2013年南京市中考数学试卷(详细解析版)0

2013年江苏省南京市中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．（2分）的相反数是（）．C6．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=25°，则∠CAD的度数为（）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．（2分）计算•（x≥0，y≥0）的结果是_________．8．（2分）计算2﹣1+（）0的结果是_________．9．（2分）甲、乙两名射击运动员在某场测试中各射击10次，两人的测试成绩如下：甲7 7 8 8 8 9 9 9 10 10乙7 7 7 8 8 9 9 10 10 10这两人10次射击命中的环数的平均数甲=乙=8.5，则测试成绩比较稳定的是_________．（填“甲”或“乙”）10．（2分）如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=_________度．11．（2分）顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是_________形．12．（2分）如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，若点D的坐标是（3，4），则点B的坐标是_________．13．（2分）如图，在三角形纸片ABC中，AC=BC．把△ABC沿着AC翻折，点B落在点D处，连接BD，如果∠BAD=80°，则∠CBD的度数为_________°．14．（2分）已知圆锥的高是30cm，母线长是50cm，则圆锥的侧面积是_________cm2．15．（2分）已知平面直角坐标系中两点A（﹣2，3），B（﹣3，1），连接AB，平移线段AB得到线段A1B1，若点A的对应点A1的坐标为（3，4），则点B1的坐标为_________．16．（2分）表1给出了正比例函数y1=kx的图象上部分点的坐标，表2给出了反比例函数y2=的图象上部分点的坐标．则当y1=y2时，x的值为_________．表212小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）求不等式组的解集．18．（6分）计算÷（﹣）．19．（6分）如图，炮台B在炮台A的正东方向1678m处．两炮台同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与炮台B的距离．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839）20．（6分）已知二次函数的关系式为y=x2+6x+8．（1）求这个二次函数图象的顶点坐标；（2）当x的取值范围是_________时，y随x的增大而减小．21．（7分）求知中学全体学生900人参加社会实践活动，从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，结合图中所给信息解答下列问题：22．（7分）小明的书包里只放了A4大小的试卷共5页，其中语文3页、数学2页．若随机地从书包中抽出2页，求抽出的试卷恰好都是数学试卷的概率．23．（7分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD是对角线．过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断四边形ACED的形状并证明；（2）若AC=DB，求证：梯形ABCD是等腰梯形．24．（7分）根据一家文具店的账目记录，某天卖出15个笔袋和5支钢笔，收入225元；另一天，以同样的价格卖出同样的3个笔袋和6支钢笔，收入285元．这个记录是否有误？请用二元一次方程组的知识说明．25．（8分）如图，某矩形相框长26cm，宽20cm，其四周相框边（图中阴影部分）的宽度相同，都是xcm，相框内部的面积（指图中较小矩形的面积）为ycm2．（1）写出y与x的函数关系式；（2）若相框内部的面积为280cm2，求相框边的宽度．26．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D．（1）判断直线CA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．27．（8分）（1）在遇到问题：“钟面上，如果把时针与分针看作是同一平面内的两条线段，在2：00～2：15之间，时针与分针重合的时刻是多少？”时，小明尝试运用建立函数关系的方法：①恰当选取变量x和y．小明设2点钟之后经过x min（0≤x≤15），时针、分针分别与竖轴线（即经过表示“12”和“6”的点的直线，如图1）所成的角的度数为y1°、y2°；②确定函数关系．由于时针、分针在单位时间内转动的角度不变，因此既可以直接写出y1、y2关于x的函数关系式，也可以画出它们的图象．小明选择了后者，画出了图2；③根据题目的要求，利用函数求解．本题中小明认为求出两个图象交点的横坐标就可以解决问题．请你按照小明的思路解决这个问题．（2）请运用建立函数关系的方法解决问题：钟面上，如果把时针与分针看作是同一平面内的两条线段，在7：30～8：00之间，时针与分针互相垂直的时刻是多少？28．（12分）如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．（1）若图1中，∠A=∠B=∠DEC=50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；（2）①如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明．）②对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，判断AE 与BE的数量关系并说明理由．2013年江苏省南京市中考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．（2分）的相反数是（）．C的相反数是﹣，添加一个负号即可．4．（2分）如图，已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上某个点成中心对称，则点B的对称点是（）5．（2分）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（）6．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=25°，则∠CAD的度数为（）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．（2分）计算•（x≥0，y≥0）的结果是6x．进行运算，然后化为最简二次根式即可．=6x．8．（2分）计算2﹣1+（）0的结果是．故答案为：9．（2分）甲、乙两名射击运动员在某场测试中各射击10次，两人的测试成绩如下：甲7 7 8 8 8 9 9 9 10 10乙7 7 7 8 8 9 9 10 10 10这两人10次射击命中的环数的平均数甲=乙=8.5，则测试成绩比较稳定的是甲．（填“甲”或“乙”）甲10．（2分）（2008•安徽）如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=70度．11．（2分）顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是菱形．AC ACEF=HG=BD12．（2分）如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，若点D的坐标是（3，4），则点B的坐标是（﹣1，0）．13．（2分）如图，在三角形纸片ABC中，AC=BC．把△ABC沿着AC翻折，点B落在点D处，连接BD，如果∠BAD=80°，则∠CBD的度数为10°．14．（2分）已知圆锥的高是30cm，母线长是50cm，则圆锥的侧面积是2000πcm2．15．（2分）已知平面直角坐标系中两点A（﹣2，3），B（﹣3，1），连接AB，平移线段AB得到线段A1B1，若点A的对应点A1的坐标为（3，4），则点B1的坐标为（2，2）．16．（2分）表1给出了正比例函数y1=kx的图象上部分点的坐标，表2给出了反比例函数y2=的图象上部分点的坐标．