等比数列的概念公开课
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等比数列的教案市公开课一等奖教案省赛课金奖教案
等比数列的教案导语：等比数列是数学中非常重要的概念之一。
了解等比数列的性质和求解方法能够帮助学生更好地理解数列的规律，并在解决实际问题中应用数学知识。
本教案将通过理论讲解和实例演练的方式，帮助学生掌握等比数列的相关概念、性质和应用。
一、教学目标：1.了解等比数列的概念和基本性质；2.掌握等比数列的通项公式和求和公式的推导与运用；3.能够解决实际问题，灵活运用等比数列的知识。
二、教学重难点：1.等比数列的通项公式和求和公式的推导；2.能够将等比数列的知识应用于实际问题的解决。
三、教学过程：Step 1：引入知识（10分钟）通过生活中的例子，引导学生了解数列的概念，然后引入等比数列的概念，并与等差数列进行比较，帮助学生理解等比数列的特点。
Step 2：等比数列的定义和基本性质（15分钟）讲解等比数列的定义，并介绍等比数列的基本性质，如公比、首项、通项等的定义和表示方法。
Step 3：等比数列的通项公式的推导（20分钟）通过对等比数列的性质进行分析和推导，引导学生得出等比数列的通项公式：an=a1*r^(n-1)。
并通过实例演示的方式，让学生掌握这个公式的运用。
Step 4：等比数列的求和公式的推导（20分钟）通过对等比数列求和的过程进行分析和推导，引导学生得出等比数列的求和公式：Sn = a1*(1-r^n)/(1-r)。
并通过实例演示的方式，让学生掌握这个公式的运用。
Step 5：应用实例解答（20分钟）给学生提供一些实际问题，让学生运用所学知识解答问题。
问题可以涉及利润的增长、物体的重量递减等，帮助学生将等比数列的知识应用到实际生活中。
Step 6：总结归纳（10分钟）对本节课所学的内容进行总结归纳，并与学生一起讨论等比数列的应用领域和意义。
四、教学评价：1.在课堂练习中，检查学生对等比数列的概念、性质和公式的理解和掌握情况；2.布置小组作业，让学生能够结合实际问题应用等比数列的知识进行解答；3.进行课堂互动讨论，引导学生思考和探究等比数列的应用领域。
《等比数列的概念》课件
03
等比数列的应用
等比数列在数学中的应用
解题技巧
等比数列是数学中常见的数列类型， 它在解决数学问题时具有广泛的应用 。例如，在求解一些复杂数学问题时 ，可以利用等比数列的性质简化计算 过程。
公式推导
等比数列的通项公式和求和公式在数 学中经常被用来推导其他公式或解决 一些复杂的数学问题。这些公式是等 比数列应用的基石，能够提供解决问 题的有效途径。
等比数列的公比
总结词
表示等比数列中任意两项的比值
详细描述
等比数列的公比是任意两项的比值，通常用字母 q 表示。公比是等比数列中相 隔一项的两个数的比值，即 a_n/a_(n-1)。公比反映了等比数列中每一项与前一 项的比值。
等比数列的项数与项的关系
总结词
表示等比数列中项数与项的关系
详细描述
在等比数列中，任意一项的值可以用首项、公比和项数来表 示。例如，第 n 项的值可以用 a_n=a_1×q^(n-1) 来表示， 其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。这个公式揭示了等 比数列中项数与项的关系。
《等比数列的概念》ppt课件
目录 Contents
• 等比数列的定义 • 等比数列的性质 • 等比数列的应用 • 练习题与答案
01
等比数列的定义
等比数列的文字定义
总结词：简洁明了
详细描述：等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值都相等 。
等比数列的数学符号定义
总结词：专业严谨
详细描述：等比数列通常表示为 a_n，其中 a 是首项，r 是公比，n 是项数。其数学定义是 a_n = a * r^(n-1)，其中 r ≠ 0。
等比数列与等差数列的区别
总结词：对比分析
关于公开课等比数列教案
关于公开课等比数列教案第一章：等比数列的概念1.1 引入等比数列的概念通过实际例子，让学生理解等比数列的定义和特点。
解释等比数列的通项公式和公比的概念。
1.2 等比数列的性质探讨等比数列的性质，如相邻两项的比值是常数，每一项都是前一项与公比的乘积等。
引导学生通过数学归纳法证明等比数列的性质。
第二章：等比数列的求和公式2.1 引入等比数列的求和公式通过实际例子，让学生理解等比数列的求和公式的推导过程。
解释等比数列求和公式的形式和各个参数的含义。
2.2 等比数列求和公式的应用探讨等比数列求和公式的应用，如求等比数列的前n项和、求等比数列中某一项的值等。
引导学生通过实际例子运用等比数列求和公式解决问题。
第三章：等比数列的通项公式的应用3.1 引入等比数列的通项公式的应用通过实际例子，让学生理解等比数列通项公式的应用，如求等比数列的第n项的值。
