构造等差数列或等比数列(公开课)

高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第二篇数列与不等式专题02构造等差或者等比数列求解数列的通项公式【典例1】数列{}n a 中，112a =，112(()2n n n a a n N *+=-∈,数列{}n b 满足*2n n n b a n =⋅∈N ．（I ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（II ）设2log n n nc a =，求数列22n n c c +⎛⎫ ⎪⎝⎭的前n 项n T ．【思路点拨】（I ）将1122nn n a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭配凑成11221n n n n a a ++=-.由此证得数列{}n b 是等差数列.求得n b 的表达式，进而求得数列{}n a 的通项公式.（II ）先求得n c 的表达式，然后利用裂项求和法求得n T .【典例2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23n n S a n n *=-∈N.(1)设3n n b a =+，证明数列{}n b 为等比数列，并求出通项公式n a ；(2)求2462n a a a a ++++L .【思路点拨】（1）由题可得()11231n n S a n ++=-+,与条件作差可得123n n a a +=+,则()1323n n a a ++=+,即可证明数列{}n b 为等比数列,利用等比数列的通项公式求得数列{}n b 的通项公式,进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得22323nn a =⋅-,进而利用等比数列的前n 项和公式求解即可【典例3】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N .(1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式;(2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.【思路点拨】(1)根据等比数列的定义即可证明{}1n S +为等比数列，再根据n S 和n a 的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即可求出{}n a 的通项公式；(2)根据12n n n n nb a -==，可采取错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T ，然后代入1250n n T n -⋅=+得，2260n n --=，构造函数()226x f x x =--(1x ≥)，利用其单调性和零点存在性定理即可判断是否存在．【典例4】已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121nn n n a b b ++=+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前n 项和.【思路点拨】（1）根据已知条件求出2a ，3a 即可求出等比数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得11221n n n n b b ++=+，即数列{}2n n b 是公差为1的等差数列，求出n b 的通项公式，利用错位相减法求出数列的前n 项和.【典例5】已知正项数列{}n a 满足11a =，()221142n n n n a a a a n *+++=-∈N.（1）证明：数列{}1n a +是等比数列；（2）证明：()2341111123n n a a a a *+++++<∈N .【思路点拨】（1）将题干中的等式因式分解后得出()()111222n n n n n n a a a a a a ++++=+-，由此得出121n n a a +=+，再利用定义证明出数列{}1n a +为等比数列；（2）求出21nn a =-，利用放缩法得出()2111232n n n a -≤⋅≥，结合等比数列的求和公式可证明出结论成立.【典例6】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-.（1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记1111n n n n b a a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【思路点拨】(1)由2n n S a n =-，可得()1121n n S a n ++=-+，两式相减，可化为()1121n n a a ++=+,结合等比数列的定义,即可得到结论；（2）由⑴1111111112121n n n n n n n n n a b a a a a a +++++=+==---，利用“裂项法”，即可求得数列{}n b 的前n 项和n T .1.已知数列{}n a 满足112a =-，()1212n n a a n -=-≥．（1）求证：{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n n a b +是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{}n b 的前n 项和．2.已知数列{},{}n n a b 满足{}1,2n n n n a a b b +-=+为等比数列，且12a =，24a =，310a =.（1）试判断列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（2）求n a .3.已知数列{}n b ，满足14b =且12(2)1n n b b n n n --=≥-.(1)求证{}n b 是单增数列；(2)求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S a n =+.（1）证明：{}1n a -为等比数列；（2）设1n n b a =-，若不等式12233411111n n t b b b b b b b b ++++⋅⋅⋅+<对*n N ∀∈恒成立，求t 的最小值.5.已知数列{}n a 满足：11a =，12n n a a n ++=，*n N ∈.（1）求证：数列12n a n ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设212n n n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()221,n n S a n n N +=--∈.