2018届高考数学第七章不等式、推理与证明单元质检卷文 新人教A版 Word版 含答案

-17-
;
考点1
考点2
考点3
解析: (1)因为 x<54,所以 5-4x>0. 所以 f(x)=4x-2+4���1���-5
=-
5-4������
+
1 5-4������
+3≤-2+3=1,
当且仅当 5-4x=5-14������,即 x=1 时,等号成立.
(2)因为 x>2,所以 x-2>0.
7.2 基本不等式及其应用
知识梳理
双基自测
自测点评
123
-2-
1.基本不等式:
������������
≤
������+������ 2
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号.
(3)其中������+2 ������称为正数 a,b 的算术平均数, ������������称为正数 a,b 的几何 平均数.
∴ab≤
������+������ 2
2
= 14,当且仅当 a=b=12时,等号成立.
于是���1���������≥4,���2���������≥8,当且仅当 a=b=12时,等号成立.
∴
1
+
1 ������
1
+
1 ������
≥1+8=9,
当且仅当 a=b=12时,等号成立.
-16-
考点1
考点2
考点1
考点2
考点3
考点 1 利用基本不等式证明不等式
例
1(1)设
a,b,c
都是正数,求证:������������������

单元滚动检测七 不等式考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab <b 2 C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |2．(2016·青岛模拟)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c －b d >0 B.a c －b d <0 C.a d >b cD.a d <b c3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]4．(2016·临沂模拟)不等式－x 2＋|x |＋2<0的解集是( ) A ．{x |－2<x <2} B ．{x |x <－2或x >2} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |x <－1或x >1}5．(2015·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y的最大值为( ) A ．3B ．4C ．18D ．406．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m和n ，则m －n 等于( ) A ．5B ．6C ．7D ．87．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M ，N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定8．(2016·威海模拟)已知a >1，设函数f (x )＝a x ＋x －4的零点为m ，g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，则mn 的最大值为( ) A ．8B ．4C ．2D ．19．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋23B ．7＋23C ．6＋43D ．7＋4 310．(2016·菏泽模拟)已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪(－12，＋∞)，则a 等于( ) A ．2B ．－2C ．－12D.12 11．函数y ＝log 2(x ＋1x －1＋5)(x >1)的最小值为( ) A ．－3B ．3C ．4D ．－412．已知二次不等式ax 2＋2x ＋b >0(a ≠0)的解集为{x |x ≠－1a }，且a >b ，则a 2＋b 2a －b的最小值为( ) A ．1B.2C ．2D ．2 2第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若直线2ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b 的最小值是________．14．(2016·济南模拟)若关于x 的不等式x 2－4x ＋a 2≤0的解集是空集，则实数a 的取值范围是________．15．若当x >－3时，不等式a ≤x ＋2x ＋3恒成立，则a 的取值范围是________．16.如图所示，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a 米(0<a <12)、4米，不考虑树的粗细．现在想用16米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的面积为S 平方米，S 的最大值为f (a )，若将这棵树围在花圃内，则函数u ＝f (a )的解析式为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋6. (1)当a ＝5时，解不等式f (x )<0；(2)若不等式f (x )>0的解集为R ，求实数a 的取值范围.18.(12分)已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．19.(12分)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．用x 、y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．20.(12分)(2016·莱芜模拟)某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a －3x500)万元(a >0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？21.(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0.22.(12分)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的一个零点是－1，且满足[f (x )－x ]·[f (x )－x 2＋12]≤0恒成立．(1)求f (1)的值； (2)求f (x )的解析式.答案精析1．D[∵1a<1b<0，∴b<a<0.∴a2<b2，ab<b2，a＋b<0，|a|＋|b|＝|a＋b|.]2．D[∵c<d<0，∴0<－d<－c，又0<b<a，∴－bd<－ac，即bd>ac，又∵cd>0，∴bdcd>accd，即bc>ad.]3．A[方法一当x≤0时，x＋2≥x2，∴－1≤x≤0；①当x>0时，－x＋2≥x2，∴0<x≤1.②由①②得原不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．方法二作出函数y＝f(x)和函数y＝x2的图象，如图，由图知f(x)≥x2的解集为[－1,1]．]4．B[原不等式化为|x|2－|x|－2>0，因式分解得(|x|－2)(|x|＋1)>0，因为|x|＋1>0恒成立，所以|x|－2>0即|x|>2，解得x<－2或x>2.]5．