解释等比数列通项公式的形式和各个参数的含义。
3.2 等比数列通项公式的进一步应用探讨等比数列通项公式的进一步应用，如判断等比数列的收敛性和发散性。
引导学生通过实际例子运用等比数列通项公式解决问题。
第四章：等比数列的性质和求和公式的综合应用4.1 引入等比数列性质和求和公式的综合应用通过实际例子，让学生理解等比数列的性质和求和公式的综合应用，如求等比数列的前n项和，并判断等比数列的收敛性和发散性。
解释等比数列的性质和求和公式的关系。
4.2 等比数列性质和求和公式的综合应用案例分析探讨等比数列性质和求和公式的综合应用案例，如解决实际问题中的等比数列问题。
引导学生通过实际例子运用等比数列的性质和求和公式解决问题。
第五章：等比数列的应用案例分析5.1 引入等比数列的应用案例分析通过实际例子，让学生理解等比数列的应用案例，如解决金融、经济、物理等领域中的问题。
解释等比数列在实际问题中的应用场景。
5.2 等比数列应用案例分析探讨等比数列在实际问题中的应用案例，如计算复利、求等比数列的极限等。
等比数列公开课课件PPT
等比数列的应用
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
等比数列的概念课件公开课PPT学习教案
1
32
16
答：这个数列的第1项与第2项分别是 与 8.
3
第11页/共17页
课堂互动
（1）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的
这种物质是原来的84% ，这种物质的半衰期为多长？（放射
性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期）
(2)一个等比数列中，a5 a1 15,a4 a2 6 ，求它的第3项
G2 ab G ab
第10页/共17页
典型例题
例1 一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18,求它的第1项与第2项.
a 解：设这个等比数列的第1项是 ,公比是q ，那么 1 a q2 12 1
a q3 18 1
解得，
q3 2
，
a 1
16 3
因此 a a q 16 3 8
2
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.
第5页/共17页
等 差数列 通项公 式的推 导:
an an1 d
方法一:(累加法)
方法二:(归纳法)
a2 a1 d
a3 a2 d a4 a3 d
……
(n-1)个 式子
an1 an2 d
an an1 d
a2 a1 d
a3 a2 d
等比数列的概念课件公开课
会计学
1
旧知回顾
名称
等差数列
概念 常数 性质
通项
通项 变形 中项 公式
性质 公式
从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数
公差(d) d可正可负,且可以为零
an a1 (n 1)d
an ak (n k)d (n,k N*)
2an an 1 an 1(n 2)
等比数列(公开课课件)
教师备选
已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an. (1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
an＋2＝2an＋1＋3an， 所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)， 因为{an}中各项均为正数， 所以 an＋1＋an>0，所以aan＋n＋2＋1＋aan＋n 1＝3，
第六章
考试要求
1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系.
落实主干知识 探究核心题型
课时精练
LUOSHIZHUGANZHISHI
落实主干知识
知识梳理
1.等比数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比 都等于同一个常数 (不为零)，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做 等比数列的 公比 ，通常用字母q表示，定义的表达式为 aan＋n1＝q (n∈N*， q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那 么 G 叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
方法二 设等比数列{an}的公比为q，
则aa34qq22－ －aa34＝ ＝1224， ，
① ②
②①得aa34＝q＝2.
