2020高考全真模拟卷数学(理科)

一、选择题 :（本大题共10小题, 每小题5分, 共50分.）1．满足条件{1，2}⋃M =}{3,2,1的所有集合M 的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．已知数列{}n a ，且)(2*∈=N n a n n ，则 （ ）(A)1++k k a a 是数列{}n a 中的项 (B)k k a a --1是数列{}n a 中的项 (C)1+k ka a 是数列{}n a 中的项 (D)1+k k a a 是数列{}n a 中的项 3．若条件41:≤+x p ，条件65:2-<x x q ，则p ⌝是q ⌝的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 4．在等差数列}{n a 中，，，83125S S a =-=则前n 项和n s 的最小值为 ( ) A ．80- B ．76- C ．75- D ．74- 5．22=3=，a 与b 的夹角为4π，如果b a p 2+=，b a q -=2，-A ．132 B ．53 C ．63 D ．2249+6．如果命题P:{}∅∈∅, 命题Q:{}∅⊂∅,那么下列结论不正确的是（ ） A “P 或Q ”为真 B ．“P 且Q ”为假 C ．“非P ”为假D ．“非Q ”为假7.．若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+的最小值是 （ ）A.2B.4C.218．如图，目标函数y ax P +=仅在封闭区域OACB 边界）的点)54,32(C 处取得最大值，则a A.)125,310(-- B.)103,512(-- C.)512,103( D.)103,512(-9、函数lg ||x y x=的图象大致是( )A B C D10．若x R ∈，*n N ∈，定义(1)(1)n x E x x x n =++-L ，例如44(4)(3)(2)(1)24E -=----=，则函数199)(-=x xE x f 的奇偶性为 （ ）(A)偶函数 (B)奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)既不是奇函数又不是偶函数二、填空题:（本大题有4小题, 每小题4分, 共16分.）11．已知抛物线y =x 2+bx +c 在点(1,2)处与直线y =x +1相切，则b -c =_________．12．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若8),(332112312=+++=-a a a a a a S n n Λ，则10a 等于 ．13．函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值为 。

．2020年高考全真模拟卷（1）数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{|03}A x x =<<，{|1}B x x =≤，则A B =U （ ） A ．(,1]-∞B ．(,3)-∞C ．(0,1]D ．(1,3)2．设复数z 满足13iz z +=，则||z =（ ）A ．10B C D3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙标准差分别为σ甲、σ乙，则( )A ．x x <甲乙，σσ<甲乙B ．x x <甲乙，σσ>甲乙C ．x x >甲乙，σσ<甲乙D ．x x >甲乙，σσ>甲乙4．从1，2，3，4，5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．455．双曲线()2210mx ny mn +=<的渐近线于圆()2259x y -+=相切，且该双曲线过点2,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则该双曲线的虚轴长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8 6．已知346log 15,log 20,log 30a b c ===，则( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>7．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1cos 2a C cb +=，22()12bc a +-=，则ABC V 的面积为（ ）A ．1B C ．2D ．8．函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-U 的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为点P 在正方形1111D C B A 上，且1,A C 到P 的距离分别为2,，则直线CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )A B C ．12D ．1310．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()13f x =在区间()0,π内的解为()1212,x x x x <，则()12sin x x -=（ ）A ．13-B ．12-C ．D ．11．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =12．已知函数21()(2)e x f x x x -=-，若当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为（ ）A ．1m £B ．1m <-C ．1m >-D ．m 1≥二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在 ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60A =o ，a bc =2，则sinBsinC =_______．14．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为 ．15．平行四边形ABCD 中，△ABD 是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD ∠=︒，现将△ABD 沿BD 折起，使二面角A BD C --大小为23π，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的表面积为_____． 16．若存在[]1,2a ∈，使得关于x 的方程22()()a a t x a x+-=有四个不等的实数根，则实数t 的取值范围是_______．三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()12331nnn n S a +⋅=- ．（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若()29(1)log n n n b a =-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB PD ⊥．（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若PB PC =，E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=︒，2BC =，求二面角B PA E --的余弦值．19．（本小题满分12分）某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1．