吉林省乾安县第七中学2020学年高二数学下学期第二次质量检测试题 理

2020年下期高二级数学质检题参考答案 第1页（共22页）2020年下期高二级数学质检试题（一）参考答案1．A 2．A解析：当a ＝0时，两直线方程分别为x ＋6＝0和－4x －3y ＝0，不平行；当a ≠0时，a －41＝－3a ≠2a －6，解得a ＝1.3．C 解析：因为A ，B ，D 选项中的三点均共线，不能构成三角形．4．B 解析：直线AB 的方程为3x －y ＋4＝0，d ＝410＝2105.5．C解析：当所求直线过原点时，它在两坐标轴上的截距都是0，适合题意，此时直线方程为y＝2x ；当所求直线不过原点时，可设它的方程为x a ＋y a ＝1，把点(1,2)的坐标代入得3a＝1，解得a ＝3，故此时直线的方程为x ＋y －3＝0. 6．答案：A 解析：直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan60°＝ 3. 7．D解析：根据两直线平行得：12＝－1a ≠2c ，所以a ＝－2.又两直线的距离是2，所以有：2＝|c －4|22＋22，即|c －4|＝4，所以c ＝8或c ＝0(舍去)，所以a ＝－2，c ＝8代入a －2c ＝－2－28＝－12. 8．D解析：∵点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上， 线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，化为x 0＋3y 0＋2＝0.又x 0＞0，设y 0x 0＝k OM ，则当点位于射线BM (不包括端点B )，k OM ＜－13.∴y 0x 0的取值范围是(－∞，－13)∪(0，＋∞)．故选D. 9．答案：AB 10．答案：AD 11．答案：ABD解析：因为A (1，－1)，B (－1,3)，所以直线AB 的斜率是k AB ＝3－－1－1－1＝－2，所以直线2020年下期高二级数学质检题参考答案第2页（共22页）2020年下期高二级数学质检题参考答案 第3页（共22页）∴C (－193，－173)，则BC 中点为(－53，－13)， ∴k BC ＝87，BC 垂直平分线的斜率为k ＝－78，BC 垂直平分线的方程为y ＋13＝－78(x ＋53)，整理得21x ＋24y ＋43＝0.20． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧5x －2y ＋3m3m ＋1＝02x ＋6y －3m 9m ＋20＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m y ＝92m 2＋9m ，∴两直线的交点P (3m ，92m 2＋9m )．(2)设点P 到直线4x －3y －12＝0的距离为d ，则d ＝|4·3m －3·⎝⎛⎭⎫92m 2＋9m －12|42＋－32＝310|9m 2＋10m ＋8|＝2710|(m ＋59)2＋4792|， ∴当m ＝－59时，点P 到直线4x －3y －12＝0的距离d 有最小值，最小值为d min ＝4730.21． 解：（1）易知P 为线段AB 的垂直平分线2x+4y -39=0与直线l 的交点，得P 2574⎛⎫ ⎪⎝⎭，（2）解：设A 关于直线l 3440x y -+=对称的点C (,)a b则353440225433a b b a -+⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩解得33a b =⎧⎨=-⎩∴直线BC 的方程为18510x y +-= 由185103440x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得8(,3)3PPA PB ∴+的最小值为[]22(23)15(3)513CB =-+--=22． 解：设点A 的坐标为(x 1，y 1)，则1112100x y y -+=⎧⎨=⎩即点A 的坐标为(－1,0)．又点B (1,2)，∴BC 边所在直线方程为y －2＝－2(x －1)．即2x ＋y －4＝0.又点B (1,2)关于y ＝0的对称点B ′(1，－2)在直线AC 上，∴AC 边所在直线方程为y ＋22＝x ＋1－1－1即x ＋y ＋1＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－6，即点C 的坐标为(5，－6)．2020年下期高二级数学质检题参考答案 第4页（共22页）2020年下期高二级数学质检试题（二）参考答案1．A 解析：由图形易知满足此条件的圆有两个． 2．D 解析：|AB |＝1＋4＋4＝3. 3．C解析：∵圆心(－1,2)，∴－2a －2b ＋1＝0，∴a ＋b ＝12.4．C 5．B解析：圆半径r ＝|1＋6＋3|1＋9＝10，故圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝10.6．A解析：会求过两圆交点的直线方程，注意运用简便方法．两圆方程相减即为公共弦的方程． 7．D解析：易知B (2,2,0)，B 1(2,2,2)，∴E 的竖坐标z ＝23×2＝43，∴E 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，2，43. 8．C解析：当圆心到直线的距离d 满足r －1<d <r ＋1时，圆上存在两个点到直线的距离为1，即满足1<|2＋m |5<3.解得－17<m <－7或3<m <13. 9．AD 10．AC 11．AC12．BCD解析：由图可知13．(8，－6)解析：线段AB 的垂直平分线x ＋y －1＝0与线段AC 的垂直平分线 2x ＋y －5＝0的交点为圆心(4，－3)，直径为10，易得D 为(8，－6)． 14．255解析：设yx ＝k ，y ＝kx ，(x －3)2＋k 2x 2＝4，(1＋k 2)x 2－6x ＋5＝0，Δ＝36－20(1＋k 2)≥0，－255≤k ≤255.另可考虑斜率的几何意义来做．15．(x ＋1)2＋y 2＝2解析：∵圆心C (－1,0)，半径为圆心C (－1,0)到直线x ＋y ＋3＝0的距离，即圆C 的半径r ＝|－1＋0＋3|2＝2，∴圆C 的方程为：(x ＋1)2＋y 2＝2.2020年下期高二级数学质检题参考答案第5页（共22页）则|－1＋2－a|2＝ 2.