将q＝2代入①，解得a3＝4. 所以 a1＝aq32＝1，下同方法一.
(2)(2019·全国Ⅰ)记 121
Sn
为等比数列{an}的前
n
项和.若
a1＝31，a24＝a6，则
S5
＝___3_____.
假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列， ∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得 λ＝12， 此时 Sn＋12＝12×3n，则SSn＋n＋1＋1212＝1212××33n＋n1＝3，
6.3.1等比数列的概念(1)公开课课件
6.3.1等比数列
数列 数列
数列
数 列
一位数学家说过：你如果能将一张纸对折38 次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球。
动手试一试 请你做游戏 ：
把一张纸连续对折 5 次，试列出每
次对折后纸的层数：
2，4，8，16，32 ．
庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
如果将“一尺之棰”视为一份，
则每日剩下的部分依次为：
是,公比 q=1 是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
常数列
(5) 1，0，1，0，1，…
(6) 0，0，0，0，…
对概念的更深理解
(1) (2) (3) (4)
1. 各项不能为零,即 an 0 1，3，9，27，… 2. 公比不能为零,即 q 0 1 1 1 1 , , , , 3. 当q>0，各项与首项同号
2 4 8 16
5 ， 5， 5， 5 ， … 1，-1，1，-1，…
(5) 1，0，1，0，… (6) 0，0，0，0，…
当q<0，各项符号正负相间 4. 数列 a, a , a , … a 0 时,既是等差数列 又是等比数列;
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.
请探究归纳等比数列的通项公式
这个常数就叫做等比数列的公比（常用
字母 q 表示）．
判断下列各组数列是否是等比数列,如果是，写出首项 a1 和公比 q ，如果不是，说明理由
(1) (2) (3) (4) 1，3，9，27，81，…
1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16
练习一
是,公比 q=3
1 是,公比 q= 2
5 ， 5， 5， 5， 5， 5， … 1，-1，1，-1，1，…
数列 数列
数列
数 列
一位数学家说过：你如果能将一张纸对折38 次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球。
动手试一试 请你做游戏 ：
把一张纸连续对折 5 次，试列出每
次对折后纸的层数：
2，4，8，16，32 ．
庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
如果将“一尺之棰”视为一份，
则每日剩下的部分依次为：
是,公比 q=1 是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
常数列
(5) 1，0，1，0，1，…
(6) 0，0，0，0，…
对概念的更深理解
(1) (2) (3) (4)
1. 各项不能为零,即 an 0 1，3，9，27，… 2. 公比不能为零,即 q 0 1 1 1 1 , , , , 3. 当q>0，各项与首项同号
2 4 8 16
5 ， 5， 5， 5 ， … 1，-1，1，-1，…
(5) 1，0，1，0，… (6) 0，0，0，0，…
当q<0，各项符号正负相间 4. 数列 a, a , a , … a 0 时,既是等差数列 又是等比数列;
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.
请探究归纳等比数列的通项公式
这个常数就叫做等比数列的公比（常用
字母 q 表示）．
判断下列各组数列是否是等比数列,如果是，写出首项 a1 和公比 q ，如果不是，说明理由
(1) (2) (3) (4) 1，3，9，27，81，…
1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16
练习一
是,公比 q=3
1 是,公比 q= 2
5 ， 5， 5， 5， 5， 5， … 1，-1，1，-1，1，…
等比数列公开课一等奖ppt课件
①－②得12Tn＝12＋212＋213＋…＋21n－2nn＋1 ＝1211－－1221n－2nn＋1＝1－21n－2nn＋1＝1－22＋n＋n1 ∴Tn＝2－2＋2n n
1．确定等比数列的关键是确定首项a1和公比q. 2．等比数列的通项公式、前n项和的公式中联系着五个量： a1、q、n、an、Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出 另外两个量．
∴12m2＋72m＋12≤27 整理得 m2＋7m－30≤0
解得－10≤m≤3，∴m 的最大值为 3.