监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同．（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*n N ∈）次．在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的半焦距为c ，圆222:O x y c +=与椭圆C 有且仅有两个公共点，直线2y =与椭圆C 只有一个公共点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，且与椭圆C 分别交于,P Q 两点，试问：x 轴上是否存在定点R ，使得RP RQ ⋅u u u v u u u v为定值?若存在，求出该定值和点R 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)ln f x x x =-，3()ln eg x x x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅰ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x <，证明：121ex e x +>+．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是πtan (π)2y x αα=<<，曲线1C 的参数方程是cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=．（1）写出l 及1C 的极坐标方程； （2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于,O M 两点，l 与2C 交于,O N 两点，求22||||||OM OM ON +的最大值．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知函数()|3||1|f x x x =+-- ． （Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x x +≥ ；（Ⅰ）若函数()f x 的最大值为M ，设0,0a b >>，且(1)(1)a b M ++=，求+a b 的最小值．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{|03}A x x =<<，{|1}B x x =≤，则A B =U （ ） A ．(,1]-∞ B ．(,3)-∞C ．(0,1]D ．(1,3)【答案】B【解析】Q 集合{|03}A x x =<<，{|1}B x x =≤，(){|3},3A B x x =<=-∞U ，故选B ． 2．设复数z 满足13iz z +=，则||z =（ ）A ．10B C D【答案】A【解析】13iz z +=，1131313101010i z i i +===+-，||10z =，故选A ． 3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙标准差分别为σ甲、σ乙，则( )A ．x x <甲乙，σσ<甲乙B ．x x <甲乙，σσ>甲乙C ．x x >甲乙，σσ<甲乙D ．x x >甲乙，σσ>甲乙【答案】C【解析】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙．故选．4．从1，2，3，4，5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B【解析】从1，2，3，4，5这五个数字中，随机抽取两个不同的数字，基本事件总数n =C 52=10，这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m =C 22+C 32=4，∴这两个数字的和为偶数的概率为p =m n=410=0．4，故选B ．5．双曲线()2210mx ny mn +=<的渐近线于圆()2259x y -+=相切，且该双曲线过点P ⎛ ⎝⎭，则该双曲线的虚轴长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8 【答案】D【解析】双曲线221(0)mx ny mn +=<0=． 圆22:(5)9E x y -+=的圆心(5,0)，半径3r =．Q 渐近线与圆22:(5)9E x y -+=相切，∴3=，即16||9||m n =，①该双曲线过点P ，45414n m ∴+=，② 解①②可得19n =，116m =-，双曲线221916y x -=，该双曲线的虚轴长为8，故选D ． 6．已知346log 15,log 20,log 30a b c ===，则( ) A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】A【解析】依题意，33334444log 15log 3log 51log 5,log 20log 4log 51log 5a b ==+=+==+=+，6666log 30log 6log 51log 5c ==+=+，由3log y x =，4log y x =，6log y x =的图象如图：可得346log 5log 5log 5>>，故a b c >>，故选A ．7．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1cos 2a C cb +=，22()12bc a +-=，则ABC V 的面积为（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】B【解析】1cos 2a C c b +=Q ，由正弦定理得：1sin cos sin sin sin()2A C CB AC +==+， 1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C ∴++=+，sin 0C ≠，解得1cos 2A =，且()0,A π∈，即3A π=，又22222cos 2312b c a bc bc A bc bc +-+=+==，4bc =，1sin 2ABC S bc A ∆==B ．8．函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-U 的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为ln ||cos ()()sin x xf x f x x x⋅-=-=-+，所以()f x 为奇函数，关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，()02f π±=，()03f π>，()0f π<，故排除B 、C ，故选D ．9．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为点P 在正方形1111D C B A 上，且1,A C 到P 的距离分别为2,，则直线CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )A B C ．12D ．13【答案】A【解析】易知AB =1C P ，在直角1CC P ∆中，可计算12C P ==；又1112,4A P A C ==，所以点P 是11A C 的中点；连接AC 与BD 交于点O ，易证AC ⊥平面11BDD B ，直线CP在平面11BDD B 内的射影是OP ，所以CPO ∠就是直线CP 与平面11BDD B 所成的角，在直角CPO ∆中，tan 2CO CPO PO ∠==．10．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()13f x =在区间()0,π内的解为()1212,x x x x <，则()12sin x x -=（ ）A ．