所以a＝－1或a＝3，即切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.所以切线方程为y＝(2＋6)x或y＝(2－6)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)设P(x1，y1)．因为|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x12＋y12＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2，即2x1－4y1＋3＝0.要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．当直线PO垂直于直线2x－4y＋3＝0时，即直线PO的方程为2x＋y＝0时，|PM|最小，此时P点即为两直线的交点，得P点坐标(－310，3 5)．22．解：(1)∵点P(m，m＋1)在圆C上，代入圆C的方程，解得m＝4，∴P(4,5)故直线PQ的斜率k＝5－34－－2＝13.因此直线PQ的方程为y－5＝13(x－4)．即x－3y＋11＝0，而圆心(2,7)到直线的距离d＝|2－3×7＋11|10＝810＝4 105，所以PE＝2r2－d2＝2 8－325＝2405＝4105.(2)∵k MQ＝y－3x＋2，∴题目所求即为直线MQ的斜率k的最值，且当直线MQ为圆的切线时，斜率取最值．设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d＝|2k－7＋2k＋3|1＋k2＝r＝2 2.两边平方，即(4k－4)2＝8(1＋k2)，解得k＝2－3，或k＝2＋ 3.所以y－3x＋2的最大值和最小值分别为2＋3和2－ 3.2020年下期高二级数学质检题参考答案第6页（共22页）2020年下期高二级数学质检题参考答案 第7页（共22页）2020年下期高二级数学质检试题（三）参考答案1．A 2. B 3. D 4. C 5 . D 6. A 7. D 8. C 9 . AC 10. ABC 11. ABD 12. BC 13． (0,4) 14.5 15.－1 16．③④ 17. y 29－x 24＝118．(1)由双曲线的方程得, 所以1(-3,0),F 2(3,0).直线AB 的方程为y=3(x -3). 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由)22y x 3,x y 1,36⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得5x 2+6x -27=0. 所以x 1+x 2=-65,x 1x 2=-275.所以1-x 2|3610832555==+=(2)直线AB x -3y -所以原点O 到直线AB 的距离为3.2= 所以S △AOB =12|AB|·d=12×3219. (1 ) 设M 点的坐标为)0,(0x , 直线l 方程为0x my x +=, 代入x y =2得 002=--x my y ① 21,y y 是此方程的两根, ∴1210=-=y y x ，即M 点的坐标为（1, 0）.2020年下期高二级数学质检题参考答案 第8页（共22页）(2 ) ∵ 121-=y y∴ 0)1(21212122212121=+=+=+y y y y y y y y y y x x∴ OB OA ⊥.（3）由方程①，m y y =+21, 121-=y y , 且 1||0==x OM , 于是=-=∆||||2121y y OM S AOB 212214)(21y y y y -+=4212+m ≥1， ∴ 当0=m 时，AOB ∆的面积取最小值1. 20．解析：（1）∵ 斜率k 存在，不妨设k ＞0，求出M （22，2）． 直线MA 方程为)22(2-=-x k y ，直线MB 方程为)22(2--=-x k y ． 分别与椭圆方程联立，可解出2284222-+-=k k k x A ，2284222-++=k k k x B ．∴22)(=--=--BA B A B A B A x x x x k x x y y ． ∴ 22=AB k （定值）．（2）设直线AB 方程为m x y +=22，与1822=+y x 联立，消去y 得mx x 24162+0)8(2=-+m ．由0>∆得44<<-m ，且0≠m ，点M 到AB 的距离为3||m d =． 设AMB ∆的面积为S ． ∴ 2)216(321)16(321||41222222=≤-==⋅m m d AB S ． 当22±=m 时，得2max =S ．21．解：直线l 与x 轴不平行，设l 的方程为 a ky x += 代入双曲线方程 整理得012)1(222=-++-a kay y k 而012≠-k ，于是122--=+=k ak y y y B A T 从而12--=+=k a a ky x T T 即 )1,1(22k ak ak T -- 点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴kak a k ak 即22+=a k ①2020年下期高二级数学质检题参考答案 第9页（共22页）由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=⋅'l T O k k 则 0=k 或 122+=a k当0=k时，由①得 l a ∴-=,2的方程为 2-=x ；当122+=a k 时，由①得1=a l K ∴±=,3的方程为13+±=y x .故所求直线l的方程为2-=x 或 13+±=y x22．解：（1）直线AB 方程为：0=--ab ay bx ．依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=233622ba ab ac ， 解得 ⎩⎨⎧==13b a ，∴ 椭圆方程为 1322=+y x ．（2）假若存在这样的k 值，由⎩⎨⎧=-++=033222y x kx y ，得)31(2k +09122=++kx x ．