设正项等比数列{an}的首项 a1＝12，前 n 项和为 Sn， 且 210S30－(210＋1)S20＋S10＝0.
(1)求{an}的通项； (2)求{nSn}的前 n 项和 Tn.
[解] (1)由 210S30－(210＋1)S20＋S10＝0 得 210(S30－S20) ＝S20－S10 即 210(a21＋a22＋…＋a30)＝a11＋a12＋…＋a20 因为 an>0，所以 210q10＝1 解之得 q＝12.
数列{bn}(n∈N*)是递增的等比数列，且b1＋b3＝5，b1b3 ＝4.
(1)求数列{bn}的通项公式； (2)若an＝log2bn＋3，求证数列{an}是等差数列； (3)若a12＋a2＋a3＋…＋am≤a46，求m的最大值．
[解] (1)由bb11b＋3＝b34＝5 知 b1，b3 是方程 x2－5x＋4＝0 的两根，注意到 bn＋1＞bn 得 b1＝1，b3＝4.
若把例题中的条件改为 an＋1＝13Sn＋1，n＝1,2,3……，思 考数列{an}是否为等比数列．若是请证明并求通项公式，若 不是说明理由．
[解] 数列{an}是等比数列 ∵an＋1＝13Sn＋1 ∴an＝13Sn－1＋1 ∴an＋1－an＝13(Sn－Sn－1)＝13an(n≥2)，
等比数列含义及通项公式【公开课教学PPT课件】
这个常数叫作等比数列的公比．通常用字母 q (q≠0)表示．
a n 1 an
q (a1
0,q
0 ）或
an a n 1
q (a1
0,qBiblioteka 0,n2)
[点睛] (1)“从第2 项起”，也就是说等比数列中至少含有三项
(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”
(3)“同一常数
若将上述n-1个等式相乘，便可得：
an a1 qn1 a1 0, q 0,n 2
N 检验n 1, an a1 qn1 a1 0, q 0, n
2．若等比数列的前三项分别为 5，-15,45，则第 5 项是( )
A．405
B．-405
当 q＝2 时，a1＝12，此时 an＝12 2n-1＝2n-2；
当 q＝12时，a1＝8，此时 an＝8
1 2
n-1＝24-n.
举一反三
(2)在等比数列{an}中，已知 a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1， 求 n. (2)解：法一：设公比为 q，由题意，得
a1q＋a1q4＝18， ① a1q2＋a1q5＝9， ②
(× )
(1)常数列一定是等差数列，却不一定是等比数列。 (2)非零的常数列既是等差数列 ,也是等比数列 。
2、等比数列的通项公式
如果一个数列 a1, a2 , a3 , …， an ,
是等比数列，它的公比是q q 0 那么
a2 a1 q
归
a3 a2 q a1 q 2
第一课时 等比数列的概念与通项公式
一、教学目标：1、知识与技能：了解现实生活中存 在着一类特殊的数列。
4311等比数列的概念与通项公式课件共39张PPT
当 q＝－2 时，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n， ∴数列{an}的公比为 2 或－2， 对应的通项公式分别为 an＝2n 或 an＝(－1)n－12n.
类型二 等比中项
[例 2] 已知等比数列的前三项和为 168，a2－a5＝42，求 a5，a7 的等比中项． [思路分析] 根据已知条件，求出等比数列的首项和公比，再利用定义求等比 中项．
此时{an}不是等比数列． 4．(知识点二)数列{an}为等比数列，若 a1＝2，a5＝8，则 a3＝±4.正确吗？为
什么？
提示：不正确．设等比数列{an}的公比为 q，则可得 q4＝aa51＝4，解得 q2＝2，所 以 a3＝a1·q2＝2×2＝4.
