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等比数列的概念课件公开课课件

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等比数列的概念及通项公式-上课PPT课件

等比数列的概念及通项公式-上课PPT课件
20类比等差数列这样的数列可以叫做等比数一般地如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的比等于同一个常数这个数列就叫做等比数列这个常数就叫做等比数列的公比公比通常用字母q表示q0
等比数列
-
1
引例：
❖ ① 如下图是某种细胞分裂的模型：
细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1 2 4 8 16 …
-
2
引例：
a1 q a1 q
2 3
12 18
-
a312,a14118,
an 1 an
q
例1. 一个等比数列的第３项和第４项分别是１２和
１８，求它的第１项和第２项．
解 ：用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
16 与 8 .
ana1•qn1
3
解得 a1a4 a 2 a 3
因此， q
3 2
不是
等比数列中不 能存在为0的
项。
-
7
二、等比数列的通项公式：a n 1
an
q
思考：如何用a1和q表示第n项an？
❖ 方法：叠加法
等 a3 a2 d
差 数 列
a4 a3 d
ana1(n1)d
……
类比
+）an a1qn1
累乘法 a 3 q
等 比
a2
a4 q a3
数 列
an q n1
…a1 …
×） a2a1d
庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
意思：“一尺长的木
棒，每日取其一半，
1 1 1 1 永远也取不完” 。 1，，，， ，… 如果将“一尺之棰”视为单位“1”，
2 4 8 16
则每日剩下的部分依次为：

《等比数列性质》课件

《等比数列性质》课件

等比数列的性质
等比数列的性质取决于公比的正负情况。
公比为正的情况
1 单调性
2
当公比大于1时，数列呈现递增趋势；当 公比小于1但大于0时，数列呈现递减趋势。
公比为负的情况
极限值
当公比大于1时，数列趋于正无穷；当公 比小于1但大于0时，数列趋于0。Biblioteka 1 单调性2 极限值
无论公比是多少，等比数列都不会出现单 调性。
无论公比是多少，等比数列都不会收敛于 一个确定的极限值。
等比数列的无穷级数
等比数列的无穷级数指的是将数列的所有项相加，即求和。 如果公比的绝对值小于1，那么等比数列的无穷级数将收敛，其和可以通过以下公式计算： S∞ = a1 / (1 - r)
等比数列在几何意义上的应用
等比数列在图形中的应用
等比数列可以用来生成一些有趣的图形，如分形。分形是一种具有自相似性质的图形，无论放大或缩 小，形状都保持一致。
《等比数列性质》PPT课件
什么是等比数列
等比数列是一种数列，其中每一项与前一项的比值保持不变。它可以用以下 的通项公式来表示： an = a1 × r(n-1) 其中，a1表示等比数列的首项，r表示公比，而an表示第n项。
等比数列的通项公式与前n项和公式
等比数列的通项公式允许我们计算数列中的任何一项。而前n项和公式则可以帮助我们计算数列前n项 的和。 通项公式：an = a1 × r(n-1) 前n项和公式：Sn = a1 × (1 - rn) / (1 - r)
黄金分割的生成与应用
黄金分割是一种与等比数列相关的数学概念，在建筑、艺术、自然界等领域中有广泛的应用。它具有 特殊的美学意义。
相关练习题目
等比数列的计算 填空题 选择题 解析题

