保险精算导论
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保险精算导论
第一组：
计算题 一、 （20 分）已知： q45 0.0020 ， q 46 0.0022 ， q47 0.0025 ， q48 0.0029 ， 计算 3 P46 ， 3 q 45 ．
解： 3 P46 (1 q46 )(1 q47 )(1 q48 ) =0.9924
12
35 v k k p35 v k a
k 0 k 0
71
71
l35 k 1 71 v k l23 k l35 l23 k 0
1 1 1 1 1 (l35 l36 l l l105 ) 2 37 3 38 l35 1.06 (1.06) (1.06) (1.06)70 N 35 D35
=4573.3(元)
三、 （30 分）张某在 50 岁时投保了一份保额 100000 元的 30 年定期寿险。假设
l
x
=1000（1-
x ） ，预定利率为 0.08，求该保单的趸缴净保费。 105
解：该生命表的最大年龄是 105 岁，所以 t 的取值范围是 0 到 55，所 求的赔付现值是：
100000 A50:30 1000001.08
64 40
p
40
0
t 1
t≥65
65 t 1 65 65 t
1 因此 20000 A 20000 ( ) 1.1
t 0
=3070.65（元） 第二组：
计算题 一、 （20 分）某人在 30 岁投保，假设生存函数在 0 到 100 间均匀分布，z 为死亡 赔付现值随机变量，已知利息力为 0.05，求 A
查生命表或者相应的换算表带入计算得：25692.23 元
二、 （30 分）试求现年 30 岁每年领取年金额 1200 元的期末付终身生存年金的精 算现值，且给付方法为：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。
（1）解： 1200a30
N 31 D30
(2) (2) 30 35 (2) 1 ] 1 ) 1000[ (2)a （2） 1000a30 1000( a
二、 （40 分）某一年龄支付下列保费将获得一个 n 年期储蓄寿险保单： (1)1 000 元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为 750 元。 (2)1 000 元储蓄寿险，被保险人生存 n 年时给付保险金额的 2 倍，死亡时 返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为 800 元。 若现有 1 700 元储蓄寿险，无保费返还且死亡时无双倍保障，死亡给付均 发生在死亡年末，求这个保险的趸缴纯保费。
解：保单 1)精算式为 1000 Ax:n 750 Ax:n 1750 Ax:n 1000 Ax:n 750
1 1 1
保单 2)精算式为
1000 Ax:n 800 A1 1000 Ax:1 1800 A1 2000 Ax:1 800 x:n n x:n n
求解得 Ax:n 7 / 17, Ax:n 1/ 34 ，即
100 ) ，试计算这笔年金在购买时的精算现值。 x
解：由存活函数可得生存概率： k 又因为 20 a 30 k E 30 v k k
k 21 k 21
p
30
l 30 k
l
30
70 k 70
p
30
因而这笔年金的精算现值为： 5000 20 a 30 5000 1.06 k
1 1 1 1 1 (l23 l24 l l l58 ) 2 25 3 26 l23 1.06 (1.06) (1.06) (1.06)35 N 23 N 59 D23
37
23 a 23 a 23:37 v 37 37 p23 a 60 a
得： A(12) 0
i
(12)
A0 0.8899
第四组：
计算题 一、 （30 分）张华今年 30 岁，从今年起，只要他存活，可以在每年年初获得 1000 元的生存给付，假设年利率为 9%。计算这一年金的精算现值。
解：这是一个每年给付 1000 元的终身生存年金，每一次给付经过折 现后在 30 岁时的价值总和合即为这笔年金在 30 岁时的精算现值。 因 此，给付的现值是：
k 21
70
70 k 70
=12358.09（元）
三、 （40 分）某人现年 55 岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付 年金额 250 元，试在 UDD 假设和利率 6%下，计算其精算现值。
(12) (12) 35 1 解： 250*12a35 250*12(a
35 (12) 1 ] ) 250*12[ (12)a 12 12
2
2
其中
d
i 0.056603774 1 i
若查 90-93 年生命表换算表则
35 a
N 35 1985692 15.695458 D35 126513.8
第五组：
计算题 一、 （20 分）某人现年 23 岁，约定于 36 年内每年年初缴付 2 000 元给某人寿保
险公司，如中途死亡，即行停止，所缴付款额也不退还。而当此人活到 60 岁时， 人寿保险公司便开始给付第一次年金， 直至死亡为止。 试求此人每次所获得的年 金额。
1 30:10
和A 。
30
解： （1）由于生存函数在 0 到 100 间均匀分布，但 x=30 时，剩余寿
1 命在[0,70]间均匀分布，概率密度 f（t）=70，故
A A
1 30:10
E(Z )
70 0
10
0
e
0.05t
1 e 1 dt 0.1124 70 0.05 70
1 t 0 29 ( t 1)
t
p q
50
50 t
其中
tp
50
l 50 t
l
50
55 t 55
q
50 t
1
p
50 t
55 t (54 t ) 1 55 t 55 t
故，该保单的趸缴净保费是：
100000 A50:30 1000001.08