13- B ．12-C ．D ． 【答案】D 【解析】242x k πππ-=+Q 382k x ππ∴=+，即函数()f x 的对称轴为382k x ππ=+，()13f x =Q 在区间()0,π内的解为()1212,x x x x <，12328x x π+∴=，2134x x π∴=-，()12sin x x ∴-113sin 2cos 244x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又因为12x x <，2134x x π=-，所以1388x ππ<<， 所以120,42x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 243x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()12sin 3x x -=-，故选D ． 11．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F，点00(2p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =【答案】C【解析】抛物线C ：22(0)y px p =>，其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，所以02pMF x =+，AB 所在直线2p x =， 设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-，因为5sin 7MFA ∠=，所以57MD MF =，即005272px p x -=+， 整理得03x p =，所以(3M p ，将M点代入到抛物线方程，得(223p p =⨯，0p >，解得6p =，所以抛物线方程为212y x =，故选C ．12．已知函数21()(2)e x f x x x -=-，若当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为（ ）A ．1m £B ．1m <-C ．1m >-D ．m 1≥【答案】C【解析】由题意，函数21()(2)ex f x x x -=-，则导数21()(2)ex f x x -'=-，所以函数()f x 在上递减，在)+∞上递增，当2x >时，()0f x >，又由(1)1f =-，1f <-，(2)0f =，当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，即函数()y f x =和(1)1y m x =--的图象有交点，如图所示， 又因为在点(1,(1))f 的切线的斜率为(1)1f '=-，所以1m >-．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在 ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60A =o ，a bc =2，则sinBsinC =_______． 【答案】34【解析】因为60A =o ，a bc =2，所以2sin sin sin A B C =，所以23(24sinBsinC ==，故答案为：34．14．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为 ．【答案】212y x =【解析】抛物线C ：22(0)y px p =>，其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，所以02p MF x =+，AB 所在直线2px =，设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-，因为5sin 7MFA ∠=，所以57MD MF =，即005272px p x -=+， 整理得03x p =，所以(3M p ，将M点代入到抛物线方程，得(223p p =⨯，0p >，解得6p =，所以抛物线方程为212y x =．15．平行四边形ABCD 中，△ABD 是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD ∠=︒，现将△ABD 沿BD 折起，使二面角A BD C --大小为23π，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的表面积为_____． 【答案】20π【解析】由题意，取AD ，BC 的中点分别为12,O O ，过1O 作面ABD 的垂线与过2O 作面BCD 的垂线，两垂线交点O 即为所求外接球的球心，取BD 中点E ，连结12,O E O E ，则12O EO ∠即为二面角A BD C --的平面角，又由121O E O E ==，连接OE ，在Rt △1O OE中，则1OO =Rt △1O OA中，1O A ，得OAR OA ==，所以球面积为24S R =π=20π．16．若存在[]1,2a ∈，使得关于x 的方程22()()a a tx a x+-=有四个不等的实数根，则实数t 的取值范围是_______．【答案】( 【解析】由22()||a a t x a x +-=，得3223,0()(),0x ax x a a t x a x x ax x ⎧->+=-=⎨-+<⎩，令33,0(),0x ax x f x x ax x ⎧->=⎨-+<⎩，当0x >时，2()3f x x a '=-，当x ∈时，()0f x '<，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '>， ()f x ∴在上为减函数，在⎫+∞⎪⎪⎭上为增函数； 当0x <上，2()3f x x ax '=-+，当(,x ∈-∞时，()0f x '<，当x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x ∴在(,-∞上为减函数，在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上为增函数，则332()min f x f a a ==-=． 作出函数()f x 的图象，如图：由图可知，要是关于x 的方程22()||a a tx a x +-=有四个不等的实数根，则需2()y a a t =+与()y f x =的图象有四个不同交点，则322()0a a a t <+<，即存在[]1,2a ∈，有3229a t a a >+，令()3229ag a a a=+，则()322(1)'0a a g a a a -+…， ()g a ∴在[]1,2上为增函数，则()(1)min g a g ==，又0t <，∴实数t的取值范围是(，故答案为：(9-． 三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()12331nnn n S a +⋅=- ．（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若()29(1)log n n n b a =-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和．