则当y1=y2时，x的值为1，﹣1．上，，﹣17．（6分）求不等式组的解集．，18．（6分）计算÷（﹣）．（）÷•（﹣）19．（6分）如图，炮台B在炮台A的正东方向1678m处．两炮台同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与炮台B的距离．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839）ACB=ACB=，20．（6分）已知二次函数的关系式为y=x2+6x+8．（1）求这个二次函数图象的顶点坐标；（2）当x的取值范围是x＜﹣3时，y随x的增大而减小．21．（7分）光明中学全体学生900人参加社会实践活动，从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，结合图中所给信息解答下列问题：人的社会实践活动成绩的平均数是：22．（7分）小明的书包里只放了A4大小的试卷共5页，其中语文3页、数学2页．若随机地从书包中抽出2页，求抽出的试卷恰好都是数学试卷的概率．=页试卷都是数学试卷的概率为．P=23．（7分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD是对角线．过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断四边形ACED的形状并证明；（2）若AC=DB，求证：梯形ABCD是等腰梯形．24．（7分）根据一家文具店的账目记录，某天卖出15个笔袋和5支钢笔，收入225元；另一天，以同样的价格卖出同样的3个笔袋和6支钢笔，收入285元．这个记录是否有误？请用二元一次方程组的知识说明．，不符合实际情况．25．（8分）如图，某矩形相框长26cm，宽20cm，其四周相框边（图中阴影部分）的宽度相同，都是xcm，相框内部的面积（指图中较小矩形的面积）为ycm2．（1）写出y与x的函数关系式；（2）若相框内部的面积为280cm2，求相框边的宽度．26．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D．（1）判断直线CA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．AB=2，•=2=﹣27．（8分）（1）在遇到问题：“钟面上，如果把时针与分针看作是同一平面内的两条线段，在2：00～2：15之间，时针与分针重合的时刻是多少？”时，小明尝试运用建立函数关系的方法：①恰当选取变量x和y．小明设2点钟之后经过x min（0≤x≤15），时针、分针分别与竖轴线（即经过表示“12”和“6”的点的直线，如图1）所成的角的度数为y1°、y2°；②确定函数关系．由于时针、分针在单位时间内转动的角度不变，因此既可以直接写出y1、y2关于x的函数关系式，也可以画出它们的图象．小明选择了后者，画出了图2；③根据题目的要求，利用函数求解．本题中小明认为求出两个图象交点的横坐标就可以解决问题．请你按照小明的思路解决这个问题．（2）请运用建立函数关系的方法解决问题：钟面上，如果把时针与分针看作是同一平面内的两条线段，在7：30～8：00之间，时针与分针互相垂直的时刻是多少？=60+xx=6x．．=135+x=6xx=．28．（12分）如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．（1）若图1中，∠A=∠B=∠DEC=50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；（2）①如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明．）②对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，判断AE 与BE的数量关系并说明理由．=，．可得= BE=DE BE=CE CEDEBE BE参与本试卷答题和审题的老师有：bjy；ZJX；zjx111；fuaisu；wdxwwzy；thx；疯跑的蜗牛；lanchong；CJX；mengcl；yangwy；lk；gbl210；sd2011；workholic；sjzx；智波；zhehe；liume。

某某省某某市白下区2013年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（2分）（2013•白下区一模）如果a与﹣3互为相反数，那么a等于（）A．3B．﹣3 C．D．考点：相反数．分析：根据相反数的性质进行解答．解答：解：由题意，得：a+（﹣3）=0，解得a=3．故选A．点评：主要考查相反数的性质：互为相反数的两个数相加等于0．2．（2分）（2013•白下区一模）2013年元宵节正值周末，观灯人数也创下历史新高．据统计，当天有520000游客在夫子庙地区观灯闹元宵，将520000用科学记数法表示为（）A．0.52×105B．5.2×104C．5.2×105D．5.2×106考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：520000=5.2×105，故选：C．点此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中评：1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（2分）（2013•白下区一模）下列各式中，计算结果为a6的是（）A．a2+a4B．a8﹣a2C．a2•a3D．a7÷a考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．分析：A、B两项不能合并，错误；C、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；D、利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断．解答：解：A、本选项不能合并，错误；B、本选项不能合并，错误；C、a2•a3=a5，本选项错误；D、a7÷a=a6，本选项正确，故选D点评：此题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，以及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2分）（2013•白下区一模）当x＜0时，函数y=﹣2x的图象在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：正比例函数的性质．分析：根据正比例函数的性质可知函数y=﹣2x的图象在二、四象限，则x＜0时图象在第二象限．解答：解：∵函数y=﹣2x的图象在第二、四象限，∵x＜0，∴此时函数y=﹣2x的图象在第二象限．故选B．点评：此题比较简单，考查的是正比例函数的性质，即k＞0时，函数y=kx的图象在一、三象限；k＜0时，函数y=kx的图象在二、四象限．5．（2分）（2013•白下区一模）如图，在矩形ABCD内，以BC为一边作等边三角形EBC，连接AE、DE．若BC=2，ED=，则AB的长为（）A．2B．2C．+D．2+考点：等边三角形的性质；矩形的性质．专题：计算题．分析：过E作EF垂直于AD，由矩形ABCD的对边平行得到AD与BC平行，进而得到EG垂直于BC，由三角形BEC为等边三角形，利用三线合一得到G为BC中点，求出BG与EB 的长，利用勾股定理求出EG的长，由对称性得到AE=DE，利用三线合一得到F为AD 的中点，由BC=AD=2，求出FD的长，再由DE的长，利用勾股定理求出EF的长，由FG=EF+EG即可求出AB的长．解答：解：过E作EF⊥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴EG⊥BC，∵△BEC为边长2的等边三角形，∴EB=2，BG=1，根据勾股定理得：EG=，由对称性得到△AED 为等腰三角形，即AE=DE ， ∵DE=，FD=AD=1，∴根据勾股定理得：EF=，则AB=FG=FE+EG=+． 故选C点评： 此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，以及矩形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．6．