《等比数列的概念》课件

《等比数列的概念》课件

03
等比数列的应用
等比数列在数学中的应用
解题技巧
等比数列是数学中常见的数列类型， 它在解决数学问题时具有广泛的应用 。例如，在求解一些复杂数学问题时 ，可以利用等比数列的性质简化计算 过程。
公式推导
等比数列的通项公式和求和公式在数 学中经常被用来推导其他公式或解决 一些复杂的数学问题。这些公式是等 比数列应用的基石，能够提供解决问 题的有效途径。
等比数列的公比
总结词
表示等比数列中任意两项的比值
详细描述
等比数列的公比是任意两项的比值，通常用字母 q 表示。公比是等比数列中相 隔一项的两个数的比值，即 a_n/a_(n-1)。公比反映了等比数列中每一项与前一 项的比值。
等比数列的项数与项的关系
总结词
表示等比数列中项数与项的关系
详细描述
在等比数列中，任意一项的值可以用首项、公比和项数来表 示。例如，第 n 项的值可以用 a_n=a_1×q^(n-1) 来表示， 其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。这个公式揭示了等 比数列中项数与项的关系。
《等比数列的概念》ppt课件
目录 Contents
• 等比数列的定义 • 等比数列的性质 • 等比数列的应用 • 练习题与答案
01
等比数列的定义
等比数列的文字定义
总结词：简洁明了
详细描述：等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值都相等 。
等比数列的数学符号定义
总结词：专业严谨
详细描述：等比数列通常表示为 a_n，其中 a 是首项，r 是公比，n 是项数。其数学定义是 a_n = a * r^(n-1)，其中 r ≠ 0。
等比数列与等差数列的区别
总结词：对比分析

等比数列课件ppt

等比数列课件ppt

02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的 商是常数，这个常数被称为公比 。在等比数列中，每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析

等比数列公开课课件PPT

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等比数列的应用
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。

等比数列的概念PPT优秀课件

等比数列的概念PPT优秀课件
(3) (4) (5) (6)
公比 q=2 递增数列 公比 q=3 递增数列
1 , x , x , x , x , ( x 0 )
234
公比 d= x
1 公比 q= 递减数列 2
1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16
5，5，5，5，5，5，… 1，-1，1，-1，1，…
公比 q=1 非零常数列 公 比q= -1 摆动数列
为0.
等比数列、等差数列定义比较
等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它 的前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数）， 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数 列的公比，公比通常用字母q表示。 等差数列：如果一个数列从第2项起,每一项与它的 前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通 常用字母d来表示.
讨论
已知等比数列 （1） 首项
a n
a1
： 能不能是零？
Why? 不能！！！
（2）公比q能不能是零？
Why? 不能！！！
等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等比数列： （1）1，±3 ， 9 （3）-12， ±6 ，-3 （2）-1， ±2 ，-4 （4）1，±1 ，1
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列， 那么G叫做a与b的等比中项。
G ab G ab
2
等比中项与等差中项比较
G ab G ab
2
ab A 2
现给出等差中项的性质 1、在等差数列中，从第二项起,每 一项是相邻两项的等差中项。 2、在等差数列中，数列中的某一项 是与它“等距离”的两项的等差中 项。 你能类比中项的性质吗?可以用数学 式子表示吗?

等比数列完整版课件PPT

等比数列完整版课件PPT

通项 公式2
an
am
(n m)d
(n, m N *)
G是a、b的等比中项 中项 A是a、b的等差中项
G2 ab (ab 0)
2A a b
布置作业
1.求数列an 的通项公式.
a1 =5，且2an1 3an.
2.已知数列an 为等比数列，
且a2Leabharlann 4, a51 2, 求an.
q3 27
q3
a1 1 a4 a1q3 27 an 3n1(n N*)
能力提升
2014理科全国卷Ⅱ
已知数列an满足a1 1, an1 3an 1.
证明an
1 2
是等比数列，并求
an
的通项公式。
证明：设an
1 2
bn
an1 3an 1
an1
1 2
3(an
1) 2
an 1
an1 q (q为常数，且q≠0 ；n∈N*) an
[或
an an1
q
(q为常数，且q≠0 ；n≥2且n∈N*)
]
练习
判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪
些不是？如果是，写出首项a1和公比q, 如
果不是，说明理由。
(1) 1，3，9，27，… 是 a1=1, q=3
(2)
1 , 1 , 1 , 1 , 2 4 8 16
①
1, 1 , 1 , 1;
②
248
共同特点：从第二项起，每一项与前一项 的比都等于同一个常数．
二、新课探究
1. 等比数列的定义:
一般地，若一个数列从第二项起，每一 项与它的前一项的比等于同一个常数，这个 数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的 公比，用字母q(q≠0) 表示.