【解析】（1）依题意，11213n n nS a +⎛⎫=-⎪⎝⎭，1211213n n n S a +++⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 两式相减可得，()21111303n n n a a +++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故213n n a a ++=， 而1222S 3a =，故213a a =，故数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）可13,n n a -=所以()()2212991(1)log (1)log 3(1)(1)4nnn n n n b a n -=-⋅=-⋅=⋅-⋅-， 故2122221211(1)(22)(1)(21)(43)44n n n n b b n n n --⎡⎤+=⋅-⋅-+-⋅-=-⎣⎦， 记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则22111(15943)424n T n n n =+++⋯+-=-．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB PD ⊥．（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若PB PC =，E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=︒，2BC =，求二面角B PA E --的余弦值． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC ． ∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD =BC ，CD 平面ABCD ，∴CD ⊥平面PBC ，∴CD ⊥PB ．∵PB ⊥PD ，CD ∩PD =D ，CD 、PD 平面PCD ，∴PB ⊥平面PCD ．∵PB平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面PCD ．（2）设BC 中点为O ，连接,PO OE ，,PB PC PO BC =∴⊥Q ，又面PBC ⊥面ABCD ，且面PBC I 面ABCD BC =，所以PO ⊥面ABCD ．以O 为坐标原点，OC u u u v的方向为x 轴正方向，OC u u u v 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．由（1）知PB ⊥平面PCD ，故PB ⊥112PC PO BC ∴==，设AB a =，可得()()()0,0,1,1,,0,1,,0,1,0,0,2a P E A a B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以1,,1,2,,0,22a a PE EA ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u uu v 由题得0PE EA =⋅u u u v u u u v，解得a =所以()()(),1,,BA PA EA ==--=-u u u v u u u v u u u v设(),,n x y z =r 是平面PAB 的法向量，则00n PA n BA ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r，即00x z ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩，可取()1,0,1n =-r ．设(),,m x y z r =是平面PAE 的法向量，则00m PA m EA ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r，即020x z x ⎧-+-=⎪⎨-+=⎪⎩，可取()m =．则cos ,6n m n m n m ⋅==-r r r r r r ，所以二面角A PB C --的余弦值为-．19．（本小题满分12分）某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1．监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同．（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*n N ∈）次．在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望． 【解析】(I) 因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为13，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X 服从二项分布，即X ～153B （，），所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率3225218033243P C ＝＝⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2) ξ的可能取值为：0，1，2，…，n ．()103P ξ==，()2121339P ξ==⨯=，()221233P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()121133n P n ξ-⎛⎫=-=⋅⎪⎝⎭， ()23nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以ξ的分布列为：ξ的数学期望为：()2312121212121231333333333n nE n n L ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， (1) ()()2311221212121212213333333333n nn E n n n ξ-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ． (2)(1)－(2)得：()2311121212121221213333333333333n n n n E n n n ξ-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L2311212121212133333333333n nE ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， 2312222233333n n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 22133213n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=- 2213n ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以2223nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的半焦距为c ，圆222:O x y c +=与椭圆C 有且仅有两个公共点，直线2y =与椭圆C 只有一个公共点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，且与椭圆C 分别交于,P Q 两点，试问：x 轴上是否存在定点R ，使得RP RQ ⋅u u u v u u u v为定值?若存在，求出该定值和点R 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22184x y +=（2）在x 轴上存在点5,02R ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，使得·RP RQ u u u v u u u v 为定值74- 【解析】(1)依题意，得2c b ==，则222448a b c =+=+=，故椭圆的标准方程为22184x y +=．