（2分）（2013•白下区一模）把函数y=2x 2﹣4x 的图象先沿x 轴向右平移3个单位长度，再沿y 轴向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数是（ ）A ． y =2（x+3）2﹣4（x+3）﹣2B ． y =2（x ﹣3）2﹣4（x ﹣3）﹣2C ． y =2（x+3）2﹣4（x+3）+2D ． y =2（x ﹣3）2﹣4（x﹣3）+2考点：二次函数图象与几何变换． 分析：按照“左加右减，上加下减”的规律，即可求解． 解答： 解：把函数y=2x 2﹣4x 的图象先沿x 轴向右平移3个单位长度，再沿y 轴向下平移2个单位长度后可得到函数y=2（x ﹣3）2﹣4（x ﹣3）﹣2的图象．故选B ．点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）7．（2分）（2013•白下区一模）分式有意义，则x的取值X 围是x≠1．考点：分式有意义的条件．专题：探究型．分析：先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值X围即可．解答：解：∵分式有意义，∴1﹣x≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．点评：本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不等于0．8．（2分）（2013•白下区一模）计算（+1）（2﹣）=．考点：二次根式的混合运算．分析：根据二次根式的混合运算直接去括号得出，再进行合并同类项即可．解答：解：（+1）（2﹣），=2﹣×+1×2﹣1×，=2﹣2+2﹣，=．故答案为：．点评：此题主要考查了二次根式的混合运算，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并注意认真计算防止出错．9．（2分）（2013•白下区一模）我市市区3个PM2.5监测点连续两天测得的空气污染指数数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）：61，82，80，70，56，91，该组数据的中位数是75 ．考点：中位数．分析：根据中位数的定义求解即可．解答：解：这组数据从小到大排列顺序为：56，61，70，80，82，91，故中位数为：=75．故答案为：75．点评：本题考查了中位数的知识，属于基础题，掌握中位数的定义是解答本题的关键．10．（2分）（2013•白下区一模）一个等腰三角形的两边长分别是2和4，它的周长是10 ．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：分2是腰长与底边两种情况讨论求解．解答：解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2=4，∴不能组成三角形，②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长=2+4+4=10，综上所述，它的周长是10．故答案为：10．点评：本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定．11．（2分）（2013•白下区一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（7，3）．考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质．分析：本题可结合平行四边形的性质，在坐标轴中找出相应点即可．解答：解：因CD∥AB，所以C点纵坐标与D点相同．为3．又因AB=CD=5，故可得C点横坐标为7．故答案为（7，3）．点评：本题考查平行四边形的基本性质结合坐标轴，看清题意即可．12．（2分）（2013•白下区一模）如图，F、G分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，CF=DG，连接DF、EG．将△DFC绕正五边形的中心按逆时针方向旋转到△EGD，旋转角为α（0°＜α＜180°），则∠α=72 °．考点：旋转的性质．分析：根据正五边形的性质得出C，D是对应点，进而利用中心角求法得出答案即可．解答：解：设正五边形ABCDE的中心为O，∵将△DFC绕正五边形的中心按逆时针方向旋转到△EGD，∴C与D是对应点，∴旋转角α为：=72°．故答案为：72．点评：此题主要考查了正五边形的性质以及图形的旋转变换，根据正五边形性质得出是解题关键．13．（2分）（2013•白下区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BA=BC，CA=CD．若BC=10cm，CD=6cm，则AD= 3.6 cm．考梯形；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．分析：由在梯形ABCD中，AD∥BC，BA=BC，CA=CD，易证得△BAC∽△CAD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．解答：解：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵BA=BC，CA=CD，∴∠BAC=∠BCA，∠CAD=∠CDA，∴∠BAC=∠BCA=∠CDA=∠CAD，∴△BAC∽△CAD，∴BC：CD=AC：AD，∵BC=10cm，CD=6cm，∴AC：AD=10：6=5：3，∵AC=CD=6cm，∴AD=3.6cm．故答案为：3.6．点评：此题考查了梯形的性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．14．（2分）（2013•白下区一模）在如图所示的正方形网格中，A、B、C都是小正方形的顶点，经过点A作射线CD，则sin∠DAB的值等于．考点：勾股定理；三角形的面积；锐角三角函数的定义．专网格型．分析：先根据矩形的性质得出射线CD过点H，再根据勾股定理求出AB，BH及AH的长，判断出△ABH的形状，由锐角三角函数的定义即可得出结论．解答：解：连接BH，∵点A是矩形ECGH的中心，∴射线CD过点H，∴AB2=32+12=10；BH2=22+12=5；AH2=12+22=5，AB2=BH2+AH2，∴△ABH是等腰直角三角形，∴sin∠DAB=sin45°=．故答案为：．点评：本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，先根据题意判断出△ABH的形状是解答此题的关键．15．（2分）（2013•白下区一模）课本上，公式（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2是由公式（a+b）2=a2+2ab+b2推导得出的，该推导过程的第一步是：（a﹣b）2= [a+（﹣b）]2．考点：完全平方公式．专题：计算题．分析：在完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2推中用（﹣b）代替公式中的字母b即可．解答：解：（a+b）2=[a+（﹣b）]2=a2+2a（﹣b）+（﹣b）2．故答案为[a+（﹣b）]2．点评：本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．16．（2分）（2013•白下区一模）“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”揭示了三角形的一个外角与它的两个内角之间的数量关系，请探索并写出三角形没有公共顶点的两个外角与它的一个内角之间的数量关系：三角形没有公共顶点的两个外角之和等于与它们都不相邻的一个内角加上180°．考点：三角形的外角性质．分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式，再根据三角形的内角和定理整理即可得解．解答：解：如图，根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠ACB，∠2=∠A+∠ABC，∴∠1+∠2=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，根据三角形内角和定理，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠1+∠2=∠A+180°，∴三角形没有公共顶点的两个外角之和等于与它们都不相邻的一个内角加上180°．