∴ 0)31(36)12(22>+-=∆k k ． ①设1(x C ，)1y 、2(x D ，)2y ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+⋅2212213193112k x x kk x x ， ②而4)(2)2)(2(212122121+++=++=⋅x x k x x k kx kx y y ． 要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当CE ⊥DE 时，则1112211-=++⋅x y x y ，即0)1)(1(2121=+++x x y y ．∴ 05))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ． ③ 将②式代入③整理解得67=k ．经验证，67=k ，使①成立． 综上可知，存在67=k ，使得以CD 为直径的圆过点E ．2020年下期高二级数学质检题参考答案 第10页（共22页）2020年下期高二级数学质检试题（四）参考答案1．解析：在△BCD 中，因为G 是CD 的中点，所以BG →＝12(BD →＋BC →)，从而AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →，故选A. 答案：A 2．解析：∵l 1⊥l 2，∴a ·b ＝0，代入可解得m ＝2. 答案：B3．解析：∵i ，j ，k 两两垂直且|i |＝|j |＝k |＝1，∴5a ·3b ＝(15i ＋10j －5k )·(3i －3j ＋6k )＝45－30－30＝－15. 答案：A4．解析：设m ，n 的方向向量分别为m ，n .由m ⊥α，n ⊥β知m ，n 分别是平面α，β的法向量． ∵|cos 〈m ，n 〉|＝cos60°＝12，∴〈m ，n 〉＝60°或120°.但由于两异面直线所成的角的范围为⎝⎛⎦⎤0，π2， 故异面直线m ，n 所成的角为60°. 答案：B5．解析：设向量a ＋b 与c 的夹角为α，因为a ＋b ＝(－1，－2，－3，)，|a ＋b |＝14，cos α＝a ＋b ·c |a ＋b ||c |＝12， 所以α＝60°.因为向量a ＋b 与a 的方向相反，所以a 与c 的夹角为120°. 故选C. 答案：C6．解析：∵MG ＝2GN ，∴MG →＝23MN →.故OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23(ON →－OM →)2020年下期高二级数学质检题参考答案 第11页（共22页）＝13OM →＋23ON →＝13×12OA →＋23⎣⎡⎦⎤12OB →＋OC → ＝16OA →＋13OB →＋13OC →. 答案：D7．解析：不妨设CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.由题图知，A 点的坐标为(2,0,0)，B 点的坐标为(0,0,1)，B 1点的坐标为(0,2,1)，C 1点的坐标为(0,2,0)． 所以BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1→＝(－2,2,1)． 所以cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝0×－2＋2×2＋－1×135＝55. 答案：A8．解析：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设该正方体的棱长为2，则A 1(2,0,2)，M (0,1,0)，N (0,2,1)．∴A 1M →＝(－2,1，－2)，DN →＝(0,2,1)，∴cos 〈A 1M →，DN →〉＝A 1M →·DN →|A 1M →|·|DN →|＝0.∴异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是90°. 答案：D9．【解析】在同一个平面内不平行的两条直线或有公共交点的两条直线为相交直线,可判断ABC选项正确. 10．【解析】正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形,矩形的长为3b ,宽为a ,则其对角线AA 1的长为最短路程.因此蚂蚁爬行的最短路程为√a 2+9b 2. 【答案】BCD 11．【解析】如图所示,当截得的三角形为△A 1BC 1时,三角形的面积最大,∵正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,∴A 1C 1=C 1B=A 1B=2√2,∴S △A 1C 1B =12×2√2×√32×2√2=2√3.当平面截正方体所得截面为正六边形时,截面面积最大,如图中的正六边形MGHNEF ,其中MN=2√2,GH=√2,点G 到线段MN 的距离h=√2−12=√62,∴截面面积S=2×√2+2√22×h=3√3.综上,BD 正确.【答案】BD12．解析：对于选项A,以D点为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),F(0,1,12),从而DD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),AF=(-1,1,12),所以DD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF⃗⃗⃗⃗⃗ =12≠0,所以D1D与直线AF不垂直,选项A错误.对于选项B,取B1C1的中点为M,连接A1M,GM,则A1M∥AE,GM∥EF,所以平面A1MG∥平面AEF,从而A1G∥平面AEF,选项B正确.对于选项C,连接AD1,D1F,易知四边形AEFD1为平面AEF截正方体所得的截面四边形(如图),且D1H=AH=√5,A1D=√2,所以S△AD1H=12×√2×√(√5)2-(√22)2=32,而S四边形AEFD1=34S△AD1H=98,所以选项C正确.对于选项D,(法一)因为S△GEF=12×1×12=14,S△ECF=12×12×12=18,V A-GEF=13S△EFG·AB=112,V A-ECF=13S△ECF·AB=124,所以V A-GEF=2V A-ECF,即V G-AEF=2V C-AEF,所以点G到平面AEF的距离为点C到平面AEF的距离的2倍,故选项D错误.(法二)假设点C与点G到平面AEF的距离相等,即平面AEF将线段CG平分,则平面AEF必过CG的中点,连接CG交EF于点O,易知O不是CG的中点,故假设不成立,从而选项D错误.