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线性系统理论大作业

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《线性系统理论》大作业报告引言：研究线性定常连续系统状态方程的解时，求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基础，是进行定量分析的主要方法。

而线性定常连续系统状态方程的解由两个部分相加组成。

第一个部分是由初始状态所引起的自由运动，即状态的零输入响；第二个部分是由输入所引起的系统强迫运动,其值为输入函数与矩阵指数函数的卷积，即状态的零状态响应。

由于这两部分中都包含有状态转移矩阵，因此状态转移矩阵的计算是线性定常连续系统状态方程求解的关键。

本文先总结了的计算方法，并运用matlab命令求解证明各方法的正确性及给出相应的零输入响应仿真结果。

然后推导了脉冲响应的公式，希望通过飞机模型的例子来研究其系统的脉冲响应。

最后推广研究了任意输入的零状态响应。

第一部分的计算方法及零输入响应的仿真证明一．的计算方法1.根据的定义直接计算定义式是一个无穷级数，故在计算中必须考虑级数的收敛条件和计算收敛速度问题。

类似于标量指数函数，对所有有限的常数矩阵A和有限的时间t来说，矩阵指数函数这个无穷级数都是收敛的。

显然用此方法计算一般不能写成封闭的解析形式，只能得到数值计算的结果。

2.变换A为约旦标准型因为任何都可经线性变换成为对角矩阵或约旦矩阵，因此下面将利用对角矩阵和约旦矩阵的矩阵指数函数计算的简便性质，通过线性变换将一般形式的系统矩阵变换成对角矩阵或约旦矩阵计算其矩阵指数函数。

对于矩阵A，若经过非奇异变换（相似变换）矩阵Ｐ作变换后，有则3. 利用拉氏反变换求已知齐次方程两边取拉氏变换即对上式两边取拉氏反变换得齐次微分方程的解：而由定义法求得的齐次微分方程的解为比较两式得4. 应用凯莱—哈密顿定理求（1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A 满足其自身的特征方程，即()1110 0n n n fA A a A a A a I--=++++=故121210...n n n n n A a A a A a A a I ----=-----它是的线性组合。

同理1121210121211202102121212311010*(...)(...)(...)()()...()n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A A A a A a A a A a A a a A a A a I a A a A a A a a Aa a a A a a a A a a I +-------------------==--+++=------+++=-+-++-+以此类推，都可用的线性表示。

（2）在定义中，用（1）的方法可以消去A 的n 及n 以上的幂次项，即所以此方法的关键是要求得。

这里提出计算的一般公式。

当特征值互异时，则123210111211222212333211()1...()1...()1 (1).........()1...n n t n t n t n t n nn n a t e a t e a t e a t e λλλλλλλλλλλλλλλλ-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦当A 的特征值相同时，为时，则11111021123112111111()000...01(1)!()000...1(1)1(2)!()........................012......(1)()1......t n t n n tn n tt e a t n a t n t e n a t n te a t e λλλλλλλλλλ-----⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦二．仿真证明1、 第一种方法：定义法 程序如下: %定义法clear all ;close all ;clc; syms t %定义符号变量t disp('矩阵A 为') A=[0 1;-2 -3] e=eye(2);m2=factorial(2);%求2的阶乘m3=factorial(3);m4=factorial(4);disp('取最高次幂为4次时e^At为')M=e+A*t+(1/m2)*A^2*t^2+(1/m3)*A^3*t^3+(1/m4)*A^4*t^4;eAt=Mx0=[1;1];%设定系统的初始状态disp('系统零输入响应为：')xt=eAt*x0%求出系统零输入响应运行程序，输出结果如下：矩阵A为A =0 1-2 -3取最高次幂为4次时e^At为eAt =[ 1-t^2+t^3-7/12*t^4, t-3/2*t^2+7/6*t^3-5/8*t^4] [ -2*t+3*t^2-7/3*t^3+5/4*t^4, 1-3*t+7/2*t^2-5/2*t^3+31/24*t^4]系统零输入响应为：xt =1-5/2*t^2+13/6*t^3-29/24*t^4+t-5*t+13/2*t^2-29/6*t^3+61/24*t^4+1以下程序输出由此eAt求出的零输入响应的状态变化：t=0:0.1:3;xt =[1-5/2*t^2+13/6*t^3-29/24*t^4+t; -5*t+13/2*t^2-29/6*t^3+61/24*t^4+1]; plot(t,xt);xlabel(‘时间t’);title(‘零输入响应的状态变化’)；grid;显示结果如下图：结论：利用定义法近似去计算状态转移矩阵所得的结果，与利用其他方法计算的状态转移矩阵在t较小时近似相等。