()2①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =+，代人椭圆C 的方程，可得()2222218880k k x x k +++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则2122821k x x k -+=+，21228821k x x k -=+， 设(),0R m ，则()()1122,,RP RQ x m y x m y =--u u u r u u u rg g()()1212x m x m y y =--+=()()()122112224x m x k x x x m x +--+++⎡⎤⎣⎦()()22222228288421211k k k m k m k k k --++=+-++()2222284821m m k m k +++-=+，若()2222284821m m k m k +++-+为定值，则22812842m m m -=++，解得52m =-， 此时()222228487214mm k m k +++-=-+，R 点的坐标为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-，代人22184x y +=，得2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩不妨设((,2,P Q --，若5,02R ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，则11,,22RP RQ ⎛⎛== ⎝⎝u u u r u u u r ，74RP RQ =-u u ur u u u r g ．综上所述，在x 轴上存在点5,02R ⎛-⎫⎪⎝⎭，使得RP RQ u u u r u u u r g 为定值74-．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)ln f x x x =-，3()ln eg x x x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅰ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x <，证明：121ex e x +>+． 【解析】（Ⅰ）由题意，函数()(1)ln f x x x =-，则1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1x ≥时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增． （Ⅰ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点， 由11()(1ln )1h x m x x x-'=++-且0m >可知 当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减； 当1x ≥时，()0h x '≥，函数()h x 单调增；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<， 因此当1x e =时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e-+-=--+---=>，可知()h x 在1(,1)e 上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->，可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点， 因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是πtan (π)2y x αα=<<，曲线1C 的参数方程是cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=．（1）写出l 及1C 的极坐标方程； （2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于,O M 两点，l 与2C 交于,O N 两点，求22||||||OM OM ON +的最大值．【解析】（1）把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入tan y x α=得πtan tan (π)2θαα=<<， 所以l 的极坐标方程是π(,π)2θαρα=∈<<R ， 1C 的普通方程是2220x y ax +-=，其极坐标方程是2cos a ρθ=．（2）1C ：cos ρθ=，2C ：2sin ρθ=，θα=分别代入1C ，2C 得||cos OM α=-，||2sin ON α=．所以22π2||||||2cos 2cos sin 1cos 2sin 22)14OM OM ON αααααα+=-=+-=-+． 因为ππ2α<<，所以7ππ3π2444α-<-<-，则当7π8α=时，π3π242α-=-πsin(2)14α-+1，所以22||||||OM OM ON +1． 23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知函数()|3||1|f x x x =+-- ． （Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x x +≥ ；（Ⅰ）若函数()f x 的最大值为M ，设0,0a b >>，且(1)(1)a b M ++=，求+a b 的最小值．【解析】（Ⅰ）由题意(3)(1),34,3()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ----<--<-⎧⎧⎪⎪=+---≤≤=+-≤≤⎨⎨⎪⎪+-->>⎩⎩，21 当3x <-时，41x -+≥，可得5x ≤-，即5x ≤-；当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x ≥-，即11x -≤≤； 当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤．综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞--U ．（Ⅰ）由（Ⅰ）可得函数()f x 的最大值4M =，且14ab a b +++=， 即23()()2a ba b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立，可得2(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此+a b 的最小值为2．。

，V = πR 3，其中 R 表示球的半径3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卡上。

2．答题要求，见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”。