【答案】BC13．解析：GE→＝GA→＋AD→＋DE→＝－13(AB→＋AC→)＋AD→＋14(AB→－AD→)＝－112AB→－13AC→＋34AD→.答案：－112AB→－13AC→＋34AD→14．解析：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，B1(4,4,3)，C(0,4,0)，得A1B→＝(0,4，－3)，B1C→＝(－4,0，－3)．故cos〈A1B→，B1C→〉＝A1B→·B1C→|A1B→||B1C→|＝925.答案：9252020年下期高二级数学质检题参考答案第12页（共22页）2020年下期高二级数学质检题参考答案 第13页（共22页）15． 解析：∵B 1M →＝PM →－PB 1→＝BA →＋6BA →＋6AA 1→＋4A 1D 1→＝BA →＋6BA 1→＋4A 1D 1→＝B 1A 1→＋2BA 1→＋4BD 1→， ∴B 1M →－B 1A 1→＝2BA 1→＋4BD 1→， 即A 1M →＝2BA 1→＋4BD 1→.故A 1M →，BA 1→，BD 1→共面，即M 点在平面A 1BCD 1内． 答案：A 1BCD 116． 解析：设AB ＝2，作CO ⊥平面ABDE ，OH ⊥AB ，连接CH ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C —AB —D 的平面角，CH ＝3，OH ＝CH ·cos ∠CHO ＝1.结合等边△ABC 与正方形ABDE 可知四棱锥C —ABDE 为正四棱锥，则AN ＝EM ＝CH ＝3，AN →＝12(AC →＋AB →)，EM →＝12AC →－AE →，AN →·EM →＝12(AB →＋AC →)·⎝⎛⎭⎫12AC →－AE →＝12，故EM ，AN 所成角的余弦值为AN →·EM →|AN →|·|EM →|＝16.答案：1617． 解：(1)A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1A →.(2)∵EO →＝AO →－AE →＝12(AB →＋AD →)－AD →－23AA 1→＝12AB →－12AD →－23AA 1→， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.18．解：(1)证明：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D —xyz ，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2,4)，C 1(0,2,4)，D 1(0,0,4)．设E (0,2，t )，则BE →＝(－2,0，t )，B 1C →＝(－2,0，－4)． ∵BE ⊥B 1C ，∴BE →·B 1C →＝4＋0－4t ＝0，即t ＝1. 故E (0,2,1)，BE →＝(－2,0,1)．又∵A 1C →＝(－2,2，－4)，DB →＝(2,2,0)，2020年下期高二级数学质检题参考答案 第14页（共22页）∴A 1C →·BE →＝4＋0－4＝0，且A 1C →·DB →＝－4＋4＋0＝0. 因此A 1C →⊥DB →且A 1C →⊥BE →，即A 1C ⊥BD 且A 1C ⊥BE . 故A 1C ⊥平面BDE .(2)由(1)知A 1C →＝(－2,2，－4)是平面BDE 的一个法向量，又∵A 1B →＝(0,2，－4)， ∴cos 〈A 1C →，A 1B →〉＝A 1C →·A 1B →|A 1C →||A 1B →|＝306.故A 1B 与平面BDE 所成角的正弦值为306. 19．解：(1)建立如图的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,3,0)，C (0,3,0)，E (1,3,0)，O 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B 1(2,3,2)，C 1(0,3,2)， ∴AO 1→＝(－2,0,2)，B 1E →＝(－1,0，－2)， ∴cos 〈AO 1→，B 1E →〉＝AO 1→·B 1E →|AO 1→||B 1E →|＝－2210＝－1010.故直线AO 1与B 1E 所成角的余弦值为1010. (2)设D (x 0，y 0,0)，O 1D →＝(x 0，y 0，－2)，AC →＝(－2,3,0)，AD →＝(x 0－2，y 0,0)． ∵O 1D →⊥AC →且AD →∥AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x 0＋3y 0＝0，3x 0－2＋2y 0＝0，∴⎩⎨⎧x 0＝1813，y 0＝1213，∴O 1D →＝⎝⎛⎭⎫1813，1213，－2，∴|O 1D →|＝228613， ∴点O 1到点D 的距离为228613.20． 解：(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥PA .又∵AB ⊥AD ，AD ∩AP ＝A ，∴AB ⊥平面PAD .∴PD ⊥AB . 又∵PD ⊥AE ，AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE ，∴BE ⊥PD . (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD ，PA ⊥AB . 又AB ⊥AD ，∴AP ，AB ，AD 两两垂直．如图，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，2020年下期高二级数学质检题参考答案 第15页（共22页）C (a ，a,0)，D (0,2a,0)， AD →＝(0,2a,0)．∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠ADP 是PD 与平面ABCD 所成的角． ∴∠ADP ＝30°.∵AD ＝2a ，∴PA ＝2a tan30°＝233a ， ∴P ⎝⎛⎭⎫0，0，233a . ∴PC →＝⎝⎛⎭⎫a ，a ，－233a ，，PD →＝⎝⎛⎭⎫0，2a ，－233a .