公开课等比数列

设{an}为等比数列,a1 为首项,q为公比,它旳前n项和
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 ①
两边同步乘以 q 为
qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn ②
两式相减得 (1 q)Sn a1 1 qn
错位相减
(1 q)Sn a1 1 qn
课堂小结及巩固作业
(1)等比数列旳前n项和公式
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 anq 1 q
,q 1
Sn
na1 q
1
(2) 公式推导利用思想 “错位相减”
(3) 公式旳利用： a1, q, n, Sn
作业：完毕课后习题2,3
①
两边同步乘以2，
2S30 2 22 23 229 230 ②
由①-②得,
S30 1 230 即 S30 230 1 1.01010.
而S30' 3.0 1053,显然S30比S30'大得多,
所以，究竟是猪八戒占便宜还是孙悟空 有谋略？
三：问题拓展，有效指导
探讨：对于一般旳等比数列我们该怎样求它 旳前n项和?
教学重、难点：
要点：等比数列旳前n项和公式旳推导； 难点：灵活应用公式处理有关问题。
回忆：求等差数列旳前n项和用了倒序相加法
即
Sn a1 a2
Sn an an1
an a1
两式相加 而得 Sn
对于该式子是否也能用倒序相加法呢？
能否找到一种式 子与原式相减能
消去中间项？
S30 1 2 22 228 229
？
Sn
a1
1 qn 1 q
分类讨论
等比数列旳
当q 1 时

等比数列的求和公式一、教学重点、难点本节课的重点是公式的推导、错位相减法的推广使用；难点是公式的推导方法的应用。

二、教学目标：1．知识与技能目标：理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用推导方法解决与之有关的问题．2．过程与方法目标：通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．3．情感、态度与价值观：通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质。

三、教学过程1、创设情境，提出问题引入：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。

西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。

国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊 。

为什么？你能算出麦粒的总数吗？设问：同学们，你们知道国王给出多少小麦吗？引导学生写出麦粒总数为：?2 (22)216332=+++++2、师生互动，探究问题探讨1: 发明者要求的麦粒总数是？ 生：可能会直接利用公式qq a S n n --=1)1(1)1(≠q 求出答案126464-=S （1964108.112⨯≈-，以小麦千粒重为40克计算，麦子质量超过7000亿吨！2010年世界粮食总产量约为22.8亿吨，全世界人民不吃粮食也得300多年才能够生产7000亿吨。

）探讨2：上述的公式qq a S n n --=1)1(1)1(≠q 是怎么产生的？ 生：可能会说到错位相减法，但没有具体书写。

师：要求学生回忆教材，具体写出公式的推导方法。

设n n n a a a a a S +++++=-1321 ①乘以公比q ，n n n n qa a a a a qS +++++=-132 ②①-②：()n n qa a S q -=-11，当1≠q 时：()q q a q aq a q qa a S nn n n --=--=--=1111111 探讨3：还有别的推导方法吗？师：通过学生回忆数列的性质以及等比定理、乘法公式。

在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格
率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率
比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能
否控制在100个以内？
所以，当n≥6时，｛anbn｝递减，
又a13b13≈98＜100，
所以当13≤n≤24时，anbn≤a13b13＜100，
染者增加到2000人大约需要的传染轮数为（ B ）
注：初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人再传染R0个人为第二轮感染．
2
A．5
B．6
C．7
D．8
已知等比数列｛an｝的各项均为正数，且a3＝9，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋log3a4＋log3a5＝
10
________．
目标检测
率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率
比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能
否控制在100个以内？
解答：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列｛an｝，｛bn｝，
由题意，知an＝10501.05n－1，bn＝1－［90%＋0.4%（n－1）］＝0.104－0.004n，
9
结论：1．若数列｛an ｝是等差数列，则数列｛ban｝是等比数列；
2．若数列｛an ｝是各项均为正的等比数列，则数列｛logban｝是等差数列．
初步应用
例3 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂
在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格
所以a12＝a1q11＝104（1＋0.400%）12≈10 490.7．

1.19≈2.36 1.110≈2.60 1.111≈2.85
1.00499≈1.04 1.004910≈1.05 1.004911≈1.06
解:(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10≈1.05b, 由题设可知,1年后的设备为 a×(1+10%)-x=1.1a-x, 2年后的设备为 (1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1),…, 10年后的设备为
题型三 等比数列的综合应用
【例3】 (12分) (2012年高考陕西卷)设{an}是公比不为1的等比数列,其前 n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列. (1)求数列{an}的公比; (2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
名师导引: (1)由a5,a3,a4成等差数列,列方程求解; (2)利用求和公式,等差中项证明. (1)解:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1). 由a5,a3,a4成等差数列, 得2a3=a5+a4,……………………………………………………2分 即2a1q2=a1q4+a1q3.………………………………………………4分 由a1≠0,q≠0得,q2+q-2=0, 解得q1=-2,q2=1(舍去), 所以q=-2.………………………………………………………6分
法二 对任意 k∈N+,2Sk= 2a1(1 qk ) , 1 q
Sk+2+Sk+1= a1(1 qk 2 ) + a1(1 qk 1) = a1(2 qk 2 qk 1) ,
1 q
1 q
1 q