该方法可用于较为粗略的计算状态转移矩阵。

方法二：特征值不同情况下的程序如下：%特征值互异clear all;close all;clc;a=[0 1;-2 -3];syms t;[V,D] = eig(a);phet=V*expm(D*t)*(inv(V));disp('状态转移矩阵eAt为：')eAt=phetx0=[1;1];disp('系统零输入响应为：')xt=eAt*x0运行结果如下：状态转移矩阵eAt为eAt =[ 2*exp(-t)-exp(-2*t), exp(-t)-exp(-2*t)][ -2*exp(-t)+2*exp(-2*t), -exp(-t)+2*exp(-2*t)]系统零输入响应为xt =3*exp(-t)-2*exp(-2*t)-3*exp(-t)+4*exp(-2*t)以下程序输出由此eAt求出的零输入响应的状态变化：t=0:0.1:3;xt=[3*exp(-t)-2*exp(-2*t);-3*exp(-t)+4*exp(-2*t)];plot(t,xt);grid;xlabel(‘时间t’);title(‘零输入响应的状态变化’)；输出结果如下：第二种方法（约旦块矩阵法）：有相同特征值情况下的程序如下：%特征值相同%约旦块矩阵法clear all;close all;clc;syms ta=[0 1 0;0 0 1;2 -5 4];J=jordan(a);phet=expm(J*t);disp('状态转移矩阵eAt为：')eAt=phetx0=[1;1;1];disp('系统零输入响应为：')xt=eAt*x0运行结果如下：状态转移矩阵eAt为eAt =[ exp(2*t), 0, 0][ 0, exp(t), t*exp(t)][ 0, 0, exp(t)]系统零输入响应为xt =exp(2*t)exp(t)+t*exp(t)exp(t)以下程序输出由此eAt求出的零输入响应的状态变化：t=0:0.01:3;xt=[exp(2*t);exp(t)+t.*exp(t);exp(t)];plot(t,xt);grid;xlabel(‘时间t’);title(‘零输入响应的状态变化’)；输出结果如下图：第三种方法：程序如下clear all;close all;clc;a=[0 1;-2 -3];syms s;G=inv(s*eye(size(a))-a);phet=ilaplace(G);disp('状态转移矩阵eAt为：')eAt=phetx0=[1;1];disp('系统零输入响应为：')xt=eAt*x0输出结果如下：状态转移矩阵eAt为eAt =[ 2*exp(-t)-exp(-2*t), 2*exp(-3/2*t)*sinh(1/2*t)][ -4*exp(-3/2*t)*sinh(1/2*t), 2*exp(-2*t)-exp(-t)]系统零输入响应为xt =2*exp(-t)-exp(-2*t)+2*exp(-3/2*t)*sinh(1/2*t)-4*exp(-3/2*t)*sinh(1/2*t)+2*exp(-2*t)-exp(-t)以下程序输出由此eAt求出的零输入响应的状态变化：t=0:0.01:3;xt=[-exp(-2*t)+2*exp(-t)+2*exp(-3/2*t).*sinh(1/2*t);-4*exp(-3/2*t).*sinh(1/2*t)+2*exp(-2*t)-exp (-t)];plot(t,xt);grid on;xlabel('时间t');title('零输入响应的状态变化');输出结果如下图：第四种方法：程序如下：%凯莱哈密顿法clear all;close all;clc;syms tA=[0 1;-2 -3];b1=-1;b2=-2;b=[1 b1;1 b2]c=inv(b)e=[exp(b1*t);exp(b2*t)]a=c*ea0=a(1,1)a1=a(2,1)phet=a0*eye(size(A))+a1*Adisp('状态转移矩阵eAt为：')eAt=phet;x0=[1;1];disp('系统零输入响应为：')xt=eAt*x0输出结果如下：状态转移矩阵eAt为eAt =[ 2*exp(-t)-exp(-2*t), exp(-t)-exp(-2*t)] [ -2*exp(-t)+2*exp(-2*t), -exp(-t)+2*exp(-2*t)]系统零输入响应为：xt =3*exp(-t)-2*exp(-2*t)-3*exp(-t)+4*exp(-2*t)以下程序输出由此eAt求出的零输入响应的状态变化：t=0:0.01:3;xt=[3*exp(-t)-2*exp(-2*t);-3*exp(-t)+4*exp(-2*t)];plot(t,xt);grid on;xlabel('时间t');title('零输入响应的状态变化');输出结果如下图：第二部分推导脉冲响应公式及举例说明脉冲响应一．脉冲响应即零状态响应的公式对于非齐次微分方程微分方程：当初始时刻,初始状态时，其解为对于脉冲响应，此时脉冲响应为二．举例说明现在希望通过飞机模型来说明基于第一节中的计算方法来研究其系统的脉冲响应。