故答案为：三角形没有公共顶点的两个外角之和等于与它们都不相邻的一个内角加上180°．点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键是解题的关键，作出图形更形象直观．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）（2013•某某）解方程：x2﹣4x+1=0．考点：解一元二次方程-配方法．专题：计算题．分析：移项后配方得到x 2﹣4x+4=﹣1+4，推出（x﹣2）2=3，开方得出方程x﹣2=±，求出方程的解即可．解答：解：移项得：x2﹣4x=﹣1，配方得：x2﹣4x+4=﹣1+4，即（x﹣2）2=3，开方得：x﹣2=±，∴原方程的解是：x1=2+，x2=2﹣．点评：本题考查了用配方法解一元二次方程、解一元一次方程的应用，关键是配方得出（x ﹣2）2=3，题目比较好，难度适中．18．（6分）（2013•白下区一模）解不等式组：，并写出不等式组的整数解．考点：解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．专题：计算题．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x 的整数解即可．解答：解：，由①得，x≤4，由②得，x＞﹣．故原不等式组的解集为：﹣＜x≤4，其整数解为：0、1、2、3、4．故答案为：0、1、2、3、4．点评：本题考查的是求一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式组解集的方法是解答此题的关键．19．（6分）（2013•白下区一模）计算（﹣）÷．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：根据分式混合运算的法则进行计算即可．解答：解：（﹣）÷=[﹣]÷=•=．点评：本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题问题时要注意通分及约分的灵活应用．20．（8分）（2013•白下区一模）为迎接建党90周年，某校组织了以“党在我心中”为主题的电子小报制作比赛，评分结果只有60，70，80，90，100五种．现从中随机抽取部分作品，对其份数及成绩进行整理，制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）求本次抽取了多少份作品，并补全两幅统计图；（2）已知该校收到参赛作品共900份，请估计该校学生比赛成绩达到90分以上（含90分）的作品有多少份？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．专题：图表型．分析：（1）结合条形统计图和扇形统计图，用100分的份数除以它所占的百分比可得本次抽取的作品总份数，再分别求出80分的份数及所占的百分比和60分所占的百分比，补全两幅统计图．（2）运用样本估计总体的方法可知，900份作品成绩达到90分以上（含90分）的作品=900×（30%+10%）．解答：解：（1）12÷10%=120（份），即本次抽取了120份作品．80分的份数=120﹣6﹣24﹣36﹣12=42（份），它所占的百分比=42÷120=35%．60分的作品所占的百分比=6÷120=5%；（2）900×（30%+10%）=900×40%=360（份）答：该校学生比赛成绩达到90分以上（含90分）的作品有360份．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．（8分）（2013•白下区一模）（1）如图，已知直线AB和直线外一点C．利用尺规，按下面的方法作图：①取一点P，使点P与点C在直线AB的异侧．以C为圆心，CP的长为半径画弧，与直线AB 交于点D、E；②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F（点F与点C在直线AB的异侧）；③过C、F两点作直线．（2）判断（1）中直线CF与直线AB的位置关系，并说明理由．考点：作图—复杂作图．分析：（1）根据作图方法作图即可；（2）首先连接CD、CE、FD、FE．根据两点确定一条直线可得CF是线段DE的垂直平分线．解答：解：（1）如图所示；（2）CF⊥AB．理由如下：连接CD、CE、FD、FE．由作图知CD=CE，FD=FE．方法一：∵CD=CE，FD=FE，∴点C、F都在线段DE的垂直平分线上．所以CF是线段DE的垂直平分线，即CF⊥AB．方法二：∵在△CDF和△CEF中，∴△CDF≌△CEF（SSS）．∴∠DCF=∠ECF．∵CD=CE，∴CF⊥AB．点评：此题主要考查了基本作图，关键是掌握到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．22．（8分）（2013•白下区一模）在歌唱比赛中，一位歌手分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成3等份）一次，根据指针指向的歌曲名演唱两首曲目．（1）转动转盘①时，该转盘指针指向歌曲“3”的概率是；（2）若允许该歌手替换他最不擅长的歌曲“3”，即指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，求他演唱歌曲“1”和“4”的概率．考点：列表法与树状图法．分析：（1）根据转动转盘①一共有3种可能，即可得出转盘指针指向歌曲“3”的概率；（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单，解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题为放回实验．列举出所有情况，求出即可．解答：解：（1）∵转动转盘①一共有3种可能，∴转盘指针指向歌曲“3”的概率是：；故答案为：；（2）分别转动两个转盘一次，列表：（画树状图也可以）BA4 5 61 1，4 1，5 1，62 2，4 2，5 2，63 3，4 3，5 3，6共有9种，它们出现的可能性相同．由于指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，所以所有的结果中，该歌手演唱歌曲“1”和“4”（记为事件A）的结果有2种，所以P（A）=．（说明：通过枚举、画树状图或列表得出全部正确情况得（4分）；没有说明等可能性扣（1分）．）点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．23．（8分）（2013•白下区一模）如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH 的面积．考点：菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；中点四边形．分析：（1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH的四边相等，即可证得；（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE的长，则正方形的面积可以求得．解答：（1）证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，∴FG=CD，HE=CD，FH=AB，GE=AB．∵AB=CD，∴FG=FH=HE=EG．∴四边形EGFH是菱形．（2）解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，∴GF∥DC，HF∥AB．∴∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC．∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°．∴∠GFH=90°．∴菱形EGFH是正方形．∵AB=1，∴EG=AB=．∴正方形EGFH的面积=（）2=．点评：本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定以及正方形的判定，理解三角形的中位线定理是关键．24．（8分）（2013•白下区一模）点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，∠DBA=∠C．