等比数列的概念(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

等比数列的概念(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
4 = 3 = 1 2 = 1 3 ,
由此可得
……
= 1 −1 ≥ 2 .
又1 = 1 0 = 1 1−1 ，这就是说，当n=1时上式也成立.
首项为1 ，公比为q 的等比数列{ }的通项公式为
= 1 −1
过关测试
1.判断正误
1 1 1
B．a，a2，a3，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…
D．0,0,0，…
2,
2
)
解析：A、C、D 不是等比数列，A 中不满足定义，C、D 中项可为 0，不符
合定义．
答案：B
3．2＋ 3和 2－ 3的等比中项是
A．1 B．－1
(
C．±1 D．2
答案：C
4．若数列x，x2，x3，x4，…为等比数列，则x应满足的条件是________．
（2）当 1 > 0, 0 < < 1或 1 < 0, > 1 时，等比数列{ }为递减数列；
（3）当ｑ＝１时，数列{ }为常数列；
（4）当ｑ＜０时，数列{ }为摆动数列.
典型例题
【典例1】 若等比数列{ }的第4项和第6项分别为48和12，求{ }的第5项.
分析：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方
法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有
一定的技巧性，能简化运算．
已知数列{an}是等比数列，公比q<1，且a2＝2，a1＋a2＋a3＝7.
(1)求{an}的通项公式．
(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．
数列①~⑥的公比依次是

等比数列的概念 省级公开课课件 PPT

等比数列的概念 省级公开课课件 PPT
∵ 公比 q 为整数
∴ a 10 = a 3×q 10 －3 = －4×(-2) 7 = 512
当q<0，各项符号正负相间
4. 数列 a, a , a , …
时,既是等差数列 又是等比数列;
时,只是等差数列
而不是等比数列.
等差数列通项公式的推导:
方法一:(累加法)
方法二:(归纳法)
……
(n-1)个 式 子
……
等比数列通项公式的推导：
方法一:累积法
方法二:归纳法
……
(n-1)个 式 子
…… a n = a1q n-1
(7)
是,公比 q=1 是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
是,公比 q= x
对概念的更深理解
(1) 1，3，9，27，… (2)
(3) 5， 5， 5， 5，… (4) 1，-1，1，-1，… (5) 1，0，1，0，… (6) 0，0，0，0，…
1. 各项不能为零,即 2. 公比不能为零,即 3. 当q>0，各项与首项同号
典型例题
例1 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18, 求它的第1项与第2项.
解：设这个等比数列的第1项是
,公比是q ，那么
解得，
，
因此 答：这个数列的第1项与第2项分别是 与 8.
课堂互动
（1）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原
来的
，这种物质的半衰期为多长？（放射性物质衰变到原来的一半所
等比数列的通项公式
等比数列 ，首项为 ,公比为q,则通项公式为
当q=1时，这是一 个常函数。
变形结论:
在等差数列 中
试问：在等比数列 中，如果知道 和公比q，能 否求 ？如果能，请写出表达式。

等比数列(公开课课件)

等比数列(公开课课件)

教师备选
已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an. (1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
an＋2＝2an＋1＋3an， 所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)， 因为{an}中各项均为正数， 所以 an＋1＋an>0，所以aan＋n＋2＋1＋aan＋n 1＝3，
第六章
考试要求
1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系.
落实主干知识 探究核心题型
课时精练
LUOSHIZHUGANZHISHI
落实主干知识
知识梳理
1.等比数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比 都等于同一个常数 (不为零)，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做 等比数列的 公比 ，通常用字母q表示，定义的表达式为 aan＋n1＝q (n∈N*， q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那 么 G 叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
方法二 设等比数列{an}的公比为q，
则aa34qq22－ －aa34＝ ＝1224， ，
① ②
②①得aa34＝q＝2.
将q＝2代入①，解得a3＝4. 所以 a1＝aq32＝1，下同方法一.
(2)(2019·全国Ⅰ)记 121
Sn
为等比数列{an}的前
n
项和.若
a1＝31，a24＝a6，则
S5
＝___3_____.
假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列， ∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得 λ＝12， 此时 Sn＋12＝12×3n，则SSn＋n＋1＋1212＝1212××33n＋n1＝3，