参考公式：如果事件 A 、B 互斥，那么 P (A +B )=P (A )+P (B )如果事件 A 、B 相互独立，那么 P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 P (k ) = C k P k (1 - P) n -k n n球的表面积公式球的体积公式S = 4πR 2，其中 R 表示球的半径4球第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，在答题卡上相应题目答题区域内作答.1．若全集U = R, A = {x | 0 < x < 2}, B = {x || x |≤ 1} ，则 (C A ) ⋂ B 为 （）UA ． {x | -1 ≤ x < 0}C ． {x | 1 ≤ x ≤ 2}B ．{x | -1 ≤ x ≤ 1}D ．{x | -1 ≤ x ≤ 0}2C ． 3 +12．设等比数列{a n }的前三项为 2, 3 2, 6 2 ，则该数列的第四项为（）A ．1B ． 8 2C ． 9 2D ． 12 23．定义在 R 上的函数 f ( x )满足f (π + x ) = - f ( x )及f (- x ) = f ( x ) ，则 f (x )可以是 3（）A ． f ( x ) = 2sin 1 x3B ． f ( x ) = 2sin 3xC ． f ( x ) = 2 cos 1 xD ． f ( x ) = 2 cos 3x34．复数 z = m + i （m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位1 - i于 （）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知 F 1、F 2 是双曲线 x 2 - y 2 = 1(a > 0, b > 0) 的两个焦点，M 为双曲线上 a 2 b 2的点，若MF 1⊥MF 2，∠MF 2F 1 = 60°，则双曲线的离心率为（）A ． 3 - 1B ． 6 D ． 3 + 126．正三棱锥 P —ABC 内接于球 O ，球心 O 在底面 ABC 上，且 AB =则球的表面积为（）3 ，A ． πB ．2 πC ．4 πD ．9 π7．条件 p ： π < α < π ，条件 q ： f ( x ) = log44tan αx 在(0,+∞) 内是增函数，则 p是 q 的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件⎩ 3x + y ≥ 3⎨ ( x < 0)⎩ x + 1⎨3C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件⎧x ≥ 08．已知 x 、y 满足约束条件 ⎪ y ≥ 0, 则 x 2 + y 2 的最小值是 （）⎪A ． 3B ．1C ． 32D ． 12⎧x 2 - 3( x ≥ 0)9．已知函数 f ( x) = ⎪ 1 , 则不等式f ( x ) > 1 的解集为 ⎪（）A ． {x | x < 0或x > 2}C ． {x | -1 < x < 0或x > 2}B ． {x | x > 2或x < 0且x ≠ -1}D ． {x | x < -2或 - 1 < x < 0或x > 2}10．已知函数 f ( x ) = - x + a 的反函数 f -1 ( x ) 的图象的对称中心为（－1，5），x - a + 2则实数 a 的值是（ ）A ．－3B ．1C ．5D ．711．从 6 名学生中选出 4 人分别从事 A 、B 、C 、D 四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事 A 种工作，则不同的选派方案共有（）A ．96 种B ．180 种C ．240 种D ．280 种12．已知函数 f ( x ) = ( 1 ) x - log x ，正实数 a 、b 、c 成公差为正数的等差数 2列，且满f (a) f (b ) f (c) < 0 ，若实数 d 是方程 f ( x ) = 0 的一个解，那么下列四个判a n→∞++Λ+)=；断：①d<a；②d>b；③d<c；④d>c中有可能成立的个数为（）A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.13．已知某质点的位移s与移动时间t满足s=t2⋅e t-2，则质点在t=2的瞬时速度是；14．若(1-1)n(n∈N*)x2的展开式中x-4的系数为a,则lim(1n211 a a3n15．如图，ABCD为矩形，AB=3，BC=1，EF∥BC且AF=2EB，G为BC中点，K为△ADF的外心，沿EF将矩形折成一个120°的二面角A—EF—B，则此时KG的长是；16．直线y=3x+2m和圆x2+y2=n2相切，其中m、n∈N*,|m-n|≤5，试写出所有满足条件的有序实数对(m，n)：.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答案区域内作答. 17．（本小题满分12分）已知△ABC的面积为2-3,AB⋅AC=2.（1）求tan A的值；（2）求2sin2A A A+2sin cos-1222的值.cos(π4-A)18．（本小题满分12分）某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求完成全部实验操作。

第Ⅰ卷 (选择题共40分)一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知复数z 1=2+mi (m ∈R)，z 2=4-3i ，若z 1·z 2为实数，则m 的值为 （ ）A.32 B. -32 C. -83 D. 83(2)不等式272x x-->-1的解集是（ ）A. ｛x | x >5或 x <2｝B. ｛x | 2< x <5｝C. ｛x | x >5或 x <-2｝D.｛x | -2< x <5｝(3) 与函数y =2x -1的图象关于y 轴对称的函数图象是 （ ）O-1 1xO1 1 x O1 1 -1 1OABCD(4) 已知直线a 和平面α、β，α∩β=l ，a ⊄α，a ⊄β，a 在α、β内的射影分别为直线b 和c ，则b 、c 的位置关系是 （ ）A ．相交或平行B ．相交或异面C ．平行或异面D ．相交，平行或异面(5) 把函数sin(2)4y x π=-的图象向右平移8π个单位，所得的图象对应的函数（ ）A. 是奇函数B. 是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D. 是非奇非偶函数(6) 某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有 ( ) A ．120种B ．48种C ．36种D ．18种(7) 对函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0，b 、c ∈R)作x =h (t )的代换，使得代换前后函数的值域总不改变的代换是 （ ）A. h (t )=10tB. h (t )=t 2C. h (t )=sin tD.h (t )=log 2t(8) 已知圆F的方程是x y y2220+-=，抛物线的顶点在原点，焦点是圆心F，过F引倾斜角为α的直线l，l与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点(在直线l上，这四个点从左至右依次为A、B、C、D)，若||AB，||BC，||CD成等差数列，则α的值为（）A．±arctan2B．4πC．arctan2D．arctan2或π-arctan2第II卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中横线上.(9) 已知向量a = (4，3)，b = (x ，-4)，且a ⊥b ，则x = .(10) 若x ，y 满足约束条件0,2 6.y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤1,则z=x +y 的最大值为 .(11) 高三某班50名学生参加某次数学模拟考试，所得的成绩(成绩二 题9 10 11121314 二题 总分三 题151617181920Ⅰ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅲ三题 总分二卷 总分得分 评卷人均为整数)整理后画出的频率分布直方图如 右图，则该班得120分以上的同学共 有 人.