（1）请判断BD所在的直线与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD=AO=1，求图中阴影部分的面积（结果保留根号）．考点：切线的判定；扇形面积的计算．专题：计算题．分析：（1）BD所在的直线与圆O相切，理由为：连接OB，由CA为圆O的直径，利用直角所对的圆周角为直角，得到∠ABC=90°，再由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠DBA=∠C，得到∠DBA+∠OBA=∠OBC+∠OBA=∠ABC=90°，即BD垂直于半径OB，可得出BD 所在的直线为圆O的切线；（2）由BD为圆O的切线，得到三角形BDO为直角三角形，根据OB及OD的长，利用勾股定理求出BD 的长，进而由直角边BD与BO乘积的一半求出直角三角形BDO的面积，再由BO为DO的一半求出∠D=30°，进而得出∠AOB=60°，利用扇形的面积公式求出扇形AOB的面积，由直角三角形BDO的面积﹣扇形AOB的面积，即可求出阴影部分的面积．解答：（1）BD所在的直线与⊙O相切，理由如下：证明：连接OB，∵CA是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠C，∵∠DBA=∠C，∴∠DBA+∠OBA=∠OBC+∠OBA=∠ABC=90°，∴OB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD所在的直线与⊙O相切；（2）解：∵∠DBO=90°，AD=OA=OB，∴DO=2BO，∴∠D=30°，∴∠AOB=60°，∵S扇==，S△OBD=OB•BD=×1×=，∴S阴=S△OBD﹣S扇=﹣．点评：此题考查了切线的判定，等腰三角形的判定与性质，扇形的面积求法，含30°直角三角形的性质与判定，利用了转化及等量代换的思想，其中切线的判定方法有两种：有点连接证明垂直；无点作垂线证明垂线段等于半径．25．（8分）（2013•白下区一模）某批发商以每件50元的价格购进500件T恤．若以单价70元销售，预计可售出200件．批发商的销售策略是：第一个月为增加销售量，降价销售，经过市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价高于购进的价格；第一个月结束后，将剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．（1）按照批发商的销售策略，销售完这批T恤可能亏本吗？请建立函数关系进行说明；（2）从增加销售量的角度看，第一个月批发商降价多少元时，销售完这批T恤获得的利润为1000元？考点：二次函数的应用．分析：（1）根据题意直接用含x的代数式表示出销量以及每件利润即可得出答案；（2）利用“获利1000元”，即销售额﹣进价=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍．解答：解：（1）解法一：设第一个月单价降低x元，批发商销售完这批T恤获得的总利润为y元．根据题意，得y=（70﹣50﹣x）（200+10x）+（40﹣50）×[500﹣（200+10x）]=﹣10x2+100x+1000．批发商销售这批T恤可能亏本，理由如下：（答案不唯一，以下方法供参考）方法一：当x=17（或18或19）时，y＜0．方法二：当y=0时，x=5+5（负根舍去）．又因为当5+5＜x＜20时，y随x的增大而减小，所以当x=17或18或19时，y＜0．解法二：设第一个月单价降低x元，当月出售T恤获得的利润为y1元，清仓剩余T恤获得的利润为y2元．根据题意，得y1=（70﹣50﹣x）（200+10x）=﹣10x2+4000，y2=（40﹣50）×[500﹣（200+10x）]=100x﹣3000．批发商销售这批T恤可能亏本，理由如下：（答案不唯一，以下方法供参考）方法一：当x=17（或18或19）时，y1+y2＜0．方法二：当y 1+y2=0时，x=5+5（负根舍去）．又因为当5+5＜x＜20时，y1+y2随x的增大而减小，所以当x=17或18或19时，y1+y2＜0．（2）设第一个月单价降低x元时，销售完这批T恤获得的利润为1000元．根据题意得﹣10x2+100x+1000=1000．解这个方程，得x1=0，x2=10．从增加销售量的角度看，取x=10．答：第一个月单价降低10元时，销售完这批T恤获得的利润为1000元．点评：此题主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：利润=售价﹣进价．26．（10分）（2013•白下区一模）问题：如图，要在一个矩形木板ABCD上切割、拼接出一个圆形桌面，可在该木板上切割出半径相等的半圆形O1和半圆形O2，其中O1、O2分别是AD、BC上的点，半圆O1分别与AB、BD 相切，半圆O2分别与CD、BD相切．若AB=am，BC=bm，求最终拼接成的圆形桌面的半径（用含a、b的代数式表示）．（1）请解决该问题；（2）①下面方框中是小明简要的解答过程：解得x=．所以最终拼接成的圆形桌面的半径为m．老师说：“小明的解答是错误的！”请指出小明错误的原因．②要使①中小明解得的答案是正确的，a 、b需要满足什么数量关系？考点：圆的综合题．分析：（1）设半圆O2与BD 的切点为E，连接O2E，则O2E⊥BD，根据∠C=90°，得出O2E=O2C，DC=DE=a，最后根据O2B2=BE2+O2E2，得出（b﹣EO2）2=（﹣a）2+O2E2，求出EO2即可，（2）①小明的错误是“O1O2=2x”，②要使小明解得的答案是正确的，就要半圆O1与半圆O2外切即可解答：解：（1）如图，设半圆O2与BD 的切点为E，连接O2E，则O2E⊥BD，∵半圆O2与CD 相切，且∠C=90°，∴O2E=O2C，DC=DE=a．在Rt△BEO2中，O2B2=BE2+O2E2，∴（b﹣EO2）2=（﹣a）2+O 2E2，解得EO2=，∴最终拼接成的圆形桌面的半径为=m；（2）①小明的错误是半圆O1与半圆O2不能保证外切，即“O1O2=2x”是错误的，②要使小明解得的答案是正确的，就要半圆O1与半圆O2外切．此时半圆O1与BD 的切点、半圆O2与BD的切点以及O1O2与BD 的交点重合．所以﹣a=a，解得b=a．点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是切线长定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是综合应用有关性质列出关于半径的方程．27．（12分）（2013•白下区一模）实际情境王老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，王老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是5km/h，摩托车的速度是45km/h．方案预设（1）预设方案1：王老师将乙送到车站后，回去接甲，再将甲送到车站．图①中折线A﹣B ﹣C﹣D、线段AC分别表示王老师、甲在上述过程中，离车站的路程y（km）与王老师所用时间x（h）之间的函数关系．①学校与车站的距离为15 km；②求出点C的坐标，并说明它的实际意义；（2）预设方案2：王老师骑摩托车行驶ah后，将乙放下，让乙步行去车站，与此同时，王老师回去接甲并将甲送到车站，王老师骑摩托车一共行驶h．图②中折线A﹣B﹣C﹣D、线段AC、线段BE分别表示王老师、甲、乙在上述过程中，离车站的路程y（km）与王老师所用时间x（h）之间的函数关系．求a的值．优化方案（3）请设计一种方案，使甲、乙两位学生在出发50min内（不含50min）全部到达车站．（要求：1．不需用文字写出方案，在图③中画出图象即可；2．写出你所画的图象中y与x 的含义；3．不需算出甲、乙两位学生到达车站的具体时间！）考点：一次函数的应用．分析：（1）①由函数图象可以得出学校与车站的距离为15km；②设王老师把乙送到车站后，再经过mh与甲相遇．关键条件建立方程求出其解就可以得出结论；（2）设王老师把乙放下后，再经过nh与甲相遇．将n用含a的代数式表示出来，根据相遇时乙离车站的距离=老师从车站返回时行驶的距离建立方程就可以求出结论．（3）如图，先将甲同学送到B处，再返回接乙同学，这时甲同学步行前往车站，只要满足王老师一共行驶的时间少于50分钟即可．解答：解：（1）预设方案1：①由函图象，得学校与车站的距离：15；②设王老师把乙送到车站后，再经过mh与甲相遇．（45+5）m=15﹣5×，解得：m=．∵老师行驶的时间为：+=，老师与甲相遇时甲离车站的路程为：15﹣5×=12，∴C（，12）．表示的意义为老师走小时时将乙送往车站并回来与甲相遇时离车站12千米；（2）预设方案2：设王老师把乙放下后，再经过nh与甲相遇．（45+5）n=45a﹣5a．解得n=a．（7分）由于王老师骑摩托车一共行驶h，可得方程：15﹣5（a+a）=45×[﹣（a+a）]，解得：a=．（3）本题答案不唯一，以下方法供参考．图中折线A﹣B﹣C﹣D、线段AC、线段BE分别表示王老师、甲、乙离车站的路程y （km）与王老师所用时间x（h）之间的函数图象．点本题是一道关于行程问题的函数试题，考查根据函数图象建立一元一次方程求解的评：运用，方案设计的运用，结论开放性试题的运用，解答时理解函数图象的意义是关键．。