（Ⅰ）求证：数列{}2n a +是等比数列；（Ⅱ）求数列(){}2n n a ⋅+的前n 项和.7.已知数列{}n a 满足113a =，且*n N ∈时，1n a +，n a ，23-成等差数列．（1）求证：数列2{}3n a +为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．8.已知数列{}n a 满足11232,2n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =.（1）求证：数列{}2nn a -是等比数列.（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，记n T 为数列1{}n na S +的前n 项和，若*,n n N T m ∀∈<，*m N ∈，求m 的最小值.9.在数列{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+，(1)设12nn n a b -=，证明：数列{}n b 是等差数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和.参考答案【典例1】解：（I ）由1122nn n a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即11221n n n n a a ++=-．而2nn n b a =，∴11n n b b +=-，即11n n b b +-=．又1121b a ==，∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列．于是1(1)1=2nn n b n n a =+-⨯=，∴2n n n a =．（II ）∵22log log 2n n n n c n a ===，∴22211(2)2n n c c n n n n +==-++．∴1111111111111132435112212n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭311212n n =--++．【典例2】【2020届湖南省长沙市第一中学高三月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23n n S a n n *=-∈N.(1)设3n n b a =+，证明数列{}n b 为等比数列，并求出通项公式n a ；(2)求2462n a a a a ++++L .【思路点拨】（1）由题可得()11231n n S a n ++=-+,与条件作差可得123n n a a +=+,则()1323n n a a ++=+,即可证明数列{}n b 为等比数列,利用等比数列的通项公式求得数列{}n b 的通项公式,进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得22323nn a =⋅-,进而利用等比数列的前n 项和公式求解即可解：(1)由23n n S a n =-,得()11231n n S a n ++=-+,两式相减,得123n n a a +=+,所以()1323n n a a ++=+,即()12n n b b n *+=∈N,当1n =时,11123a S a ==-,所以13a =,则1136b a =+=,所以数列{}n b 是以6为首项,2为公比的等比数列,所以162n n b -=⋅,所以()13623321n n n n a b -=-=⋅-=-(2)由(1)知22323nn a =⋅-,则24224623232323nn a a a a n++++=⋅+⋅++⋅-L L ()14143343414n n n n +-=⋅-=---【典例3】【2020届山东省青岛市高三上学期期末数学试题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N .(1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式;(2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.【思路点拨】(1)根据等比数列的定义即可证明{}1n S +为等比数列，再根据n S 和n a 的关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即可求出{}n a 的通项公式；(2)根据12n n n n nb a -==，可采取错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T ，然后代入1250n n T n -⋅=+得，2260n n --=，构造函数()226x f x x =--(1x ≥)，利用其单调性和零点存在性定理即可判断是否存在．解：(1)∵121n n S S +-=∴()1121n n S S ++=+，*n N ∈因为111a S ==，所以可推出10n S +>．故1121n n S S ++=+，即{}1n S +为等比数列．∵112S +=，公比为2∴12n n S +=，即21nn S =-，∵1121n n S --=-，当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，11a =也满足此式，∴12n n a -=；(2)因为12n n n n n b a -==，01112222n n n T -=++⋅⋅⋅+∴121122222n n n T =++⋅⋅⋅+，两式相减得:011111122222222n n n n n n T -+=++⋅⋅⋅+-=-即1242n n n T -+=-，代入1250n n T n -⋅=+，得2260n n --=．令()226x f x x =--(1x ≥)，()2ln 210xf x '=->在[)1,x ∈+∞成立，∴()226xf x x =--，()1,x ∈+∞为增函数，而()()540f f ⋅<，所以不存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立．【典例4】【广东省佛山市2019-2020学年高三教学质量检测（一)】已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121nn n n a b b ++=+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前n 项和.【思路点拨】（1）根据已知条件求出2a ，3a 即可求出等比数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得11221n n n n b b ++=+，即数列{}2n n b 是公差为1的等差数列，求出n b 的通项公式，利用错位相减法求出数列的前n 项和.