第三节圆与方程• 必过数材关1. 圆的定义及方程点M(X o, y°)与圆(x—a)2+ (y—b)2= r2的位置关系：(1) 若M(X0, y o)在圆外，贝y (X0—a) + (y g—b) >r .(2) 若M(x o, y°)在圆上，贝U (x o—a)2+ (y o—b)2= r2.(3) 若M(x o, y o)在圆内，贝U (x o—a)2+ 帥―b)2v r .［小题体验］1. 设圆的方程是x?+ y2 + 2ax+ 2y+ (a —1)2= o,若o v a v 1,则原点与圆的位置关系是________ .解析：将圆的一般方程化成标准方程，得(x+ a)2+ (y+1)2= 2a,因为o v a v 1,所以(o+ a)2+(o+ 1)2—2a= (a—1)2>o，即，o+ a 2+ o + 1 2> ,2a，所以原点在圆外.答案：原点在圆外2. 圆C的直径的两个端点分别是___________________ A(—1,2), B(1,4)，则圆C的标准方程为.解析：设圆心C的坐标为(a, b),—1+ 1 2+ 4 ,,贝V a = = o, b= ~2~ = 3,故圆心C(o,3).半径r = ^AB =知［1- (- 1 ］2+(4-2 f = Q2.所以圆C的标准方程为x2+ (y—3)2= 2.答案：x2+ (y—3)2= 23. __________________________________________________________________ 若点(1,1)在圆(x—a)2+ (y+ a)2= 4的内部，则实数a的取值范围是_____________________________ .解析：因为点(1,1)在圆(X —a)2+ (y+ a)2= 4 的内部，所以(1 —a)2+ (1 + a)2v 4.即a2v 1，故一1 v a v 1.答案：(一1,1)必垃易措美对于方程x2+ y2+ Dx + Ey+ F = 0表示圆时易忽视D2+ E2—4F > 0这一成立条件.［小题纠偏］若点(1, —1)在圆x2+ y2—x+ y+ m= 0夕卜，贝U m的取值范围是解析：f 22{— 1 \ + 1 —4m> 0, 1由题意可知小’2解得0v m v -.1 + (—1)—1 —1+ m> 0, 2答案：(0,2)考点一圆的方程基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. (2019东台中学检测)已知圆C经过A(5,1), B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为_________________ .解析：设圆心坐标为(a,0),则寸(a—5 f + (— 1 丫 =寸(a- 1 )2+(-3$，解得a= 2,二圆心为(2,0),半径为，10,.••圆C的标准方程为(x —2)2+ y2= 10.答案：(x —2)2+ y2= 102. (2018徐州模拟)若圆C的半径为1,点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为___________________ .解析：因为点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2+ y2= 1.答案：x2+ y2= 13. 以线段AB : x+ y—2 = 0(0< x< 2)为直径的圆的标准方程为_______________解析：因为AB: x + y—2= 0(0< x< 2),所以A(0,2), B(2,0), AB = 0— 2 2+ 2 —0 2= 2 2.所以点A, B的中点为(1,1),故所求圆的标准方程为(x—1)2+ (y—1)2= 2.答案：(x —1)2+ (y—1)2= 24. (2019盐城中学测试)圆经过点A(2, —3)和B( —2,—5).(1) 若圆的面积最小，求圆的方程；(2) 若圆心在直线x—2y—3 = 0上，求圆的方程.解：(1)要使圆的面积最小，则AB为圆的直径，1所以圆心为(0，—4)，半径r = 2AB = 5,所以所求圆的方程为x2+ (y+ 4)2= 5.1(2)因为k AB= 1, AB的中点为(0,—4),所以直线AB的中垂线方程为y+ 4 =—2x,即2x+ y+ 4= 0,2x + y + 4= 0, x=—1,解方程组£得彳x—2y—3= 0, l y=—2.所以圆心为(—1,—2).根据两点间的距离公式得半径r= 10,因此所求圆的方程为(x + 1)2+ (y+ 2)2= 10.［谨记通法］1. 求圆的方程的2种方法(1) 直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2) 待定系数法：①若已知条件与圆心(a, b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a, b, r的方程组，从而求出a, b, r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D , E, F的方程组，进而求出D, E, F的值.2. 确定圆心位置的3种方法(1) 圆心在过切点且与切线垂直的直线上.(2) 圆心在圆的任意弦的垂直平分线上.(3) 两圆相切时，切点与两圆圆心共线.［提醒］解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.考点二与圆有关的最值问题题点多变型考点一一多角探明［锁定考向］与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.常见的命题角度有：(1) 斜率型最值问题；(2) 截距型最值问题；(3) 距离型最值问题.［题点全练］角度一：斜率型最值问题1. (2019涞水月考)已知实数x,y 满足方程(x — 3)2 3 4 5+ (y — 3)2= 6,求丫的最大值与最小值. 解：方程(x — 3)2 + (y — 3)2= 6表示以(3,3)为圆心，.6为半径的圆.丫的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，x所以设y = k ,即尸kx.