k 37
60 E23 a
k 37
v
82
k k
p23
k 37
v
82
k
l23 k 1 l23 l23
v l
k
82
23 k
1 1 1 1 1 (l60 l60 l l l105 ) 2 62 3 63 l23 1.06 (1.06) (1.06) (1.06)55 N 60 D23
35:30 105712.64(元） 20000 5 a
此年金精算现值为 105712.64 元。
四、 （30 分） 某人在 30 岁时投保了 50000 元的 30 年两全保险， 设预定利率为 6%， 以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993） （男女混合） ，求这一保单的趸缴净 保费。
51 a 35: 25
解：
A35:51 A25:5 2511 d ，
A36:6
M 35 M 41 D41 0.7058 D35
A35:31
M 35 M 66 D 66 0.1881 D 35
A 35:6 A 35:31 d
故：
500 5 a35:25 500
解：由 s( x) 1
x 105
s (40 t ) 65 t 40 s (40) 65 有 1 q 40t 1 p 40t 65 t t
p
保单精算现值为： 20000 A40 20000 v t 1 t
t 0
p q
x
x t
由生存函数可以看出 t
解：在死亡均匀分布假设下，趸缴净保费为：
50000 A
A 0.06 M M 50000 ln1.06 D
30:30
50000
i
1
30:30
A30:30 50000 D 60
1
30
60
30
9467.26
D
30
第三组：
计算题 一、 （30 分）一个 2 年定期寿险保单于 30 岁时签定，保险金于死亡年度末支付，第 t 个 保 单 年 度 的 死 亡 保 险 金 为 bt, 已 知 ： q30=0.1 ， b2=10-b1,0 ≤ b1,b2 ≤ 10,q31=0.6,i=0.求使 Var(Z)最小的 b1.
3
q 45 3 P45 q 48 (1 q45 )(1 q 46 )(1 q 47 )q 48 =0.00288
二、 （20 分）购买延期 5 年的 25 年定期生存年金，每年末领取 500 元，设年利 率为 6%，求其趸缴纯保费。 已知： M 35 14116.1223 ， M 41 13305.1948 ， M 66 7481.1262 ， D 35 126513.78 ， D 41 88479.19 ， D 66 17168.55
其中
d
i 0.056603774 1 i
12
i (12) (12) 1 1 i i 0.058410606 12 d (12) (12) 1 1 d d 0.058127667 12 id i i (12) (12) (12) (12) 1.000281033, (12) (12) (12) 0.46811975 i d i d
1 t 0 29 ( t 1)
第一组：
计算题 一、 （20 分）已知： q45 0.0020 ， q 46 0.0022 ， q47 0.0025 ， q48 0.0029 ， 计算 3 P46 ， 3 q 45 ．
解： 3 P46 (1 q46 )(1 q47 )(1 q48 ) =0.9924
12
35 v k k p35 v k a
k 0 k 0
71
71
l35 k 1 71 v k l23 k l35 l23 k 0
1 1 1 1 1 (l35 l36 l l l105 ) 2 37 3 38 l35 1.06 (1.06) (1.06) (1.06)70 N 35 D35
=4573.3(元)
三、 （30 分）张某在 50 岁时投保了一份保额 100000 元的 30 年定期寿险。假设
l
x
=1000（1-
x ） ，预定利率为 0.08，求该保单的趸缴净保费。 105
解：该生命表的最大年龄是 105 岁，所以 t 的取值范围是 0 到 55，所 求的赔付现值是：
100000 A50:30 1000001.08
64 40
p
40
0
t 1
t≥65
65 t 1 65 65 t
1 因此 20000 A 20000 ( ) 1.1
t 0
=3070.65（元） 第二组：
计算题 一、 （20 分）某人在 30 岁投保，假设生存函数在 0 到 100 间均匀分布，z 为死亡 赔付现值随机变量，已知利息力为 0.05，求 A
查生命表或者相应的换算表带入计算得：25692.23 元
二、 （30 分）试求现年 30 岁每年领取年金额 1200 元的期末付终身生存年金的精 算现值，且给付方法为：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。
（1）解： 1200a30
N 31 D30
(2) (2) 30 35 (2) 1 ] 1 ) 1000[ (2)a （2） 1000a30 1000( a
二、 （40 分）某一年龄支付下列保费将获得一个 n 年期储蓄寿险保单： (1)1 000 元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为 750 元。 (2)1 000 元储蓄寿险，被保险人生存 n 年时给付保险金额的 2 倍，死亡时 返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为 800 元。 若现有 1 700 元储蓄寿险，无保费返还且死亡时无双倍保障，死亡给付均 发生在死亡年末，求这个保险的趸缴纯保费。
解：保单 1)精算式为 1000 Ax:n 750 Ax:n 1750 Ax:n 1000 Ax:n 750
1 1 1
保单 2)精算式为
1000 Ax:n 800 A1 1000 Ax:1 1800 A1 2000 Ax:1 800 x:n n x:n n