解：（1）由1121nn n n a b b ++=+，取1n =，得22121a b b =+，解得24a =.取2n =，得33241a b b =+，解得38a =.∵{}n a 是等比数列，则322a q a ==，212aa q==.∴{}n a 的通项公式为112n n n a a q -==.（2）∵11221n n n n b b ++=+，∴数列{}2n n b 是公差为1的等差数列.()12211n n b b n n =+-⨯=，则2n nnb =.设{}n b 的前n 项和为n S ，则231232222n n n S =+++⋅⋅⋅+，234112322222n n S n+=++++ .则2311111222222n n n S n +=+++⋅⋅⋅+-11111222112212nn n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-=--.∴222n n n S +=-.【典例5】【2020届浙江省杭州市第二中学高三12月月考数学试题】已知正项数列{}n a 满足11a =，()221142n n n n a a a a n *+++=-∈N .（1）证明：数列{}1n a +是等比数列；（2）证明：()2341111123n n a a a a *+++++<∈N .【思路点拨】（1）将题干中的等式因式分解后得出()()111222n n n n n n a a a a a a ++++=+-，由此得出121n n a a +=+，再利用定义证明出数列{}1n a +为等比数列；（2）求出21nn a =-，利用放缩法得出()2111232n n n a -≤⋅≥，结合等比数列的求和公式可证明出结论成立.解：（1）221142n n n n a a a a +++=- ，()()2211112422n n n n n n n n a a a a a a a a ++++∴+=-=+-.0n a > ，120n n a a +∴+>，121n n a a +∴-=，即121n n a a +=+，则有1122211n n n n a a a a +++==++且112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，以2为公比的等比数列；（2）由（1）得12nn a +=，即21nn a =-，得()22111112212232n n n n n n a --=≤=⋅≥--，2123411111111111121232111322232312n n n n a a a a -+⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴++++≤++++==-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- .【典例6】【天津市南开区南开中学2019届高三第五次月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-.（1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记1111n n n n b a a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【思路点拨】(1)由2n n S a n =-，可得()1121n n S a n ++=-+，两式相减，可化为()1121n n a a ++=+,结合等比数列的定义,即可得到结论；（2）由⑴1111111112121n n n n n n n n n a b a a a a a +++++=+==---，利用“裂项法”，即可求得数列{}n b 的前n 项和n T .解：（1）令1n =，得1121a a =-，由此得11a =,由于2n n S a n =-，则()1121n n S a n ++=-+，两式相减得()11212n n n n S S a n a n ++-=-+-+，即121n n a a +=+，所以()1121121n n n a a a ++=++=+，即1121n n a a ++=+，故数列{}1n a +是等比数列，其首项为112a +=，11222n nn a -+=⋅=，故数列{}n a 的通项公式是21nn a =-.（2）1111n n n n b a a a ++=+11n n n a a a ++=()()122121nn n +=--()()()()1121212121n n nn ++---=--，1112121n n +=---，12n nT b b b =+++12231111111212121212121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12231111111212121212121n n +=-+-++-------11121n +=--.1.【思路点拨】（1）由已知构造等比数列，可得111122n n a -⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，化简即为{}n a 的通项.（2）由已知得32n n a b n +=-，代入112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得()1=312nn b n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以数列{}n b 的前n 项和分别利用等差数列和等比数列求和公式即可求得.解：（1）由()1212n n a a n -=-≥，得()1211n n a a -+=+，即()11112n n a a -+=+，又11102a +=≠，∴{}1n a +是以1112a +=为首项，公比为12的等比数列．