二、练一练
1．等差数列{an}的公差不为零，首项 a1＝1，a2 是 a1 和 a5 的等比中项，则数
课堂篇·互动学习
类型一 等比数列的通项公式及应用
[例 1] 在等比数列{an}中， (1)已知 a3＝9，a6＝243，求 a5； (2)已知 a1＝98，an＝13，q＝23，求 n. [思路分析] 根据题设条件，充分利用等比数列的通项公式代入求解．
[解] (1)方法一：由 a3＝9，a6＝243， 得 a1q2＝9，a1q5＝243. ∴q3＝2493＝27，∴q＝3.∴a1＝1. ∴a5＝a1q4＝1×34＝81. 方法二：∵a6＝a3q3，∴q3＝aa63＝2493＝27， ∴q＝3. ∴a5＝a3q2＝9×32＝81.
D．84
解析：∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21，∴1＋q2＋q4＝7， 解得 q2＝2 或 q2＝－3(舍去)，∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.
《等比数列》示范公开课教学课件
新知探究
问题6 在等比数列中，m＋n＝p＋q，am，an，ap，ak有什么关系呢？
若m＋n＝p＋k，则aman＝apak．
证明：由定义得：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ap＝a1qp－1，ak＝a1·qk－1， am·an＝a12qm＋n－2，ap·ak＝a12qp＋k－2，则aman＝apak．
新知探究
问题2 类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G为
a与b的等比中项．即G＝± ab（a、b同号）.
说明： G ＝ b G2 ＝ ab G ＝ ab aG
反之，若G2＝ab，则 G ＝ b ，即a，G，b成等比数列． aG
∴
m n ＝10 ，
m
n
＝16
，
∴
m ＝8，
n
＝
2
，
或
m ＝ 2 ，
n
＝8
．
∴这三个数为8，4，2或2，4，8．
典例分析
例 三个数成等比数列，它的和为14，它们的积为64，求这三个数．
解法二：设所求三个数分别为 a ，a，aq，则a3＝64，∴a＝4． q
又∵ a＋a＋aq＝14，∴ 4 ＋4＋4q＝14．解得
尝试与发现
问题8 你能证明上述结论吗？
证明：设数列{an}的公比为p，{bn}的公比为q，
那么数列{an·bn}的第n项与第n＋1项分别为：a1pn－1·b1qn－1与a1pn·b1qn，
即a1b1（pq）n－1与a1b1（pq）n．因为
an1 an
bn1 bn
＝
a1b1( pq)n a1b1( pq)n1
∴a，G，b成等比数列⇔G2＝ab（a·b≠0）．
《等比数列的概念及其通项公式(2)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
解：由等比数列的性质知，又，且是递增数列，所以，，所以所以公比．
解决数列问题时，首先要有运用数列性质的意识，然后仔细观察各项下标之间的关系，以寻求满足数列性质的条件，这样能简化运算过程.
解：（1）因为，且，所以，故数列是公比等比数列. 又，则，即 ， 又数列各项均为负数，则，所以 .
如何判断一个数列是否为等比数列？
通过验证数列从第2项起，每一项与它前一项所得的差是否是一个固定的常数:若是，则是等比数列；若否，则不是等比数列．
（2）设，由等比数列的通项公式得 ，即 .根据指数函数的性质，得，即.因此，是数列的第6项.
问某数是否是指定数列中的项，可以先假设是第n项，通过通项公式反求n的值，若n*，则该数是数列的第n项；若否，则不是．
若，则是否必成等比数列？
“成等比数列”与“”是不等价的．前者可以推出后者，但后者不能推出前者．如，满足，而0列中，若，，*，且，则．
证明：设公比为，因为，所以，.又因为，所以．特别地，若，则．
等比中项的性质
递增等比数列中，，，则数列的公比为______．
数列（3）中，中间这个数与前后两个数之间有什么关系？
设中间这个数是，则，整理得．
与等差中项类似，如果在与之间插入一个数，使得，，成等比数列，那么根据等比数列的定义，，，.我们称为，的等比中项.
条件：如果，，成等比数列.结论：那么为，的等比中项.满足的关系式： ，，.
在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项.
数学问题
实际问题
建立数列模型
解：（3）（hm2）；（hm2）； （hm2）；（hm2）； （hm2）.经过150年后，还剩约77680 hm2；经过200年后，约剩12421 hm2；经过250年后，约剩1986 hm2；经过300年后，约剩318 hm2；经过512年后，约剩0.134 hm2，森林几乎毁尽.