设n ＝(x ，y ，z )为平面PCD 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧ax ＋ay －233az ＝0，2ay －233az ＝0.取x ＝1，则n ＝(1,1，3)是平面PCD 的一个法向量． 易知AD →＝(0,2a,0)为平面PAB 的一个法向量， ∴cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|AD →|·|n |＝55.∴平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为55. 21．解：(1)∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，∴CC 1⊥底面ABC ，∴CC 1⊥BC . ∵AC ⊥CB ，∴BC ⊥平面A 1C 1CA ，∴BC 的长即为点B 到平面A 1C 1CA 的距离． ∵BC ＝2，∴点B 到平面A 1C 1CA 的距离为2.(2)∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，C 1C ＝CB ＝CA ＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别为C 1C ，B 1C 1的中点，建立如图的空间直角坐标系，得C (0,0,0)，B (0,2,0)，A (2,0,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)，A 1(2,0,2)，D (0,0,1)，E (0,1,2)， ∴BD →＝(0，－2,1)，BA 1→＝(2，－2,2)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(λ，1，μ)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·BA 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2＋μ＝02λ－2＋2μ＝0，2020年下期高二级数学质检题参考答案 第16页（共22页）解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝2λ＝－1，∴n ＝(－1,1,2)由(1)知平面ACC 1A 1的法向量为CB →＝(0,1,0)，cos 〈n ，CB →〉＝16＝66，即二面角B －A 1D －A 的余弦值为66. (3)设在线段AC 上存在一点F (x,0,0)，使得EF ⊥平面A 1BD . 欲使EF ⊥平面A 1BD ，由(2)知当且仅当n ∥FE →.∵FE →＝(－x,1,2)，∴x ＝1，故存在唯一一点F (1,0,0)满足条件，F 为AC 的中点． 22．解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点．依题意得A (22，0,0)，B (0,0,0)，C (2，－2，5)，A 1(22，22，0)， B 1(0,22，0)，C 1(2，2，5)．(1)易得AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0,0)， 于是cos 〈AC →，A 1B 1→〉＝AC →·A 1B 1→|AC →||A 1B 1→|＝43×22＝23，所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23. (2)易知AA 1→＝(0,22，0)，A 1C 1→＝(－2，－2，5)． 设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C 1→＝0，m ·AA 1→＝0，即⎩⎨⎧－2x －2y ＋5z ＝0，22y ＝0.不妨令x ＝5，可得m ＝(5，0，2)． 同样地，设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B 1→＝0，即⎩⎨⎧－2x －2y ＋5z ＝0，－22x ＝0.不妨令y ＝5，可得n ＝(0，5，2)，于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝27×7＝27，从而sin 〈m ，n 〉＝357. 故二面角A —A 1C 1—B 1的正弦值为357.2020年下期高二级数学质检题参考答案 第17页（共22页）(3)由N 为棱B 1C 1的中点，得N⎝⎛⎭⎫22，322，52.设M (a ，b,0)，则MN →＝⎝⎛⎭⎫22－a ，322－b ，52. 由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧MN →·A 1B 1→＝0，MN →·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫22－a ×－22＝0，⎝⎛⎭⎫22－a ×－2＋⎝⎛⎭⎫322－b ×－2＋52×5＝0，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝24.故M⎝⎛⎭⎫22，24，0.因此BM →＝⎝⎛⎭⎫22，24，0， 所以线段BM 的长|BM →|＝104.2020年下期高二级数学质检题参考答案 第18页（共22页）2020年下期高二级数学质检试题（五）参考答案一．选择题：1.C2. A3. B4. B5. D6. C7. B8. B9. AD 10. BCD 11.BC 12.BD 二．填空题：13. 14．35y x =- 15. [13，＋∞)16.πππ,32[)2,0[ ） 三．解答题：222322322201240132318101106''':()()()()(),()(,)f x x ax b f a b a b f a b a b f x a b c c =++∴-=-+-+=-+==++=-∴==-∴+⨯+⨯+==317、解 所以 又 又过点,1 所以18. 