∴111122n n a -⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，∴112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由已知得()11332n n a b n n +=+-⨯=-，∵112n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()()()11323213122n nn n b n a n n ⎛⎫⎛⎫=--=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以数列{}n b 的前n 项和为：()2121112531222nn b b b n ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-- ⎪⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦L L ()21112531222nn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++--+++⎡⎤⎢⎥⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L()211122231311122212nn n n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪+-⎡⎤⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎣⎦=-=-+ ⎪⎝⎭-．2.【2020届河北省保定市高三上学期期末】已知数列{},{}n n a b 满足{}1,2n n n n a a b b +-=+为等比数列，且12a =，24a =，310a =.（1）试判断列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（2）求n a .【思路点拨】（1）根据所给通项公式及12a =,24a =,310a =,可求得123,,b b b ,即可利用等比中项定义判断{}n b 是否为等比数列.（2）根据{2}n b +为等比数列,即可由（1）中所得首项与公比求得n b .根据1,n n n a a b +-=结合递推公式与累加法,即可求得n a .解：（1）数列{}n b 不是等比数列.理由如下：由1n n n a a b +-=,且1232,4,10a a a ===得：所以1212b a a =-=,2326b a a =-=,又因为数列{2}n b +为等比数列,所以可知其首项为4,公比为2.所以2324216b +=⨯=,314b =∴,显然22133628b b b =≠=故数列{}n b 不是等比数列.（2）结合（1）知,等比数列{2}n b +的首项为4,公比为2,故112422n n n b -++=⋅=,所以122n n b +=-,因为1n n n a a b +-=,122(2)nn n a a n --=-≥∴令2,,(1)n n =- 累加得()2322222(1)nn a n -=+++-- ,()23222222nn a n ∴=++++-+ ()1221222221n n n n +-=-+=--,又12a =满足上式,+122n n a n=-∴3.【2020届北京市清华大学附属中学高三第一学期（12月)月考】已知数列{}n b ，满足14b =且12(2)1n n b b n n n --=≥-.(1)求证{}n b 是单增数列；(2)求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【思路点拨】（1）先求出数列{}nb n的通项公式，再得n b ,直接作差可得单调性；（2）用裂项相消法求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的和．解：（1）∵12(2)1n n b b n n n --=≥-，∴数列{}n b n 是等差数列，公差为2，又141b =，∴42(1)22nb n n n=+-=+，∴2(1)n b n n =+．2n ≥时，12(1)2(1)40n n b b n n n n n --=+--⋅=>，所以1n n b b ->，所以数列{}n b 是递增数列．（2）11111(2(1)21n b n n n n ==-++，∴111111[(1()()]222312(1)n n S n n n =-+-++-=++ ．4.【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S a n =+.（1）证明：{}1n a -为等比数列；（2）设1n n b a =-，若不等式12233411111n n t b b b b b b b b ++++⋅⋅⋅+<对*n N ∀∈恒成立，求t 的最小值.【思路点拨】(1)利用1nn n a S S -=-得到1,n n a a -的递推公式再构造数列证明即可.(2)根据(1)可求得12nn a =-,进而求得2n b n =,再用裂项求和求解12231111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+进而求得t 的最小值解：（1）11221n n n n n a S S a a --=-=--()1121(2)n n a a n -⇒-=-≥,故{}1n a -为等比数列.（2）令1n =,则有111211S a a =+⇒=-,所以()111122n n n a a --=-⋅=-,所以12n n a =-,令122nn n b a n =-==,令1111141n n n c b b n n +⎛⎫==- ⎪+⎝⎭,所以122311*********...412231n n b b b b b b n n +⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-++- ⎪+⎝⎭()111111414414n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭.所以14t ≥.故t 的最小值为14.5.【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】已知数列{}n a 满足：11a =，12n n a a n ++=，*n N ∈.（1）求证：数列12n a n ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设212n n na b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .【思路点拨】（1）12n n c a n =-+，则12n n a c n =+-代入已知式可证得结论；（2）由（1）求得n a ，从而得n b ，用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S .解：（1）设12n n c a n =-+，由题111(1)22n n a n a n +⎛⎫-++=--+ ⎪⎝⎭，即1n n c c +=-，又11111022c a =-+=≠，∴{}n c 为等比数列，即12n a n ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）由（1）知11(1)2n n c -=⋅-，即111(1)22n n a n -=⋅-+-，2121n a n -∴=-，212n n n b -∴=，231135232122222n n n n n S ---=+++⋅⋅⋅++，234+111352*********n n n n n S --=+++⋅⋅⋅++，两式相减得23111111121323222222222n n n n n n S ++-+⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-=- ⎪⎝⎭，2332n nn S +∴=-.6.