C[画出约束条件的可行域如图阴影部分所示，作直线l：x＋6y＝0，平移直线l可知，直线l过点A时，目标函数z＝x＋6y取得最大值，易得A(0,3)，所以z max ＝0＋6×3＝18，故选C.]6．B[画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z . 由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1， ∴A (－1，－1)．由⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1， ∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ， 故m －n ＝6.]7．A [∵0<a <1b ，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0， ∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab(1＋a )(1＋b )>0.] 8．B [令f (x )＝0，g (x )＝0，得a x ＝4－x ，log a x ＝4－x ， 因为y ＝a x 与y ＝log a x 的图象关于直线y ＝x 对称， 所以m ，n 关于两直线y ＝x 和y ＝4－x 交点的横坐标对称， 则m ＋n ＝4，所以mn ≤(m ＋n 2)2＝4.]9．D[由题意得⎩⎨⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎨⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ， 所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1. 所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4ba ≥7＋23a b ·4ba ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba 时取等号．故选D.]10．B [根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0的两个根，所以－1×(－12)＝－1a ，所以a ＝－2.] 11．B [x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6 ≥2(x －1)·1x －1＋6＝2＋6＝8，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，取“＝”． 所以y ＝log 2(x ＋1x －1＋5)≥log 28＝3.] 12．D [由已知得函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 的图象与x 轴只有一个公共点，且a >0， 所以22－4ab ＝0，即ab ＝1，所以a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b ＝a －b ＋2a －b ≥22(当且仅当a ＝2＋62，b＝6－22时等号成立)，故选D.] 13．3＋2 2解析 由x 2＋y 2－2x －4y －6＝0得 (x －1)2＋(y －2)2＝11，若直线2ax ＋by －2＝0平分圆， 则2a ＋2b －2＝0，即a ＋b ＝1， 所以2a ＋1b ＝2(a ＋b )a ＋a ＋b b ＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22b a ·a b ＝3＋22，当且仅当2b a ＝ab ，且a ＋b ＝1， 即a ＝2－2，b ＝2－1时取等号． 14．{a |a <－2或a >2}解析 因为y ＝x 2－4x ＋a 2开口向上， 不等式x 2－4x ＋a 2≤0的解集是空集． 所以Δ＝16－4a 2<0，解得a <－2或a >2，所以实数a 的取值范围是a <－2或a >2. 15．(－∞，22－3]解析 设f (x )＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3，因为x >－3，所以x ＋3>0， 故f (x )≥2(x ＋3)×2x ＋3－3＝22－3， 当且仅当x ＝2－3时等号成立， 所以a 的取值范围是(－∞，22－3]． 16．f (a )＝⎩⎨⎧64，0<a ≤8，a (16－a )，8<a <12解析 设AD ＝x 米， S ＝x (16－x )≤(x ＋16－x 2)2＝64. 当且仅当x ＝8时等号成立． 因为树围在花圃内，所以0<a ≤8时，x ＝8能满足条件， 即f (a )＝64.当8<a <12时，S ＝x (16－x )的最大值为a (16－a )． 所以f (a )＝⎩⎨⎧64，0<a ≤8，a (16－a )，8<a <12.17．解 (1)因为当a ＝5时，不等式f (x )<0， 即x 2＋5x ＋6<0， 所以(x ＋2)(x ＋3)<0，所以－3<x <－2，所以不等式f (x )<0的解集为{x |－3<x <－2}． (2)不等式f (x )>0的解集为R ，即关于x 的一元二次不等式x 2＋ax ＋6>0的解集为R . 所以Δ＝a 2－24<0，解得－26<a <26， 所以实数a 的取值范围是(－26，26)． 18．解 (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得 xy ＝2x ＋8y ≥216xy ＝8xy ，∴xy ≥8，∴xy ≥64，∴xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )(8x ＋2y )＝8y x ＋2xy ＋10≥216＋10＝18， 当且仅当x 2＝4y 2，即x ＝2y 时，取等号． 19．解 AB →＝(1,2)，AC→＝(2,1)， ∵OP→＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )， ∴⎩⎨⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 两式相减得m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1， 故m －n 的最大值为1.20．解 (1)由题意得10(1000－x )(1＋0.2x %)≥10×1000， 即x 2－500x ≤0，又x >0，所以0<x ≤500， 即最多调整出500名员工从事第三产业．(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a －3x500)x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为 10(1000－x )(1＋1500x )万元，则 10(a －3x 500)x ≤10(1000－x )(1＋1500x )， 所以ax －3x 2500≤1000＋2x －x －1500x 2， 所以ax ≤2x 2500＋1000＋x ， 即a ≤2x 500＋1000x ＋1恒成立，因为2500x ＋1000x ≥22x 500×1000x ＝4， 当且仅当2x 500＝1000x ，即x ＝500时等号成立，所以a ≤5，又a >0，所以0<a ≤5，即a 的取值范围为(0,5]．21．