证明：设(),2112x x e x f x---=则()x e x f x --=1'，令,1)(x e x g x --= 则1)('-=x e x g ，当0>x 时，()01'>-=x e x g ，∴)(x g 在()+∞,0上单调递增，而0)0(=g ，∴(),0)0(=>g x g 0)(>x g 在()+∞,0上恒成立，即0)('>x f 在()+∞,0恒成立.∴)(x f 在()+∞,0上单调递增，又,0)0(=f ∴,02112>---x x e x 即0>x 时，2211x x e x ++>成立.19．解：323)(2-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a解得0,1==b a .∴)1)(1(333)(,3)(23-+=-='-=x x x x f x x x f . 令0)(='x f ，得1,1=-=x x .若),1()1,(∞+--∞∈ x ，则0)(>'x f ，故)(x f 在)1,(--∞上是增函数，)(x f 在),1(∞+上是增函数.若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故)(x f 在)1,1(-上是减函数.所以，2)1(=-f 是极大值；2)1(-=f 是极小值.(,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞2020年下期高二级数学质检题参考答案 第19页（共22页）20.解：（1）'22()33(2)63()(1),f x ax a x a x x a =-++=--()f x 极小值为(1)2a f =-（2）①若0a=，则2()3(1)f x x =--，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点；②若0a <， ∴()f x 极大值为(1)02af =->，()f x 的极小值为2()0f a<，()f x ∴的图像与x 轴有三个交点；③若02a <<，()f x 的图像与x 轴只有一个交点； ④若2a =，则'2()6(1)0f x x =-≥，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点； ⑤若2a>，由（1）知()f x 的极大值为22133()4()044f aa=---<，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点；综上知，若0,()a f x ≥的图像与x 轴只有一个交点；若0a <，()f x 的图像与x 轴有三个交点。

吉林省2020版高考数学二模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·安庆模拟) 已知i为虚数单位，复数z满足，则下列判断正确的是（）A . z的虚部为iB .C .D .2. （2分） (2019高二下·九江期中) “ ”是“ ”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）已知函数f（x）=（）x﹣lnx，若实数x0满足f（x0）＞sin+cos，则x0的取值范围是（）A . （﹣∞，1）B . （0，1）C . （1，+∞）D . （，+∞）4. （2分）已知实系数一元二次方程的两个实根为，且，则的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分）(2019·贵州模拟) 下面的程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在“ □”和“ ”两个空白框中，可以分别填入（）A . 和是奇数B . 和是奇数C . 和是偶数D . 和是偶数6. （2分）(2014·四川理) 为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A . 向左平行移动个单位长度B . 向右平行移动个单位长度C . 向左平行移动1个单位长度D . 向右平行移动1个单位长度7. （2分）(2020·呼和浩特模拟) 设是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则双曲线C的离心率是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二下·吉林期末) 2018年5月1日，某电视台的节目主持人手里提着一个不透明的袋子，若袋中共有10个除颜色外完全相同的球，其中有7个白球，3个红球，若从袋中任取2个球，则“取得2个球中恰有1个白球1个红球”的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）给出下列命题：向量，满足，则，的夹角为；是〈，〉为锐角的充要条件；将函数的图象按向量平移，得到函数的图象；若，则为等腰三角形。

吉林省2020年数学高二下学期理数期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·东莞期中) 已知，是的导函数，则（）A .B .C .D .2. （2分）如图，由曲线,直线x=0,x=2和x轴围成的封闭图形的面积是（）A . 1B .C .D . 23. （2分）观察下列恒等式：∵∴tanα－＝－①∴tan2α－＝－②tan4α－＝－③由此可知：tan＋2tan＋4tan－＝（）A . －2B . －4C . －6D . －84. （2分） (2018高二下·长春期末) 在用反证法证明“已知，且，则，，中至少有一个大于”时，假设应为（）A . ，，中至多有一个大于B . ，，全都小于C . ，，中至少有两个大于D . ，，均不大于5. （2分） (2019高二下·南康期中) 用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数共有（）A . 36个B . 72C . 48D . 606. （2分） (2018高二下·黑龙江期中) 某校3名教师和5名学生共8人去北京参加学习方法研讨会，需乘坐两辆车，每车坐4人，则恰有两名教师在同一车上的概率（）A .B .D .7. （2分）(2017·鞍山模拟) 复数z=（a+i）（﹣3+ai）（a∈R），若z＜0，则a的值是（）A . a=B . a=﹣C . a=﹣1D . a=18. （2分）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）A . 33B . 34C . 35D . 369. （2分）在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为（）A . 2B .C .D .10. （2分）直线x－y+3=0被圆（x+2）2+（y－2）2=2截得的弦长等于（）A .C .D .11. （2分）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。