解决数列问题时，首先要有运用数列性质的意识，然后仔细观察各项下标之间的关系，以寻求满足数列性质的条件，这样能简化运算过程.
解：（1）因为，且，所以，故数列是公比等比数列. 又，则，即 ， 又数列各项均为负数，则，所以 .
如何判断一个数列是否为等比数列？
通过验证数列从第2项起，每一项与它前一项所得的差是否是一个固定的常数:若是，则是等比数列；若否，则不是等比数列．
（2）设，由等比数列的通项公式得 ，即 .根据指数函数的性质，得，即.因此，是数列的第6项.
问某数是否是指定数列中的项，可以先假设是第n项，通过通项公式反求n的值，若n*，则该数是数列的第n项；若否，则不是．
若，则是否必成等比数列？
“成等比数列”与“”是不等价的．前者可以推出后者，但后者不能推出前者．如，满足，而0列中，若，，*，且，则．
证明：设公比为，因为，所以，.又因为，所以．特别地，若，则．
等比中项的性质
递增等比数列中，，，则数列的公比为______．
数列（3）中，中间这个数与前后两个数之间有什么关系？
设中间这个数是，则，整理得．
与等差中项类似，如果在与之间插入一个数，使得，，成等比数列，那么根据等比数列的定义，，，.我们称为，的等比中项.
条件：如果，，成等比数列.结论：那么为，的等比中项.满足的关系式： ，，.
在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项.
数学问题
实际问题
建立数列模型
解：（3）（hm2）；（hm2）； （hm2）；（hm2）； （hm2）.经过150年后，还剩约77680 hm2；经过200年后，约剩12421 hm2；经过250年后，约剩1986 hm2；经过300年后，约剩318 hm2；经过512年后，约剩0.134 hm2，森林几乎毁尽.
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n + m = p + q(n, m, p, q ? N *) ? an am，日取其半，万世不竭.”
（2） 一位数学家说过：你如果能将一张 纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬 上月球。
以上两个实例所包含的数学问题:
(1)
1 ，1 2
，1 ，1 48
是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
(7) 1, x , x2, x3, x4, L (x 0) 是,公比 q= x
对概念的更深理解
an1 q(是与n无关的数或式子 ,且q 0） an
(1) 1，3，9，27，…
1. 各项不能为零,即 an 0 2. 公比不能为零,即 q 0
1
，
16
，…
(2) 1 ，2 ，4 ，8 ，16 ，32 ，…
等比数列概念
等比数列
❖ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一
项与它的前一项的 比 等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等比数列 ，这个常数叫 做等比数列的公比（q）。
等差数列
❖ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一
项与它的前一项的 差 等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列 ，这个常数叫 做等差数列的公差（d）。
a3
aa12qq2
(a1q)q
a4 a3q (a1q2 )q
a1q3
……
an a1
qn1
an a1qn1
等比数列的通项公式
a 等比数列 an ，首项为 1,公比为q,则通项公式为
an a1 • qn1
当q=1时，这是 一个常函数。
an 0
变形结论:
在等差数列 an 中
an am (n m)d
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.
等差数列通项公式的推导: an an1 d
方法一:(累加法)
a2 a1 d
a3 a2 d
a
4
…
a3…
d
(n-1)个 式子
an1 an2 d
an an1 d
an a1 (n 1)d
方法二:(归纳法)
a2 a1 d
a3 a2 d
(a1 d ) d
a1 2d
a4 a3 d
(a1 2d ) d
…a1
3d
…
an a1 (n 1)d
an 等比数列通项公式的推导：an1
q n
2
方法一:累积法
方法二:归纳法
a2 q
a1
a3 q a2 a4 q
(n-1)个 式子
…a3 …
an q
a n 1
a2 a1q
G ab
典型例题
例1 一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18,求它的第1项与第2项.
a 解：设这个等比数列的第1项是 ,公比是q ，那么 1 a q2 12 1
a q3 18 1
解得，
q3 2
16
，
a 1
3
因此 a a q 16 3 8
2
1
32
16
答：这个数列的第1项与第2项分别是 与 8.