等比数列的概念及基本运算ppt课件

等比数列的概念及基本运算ppt课件

篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
点评：(1)解决等比数列问题，关键是抓住首项 a1 和 公比 q，求解时，要注意方程思想的运用．
(2)运用等比数列求和公式时，要注意公比 q 是否为 1.当 n 较小时，直接利用前 n 项和的意义展开，不仅可避 开公比 q 的讨论，还可使求解过程简捷．
q3＝－2， 所以a1＝1，
或q3＝－12， a1＝－8.
所以 a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
a111－－qq10＝10， (2)(方法一)设公比为 q，则a111－－qq20＝30， 得 1＋q10＝3，所以 q10＝2. 所以 S30＝a111－－qq30＝a111－－qq10(1＋q10＋q20) ＝10(1＋2＋22)＝70. (方法二)因为 S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又 S10＝10，S20＝30， 所以 S30－30＝30－10102＝40，所以 S30＝70. 答案：(1)D (2)70
A．8
B．9
C．10
D．11
解：因为 a5a7＝a62，a7a9＝a82， 所以 a5a7＋2a6a8＋a7a9＝a62＋2a6a8＋a28＝(a6＋a8)2＝100.又 an＞ 0，所以 a6＋a8＝10.
答案：C
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
2．(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1＝3，a1＋a3

等比数列公开课一等奖ppt课件

等比数列公开课一等奖ppt课件

①－②得12Tn＝12＋212＋213＋…＋21n－2nn＋1 ＝1211－－1221n－2nn＋1＝1－21n－2nn＋1＝1－22＋n＋n1 ∴Tn＝2－2＋2n n
1．确定等比数列的关键是确定首项a1和公比q. 2．等比数列的通项公式、前n项和的公式中联系着五个量： a1、q、n、an、Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出 另外两个量．
∴12m2＋72m＋12≤27 整理得 m2＋7m－30≤0
解得－10≤m≤3，∴m 的最大值为 3.
设正项等比数列{an}的首项 a1＝12，前 n 项和为 Sn， 且 210S30－(210＋1)S20＋S10＝0.
(1)求{an}的通项； (2)求{nSn}的前 n 项和 Tn.
[解] (1)由 210S30－(210＋1)S20＋S10＝0 得 210(S30－S20) ＝S20－S10 即 210(a21＋a22＋…＋a30)＝a11＋a12＋…＋a20 因为 an>0，所以 210q10＝1 解之得 q＝12.
数列{bn}(n∈N*)是递增的等比数列，且b1＋b3＝5，b1b3 ＝4.
(1)求数列{bn}的通项公式； (2)若an＝log2bn＋3，求证数列{an}是等差数列； (3)若a12＋a2＋a3＋…＋am≤a46，求m的最大值．
[解] (1)由bb11b＋3＝b34＝5 知 b1，b3 是方程 x2－5x＋4＝0 的两根，注意到 bn＋1＞bn 得 b1＝1，b3＝4.
若把例题中的条件改为 an＋1＝13Sn＋1，n＝1,2,3……，思 考数列{an}是否为等比数列．若是请证明并求通项公式，若 不是说明理由．
[解] 数列{an}是等比数列 ∵an＋1＝13Sn＋1 ∴an＝13Sn－1＋1 ∴an＋1－an＝13(Sn－Sn－1)＝13an(n≥2)，