2013南京中考数学试卷分析
一、真题试卷概述：
综合南京市中考试卷可知，南京市中考试题主题方向没有变化，主要围绕“认识概念”、“理解概念”、“运用知识”、“解决问题”四个方面展开。
二、考点分析及分值比例
一级
考点
二级
考点
三级
考点
题型（
题号）
分值
比例
数与式
有理数
有理数的混合运算
选择题1
2
1.67%
相反数、倒数
填空题7
2
1.67%
科学计数法
填空题10
2
1.67%
无理数与实数
无理数定义、大小估计及算术平方根
选择题3
2
1.67%
代数式
数字的简便计算
填空题16
2
1.67%
整式
幂的乘方负指数幂
同底数幂
选择题2
2
1.67%
乘法公式与面积计算
填空题14
2
1.67%
分式
分式有意义的条件
填空题9
2
1.67%
分式化简混合运算
解答题26
9
7.50%
图形的性质
图形认识初步
几何体的表面展开图
选择题6
2
1.67%
四边形
矩形的性质
填空题11
2
1.67%
菱形的性质
填空题12
2
1.67%
正方形的判定
解答题19
8
6.67%
多边形
正多边形性质及内角和
填空题13
2
1.67%
圆
圆与圆的位置关系
选择题421.67% Nhomakorabea切线的判定

南京市2013年初中毕业学业考试数 学注意事项：1.本试卷共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟.考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效.2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合.再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写再答题卡及本试卷上.3.答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置.在其他位置答题一律无效.4.作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每个小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的.请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. （2013江苏南京，1，2分）计算12－7×（－4）＋8÷（－2）的结果是 A.－24 B.－20 C.6 D. 36 【答案】D .2. （2013江苏南京，2，2分）计算a 3·21⎪⎭⎫⎝⎛a 的结果是A.aB.a 5C. a 6D. a 9 【答案】A .3. （2013江苏南京，3，2分）设边长为3的正方形的对角线长为a ，下列关于a 的四种说法：①a 是无理数；②a 可以用数轴上的一个点来表示；③3＜a ＜4；④a 是18的算术平方根.其中，所有正确说法的序号是 A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C .4. （2013江苏南京，4，2分）如图，⊙O 1、⊙O 2的圆心O 1、O 2在直线l 上，⊙O 1的半径为2cm ，⊙O 2的半径为3cm ，O 1O 2＝8cm. ⊙O 1以1cm/s 的速度沿直线l 向右运动，7s 后停止运动，在此过程中，⊙O 1与⊙O 2没有出现的位置关系是 A. 外切 B.相交 C.内切 D. 内含【答案】D .5. （2013江苏南京，5，2分）在同一直角坐标系中，若正比例函数y ＝k 1x 的图象与反比例函数y ＝xk 2的图象没有公共点，则 A. k 1＋k 2＜0 B. k 1＋k 2＞0 C. k 1k 2＜0 D. k 1k 2＞0 【答案】C .6. （2013江苏南京，6，2分）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色.下列图形中，是该几何体的表面展开图的是A B C D【答案】B.二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程.请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7.（2013江苏南京，7，2分）－3的相反数是_________；－3的倒数是___________.【答案】3；－31.8.（2013江苏南京，8，2分）计算2123-的结果是___________.【答案】2.9.（2013江苏南京，9，2分）使式子1＋11-x有意义的x的取值范围是________.【答案】x≠1.10.（2013江苏南京，10，2分）第二届亚洲青年运动会将于2013年8月16日至24日在南京举办，在此期间约有13000名青少年志愿者提供服务.将13000用科学记数法表示为_________.【答案】1.3×104.11.（2013江苏南京，11，2分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）.若∠1＝110°，则∠α＝________°.【答案】20.12.（2013江苏南京，12，2分）如图，将菱形纸片ABCD折叠.使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°，则EF＝______cm.第6题ABCDB′C′D′（第11题）1【答案】3.13. （2013江苏南京，13，2分）△OAB 是以正多边形相邻的两个顶点A 、B 与它的中心O 为顶点的三角形，若△OAB 的一个内角为70°，则该正多边形的边数为_________. 【答案】9.14. （2013江苏南京，14，2分）已知如图所示的图形的面积为24.根据图中的条件，可列出方程：______________.【答案】答案不唯一，如（x ＋1）2＝25.15. （2013江苏南京，15，2分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，AC 与BD 相交于点P .已知A （2，3），B （1，1），D （4，3）.则点P 的坐标为______________.【答案】（3，37）. 16. （2013江苏南京，16，2分）计算⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛----6151413121514131211－⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-----5141312161514131211的结果为__________. 【答案】61. 三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （2013江苏南京，17，6分）化简b a a b a b b a +÷⎪⎭⎫⎝⎛---221. （第15题）ABDEFO （第12题）(第14题)【答案】解：b a a b a b b a +÷⎪⎭⎫⎝⎛---221＝()aba b a b a bb a +∙-+-+))((＝aba b a b a a +∙-+))(( ＝ba -1.……………………………………………………6分 18. （2013江苏南京，18，6分）解方程xx x --=-21122. 【答案】解：方程两边同乘（x －2），得2x ＝x －2＋1.解这个方程，得x ＝－1.检验：x ＝－1时x －2≠0，x ＝－1是原方程的解. ………………………………6分19. （2013江苏南京，19，8分）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，对角线BD 平分∠ABC ，P 是BD 上一点，过点P 作PM ⊥AD ，PN ⊥CD .