当直线y = kx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值,2.............. -< 4，得x 2+ 卄 4(x + y),移项配方得(x — 2)2 + (y — 2)2< 8，此不等式表 x + y 示以C(2,2)为圆心，以2 2为半径的圆及其内部在第一象限与 x 轴、y 轴正半轴的部分(除去 y = x).将S = y — 2x 变形为y = 2x + S ,当直线I ： y = 2x + S 与圆相切于第一象限时， S 取得|2+S|= 2 2，解得 S =—52— 2 10（S =— 2+ 2 10 舍去）.故 S = y — 2x 的最小值是—2 — 2.10.答案：—2— 2 10 角度三：距离型最值问题此时 |3k — 3| =k 2+ 1 = ,6,解得k = 3也2.所以：的最大值为3+ 2 2，最小值为3— 2 2. 角度二：截距型最值问题2. (2018东海高级中学测试)已知实数x , y 满足(x — 2)2+ (y + 1)2 = 1,贝V 2x — y 的最大 值为 _________ .解析：令b = 2x — y ,当直线2x — y = b 与圆相切时，b 取得最值.由|2X 2仪-b|= 1，解得b = 5±5，所以2x — y 的最大值为 5+需.x 2+ y 23. (2019启东模拟)已知非负实数 x , y 满足x 丰y ,且；仝4，则S = y — 2x 的最小值解:如图所示，x 2+ y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点5答案：5+52+ :解析：由x一-最小值，由圆的切线性质，圆心 C(2,2)到I 的距离等于半径长，即4•已知实数x , y 满足方程x 2和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2- 0 2+ 0- 0 2= 2,所以x2+ y2的最大值是(2+<j3)2= 7+ 4<」3, x2+ y2的最小值是(2 —」3)2= 7—4J3.［通法在握］与圆有关的最值问题的3种常见转化法⑴形如尸心形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.x —a⑵形如t= ax+ by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.⑶形如(x—a)2+ (y—b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.［演练冲关］1. (2019淮安检测)已知x, y满足x2+ y2—4x—6y+ 12 = 0，贝V x2+ y2的最小值为解析：x2+ y2—4x—6y+ 12= 0可化为(x—2)2+ (y—3)2= 1,则圆心坐标为(2,3)，圆的半径r= 1.因为x2+ y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在圆心与原点连线与圆的两个交点处取得最值，又圆心到原点的距离为.2—0 2+ 3 —0 2= 13，所以x2+ y2的最小值为(一13—1)2= 14— 2 13.答案：14— 2 132.在平面直角坐标系xOy中，点A(—1,0), B(1,0).若动点C满足AC= 2BC,则厶ABC的面积的最大值是__________ .解析：设C(x, y),则(x+ 1)2+ /= 2(x —1)2+ 2『，化简得(x —3)2+ /= 8.其中屮 0,从而S A ABC=2 X |y|< 2 2，即△ ABC的面积的最大值是2 2.答案：22考点三圆的方程的简单应用重点保分型考点一一师生共研［典例引领］(2018 扬州调研)设厶ABC 顶点坐标A(0, a), B( —3a, 0), C( 3a, 0)，其中a>0, 圆M ABC 的外接圆.(1) 求圆M的方程；(2) 当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由.解：(1)设圆M 的方程为x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0(D2+ E2—4F >0).因为圆M 过点A(0, a), B(—3a, 0), C( 3a, 0),所以」3a —岳D + F = 0,解得』E = 3 — a ,j 3a ++ F = 0,L F = — 3a.所以圆 M 的方程为x 2 + y 2+ (3 — a)y — 3a = 0. 2 2(2)因为圆M 的方程可化为(x + y+ 3y)—(3 + y)a = 0.］x 2+ y 2 + 3y = 0, 由 解得x = 0, y = — 3.所以圆M 过定点(0, — 3). |3 + y = 0,［由题悟法］圆的方程是一个二元二次方程，所以有时候我们可从函数和方程的角度对其相关问题 进行分析，也可利用方程中 x , y 的取值范围来确定有关函数的值或范围.［即时应用］已知圆C 过点P(1,1),且与圆M : (x + 2)2+ (y + 2)2= r 2(r > 0)关于直线x + y + 2= 0对称.(1)求圆C 的方程;(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求 P Q -M Q 的取值范围.则圆C 的方程为x 2+ y 2= r 2,将点P 的坐标代入得r 2= 2, 故圆C 的方程为x 2+ y 2= 2.2 2(2)设 Q (x , y),贝U x + y = 2,且 P Q —Q = (x — 1, y — 1) (x + 2, y + 2) = x 2 + y 2 + x + y — 4 = x + y — 2. 令 x = 2cos 0, y = ,2sin 0,所以 P Q —Q = x + y — 2= *J2(sin 0+ cos 0 — 2=2sin 0+ ： — 2,所以P6亦Q 的取值范围为[—4,o].