等比数列的概念优秀课件

等比数列的概念优秀课件
n a S 3 c， （1）、设数列 n 的前项和为 n 若a n 是等比数列，求 c 。
（2）、已知 a n 是无穷等比数列，公比 a a , a a , a a , 1 2 3 4 5 6 为q ，在数列 a n 中， ， 组成一个新数列，这个数列是等比数列 吗？如果是，它的公比是多少？结论可 以推广吗？
a n
复习数列的有关概念2 如果数列 a n 的第n项 a n 与n之间的
关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫 做这个数列的通项公式。
S a a a a a n 1 2 3 n 1 n 叫做数列 a n 的前n项和。
n1 ) S 1( a n S n2 ) n S n 1(
为0.
等比数列、等差数列定义比较
等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它 的前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数）， 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数 列的公比，公比通常用字母q表示。 等差数列：如果一个数列从第2项起,每一项与它的 前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通 常用字母d来表示.
等比数列(一) --等比数列概念
等比数列的概念
复习数列的有关概念1
按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列中的各项依次叫做这个数列的 第1项（或首项）用 a 1 表示，
第2项用 a 2表示 …，第n项用 a n 表示， …， 数列的一般形式可以成： a 1 , a 2 , a 3 , …， a n , … ， 简记：
a a ( 是与 n 无关的数或式子 n 1 n d

a n 的前n项和
A

《等比数列》示范公开课教学课件

《等比数列》示范公开课教学课件

新知探究
问题6 在等比数列中，m＋n＝p＋q，am，an，ap，ak有什么关系呢？
若m＋n＝p＋k，则aman＝apak．
证明：由定义得：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ap＝a1qp－1，ak＝a1·qk－1， am·an＝a12qm＋n－2，ap·ak＝a12qp＋k－2，则aman＝apak．
新知探究
问题2 类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G为
a与b的等比中项．即G＝± ab（a、b同号）.
说明： G ＝ b G2 ＝ ab G ＝ ab aG
反之，若G2＝ab，则 G ＝ b ，即a，G，b成等比数列． aG
∴
m n ＝10 ，
m
n
＝16
，
∴
m ＝8，
n
＝
2
，
或
m ＝ 2 ，
n
＝8
．
∴这三个数为8，4，2或2，4，8．
典例分析
例 三个数成等比数列，它的和为14，它们的积为64，求这三个数．
解法二：设所求三个数分别为 a ，a，aq，则a3＝64，∴a＝4． q
又∵ a＋a＋aq＝14，∴ 4 ＋4＋4q＝14．解得
尝试与发现
问题8 你能证明上述结论吗？
证明：设数列{an}的公比为p，{bn}的公比为q，
那么数列{an·bn}的第n项与第n＋1项分别为：a1pn－1·b1qn－1与a1pn·b1qn，
即a1b1（pq）n－1与a1b1（pq）n．因为
an1 an
bn1 bn
＝
a1b1( pq)n a1b1( pq)n1
∴a，G，b成等比数列⇔G2＝ab（a·b≠0）．
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(6) 0，0，0，0，…
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.
等差数列通项公式的推导: an an1 d
方法一:(累加法)
a2 a1 d
a3 a2 d
a
4
…
a3…
d
(n-1)个 式子
an1 an2 d
an an1 d
an a1 (n 1)d
1
，
16
，…
(2) 1 ，2 ，4 ，8 ，16 ，32 ，…
等比数列概念
等比数列

一般地，如果一个数列从第2项起，
每一项与它的前一项的 比 等于同一个
常数，那么这个数列就叫做等比数列 ，这
个常数叫做等比数列的公比（q）。
等差数列

一般地，如果一个数列从第2项起，
每一项与它的前一项的 差 等于同一个常
2. 公比不能为零,即 q 0
2(27)，…1 , 1 , 1 , 1 , 3. 当q>0，各项与首项同号
2 4 8 16
(3) 5(，4)… 1，… (5)
5， 5， 5， 1，-1，1，1，0，1，0，…
当q<0，各项符号正负
4相.间数列 a, a , a , …
a 0 时,既是等差数列 又是等比数列;
a1 q1n1 b1 q2n1与a1 q1n b1 q2n
即为 a1b1(q1q2 )n1与a1b1(q1q2 )n
an1 an
bn1 bn