垂足分别为M 、N . （1）求证：∠ADB ＝∠CDB ； （2）若∠ADC ＝90°，求证：四边形MPND 是正方形.【答案】证明：（1）∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD . 又∵BA ＝BC ，BD ＝BD ， ∴△ABD ≌△CBD . ∴∠ADB ＝∠CDB . ………………………………4分（2）∵PM ⊥AD ，PN ⊥CD ， ∴∠PMD ＝∠PND ＝90° 又∵∠ADC ＝90°， ∴四边形MPND 是矩形. ∵∠ADB ＝∠CDB ，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ， ∴PM ＝PN . ∴四边形MPND 是正方形. ………………………………8分 20. （2013江苏南京，20，8分）（1）一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球除颜色外都相同.求下列事件的概率：①搅匀后从中任意摸出一个球，恰好是红球；②搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球； （2）某次考试共有6道选择题，每道题所给的4个选项中，恰有一项是正确的.如果小明从每道题的4个选项中随机地选择1个，那么他6道选择题全部选择正确的概率是（ ）ABCD PMN（第19题）A.41B.641⎪⎭⎫ ⎝⎛ C.1－641⎪⎭⎫ ⎝⎛D. 1－643⎪⎭⎫ ⎝⎛【答案】（1）解：①搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果有：红、黄、蓝、白，共有4种，它们出现的可能性相同.所有的结果中，满足“恰好是红球”（记为事件A ）的结果只有一种，所以P （A ）＝41. ②搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀.再从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果有：（红，红）、（红，黄）、（红，蓝）、(红，白)、（黄，红）、（黄，黄）、（黄，蓝）、（黄，白）、（蓝，红）、（蓝，黄）、（蓝，蓝）、（蓝，白）、（白，红）、（白，黄）、（白，蓝）、（白，白）.共有16种，它们出现的可能性相同.所有的结果中，满足“两次都是红球”（记为事件B ）的结果只有1种，所以P （B ）＝161.…………………6分 （2）B …………………8分21. （2013江苏南京，21，9分）某校有2000名学生.为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随机抽取了150名学生进行抽样调查.整理样本数据，得到下列图表：某校150名学生上学方式扇形统计图理由；（2）根据抽样调查的结果，将估计出的全校2000名学生上学方式的情况绘制成条形统计图：（3）该校数学兴趣小组结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议.如：骑车上学的学生数约占全校的34％，建议学校合理安排自行车停车场地.请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议：___________. 【答案】（1）不合理.因为如果150名学生全部在同一个年级抽取，那么全校每个学生被抽到的机会不相等，样本不具有代表性. …………………2分 （2）人数 0某校2000名学生上学方式条形统计图共交通工具乘私家车其它 上学方式骑车34％乘公共 交通工具 30％乘私家车20％ 步行 10％ 其它 6％…………………………………………………………………………7分 （3）本答案不惟一，下列解法供参考.乘私家车上学的学生约400人，建议学校与交通部门协商安排停车区域. …………………………………………………………………………9分22. （2013江苏南京，22，8分）已知不等臂跷跷板AB 长4m.如图①，当AB 的一端A 碰到地面时，AB 与地面的夹角为α；如图②，当AB 的另一端B 碰到地面时，AB 与地面的夹角为β.求跷跷板AB 的支撑点O 到地面的高度OH .（用含α、β的式子表示）【答案】解：在Rt △AHO 中，sinα＝OAOH ，∴OA ＝αsin OH.在Rt △BHO 中，sinβ＝OB OH ，∴OB ＝βsin OH. ∵AB ＝4，∴OA ＋OB ＝4.即αsin OH ＋βsin OH＝4 ∴OH ＝βαβαsin sin sin sin 4+（m ）…………………………………………………………………………8分23. （2013江苏南京，23，8分）某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额：OAH B①αO AH B②β （第22题）人数某校2000名学生上学方式条形统计图共交通工具乘私家车其它 上学方式注：.根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如，若购买标价为400元的商品.则消费金额为320元，获得的优惠额为400×（1－80％）＋30＝110（元）.（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？（2）如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？【答案】解：（1）购买一件标价为1000元的商品，消费金额为800元，顾客获得的优惠额为1000×（1－80％）＋150＝350（元）…………………………………2分 （2）设该商品的标价为x 元. 当80％x ≤500，即x ≤625时， 顾客获得的优惠额不超过625×（1－80％）＋60＝185＜226； 当500＜80％x ≤600，即625＜x ≤750时， （1－80％）x ＋100≥226.解得x ≥630. 所以630≤x ≤750.当600＜80％x ≤800×80％，即750＜x ≤800时， 顾客获得的优惠额大于750×（1－80％）＋130＝280＞226.综上，顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为630元. …………………………………8分24. （2013江苏南京，24，8分）小丽驾车从甲地到乙地.设她出发第x min 时的速度为y km/h ，图中的折线表示她在整个驾车过程中y 与x 之间的函数关系. （1）小丽驾车的最高速度是_______km/h ；（2）当20≤x ≤30时，求y 与x 之间的函数关系式，并求出小丽出发第22min 时的速度； （3）如果汽车每行驶100km 耗油10L ，那么小丽驾车从甲地到乙地共耗油多少升？【答案】解：（1）60；…………………………………1分（2）当20≤x ≤30时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b . 根据题意，当x ＝20时，y ＝60；当x ＝30时，y ＝24.所以⎩⎨⎧+=+=b k b k 30242060解得⎩⎨⎧=-=1326.3b k所以y 与x 之间的函数关系式为y＝－3.6x ＋132 当x ＝22时，y ＝－3.6×22＋132＝52.8.（第24题） y （km/h ）所以，小丽出发第22min 时的速度为52.8km/h.…………………………………5分 （3）小丽驾车从甲地到乙地行驶的路程为605204860104860524824601022460601060605260126052120⨯++⨯+⨯++⨯++⨯+⨯++⨯+＝33.5（km ）.所以，小丽驾车从甲地到乙地共耗油33.5×10010＝3.35（L ）. ………………8分 25. （2013江苏南京，25，8分）如图，AD 是⊙O 的切线，切点为A ，AB 是⊙O 的弦.过点B 作BC ∥AD ，交⊙O 于点C ，连接AC ，过点C 作CD ∥AB ，交AD 于点D .连接AO 并延长交BC 于点M ，交过点C 的直线于点P ，且∠BCP ＝∠ACD .（1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若AB ＝9，BC ＝6，求PC 的长.【答案】解法一：（1）直线PC 与⊙O 相切.