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线性系统理论大作业2

线性系统理论大作业2

摘要：本文主要讨论线性系统解集的几何结构与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系。

这一关系从两个方面来说明，第一部分讲述系统解集几何结构与特征值和特征向量之间的关系，通过Matlab 仿真例子说明这一关系；第二部分分别讲述特征值和特征向量与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系，并讲述了能观性，能控性以及稳定性的定义和判据，通过以约旦标准型为例来讲述相同特征值和不同特征值情况下的能观性，能控性，最后在Simulink中仿真一定特征值条件下系统的稳定性。

从以上两个方面来说明解集的几何结构与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系。

>1. 零输入响应解集与特征值和特征向量之间的关系线性定常系统状态方程x Ax Buy Cx Du=+⎧⎨=+⎩，0(0),0x x t =≥的解为()00()(),0t At A t x t e x e Bu d t τττ-=+≥⎰。

为了研究线性定常系统状态方程解集的几何结构与线性系统的特征之间的关系，将系统简化，只考虑系统为零输入的状态响应，即x Axy Cx=⎧⎨=⎩，0(0),0x x t =≥的解为0()At x t e x =。

所有的零输入状态响应组成了一个线性空间，且该线性空间中有n 个独立的元素，它们的线性组合决定了所有零输入响应。

所以可以通过选择一组线性独立的初始条件得到一组零输入响应集中的基底。

下面先考虑最简单的零输入状态响应集的基底。

若12,,...n λλλ是A 的两两互异的特征值，且12,,...n v v v 是相应的单位特征向量，即,1,2,...i i i Av v i n λ==。

选0,1,2,...i x v i n ==，则0()(...)......i At At i2233i 2233i i i i 2233i i i i i i i t i x t e x e v 11I +At +A t +A t +v 2!3!11v Av t A v t A v t 2!3!11v v t v t v t 2!3!e v λλλλ====++++=++++=-所以取01122...n n x v v v ααα=+++时，相应的零输入响应为121122()...n t t t n nx t e v e v e v λλλααα=+++由此可以看出线性定常系统的零输入响应解集的几何结构可以由系统矩阵A 的特征值和特征向量来表征。

华电线性系统理论大作业

华电线性系统理论大作业


而前文已经得出导轨的动能 Tw ，因此两式相加得系统的动能 T 为：
2 2 2 2 1 x T Tb Tw m x x2 a Ib I w a 2 R
是导轨相对于水平线的倾斜角。
图 1.球杆系统简图
2.2 拉格朗日法建模
为了对球杆系统进行研究， 我们先对其进行建模， 一般来说， 这种球杆系统， 运用拉格朗日方程建立其数学模型比较方便，拉格朗日方程如下：
d T T V R U t dt q q ' q ' q
v v' w r
其中 v ' 是小球相对于导轨的线速度，其数值等于 x ，负号是指方向与规定 的正方向相反， 指的是导轨的角速度，即 a ，r 是小球的质心在坐标系中的位 置向量，计算式如下：

R x 0 x x a v 0 0 R xa a 0 0 0
其中 T 为系统的动能，包括小球的转动的动能，导轨转动的动能等，V 为系 统的势能， 包括重力势能弹性势能等等， 能量耗散函数为 R ，q
q1 , q2 ....qk
T
1
为广义坐标向量，其中 k 代表系统的自由度，即完全描述系统运动特性需要的坐 标数目，关于自由度在下文会具体分析， u 为作用于系统的外力。 以下为各个变量所表示的物理意义，M：导轨的质量，g：重力加速度 r：小 球的半径 I b ：球的惯性力矩， I w ：杆的惯性力矩，x：球的相对横坐标，y：球 的相对纵坐标， ：小球相对于导轨的转角，a：导轨与水平线的夹角，球杆系 统受力分析如下：
(完整word版)《线性系统理论》试卷及答案

(完整word版)《线性系统理论》试卷及答案

R C 2《线性系统理论》试卷及答案1、（20分）如图所示RLC 网络,若e(t ）为系统输入变量r （t)，电阻R 2两端的电压为输出量y(t),选定状态变量为 x 1（t)=v 1（t ），x 2(t ）=v 2(t)，x 3（t)=i （t)要求列写出系统的状态空间描述。