乾安七中2020-2021学年度第一学期第二次质量检测高二数学(理)试题一、 选择题(每小题5分,共60分)１.已知a 和b 均为非零实数,且b a <,则下面表达正确的是( )A.ba ab 2211< B.22ab b a < C. 22b a < D.b a a b < 2.在单调递减的等比数列{a n }中,若a 3＝1,a 2＋a 4＝52,则a 1＝( )A.2B.4C. 2D.2 23.若变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函数z ＝x ＋2y 取最大值时的最优解是( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,35B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21C.⎪⎭⎫⎝⎛32,31D.()2，－1 4.在△ABC 中,A ＝π3,BC ＝3,AB ＝6,则C ＝( ) A.π4或3π4 B.3π4 C.π4 D.π65.已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意的x ∈R 恒成立,则实数k 的取值范围是( )A.[0,1]B.(0,1]C.(－∞,0)∪(1,＋∞)D.(－∞,0]∪[1,＋∞) 6、在ABC ∆中,若2224a b c bc bc +＝﹣,＝,则ABC ∆的面积为( )A.12B.1C.3D.27.已知a ,b ∈R ,且ab ≠0,则下列结论恒成立的是( )A.a ＋b ≥2abB.a 2＋b 2>2ab C.a b ＋b a ≥2 D.abb a +≥28.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ,cos A ＝－14,则bc＝( )A.6B.5C.4D.3 9．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0,数列{b n }是等比数列, 且b 7＝a 7,则b 3b 8b 10＝( )A.1B.8C.4D.210.已知a ,b 为正实数,若函数f (x )＝ax 3＋bx ＋ab －1是奇函数,则f (2)的最小值是( )A.2B.4C.8D.16 11.设S n 为数列{a n }的前n 项和,且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *),则a n ＝( )A.3(3n －2n )B.3n ＋2nC.3nD.3·2n －112、已知正数x y ,满足1x y +=,且2211x y m y x +≥++,则m 的最大值为( ) A.163 B.2 C.13D.4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.函数y ＝a 1－x (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(m 、n >0)上,则1m ＋1n的最小值为____.14.已知圆的半径为4,a ,b ,c 为该圆的内接三角形的三边,若abc ＝216,则三角形的面积为 .15.已知数列{a n }中,a 1＝2,且 a 2n ＋1a n ＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *),则其前9项和S 9＝ . 16.已知函数f (x )＝x ＋1x ＋b (b 为常数).当x ∈[－1,2]时,f (x )>－1(x ＋b )2恒成立,则b 的取值范围为________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9＝－a 5.(1)若a3＝4,求{a n}的通项公式；(2)若a1>0,求使得S n≥a n的n的取值范围.18.(本小题满分12分)设函数f(x)＝4x2＋ax＋2,不等式f(x)<c的解集为(－1,2).(1)求a的值；(2)解不等式4x＋mf(x)－4x2>0.19.(本小题满分12分)现有一批货物用轮船从甲地运往乙地,甲地与乙地的距离为500海里.已知该船最大速度为45海里/小时,每小时运输成本由燃料费用和其他费用组成.轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比,其余费用为每小时960元.已知当轮船速度为20海里/小时,全程运输成本为30 000元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数.(2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶？20.(本小题满分12分)设关于x的不等式lg(|x＋3|＋|x－7|)＞a.(1)当a＝1时,解这个不等式；(2)当a为何值时,这个不等式的解集为R.21.(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且tan A＝3cbc2＋b2－a2.(1)求角A的大小；(2)当a＝3时,求c2＋b2的最大值,并判断此时△ABC的形状.22．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝λ(λ>0),a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *).(1)求λ的值；(2)求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n a a 的前n 项和T n .数学答案(理)一、选择题二、填空题13.4 14.2. 15.1 022 16. b >1 三、解答题17.