郑蒲港二中高一数学组
旧知回顾
名称
等差数列
概念 常数 性质 通项 通项 变形 中项 公式
性质 公式
从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数
公差(d) d可正可负,且可以为零
an = a1 + (n - 1)d
an = ak + (n - k)d (n, k ? N *)
2an = an- 1 + an+1(n ? 2)
(n, m N*)
试问：在等比数列 an 中，如果知道 am和公
比q，能否求 an ？如果能，请写出表达式。
an amqnm (n, m N * )
等比中项的定义
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成 等比数列，那么G就叫做a与b的等比中项 在这个定义下，由等比数列的定义可得
Gb 即 aG G2 ab
an akqnk
通项 变形
(n, k N * )
an
ak
(n k)d
(n, k N *)
合作交流
例3、等比数列 { a n } 中， a 4 ·a 7 = －512，a 3 + a 8 = 124, 公比 q 为整数，求 a 10. 法一：直接列方程组求 a 1、q。
法二：在法一中消去了 a 1，可令 t = q 5
3
课堂互动
（1）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这
种物质是原来的 84% ，这种物质的半衰期为多长？（放射性物
质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期）
(2)一个等比数列中，a5 - a1 = 15, a4 - a2 = 6 ，求它的第3项；
等比数列的例题
例2 已知 an ,bn 是项数相同的等比数列， 求证 an bn是等比数列.
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，…
是,公比 q= 1 2
是,公比 q=1
(4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，… (6) 0，0，0，0，0，…
证明:设数列an 首项为a1,公比为q1;bn 首项为b1,公比为q2 那么数列 an bn的第n项与第n+1项 分别为：
a1 q1n1 b1 q2n1与a1 q1n b1 q2n
即为 a1b1(q1q2 )n1与a1b1(q1q2 )n
an1 an
bn1 bn
a1b1(q1q2 )n a1b1(q1q2 )n1
q1q2 .它是一个与n无关的常数，
所以 an bn 是一个以 q1q2 为公比的等比数列
回顾小结
等比数列
名称
等差数列
从第2项起,每一项与它前 概念 从第2项起,每一项与它前
一项的比等同一个常数
一项的差等同一个常数
公比(q)
常数
公差(d)
q可正可负,但不可为零 性质 d可正可负,且可以为零
an a1 • qn1 通项 an a1 (n 1)d
法三：由 a 4 ·a 7 = a 3 ·a 8 = －512 a32 124a3 512 0 a3 128或a3 4
(2) 1 , 1 , 1 , 1 , 3. 当q>0，各项与首项同号
2 4 8 16
(3) 5， 5， 5， 5，…
当q<0，各项符号正负相间
4. 数列 a, a , a , …
(4) 1，-1，1，-1，…
a 0 时,既是等差数列
(5) 1，0，1，0，…
又是等比数列;
(6) 0，0，0，0，…
（2） 一位数学家说过：你如果能将一张 纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬 上月球。
以上两个实例所包含的数学问题:
(1)
1 ，1 2
，1 ，1 48
是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
(7) 1, x , x2, x3, x4, L (x 0) 是,公比 q= x
对概念的更深理解
an1 q(是与n无关的数或式子 ,且q 0） an
(1) 1，3，9，27，…
1. 各项不能为零,即 an 0 2. 公比不能为零,即 q 0
1
，
16
，…
(2) 1 ，2 ，4 ，8 ，16 ，32 ，…
等比数列概念
等比数列
❖ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一
项与它的前一项的 比 等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等比数列 ，这个常数叫 做等比数列的公比（q）。
等差数列
❖ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一
项与它的前一项的 差 等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列 ，这个常数叫 做等差数列的公差（d）。
a3
aa12qq2
(a1q)q
a4 a3q (a1q2 )q
a1q3
……
an a1
qn1
an a1qn1
等比数列的通项公式
a 等比数列 an ，首项为 1,公比为q,则通项公式为
an a1 • qn1
当q=1时，这是 一个常函数。
an 0
变形结论:
在等差数列 an 中
an am (n m)d
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.