2、(15分)求出下面的输入输出描述的一个状态空间描述。

y （4)+4y （3）+3y （2）+7y （1）+3y=u (3）+ 2u （1）+ 3u3、（15分）计算下列线性系统的传递函数。

[]210X 13101X y -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=4、(10分）分析下列系统的能控性.0111X X u a b •⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦5、（10分）分析下列系统的能观性。

[]1110a X X y Xb •⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦6、（15分)判断下列系统的原点平衡状态x e 是否大范围渐近稳定。

12221123x x x x x x==--7、（15分）已知系统的状态方程为221012000401X X u •--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦试确定一个状态反馈阵K,使闭环极点配置为λ1*=—2、λ2*=-3、λ3*=—4.答案：1、（20分）如图所示RLC 网络，若e （t ）为系统输入变量r （t ）,电阻R 2两端的电压为输出量y （t ），选定状态变量为 x 1(t)=v 1（t)，x 2(t ）=v 2（t ）,x 3（t)=i （t ）要求列写出系统的状态空间描述。

2、（15分）求出下面的输入输出描述的一个状态空间描述。

列出向量表示形式解出解出解出r x x x L R x x x rx LR x x x xx x C R x x x C xC x r x R x L L LL⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=-=+=+==++1321113211311132122222112211333113000xy x xLy （4）+4y (3）+3y （2)+7y (1）+3y=u （3）+ 2u （1)+ 3u[]得出了状态空间表达式列出向量表示形式，就求导，有选取状态变量令有令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+----=========⎩⎨⎧++==++++++++=++++++===43211025233375y ~y ~x y ~x y ~...y ~x y ~x y ~3y ~2y ~y ~3y ~7y ~3y ~4y ~u 3734p 1y ~3734p 32p y d/dtp 4214321(4)43(2)22(1)1(3)4(1)21(1)(3)(1)(2)(3)(4)2342343x x x x x x x y u x x x x x x x x y u p p p u p p p p(完整word 版)《线性系统理论》试卷及答案3、(15分）计算下列线性系统的传递函数.[]Xy u X 10103112X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=[][][]计算得出传递函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-------=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=----1021131)3)(2(110)()(21131)3)(2(13112)()()(1010311210103112X 1111s s s s B A Is C s G s s s s s s A Is BA Is C s G CB A Xy u X(完整word 版)《线性系统理论》试卷及答案4、（10分）分析下列系统的能控性。

华工线性系统作业

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图 3.2 未改进的 LQR 控制输出 从图3.2可以看出，此时系统输出响应的鲁棒性很好，但是响应过程太慢， 且存在较大的稳态误差，所以需要进一步调整Q, R值来是动态响应性能更优。经 过反复调整Q, R的取值可以发现，当Q取值比较小、R取值比较大时，系统的响应 时间很长，而当逐渐调大Q值，或者调小R值时，系统的响应时间迅速变小，到 达稳态所需时间也变小，而且系统的过渡过程没有超调，一直比较平稳。但系统 的稳态误差一直比较大，很难满足要求。所以为了减小稳态误差，这里在反馈环 中引入一个比例环节K p ，其比例系数可以根据跟踪节约输入的需要进行调整。 修改后的结构图如图3.3所示。
图 3.1 LQR 控制器反馈系统结构图 图中 r 为给定信号，u 为控制信号，Y 为输出信号，A、B、C 分别是状态矩 阵、输入矩阵、输出矩阵，在∆1 = ∆2 = 0时，它们分别为 0 1 0 0 ������ = 0 0 1 、������ = 0 、������ = 20000 0 0 0 −30000 −60 1 K 为通过 LQR 算法算得的反馈增益阵，下面编程具体求 K。 3.3.3 仿真及结果分析 根据LQR方法编写Matlab程序，进行仿真分析，其中lqr()函数的调用格式 如下 ������, ������, ������ = ������������������(������, ������, ������, ������) 式中，K是返回的状态反馈矩阵，P为黎卡提代数方程（3-9）的解，E闭环 系统零极点。这里方便起见，先令Q = diag 1 1 1 1 ，R = 1。在仿真时，先使 用∆1 = ∆2 = 0时的状态空间对象，逐步调整Q、R，根据其输出响应曲线，求出使 系统动态响应性能最优的参数。然后，在要求范围内改变∆1 、∆2 的值，考查参数 不确定性对闭环系统的影响。 （1）∆1 = ∆2 = 0的情况 此时易知系统的模型是确定的，可以直接输入相关参数编程仿真，需要注 意的是Q、R的选取。当Q = diag 1 1 1 ，R = 1时，系统的输出响应如图3.2所 示。 3.1