(12) 已知曲线C 的参数方程是：2,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，则曲线C 的普通方程是 ；曲线C 被直线x=0所截得的弦长是 .(13) 设常数0a >，51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为-581，则a = ， 2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=___ __.(14) 在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，若AE AB =m ，AFAC=n ，则AEFABCS S ∆∆= mn . 拓展到空间：在三棱锥S-ABC 中，D 、E 、F 分别是侧棱SA 、SB 、SC 上的点，若SD DA = m ，SEEB=n ，SF FC = p ，则S DEF S ABCV V --= .AB CEFABC SDEF三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) （本小题满分13分）△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c . （Ⅰ）若bc a c b 21222=-+，求cosA 的值； （Ⅱ）若A ∈[2π，23π]，求A C B 2cos 2sin 2++的取值范围.(16)（本小题满分13分）一个袋子里装有大小相同，且标有数字1~5的若干个小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，…，标有数字5的小球有5个.(Ⅰ) 从中任意取出3个小球,求取出的小球都标有偶数数字的概率；（Ⅱ）从中任意取出2个小球,求小球上所标数字之和为6的概率；(Ⅲ) 设任意取出的1个小球上所标数字为ξ，求Eξ.(17) （本小题满分13分）已知：四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD=1. (Ⅰ) 求证：BC ∥平面PAD ；(Ⅱ)若E 、F 分别为PB 、AD 的中点，求证：EF ⊥平面PBC ； (Ⅲ)求二面角B-PA-C 的余弦值.PDABCE F(18)（本小题满分13分）已知函数c+-f+=2bxaxxx3)(．(Ⅰ) 若函数()y f x=的图象上存在点P，使P点处的切线与x轴平行，求实数a,b的关系式；(Ⅱ) 若函数)(x f在1-=x和3=x时取得极值，且其图象与x轴有且只有3个交点，求实数c的取值范围．(19)（本小题满分14分）已知O 为坐标原点，点E 、F 的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =u u u r u u u r （1m >），0MN AF =⋅u u u u r u u u r ，1()2ON OA OF =+u u u r u u u r u u u r，//AM ME u u u u r u u u r ．（Ⅰ）求点M 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）点0(,)2m P y 在轨迹W 上，直线PF 交轨迹W 于点Q ，且PF FQ λ=u u u r u u u r，若12λ≤≤，求实数m 的范围．(20)（本小题满分14分）在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q ，每列上的数从上到下都成等差数列．ij a 表示位于第i 行第j 列的数，其中241a =，421a =，545a =．（Ⅰ） 求q 的值； （Ⅱ） 求ij a 的计算公式；（Ⅲ）设数列｛b n ｝满足b n =a nn ，｛b n ｝的前n 项和为n S ，试比较n S 与T n =6115(1)n n ++ ( n ∈N*) 的大小，并说明理由.数学试卷答案(理科)一.选择题（1）A （2）B （3）A （4）D （5）B （6） C （7） D （8）D二.填空题（9）3 （10）5 （11）15 （12）( x -2)2+ y 2=2，2 （13）13，12 （14）(1)(1)(1)mnpm n p +++三.解答题(15) 解：解：（Ⅰ）∵bc a c b 21222=-+，∴412222=-+bc a c b . ∴41cos =A . …………………………………5分（Ⅱ）2sin cos 22B CA ++ =21cos()2cos 12BC A -++-1cos 2cos 21212-++=A A =2cos 2A+12cosA-12=2(cosA+18)2-1732， …………………………………………………9分 ∵A ∈[2π，23π]， ∴cosA ∈[-12，0].∴2(cosA+18)2-1732∈[-1732，-14].即A C B 2cos 2sin 2++的取值范围是[-1732，-14].…………………………13分(16) 解: 袋子里共装有1+2+3+4+5=15个小球.(Ⅰ) 标有偶数数字的小球共有2+4=6个，取出的3个小球全标有偶数数字的概率为36315491C P C ==.…………………4分 (Ⅱ) 2个小球上所标数字之和为6有三种情况，即（1，5），（2，4），（3，3）.所求概率111121524321516.105C C C C C P C ++== …………………………8分 (Ⅲ) 取出的小球上所标数字的分布列为∴E ξ=12345.1515151515153⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== (13)分(17) 方法1：(Ⅰ)解：因为ABCD 是正方形， 所以BC ∥AD.因为AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以BC ∥平面PAD. …………………………………………………………4分 (Ⅱ)证明：因为PD ⊥底面ABCD ， 且ABCD 是正方形， 所以PC⊥BC . 设BC 的中点为G ，ABCDEPFGH连结EG，FG，则EG∥PC，FG∥DC.所以BC⊥EG，BC⊥FG.因为EG∩FG=G，所以BC⊥面EFG.因为EF 面EFG，所以BC⊥EF. ①…………………………………6分又设PC的中点为H，且E为PB中点，连结DH，BC.所以EH P12AD.又BC P AD，且EH P12所以四边形EHDF是平行四边形.所以EF∥DH.因为等腰直角△PDC中，H为底边PC的中点，所以DH⊥PC，即EF⊥PC. ②因为PC∩BC=C，③由①②③知EF⊥平面PBC. …………………………………………8分（②的证明也可以通过连结PF、FB，由△PFB为等腰三角形证明）(Ⅲ)（理科） 解法1：设PA 的中点为M ，连结MC ， 依条件可知△PAC 中PC=AC ， 所以MC ⊥PA. ①又PD ⊥平面ABCD ，∠BAD=90°， 所以AB ⊥PA. 因为M 、E 均为中点， 所以ME ∥AB.所以ME⊥PA. ②由①②知∠EMC 为所求二面角的平面角. ……………………………………11分连结EC ，在△MEC 中，容易求出ME=12，MC=2EC=2. 所以cos ∠EMC=163+-=，即所求二面角的余弦值是3…………13分 解法2：ABCDEPFNQSABCDEPFM过点C作CS⊥平面ABCD，使CS=PD.连结PS，SB，因为PD，AD，DC两两垂直，且四边形ABCD为正方形，故容易证明几何体PAD-SBC为三棱柱.(即以PAD为底面，以DC为高构造三棱柱PAD-SBC)设BS的中点为Q，PA中点为N，连结NQ，NC.因为ABSP为矩形，N、Q分别为中点，所以NQ⊥PA.又△APC中，AC=PC，N为中点，所以NC⊥PA.所以∠CNQ为所求二面角的平面角. ……………………………………11分因为BC=CS，所以CQ⊥BS.又面BCS⊥面ABSP，所以CQ⊥面ABSP.