解 (1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎨⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，又∵0≤a ≤1，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得1－a ＝22，∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0. 解得－12<x <32，∴不等式的解集为(－12，32)．22．解 (1)由基本不等式得x 2＋12≥2|x |2＝|x |，若[f (x )－x ]·[f (x )－x 2＋12]≤0恒成立，即x ≤f (x )≤x 2＋12恒成立，令x ＝1得1≤f (1)≤12＋12＝1，故f (1)＝1.(2)由函数零点为－1，得f (－1)＝0，即a －b ＋c ＝0，又由(1)知a ＋b ＋c ＝1，所以解得a ＋c ＝b ＝12.又f (x )－x ＝ax 2＋12x ＋c －x ＝ax 2－12x ＋c ，因为f (x )－x ≥0恒成立， 所以a >0，c >0，Δ＝14－4ac ≤0，因此ac ≥116，再由a ＋c ＝12，① 得ac ≤(c ＋a 2)2＝116，②故ac ＝116，且a ＝c ＝14， 故f (x )＝14x 2＋12x ＋14.。

A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【解析】 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ， 所以lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确． 【答案】 C2．(2016·河南百校联盟质检)如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a ，b (2≤a ≤10)，剪去部分的面积为8，则1b ＋1＋9a ＋9的最大值为( )A ．1 B.1110C.65D ．2 【解析】 由题意，2ab ＝8，∴b ＝4a.∵2≤a ≤10，∴1b ＋1＋9a ＋9＝14a ＋1＋9a ＋9＝1＋5a ＋36a ＋13≤1＋52a ·36a＋13＝65， 当且仅当a ＝36a ，即a ＝6时，1b ＋1＋9a ＋9取得最大值65. 【答案】 C3．(2016·新疆乌鲁木齐第二次诊断)已知x ，y 都是正数，且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( )A.1315 B ．2 C.94D ．3 【解析】 由题意知，x ＋2＞0，y ＋1＞0，(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则4x ＋2＋1y ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4（y ＋1）x ＋2＋x ＋2y ＋1≥14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋24（y ＋1）x ＋2·x ＋2y ＋1＝94，当且仅当x ＝23，y ＝13时，4x ＋2＋1y ＋1取最小值94. 【答案】 C4．(2016·甘肃白银会宁一中第三次月考)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ． D ．，所以S ∈．故该单位每月获利，最大利润为35 000元．。

考点2 线性规划中的最值问题（2018·浙江卷）若x ，y 满足约束条件{x －x ≥0,2x ＋x ≤6,x ＋x ≥2,则z ＝x ＋3y 的最小值是________，最大值是________．【解析】由{x －x ≥0,2x ＋x ≤6,x ＋x ≥2,，画出可行域如图阴影部分所示（含边界）．由{2x ＋x ＝6,x ＋x ＝2,解得A （4，－2），由{x －x ＝0,2x ＋x ＝6,解得B （2,2）， 将函数y ＝－13x 的图象平移可知，当目标函数的图象经过A （4，－2）时，z min ＝4＋3×（－2）＝－2； 当目标函数的图象经过B （2,2）时，z max ＝2＋3×2＝8. 【答案】－2 8（2018·天津卷（文））设变量x ，y 满足约束条件{x ＋x ≤5,2x －x ≤4,－x ＋x ≤1,x ≥0,则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为（ ）A ．6B ．19C ．21D ．45【解析】画出可行域如图阴影部分所示（含边界），由z ＝3x ＋5y ，得y ＝－35x ＋x5.设直线l 0为y ＝－35x ，平移直线l 0，当直线y ＝－35x ＋x5过点P （2,3）时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋5×3＝21. 故选C ． 【答案】C（2018·全国卷Ⅲ（文））若变量x ，y 满足约束条件{2x ＋x ＋3≥0,x －2x ＋4≥0,x －2≤0,则z ＝x ＋13y 的最大值是________．【解析】画出可行域如图阴影部分所示，由z ＝x ＋13y 得y ＝－3x ＋3z ，作出直线y ＝－3x ，并平移该直线，当直线y ＝－3x ＋3z 过点A （2,3）时，目标函数z ＝x ＋13y 取得最大值为2＋13×3＝3.【答案】3（2018·全国Ⅱ卷（文））若x ，y 满足约束条件{x ＋2x －5≥0,x －2x ＋3≥0,x －5≤0,则z ＝x ＋y 的最大值为________．【解析】由不等式组画出可行域如图阴影部分（含边界）．目标函数z ＝x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z （z 看作常数）在y 轴上的截距最大，由图可得当直线x ＋y ＝z 过点C 时，z 取得最大值． 由{x ＝5,x －2x ＋3＝0,得点C （5,4），∴z max ＝5＋4＝9. 【答案】9（2018·全国Ⅰ卷（文））若x ，y 满足约束条件{x −2x −2≤0,x −x +1≥0,x ≤0,则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．【解析】作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－32x ＋x2.作直线l 0：y ＝－32x ，平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋x2过点（2,0）时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6. 【答案】6（2018·北京卷（文））若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________． 【解析】由条件得{x ＋1≤x ,x ≤2x ,即{x －x ＋1≤0,2x －x ≥0,作出可行域，如图中阴影部分所示．设z ＝2y －x ，即y ＝12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝12x 并向上平移，显然当l 0过点A （1,2）时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1＝3. 【答案】3。