a1b1(q1q2 )n a1b1(q1q2 )n1

q1q2 .它是一个与n无关的常数，
所以 an bn 是一个以 q1q2 为公比的等比数列
数，那么这个数列就叫做等差数列 ，这个
常数叫做等差数列的公差（d）。
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，… (2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
是,公比
q=3
是,公比
q=
1
2
(3) 5(，4)… 1(5，) …
5，5，5，5，5， 1，-1，1，-1， 1，0，1，0，1，…
郑蒲港二中高一数学组
旧知回顾
名称
等差数列
概念 常数 性质 通项 通项 变形 中项 公式
性质 公式
从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数
公差(d) d可正可负,且可以为零
an = a1 + (n - 1)d
an = ak + (n - k)d (n, k ? N *)
2an = an- 1 + an+1(n ? 2)
那么
1
a q2 12
1
,公比是q ，
a q3 18 1
解得，
q3 2
16
，
a 1
3
因此 a a q 16 3 8
2
13216答：这个数列的第1项与第2项分别是 与 8.
3
课堂互动
（1）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这
种物质是原来的 84% ，这种物质的半衰期为多长？（放射性物
回顾小结
等比数列
名称
等差数列
从第2项起,每一项与它前概念 从第2项起,每一项与它前
一项的比等同一个常数
一项的差等同一个常数
公比(q)
常数
公差(d)
q可正可负,但不可为零 性质 d可正可负,且可以为零
an a1 qn1 通项 an a1 (n 1)d
an akqnk
通项 变形
an a1 qn1
当q=1时，这是 一个常函数。
an 0
SUCCESS
THANK YOU
•
变形结论:
在等差数列 an 中
an am (n m)d
(n, m N*)
试问：在等比数列 an 中，如果知道 am和公
比q，能否求 an ？如果能，请写出表达式。
an amqnm (n, m N * )
是,公比 q=1 是,公 比q= -1
不是等比数列
(6) 0，0，0，0，0，…
不是等比数列
(7) 1, x , x2, x3, x4, (x 0) 是,公比 q=
x
对概念的更深理解
an1 q(是与n无关的数或式子 ,且q 0） an
1. 各项不能为零,即 an 0
(1) 1，3，9，
质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期）
(2)一个等比数列中，a5 - a1 = 15, a4 - a2 = 6 ，求它的第3项；
等比数列的例题
例2 已知 an ,bn 是项数相同的等比数列， 求证 an bn是等比数列.
证明:设数列an 首项为a1,公比为q1;bn 首项为b1,公比为q2 那么数列 an bn的第n项与第n+1项 分别为：
a2 q
a1
a3 q a2 a4 q
(n-1)个 式子
…a3 …
an q a n 1
an a1

qn1
a2 a1q
a3

aa12qq2
(a1q)q
a4 a3q (a1q2 )q
a1q3
……
an a1qn1
等比数列a1的通项公式
等比数列 an ，首项为 ,公比为q,则通项公式为
n + m = p + q(n, m, p, q ? N *) ? an am = ap + aq
创设情景,引入新课
（1）“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
（2） 一位数学家说过：你如果能将一张 纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬 上月球。
以上两个实例所包含的数学问题:
(1)
1 ，1 2
，1 ，1 48
方法二:(归纳法)
a2 a1 d
a3 a2 d
(a1 d ) d
a1 2d
a4 a3 d
(a1 2d ) d

…a1
3d
…
an a1 (n 1)d
an 等比数列通项公式的推导：an1

q n

2
方法一:累积法
方法二:归纳法
(n, k N * )
an

ak
(n k)d
(n, k N *)
合作交流
例3、等比数列 { a n } 中， a 4 · a 7 = －512，a 3 + a 8 = 124,
等比中项的定义
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成 等比数列，那么G就叫做a与b的等比中项
在这个定义下，由等比数列的定义可得
Gb 即 aG G2 ab
G ab
典型例题
例1 一个等比数列的第3项与第4项 分别是12与18,求它的第1项与第2项.
a 解：设这个等比数列的第1项是