【2020届陕西省咸阳市高三上学期期末考试】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()221,n n S a n n N +=--∈.（Ⅰ）求证：数列{}2n a +是等比数列；（Ⅱ）求数列(){}2n n a ⋅+的前n 项和.【思路点拨】（I ）令1n =，利用11a S =可求得13a =；当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-整理可得()1222n n a a -+=+，从而证得结论；（II ）由（I ）可得{}2n a +的通项公式，从而求得()1252n n n a n -+=⋅，利用错位相减法求得结果.解：（I ）令1n =，11123a S a ==-，解得：13a =当2n ≥且n *∈N 时，221n n S a n =--，11221n n S a n --=-+11222n n n n n a S S a a --∴=-=--，即122n n a a -=+()1222n n a a -∴+=+{}2n a ∴+是以125a +=为首项，2为公比的等比数列（II ）由（I ）知：1252n n a -+=⋅()1252n n n a n -∴+=⋅设数列(){}2n n a +的前n 项和为nT 则()012215210215251252n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅()123125210215251252n nn T n n -∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅两式作差得：()()11212125525222552512n n n n n T n n ----=-⋅+⨯++⋅⋅⋅+=-⋅+⨯-()55252105525n n n n n =-⋅+⋅-=-⋅-()5525n n T n ∴=-⋅+7.【2020届四川省达州市普通高中高三第一次诊断性测】已知数列{}n a 满足113a =，且*n N ∈时，1n a +，n a ，23-成等差数列．（1）求证：数列2{}3n a +为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【思路点拨】（1）利用等差中项的知识列出算式，然后整理算式，对算式进行变形可发现数列2{}3n a +为等比数列；（2）先根据（1）的结论得出数列{}n a 的通项公式，然后根据通项公式的特点分组求和即可得到前n 项和n S ．解：（1）证明：由题意，当*n N ∈时，1n a +，n a ，23-成等差数列，则1223n n a a +-=，即1223n n a a +=+，1222222()3333n n n a a a +∴+=++=+，又12121333a +=+= ，∴数列2{}3n a +是以1为首项，2为公比的等比数列．（2）解：由（1），知1223n n a -+=，即1223n n a -=-，*n N ∈．12n nS a a a ∴=++⋯+1212222(1(2(2)(2)3333n -=-+-+-+⋯+-1212(1222)3n n-=+++⋯+-122123n n -=--2213n n =--．8.【2020届山西省太原市第五中学高三11月阶段性考试】已知数列{}n a 满足11232,2n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =.（1）求证：数列{}2nn a -是等比数列.（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，记n T 为数列1{}n na S +的前n 项和，若*,n n N T m ∀∈<，*m N ∈，求m 的最小值.【思路点拨】（1）首先令2n =，解得13a =，将11232n n n a a ---=⋅化简为112122n n n n a a ---=-，得到数列{}2nna -是以1为首项，12为公比的等比数列.（2）由（1）可知1122n n n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，利用分组求和可算出1112()2n n n S +-=-，从而得到11132nn n a S ⎛⎫=⋅ ⎪+⎝⎭，再计算n T 即可找到m 的最小值.解：（1）当2n =时，2126a a -=，因为1232a a =，所以13a =.由11232,2n n n a a n ---=⋅≥，得()11222nn n n a a---=-，所以112122n n n n a a ---=-，则数列{}2nn a -是以1为首项，12为公比的等比数列.（2）由（1）知1122n nn a -⎛⎫= ⎪⎝⎭-，1122n nn a -⎛⎫ ⎪⎝⎭+=.111(1)2(12)122()112212nn n n n S +---=+=---.所以111111111132322()2()22nn n n n n n n a S -+-⎛⎫===⋅ ⎪+⎝⎭++- ，11(1)11162(1)132312n n n T -==-<-所以m 的最小值为1.9.在数列{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+，(1)设12nn n a b -=，证明：数列{}n b 是等差数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和.试题分析：（1）题中条件12nn n a b -=，而要证明的是数列是等差数列，因此需将条件中所给的的递推公式122nn n a a +=+转化为的递推公式：11122n n n n a a +-=+，从而11n n b b +=+，，进而得证；（2）由（1）可得，12n n a n -=，因此数列的通项公式可以看成一个等差数列与等比数列的乘积，故可考虑采用错位相减法求其前项和，即有：①，①得：②，②-①得.解：（1）∵122nn n a a +=+，11122n n n n a a +-=+，又∵12nn n a b -=，∴11n n b b +=+，，∴则{}n b 是为首项为公差的等差数列；由（1）得1(1)1n b n n =+-⋅=，∴12n n a n -=，∴①，①得：②，②-①得.。

