12,0,1a b ab a b>+=且。
则的最小值为 若12,0,2a b ab a b>=+且。
则的最小值为3. 若12,0,12a b a b a b>+=+且。
则的最小值为 若12,0,22a b a b a b>+=+且。
则的最小值为 三、 考点突破1.若 1x >，则41x x +-的最小值为 2.若01x <<，则()33x x -的最大值为3.已知4,0,11b a a b a b ⎛⎫⎛⎫>++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则的最小值为 4.已知504x <<，则()54x x -的最大值为 5.已知正实数满足,a b 满足()1log 1a b +=-，则()13a b b ++的最小值6. （2009天津卷理）设0,0.a b >>1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为（）A 8B 4C 1D 1 4《基本不等式》一课点评青海省西宁市第五中学韩尚义我校高丽老师的《基本不等式》一课，从实际问题直观引入，以问题为纽带，不断提出问题，由学生通过独立思考或合作交流，在不断的讨论中积极参与学习活动，积极思考问题，主动探求问题的答案。
