专转本高数第八章第四节 一阶常系数线性差分方程.ppt

好等于方程的阶数时称为方程的通解。
常微方程的通解多数都能囊括方程的 所有可能存在的解（仅非线性方程鲜有
dy dx
2x C 2y
2 xy Cy 2 y2
2 xy x2 y2 2y2
2 xy x2 y2
例外）。不被通解囊括的以及通解中的 可见，给定的表达式是给定方程的解；
任意常数取特定值后所得出的对应解称 由于表达式中仅含一个任意常数，个数
为方程的特解。
明显与方程的阶数（一阶）相等，故此
解是方程的通解。
证毕。
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*例2-1 求一阶非线性微分方程
的通解。 解
dy 2xy dx x2 y2
dy dx
2 xy x2 y2
,
( x2 y2 )dy 2xydx ,
2xydx x2dy y2dy ,
x2 d( ) dy ;
任何含自变量与因变量的表达式，若 能由之恒等地推出给定的常微方程时， 都称为该常微方程的解；解若含有任意
例1-1 解
验证方程
dy 2xy dx x2 y2
是 x2 y2 Cy .
证
x2 y2 Cy ,
2xdx 2 ydy Cdy ,
的通
常数、且不能合并的任意常数的个数恰
(C 2 y)dy 2xdx ,
y e p( [ x)dx e p( x)dxQ( x)dx C] . 但应强调指出的是，其中的不定积分 p( x)dx 仅用以特指 P ( x ) 的某一 而非全体原函数。 类似地，不定积分 e p(x)dxQ( x)dx 也仅用以特指被
积函数的某个原函数而非全体原函数。
显然，使用变积分上限的函数表示某指定函数的原函数，较之上述

《微积分简明教程》复旦大学出版社
u ( x ) e 将y和y代入原方程得
积分得
p ( x ) dx
q( x),
因此，一阶线性非齐次微分方程的通解为:
p ( x ) dx p ( x ) dx y [ q( x)e dx C ]e
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
解得 u
3 2
例2 求方程 xy y cos x 满足初始条件y( ) 1的特解.
解
1 p( x) , x
cos x q ( x) , x
ye
e



1 dx x
ln x
1 x
cos xdx C
cos x ln x 将初始条件 y( ) 1 e dx C x 代入上式，可得 C
2xy2dx 无法进行，方程两边直
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观察与分析： 2．求微分方程y2xy2 的通解． 1 为求通解可将方程变为 2 dy2xdx，两边积分，得 y 1 1 x2C，或 y 2 ， y x C 1 可以验证函数 y 是原方程的通解． 2 x C
xe
1 dy y

[ y e
2

1 dy y
dy C ]
y[ y dy C ]
1 3 cy y . 2
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§8.4 可降阶的高阶微分方程
一、y(n) f (x)型的微分方程
二、y = f (x, y) 型的微分方程 三、y=f(y, y)型的微分方程
C 11．
C 23． 把C 1、C 2的值代入xC1 cos tC2 sin t中，得

三、一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yt+1 + ayt = f (t).
(3)
其中 a 为不等于零的常数.
当 f (t) = 0 时, 即
yt+1 + ayt = 0
(4)
称为齐次差分方程;
当 f (t) 0时, 称为非齐次差分方程.
先求齐次差分方程 yt+1 + ayt = 0的解 设 y0 已知, 代入方程可知
化简，得 ut1 aut 0．
其通解为 ut C(a)t．
从而所给方程的通解为
yt
C(a)t
b． 1 a
例 16. 某公司每年的工资总额在比上一年增加20% 的基础 上再追加2百万．若以Wt 表示第 t 年的工资总额 (单位：百万元)，则 Wt 满足的差分方程是_____
Wt1 1.2Wt 2
则特解为
yt* t(t 1)．
于是所求通解为 yt C t(t 1)．
例 9 求 解 差 分 方 程 yt1 2 yt 5 t 2． 解 对应齐次方程 yt1 2 yt 0，其通解为 Yt C (2)t ．
设非齐次方程的特解为 yt* b0 b1t b2t 2，
代入原差分方程
n
n yt
(n1 yt )
(1)i Cni ytni
i0
结论： 差分能化为含有某些不同下标的整标函数.
二、差分方程的概念 定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称为 差分方程.
差分方程的一般形式为
F(t, yt , yt , , n yt) = 0.
(1)
差分方程中可以不含自变量 t 和未知函数 yt , 但必须 含有差分.

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【練習】解 xy dy - dx = y dx + ydy --------------------------------------------------2 Sol. 將原式重組成 (x -1) ydy = (y +1) dx 2 兩邊同除 (x -1)(y +1) 後積分如下： y 1 ∫-------- dy =∫------- dx， 2 y +1 x -1 1 即 ---- ln ( y 2 +1) = ln | x -1| + C。 2
2 2
d5 6
y 【練習】解 y' = - ----x --------------------------------------------------dy y Sol. 將原式寫成 ------ = - -----， dx x 即 ydx + xdy = 0， dx dy 同除 xy 成 ----- + ----- = 0， x y 積分得 ln | x | + ln | y | = C， c 或 xy = C 1 ( 其中 C 1 ≡ e )。
將原式寫成dxdy同除xy練習解xydydx1後積分如下
一階「線性」常微分方程式

dy 通式：------ + p ( x ) y = f ( x ) dx
《一般型式》
標準型： y f ( x, y) 全微分型： M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0
d5 1
一階 O.D.E. 之求解 可直接分離變數型 →「分離變數」法 不可直分因子」法
d5 8
2
d5 5
y
3
2
x 【練習】解 y' = - ----y --------------------------------------------------dy x Sol. 將原式寫成 ------ = - -----， dx y 即 xdx + ydy = 0，