等差数列通项公式的推导: an an1 d
方法一:(累加法)
a2 a1 d
a3 a2 d
a
4
…
a3…
d
(n-1)个 式子
an1 an2 d
an an1 d
an a1 (n 1)d
方法二:(归纳法)
a2 a1 d
a3 a2 d
(a1 d ) d
a1 2d
a4 a3 d
(a1 2d ) d
…a1
3d
…
an a1 (n 1)d
an 等比数列通项公式的推导：an1
q n
2
方法一:累积法
方法二:归纳法
a2 q
a1
a3 q a2 a4 q
(n-1)个 式子
…a3 …
an q
a n 1
a2 a1q
G ab
典型例题
例1 一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18,求它的第1项与第2项.
a 解：设这个等比数列的第1项是 ,公比是q ，那么 1 a q2 12 1
a q3 18 1
解得，
q3 2
16
，
a 1
3
因此 a a q 16 3 8
2
1
32
16
答：这个数列的第1项与第2项分别是 与 8.
郑蒲港二中高一数学组
旧知回顾
名称
等差数列
概念 常数 性质 通项 通项 变形 中项 公式
性质 公式
从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数
公差(d) d可正可负,且可以为零
an = a1 + (n - 1)d
an = ak + (n - k)d (n, k ? N *)
2an = an- 1 + an+1(n ? 2)
(n, m N*)
试问：在等比数列 an 中，如果知道 am和公
比q，能否求 an ？如果能，请写出表达式。
an amqnm (n, m N * )
等比中项的定义
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成 等比数列，那么G就叫做a与b的等比中项 在这个定义下，由等比数列的定义可得
Gb 即 aG G2 ab
an akqnk
通项 变形
(n, k N * )
an
ak
(n k)d
(n, k N *)
合作交流
例3、等比数列 { a n } 中， a 4 ·a 7 = －512，a 3 + a 8 = 124, 公比 q 为整数，求 a 10. 法一：直接列方程组求 a 1、q。
法二：在法一中消去了 a 1，可令 t = q 5
3
课堂互动
（1）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这
种物质是原来的 84% ，这种物质的半衰期为多长？（放射性物
质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期）
(2)一个等比数列中，a5 - a1 = 15, a4 - a2 = 6 ，求它的第3项；
等比数列的例题
例2 已知 an ,bn 是项数相同的等比数列， 求证 an bn是等比数列.
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，…
是,公比 q= 1 2
是,公比 q=1
(4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，… (6) 0，0，0，0，0，…
证明:设数列an 首项为a1,公比为q1;bn 首项为b1,公比为q2 那么数列 an bn的第n项与第n+1项 分别为：
a1 q1n1 b1 q2n1与a1 q1n b1 q2n
即为 a1b1(q1q2 )n1与a1b1(q1q2 )n
an1 an
bn1 bn
a1b1(q1q2 )n a1b1(q1q2 )n1
q1q2 .它是一个与n无关的常数，
所以 an bn 是一个以 q1q2 为公比的等比数列
回顾小结
等比数列
名称
等差数列
从第2项起,每一项与它前 概念 从第2项起,每一项与它前
一项的比等同一个常数
一项的差等同一个常数
公比(q)
常数
公差(d)
q可正可负,但不可为零 性质 d可正可负,且可以为零
an a1 • qn1 通项 an a1 (n 1)d
法三：由 a 4 ·a 7 = a 3 ·a 8 = －512 a32 124a3 512 0 a3 128或a3 4
(2) 1 , 1 , 1 , 1 , 3. 当q>0，各项与首项同号
2 4 8 16
(3) 5， 5， 5， 5，…
当q<0，各项符号正负相间
4. 数列 a, a , a , …
(4) 1，-1，1，-1，…
a 0 时,既是等差数列
(5) 1，0，1，0，…
又是等比数列;
(6) 0，0，0，0，…