因为NQ 面ABSP，所以CQ⊥NQ.在Rt△NCQ中，容易求出NQ=1，NC=2所以cos∠CNQ=NQNC==，即所求二面角的余弦值是3…………13分方法2：如图，以点D为原点O，有向直线OA、OC、OP分别为建立空间直角坐标系.(Ⅰ)证明：因为CB=(1，0，0)，平面PAD的一个法向量为r PAD=(0，1，0)，由CB· r PAD=0，可得CB⊥r PAD.于是BC∥平面PAD. ……………………………………………………………4分(Ⅱ)证明：因为EF u u u r=(0，-21，-21)，CB=(1，0，0)，CP=(0，-1，1)且EF u u u r·CB=0，EF u u u r·CP=0，CB∩CP=C，所以EF⊥平面PBC. ……………………………………………………………8分（也可以证明EF u u u r平行于平面PBC的一个法向量）B(Ⅲ) 解：容易求出平面PAB 的一个法向量为r PAB =(21，0，21)， 及平面PAC 的一个法向量为r PAC =(1，1， 1)， 因为r PAB · r PAC =21+21=1，|r PAB |=22，|r PAC |=3，所以cos<r PAB ， r PAC >==3，即所求二面角的余弦值是3………13分 (18)解：(Ⅰ) b x a x x f +-='23)(2, 设切点为),(00y x P ,则曲线)(x f y =在点P 处的切线的斜率b ax x x f k +-='=020023)(, 由题意，知023)(0200=+-='b ax x x f 有解， ∴24120a b ∆=-≥ 即23a b ≥. ………………………………………………5分(Ⅱ)由已知可得1x =-和3x =是方程2()320f x x ax b '=-+=的两根， ∴ 2133a -+=，133b-⨯=，∴ 3a =，9b =-． ……………………………7分∴ ()3(1)(3)f x x x '=+-，∴ ()f x 在1x =-处取得极大值，在3x =处取得极小值．∵ 函数()y f x =的图象与x 轴有且只有3个交点， ∴(1)0,(3)0.f f ->⎧⎨<⎩ ………………9分又32()39f x x x x c =--+， ∴ 1390,2727270c c --++>⎧⎨--+<⎩ 解得527c -<<．………13分(19) 解：（Ⅰ）∵0MN AF ⋅=u u u u r u u u r ，1()2ON OA OF =+u u u r u u u r u u u r，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME u u u u r u u u r，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===u u u u r u u u r u u u r u u u r ，||||MA MF =u u u r u u u r，∴||||2||ME MF m EF +=>u u u r u u u r u u u r ， ………………………………………………4分∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =，∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．……………………………6分（Ⅱ）设11(,)Q x y∵ 0(,)2mP y ，PF FQ λ=u u u r u u u r ，∴ 1011(1),2.mx y y λλ⎧-=-⎪⎨⎪-=⎩ ∴ 1101(1),21.m x y y λλλ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (8)分由点P 、Q 均在椭圆W 上，∴ 22220222211,411(1) 1.2(1)y m y m mm λλλ⎧+=⎪-⎪⎨⎪+-+=⎪-⎩ ……………………………10分消去0y 并整理，得2211m m m λ-+=-， 由221121m m m -+-≤≤及1m >，解得12m <≤． ……………………………14分(20)解：（Ⅰ）设第4列公差为d ，则542451116852316a a d --===-．故445451116164a a d =-=-=，于是2444214a q a ==．由于ij a >，所以q >，故12q =． ………………………………………3分 （Ⅱ）在第4列中，424111(2)(2)81616i a a i d i i =+-=+-=．由于第i 行成等比数列，且公比12q =，所以， 4441111622j jj ij i a a q i i --⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ………………………………6分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知12n nn a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭．即b n =12nn ⎛⎫⎪⎝⎭．所以123n n S b b b b =++++L 112233nn a a a a =++++L .即23111111123(1)22222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， 故2341111111123(1)222222nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ．两式相减，得231111111222222n n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L11111221111122212nn n n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，所以11222n n nnS -=--． ………………………………………………8分设f (x )=2-112x --2xx ( x >0)， 即f (x )=2-22x -2x x =2-22x x+=2-(2+ x )2-x .因为f ′(x )= -[2-x +(2+ x )2-x (-1)ln 2]= 2-x [(2+ x )ln 2-1]=2-x [ln 22+ x - lne ]=2-xln 22xe+，且当x >0时，x +2>2. 所以22+ x >22= 4.于是22x e +>4e>1.所以ln 22xe+>0.又2-x >0，所以在(0，+∞)上f ′(x ) =2-x ln 22x e+>0.因此函数f (x )=2-112x --2xx 在(0，+∞)单调递增. 所以11222n n nnS -=-- ( n ∈N*)是递增数列. ……………………………10分 同理设g(x )=6115(1)x x ++( x >0)， 因为g ′(x )=15·26(1)(611)(1)x x x +-++= -21(1)x +<0 ( x >0)，故g(x )=6115(1)x x ++在(0，+∞)单调递减. 所以T n =6115(1)n n ++( n ∈N*)是递减数列. ………………………………………12分容易计算S 1=f (1)=12，S 2=f (2)=1，S 3=f (3)=138，S 4=f (4)=158，T 1= g(1)=1710，T 2= g(2)=1815，T 3= g(3)=1920，T 4= g(4)=125，显然S 1< T 1，S 2< T 2，S 3< T 3，S 4> T 4， 所以当n ≤3时，nS <T n ；当n >3时，S>T n. ……………………………14分n注：（1）2个空的填空题，第一个空给3分，第二个空给2分.（2）如有不同解法，请阅卷老师酌情给分.。