(本小题满分10分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9＝－a 5.(1)若a 3＝4,求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0,求使得S n ≥a n 的n 的取值范围. 【试题解答】 (1)设{a n }的公差为d .由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0. 由a 3＝4得a 1＋2d ＝4. 于是a 1＝8,d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n . (2)由(1)得a 1＝－4d ,故a n ＝(n －5)d ,S n ＝n(9-n).由a 1>0知d <0,故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0,解得1≤n ≤10,所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10,n ∈N }.18.(本小题满分12分)设函数f (x )＝4x 2＋ax ＋2,不等式f (x )＜c 的解集为(－1,2). (1)求a 的值； (2)解不等式4x ＋mf (x )－4x 2＞0.【试题解答】 (1)∵函数f (x )＝4x 2＋ax ＋2, 不等式f (x )＜c 的解集为(－1,2), ∴－1＋2＝－a4,∴a ＝－4.(2)不等式转化为(4x ＋m )(－4x ＋2)＞0, 可得m ＝－2,不等式的解集为∅；m ＜－2,不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜－m 4；m ＞－2,不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－m4＜x ＜12.19.(本小题满分12分)现有一批货物用轮船从甲地运往乙地,甲地与乙地的距离为500海里.已知该船最大速度为45海里/小时,每小时运输成本由燃料费用和其他费用组成.轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比,其余费用为每小时960元.已知轮船速度为20海里/小时,全程运输成本为30 000元.(1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/小时)的函数. (2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶？【试题解答】(1)由已知,每小时燃料费用为kx 2(0<x ≤45),全程所用时间为500x小时,则全程运输成本y ＝kx 2·500x ＋960·500x,x ∈(0,45],当x ＝20时,y ＝30 000,得k ＝0.6,所以所求函数为y ＝300⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x ,x ∈(0,45]. (2)y ＝300⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x ≥300×2x ·1 600x＝24 000,当且仅当x ＝1 600x,即x＝40时取等号,所以当轮船速度为40海里/小时时,所需成本最小.20.(本题满分12分)设关于x 的不等式lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a .(1)当a ＝1时,解这个不等式；(2)当a 为何值时,这个不等式的解集为R. 【试题解答】{}73)1(>-<x x x 或 (2)a<121.(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且tan A ＝3cb c 2＋b 2－a 2.(1)求角A 的大小；(2)当a ＝3时,求c 2＋b 2的最大值,并判断此时△ABC 的形状. 【试题解答】 (1)由已知及余弦定理,得sin A cos A ＝3cb 2cb cos A ,sin A ＝32, 因为A 为锐角,所以A ＝60°.(2)由余弦定理得(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝3. ∵bc ≤b 2＋c 22(当且仅当b ＝c 时取等号),∴b 2＋c 2－b 2＋c 22≤3,即b 2＋c 2≤6(当且仅当b ＝c 时等号).故c 2＋b 2的最大值为6,此时△ABC 为等边三角形.22.(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝λ(λ>0),a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *).(1)求λ的值；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n .解:(1)a n ＋1＝S n ＋1－S n ,代入a n ＋1＝2S n ＋1, 得S n ＋1－S n ＝2S n ＋1,整理可得S n ＋1＝(S n ＋1)2, 因为S n >0,所以 S n ＋1－S n ＝1,所以数列{S n }是首项为λ,公差为1的等差数列,所以S n ＝λ＋(n －1)×1＝n ＋λ－1,即S n ＝(n ＋λ－1)2, 当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2λ－3, ∴a n ＋1－a n ＝2,因为数列{a n }为等差数列, 所以a 2－a 1＝2λ＋1－λ＝2,解得λ＝1. (2)由(1)可得,a n ＝2n －1, 所以1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1, 因为T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1,所以T n ＝12×⎝ ⎛ 1－13＋13－15＋15－17＋…＋⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12－14n ＋212+=n n。