如图①，连接CO 并延长，交⊙O 于点N ，连接BN . ∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD . ∵∠BAC ＝∠BNC ， ∴∠BNC ＝∠ACD . ∵∠BCP ＝∠ACD ， ∴∠BNC ＝∠BCP . ∵CN 是⊙O 的直径， ∴∠CBN ＝90. ∴∠BNC ＋∠BCN ＝90°. ∴∠BCP ＋∠BCN ＝90°. ∴∠PCO ＝90°，即PC ⊥OC .…………………………………4分 （2）∵AD 是⊙O 的切线，∴AD ⊥OA ，即∠OAD ＝90°. ∵BC ∥AD ，∴∠OMC ＝180－∠OAD ＝90°，即OM ⊥BC . ∴MC ＝MB . ∴AB ＝AC .在Rt △AMC 中，∠AMC ＝90°，AC ＝AB ＝9，MC ＝21BC ＝3. 由勾股定理，得AM ＝26392222=-=-MC AC .设⊙O 的半径为r ，在Rt △OMC 中，∠OMC ＝90°，OM ＝AM －OA ＝62－r .MC ＝3，OC ＝r . 由勾股定理，得OM 2＋MC 2＝OC 2，即（62－r ）2＋32＝r 2.解得r ＝8272.在△OMC 和△OCP 中，AB CDO M . (第25题)∵∠OMC ＝∠OCP ，∠MOC ＝∠COP ，∴△OMC ∽△OCP ，∴PCCMOC OM =，即PC32827282726=-. ∴PC ＝727.…………………………………8分解法二：（1）直线PC 与⊙O 相切.如图②，连接OC . ∵AD 是⊙O 的切线，∴AD ⊥OA ，即∠OAD ＝90°. ∵BC ∥AD ，∴∠OMC ＝180°－∠OAD ＝90°，即OM ⊥BC . ∴MC ＝MB . ∴AB ＝AC . ∴∠MAB ＝∠MAC . ∴∠BAC ＝2∠MAC . 又∵∠MOC ＝2∠MAC ， ∴∠MOC ＝∠BAC . ∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD . ∴∠MOC ＝∠ACD . 又∵∠BCP ＝∠ACD ， ∴∠MOC ＝∠BCP . ∵∠MOC ＋∠OCM ＝90°， ∴∠BCP ＋∠OCM ＝90°. ∴∠PCO ＝90°，即PC ⊥OC . 又∵点C 在⊙O 上，∴直线PC 与⊙O 相切.………………4分（2）在Rt △AMC 中，∠AMC ＝90°，AC ＝AB ＝9，MC ＝21BC ＝3， 由勾股定理，得AM ＝26392222=-=-MC AC .设⊙O 的半径为r .在Rt △OMC 中，∠OMC ＝90°，OM ＝AM －AO ＝62－r .MC ＝3，OC ＝r. 由勾股定理，得OM 2＋MC 2＝OC 2，即（62－r ）2＋32＝r 2.解得r ＝8272.在△OMC 和△OCP 中， ∵∠OMC ＝∠OCP ，∠MOC ＝∠COP ，AB C DO M P. ①N∴△OMC ∽△OCP ，∴PCCMOC OM =，即PC32827282726=-. ∴PC ＝727.…………………………………8分26. （2013江苏南京，26，9分）已知二次函数y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）（a 、m 为常数，且a ≠0）. （1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点； （2）设该函数的图象的顶点为C .与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点D . ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值； ②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值. 【答案】（1）证明：y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）＝ax 2－（2am ＋a ）x ＋am 2＋am . 因为当a ≠0时，［－（2am ＋a ）］2－4a （am 2＋am ）＝a 2＞0.所以，方程ax 2－（2am ＋a ）x ＋am 2＋am ＝0有两个不相等的实数根.所以，不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点. ………3分 （2）解：①y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）＝a （x －212+m ）2－4a， 所以，点C 的坐标为（212+m ，－4a）. 当y ＝0时，a （x －m ）2－a （x －m ）＝0.解得x 1＝m ，x 2＝m ＋1.所以AB ＝1. 当△ABC 的面积等于1时，21×1×4a -＝1. 所以21×1×（－4a ）＝1，或21×1×4a＝1. 所以a ＝－8，或a ＝8. ②当x ＝0时，y ＝am 2＋am .所以点D 的坐标为（0，am 2＋am ）. 当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，21×1×4a -＝21×1×am am +2 21×1×（－4a ）=21×1×（am 2＋am ），或21×1×4a =21×1×（am 2＋am ）. 所以m ＝－21，或m ＝221--，或m ＝221+-.………9分 27.（2013江苏南京，27，10分）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似.例如，如图ABC DO M . ②①△ABC ∽△A ′B ′C ′，且沿周界ABCA 与A ′B ′C ′A ′环绕的方向相同，因此△ABC 与△A ′B ′C ′互为顺相似；如图②，△ABC ∽△A ′B ′C ′，且沿周界ABCA 与A ′B ′C ′A ′环绕的方向相反，因此△ABC 与△A ′B ′C ′互为逆相似.（1）根据图Ⅰ、图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件，可得下列三对相似三角形：①△ADE 与△ABC ；②△GHO 与△KFO ；③△NQP 与△NMQ .其中，互为顺相似的是________；互为逆相似的是__________.（填写所有符合要求的序号）（2）如图③，在锐角△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ，点P 在△ABC 的边上（不与点A 、B 、C 重合）.过点P 画直线截△ABC ，使截得的一个三角形与△ABC 互为逆相似.请根据点P 的不同位置，探索过点P 的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由.【答案】（1）①②；③………4分（2）解：根据点P 在△ABC 边上的位置分为以下三种情况 第一种情况：如图①，点P 在BC （不含点B 、C ）上，过点P 只能画出2条截线PQ 1、PQ 2，分别使∠CP Q 1＝∠A ，∠BP Q 2＝∠A .此时，△PQ 1C 、△PBQ 2都与△ABC 互为逆相似. 第二种情况：如图②，点P 在AC （不含点A 、C ）上，过点B 作∠CBM ＝∠A ，BM 交AC 于点M . 当点P 在AM （不含点M ）上时，过点P 1只能画出1条截线P 1Q ，使∠AP 1Q ＝∠ABC ，此时△AP 1Q 与△ABC 互为逆相似；当点P 在CM 上时，过点P 2只能画2条截线P 2Q 1、P 2Q 2，分别使∠AP 2Q 1＝∠ABC ，∠CP 2Q 2＝∠ABC ，此时，△AP 2Q 1、△Q 2 P 2C 分别都与△ABC 逆相似； 第三种情况：如图③，点P 在AB （不含点A 、B ）上，过点C 做∠BCD ＝∠A ，∠ACE ＝∠B ，CD 、CE 分别交AC 于点D 、E .当点P 在AD （不含点D ）上时，过点P 只能画一条截线P 1Q ，使∠AP 1Q ＝∠ACB ，此时△AQP 1与△ABC互为逆ABCD E OH GKFN图Ⅰ图Ⅱ图Ⅲ条件：DE ∥BC条件：GH ∥KF条件：∠NQP ＝∠MCB ′′C B ′C ′①②（第27题）AB③相似；当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使∠AP2Q1＝∠ACB，∠BP2Q2＝∠BCA，此时，△AQ1P2、△Q2BP2都与△ABC互为逆相似；当点P在BE（不含点E）上时，过点P3只能画出1条截线P3Q′，使∠BP3Q′＝∠BCA，此时△Q′BP3与△ABC逆相似.AA②AB③2′。