求解得 Ax:n 7 / 17, Ax:n 1/ 34 ，即
100 ) ，试计算这笔年金在购买时的精算现值。 x
解：由存活函数可得生存概率： k 又因为 20 a 30 k E 30 v k k
k 21 k 21
p
30
l 30 k
l
30
70 k 70
p
30
因而这笔年金的精算现值为： 5000 20 a 30 5000 1.06 k
1 1 1 1 1 (l23 l24 l l l58 ) 2 25 3 26 l23 1.06 (1.06) (1.06) (1.06)35 N 23 N 59 D23
37
23 a 23 a 23:37 v 37 37 p23 a 60 a
得： A(12) 0
i
(12)
A0 0.8899
第四组：
计算题 一、 （30 分）张华今年 30 岁，从今年起，只要他存活，可以在每年年初获得 1000 元的生存给付，假设年利率为 9%。计算这一年金的精算现值。
解：这是一个每年给付 1000 元的终身生存年金，每一次给付经过折 现后在 30 岁时的价值总和合即为这笔年金在 30 岁时的精算现值。 因 此，给付的现值是：
k 21
70
70 k 70
=12358.09（元）
三、 （40 分）某人现年 55 岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付 年金额 250 元，试在 UDD 假设和利率 6%下，计算其精算现值。
(12) (12) 35 1 解： 250*12a35 250*12(a
35 (12) 1 ] ) 250*12[ (12)a 12 12
2
2
其中
d
i 0.056603774 1 i
若查 90-93 年生命表换算表则
35 a
N 35 1985692 15.695458 D35 126513.8
第五组：
计算题 一、 （20 分）某人现年 23 岁，约定于 36 年内每年年初缴付 2 000 元给某人寿保
险公司，如中途死亡，即行停止，所缴付款额也不退还。而当此人活到 60 岁时， 人寿保险公司便开始给付第一次年金， 直至死亡为止。 试求此人每次所获得的年 金额。
1 30:10
和A 。
30
解： （1）由于生存函数在 0 到 100 间均匀分布，但 x=30 时，剩余寿
1 命在[0,70]间均匀分布，概率密度 f（t）=70，故
A A
1 30:10
E(Z )
70 0
10
0
e
0.05t
1 e 1 dt 0.1124 70 0.05 70
1 t 0 29 ( t 1)
t
p q
50
50 t
其中
tp
50
l 50 t
l
50
55 t 55
q
50 t
1
p
50 t
55 t (54 t ) 1 55 t 55 t
故，该保单的趸缴净保费是：
100000 A50:30 1000001.08
k 37
60 E23 a
k 37
v
82
k k
p23
k 37
v
82
k
l23 k 1 l23 l23
v l
k
82
23 k
1 1 1 1 1 (l60 l60 l l l105 ) 2 62 3 63 l23 1.06 (1.06) (1.06) (1.06)55 N 60 D23
35:30 105712.64(元） 20000 5 a
此年金精算现值为 105712.64 元。
四、 （30 分） 某人在 30 岁时投保了 50000 元的 30 年两全保险， 设预定利率为 6%， 以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993） （男女混合） ，求这一保单的趸缴净 保费。
51 a 35: 25
解：
A35:51 A25:5 2511 d ，
A36:6
M 35 M 41 D41 0.7058 D35
A35:31
M 35 M 66 D 66 0.1881 D 35
A 35:6 A 35:31 d
故：
500 5 a35:25 500
解：由 s( x) 1
x 105
s (40 t ) 65 t 40 s (40) 65 有 1 q 40t 1 p 40t 65 t t
p
保单精算现值为： 20000 A40 20000 v t 1 t
t 0
p q
x
x t
由生存函数可以看出 t
解：在死亡均匀分布假设下，趸缴净保费为：
50000 A
A 0.06 M M 50000 ln1.06 D
30:30
50000
i
1
30:30
A30:30 50000 D 60
1
30
60
30
9467.26
D
30
第三组：
计算题 一、 （30 分）一个 2 年定期寿险保单于 30 岁时签定，保险金于死亡年度末支付，第 t 个 保 单 年 度 的 死 亡 保 险 金 为 bt, 已 知 ： q30=0.1 ， b2=10-b1,0 ≤ b1,b2 ≤ 10,q31=0.6,i=0.求使 Var(Z)最小的 b1.
3
q 45 3 P45 q 48 (1 q45 )(1 q 46 )(1 q 47 )q 48 =0.00288
二、 （20 分）购买延期 5 年的 25 年定期生存年金，每年末领取 500 元，设年利 率为 6%，求其趸缴纯保费。 已知： M 35 14116.1223 ， M 41 13305.1948 ， M 66 7481.1262 ， D 35 126513.78 ， D 41 88479.19 ， D 66 17168.55
其中
d
i 0.056603774 1 i
12
i (12) (12) 1 1 i i 0.058410606 12 d (12) (12) 1 1 d d 0.058127667 12 id i i (12) (12) (12) (12) 1.000281033, (12) (12) (12) 0.46811975 i d i d
1 t 0 29 ( t 1)