课题：《数列》章末复习教学目的：1．系统掌握数列的有关概念和公式2．进一步掌握数列的有关概念和公式的应用3．要求学生对等差、等比数列有更深刻的理解，逐渐形成熟练技巧重点：等差等比数列的相关概念性质通项和求和公式及应用难点：灵活运用数列知识，解决有关数列的综合问题一、知识回顾等 差 数 列与等 比 数 列定义,通项,中项,性质及求和公式二、知识应用Ⅰ、等差、等比数列的设法及应用1.三个数成等差数列可设为 或者 ，根据具体问题的不同特点而选择不同设法.2. 三个数成等比数列，则这三个数可设为 ，也可以设为 例1(1). 已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.例1(2)：互不相等的三个数之积为 ，这三个数适当排列后可成为等比数列也可排成等差数列，求这三数排成的等差数列.Ⅱ、运用等差、等比数列的性质例2（1）已知等差数列{}n a 满足121010a a a ++⋅⋅⋅+=，则 ( )A. 11010a a +>B.21000a a +<C.3990a a +=D. 5151a =（2）已知在等差数列{an}的前n 项中，前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项之和为286，试求数列的项数n.Ⅲ、等差数列的最值问题(一题多解)例3.等差数列｛an ｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小?思路1：寻求通项思路2：从函数的角度来分析数列问题思路3：函数图像、数形结合Ⅴ、数列求和的方法：(1)公式法(2)错位相减法(3)分组求和法(4)倒序相加法(5)裂项法(6)并项法Ⅳ、数列求通项方法：(1)观察法(2)公式法：运用等差等比数列公式(3) {}n a 与n S 关系(4)利用递推关系：①累加法;②累乘法;③待定系数法;④构造法等;,,2; ,,a a d a d a d a a d ++-+,,2x y x y +,,a a aq q 2,,.a aq aq 8-Ⅵ、等差、等比数列的综合应用例4 已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，又111a b == ，222a b =,3374a b =．(1) 求数列{}n a 及数列{}n b 的通项公式； (2) 设n n n c a b =求数列{}n c 的前项n 和n S三、基础练习 1.观察数列:30,37,32,35,34,33,36,（ ）,38的特点,在括号内适当的一个数是______ 2.在等比数列中,463a a +=,则5357(2)a a a a ++=_____ 3. 在等差数列{}n a 中,若4681012120a a a a a ++++=,则 10122a a-的值为 （ ） A.20 B.22 C.24 D.284.已知数列{}n a 中, 11a =,并且1331n n a a +-=,则301a =（ ）A.100B.101C.102D.1035.若{}n a 是等比数列，且0n a >,243546225a a a a a a ++=,那么35a a +的值等于 （ ）A.5B.1C.15D.10 6.等差数列{}n a 中,已知前4项和是1,前8项和是4,则 17181920a a a a +++的值等于 ( )A.7B.8C.9D.10四、课堂总结Ⅰ、等差、等比数列的设法及应用Ⅱ、运用等差、等比数列的性质Ⅲ、等差数列的最值问题(一题多解)、Ⅳ数列求和的方法Ⅴ、数列求通项方法Ⅵ、等差、等比数列的综合应用五、课后作业1.首项为24-的等差数列从第10项开始为正数,求公差为d 的取值范围2.在数列{}n a 中, 13a =,13(1)n n a a n n +=+≥求此数列的通项公式3.数列{}nb中, 123218b b b++=,12318b b b=,若{}na是等差数列,且12nanb⎛⎫= ⎪⎝⎭,求{}na的通项公式。

高二数学：数列(讲义)
数列是数学中极为重要的一个概念，它通常用来描述一组事物的性质，是数学上组织一系列数的有效方式。

它可以概括出许多数学性质，例如等差数列的等差性质。

数学中使用数列的许多应用，几乎无处不能被见，科学计算和大数据分析更是大量使用数列来完成商业活动中的任务。

通常情况下，数列可分为两类：等差数列和等比数列。

等差数列，又称等差级数，即每两项之差（公差）相等。

它大多数情况下是由某个初始数（首项）和某个常量公差组成的，每一个数的值都是比前面数要大的。

通常我们只需记录着数列的首项和公差就可以完成所有等差数列的计算。

等差数列的构成要素有三个：首项、公差、项数，因此，它又可分为等差等比数列。

许多数学性质可以作为数列的研究内容，如求和、等比数列的累加积、关于每一项的表达式以及关于每一项之和的表达式等。

数列在多方面涉及到数学研究，也提供了许多应用，例如计算机编程中使用数列来实现，统计学中使用数列推断，物理学中描述物质运动规律也可使用数列，数学中常涉及到数列的比较、计算等。

几乎在所有数学应用中，都可以看到数列的存在。