「a + aE + F = 0,「D ='D = 0, 解：⑴设圆心C(a , b),则彳b + 2a + 2= 1,一抓基础，多练小题做到眼疾手快1•若圆的半径为3,圆心与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆的标准方程为______________ . 答案：x2+ y2= 92.在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆O: x2+ y2+ 2x= 0上任意一点，点Q(2a, a+ 3)(a€ R),则线段P Q长度的最小值为__________ .解析：圆O: x5+ y2+ 2x= 0，即(x + 1)2+ y2= 1，表示以(一1, 0)为圆心、半径为1 的圆，则点Q(2a，a + 3)到圆心(一1, 0)的距离d= , 2a +1 2+ a+ 3 2= 5a2+ 10a+ 10 = 5a + 1 2+ 5,所以当a=- 1时，d取得最小值为5，故线段P Q长度的最小值为职-1.答案：5- 13. _________________________________________________________________ 若圆x2+ y2+ 2ax- b2= 0的半径为2,则点(a, b)到原点的距离为_____________________________ .解析：由半径r= ；*D2+ E2- 4F = 2 ；4a2+ 4b2= 2 得，a2+ b2= 2.所以点(a, b)到原点的距离d= _a2+ b2= 2.答案：24. 若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y= x对称，则圆C的标准方程为解析：根据题意得点(1,0)关于直线y= x对称的点(0,1)为圆心，又半径r = 1,所以圆C的标准方程为x2+ (y- 1)2= 1.答案：x2+ (y- 1)2= 15. _____ (2019兴化月考)经过点(2,0)且圆心是直线x= 2与直线x + y= 4的交点的圆的标准方程为__________ .5 2(2,0)在圆上，所以半径r= 2,则圆的标准方程为(x- 2) + (y- 2) = 4.答案：(x —2)2+ (y- 2)2= 46. _____ 设P是圆(x —3)2+ (y+ 1)2= 4上的动点，Q是直线x=- 3上的动点，贝y P Q的最小值为________ .解析：如图所示，圆心M(3, —1)与定直线x =- 3的最短距离为MQ= 3-(-3) = 6,又圆的半径为2,故所求最短距离为6- 2 = 4.答案：4二保咼考，全练题型做到咼考达标1. (2019无锡调研)设两条直线x+ y-2 = 0,3x-y- 2= 0的交点为M，若点M 在圆(x- m)2+ y2= 5内，则实数m的取值范围为_______________________ .x+ y- 2= 0, x= 1,解析：联立解得则M(1,1),3x- y- 2= 0, y= 1,由交点M在圆(x- m)2+ y2= 5的内部，可得(1 - m)2+ 1v 5，解得一1< m v 3.故实数m的取值范围为(一1,3).答案：(一1,3)x= 2, x= 2, 一一解析：由* 得/ 即两直线的交点坐标为(2,2)，则圆心坐标为(2,2).又点x+ y= 4 y= 2,2.已知点P(x,y)在圆x2+ (y 1* 1上运动, 则匕的最大值与最小值分别为——解析：设口 = k,则k表示点P(x, y)与点(2,1)连线的斜率.过两点连线的直线方程为x —2kx—y+ 1 —2k= 0，当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值，由」争―=1，解得k=甲.k2+ 1 3答案：—口 3 ' 33.已知圆C与直线y= x及x—y—4 = 0都相切，圆心在直线y= —x上，则圆C的方由题意知x —y= 0和x—y—4 = 0之间的距离为牛22，所以r= . 2又因为x 解析:程为_________________ .+ y= 0与x —y= 0, x—y— 4 = 0均垂直，所以由x+ y= 0和x—y= 0联立得交点坐标为(0,0), 由x+ y= 0和x —y—4= 0联立得交点坐标为(2, —2)，所以圆心坐标为(1, —1)，圆C的标准方程为(x —1)2+ (y+ 1)2= 2.答案：(x —1)2+ (y+ 1)2= 24. _____________________________________________________________ (2018苏州期末)在平面直角坐标系xOy中，已知过点A(2, —1)的圆C和直线x+ y =1相切，且圆心在直线y=—2x上，则圆C的标准方程为________________________________________________ .解析：根据题意，设圆C的圆心为(m, —2m),半径为r,m—2 2+ —2m + 1 2= r2,贝V |m —2m—1| 解得m= 1, r= 2,I V2 =r，所以圆C的方程为(x—1)2+ (y+ 2)2= 2.答案：(x —1)2+ (y+ 2)2= 25. ________________ 已知直线I: x+ my+ 4 = 0,若曲线x + y + 2x—6y+ 1= 0上存在两点P, Q关于直线I对称，则m= .解析：因为曲线x2+ y2+ 2x—6y+ 1 = 0 是圆(x + 1)2+ (y—3)2= 9,若圆(x+ 1)2+ (y—3)2 =9上存在两点P, Q关于直线l对称，则直线l：x+ my+ 4= 0过圆心(一1,3)，所以一1 +3m + 4= 0,解得m=—1.答案：—16.在平面直角坐标系xOy内，若曲线C：x2+ y2+ 2ax—4ay+ 5a2— 4 = 0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为______________ .解析：圆C的标准方程为(x+ a)2+ (y—2a)2= 4,所以圆心为(一a,2a),半径r = 2,故由[a v 0, 题意知屮一a|>2, 解得a v- 2,故实数a的取值范围为(一^,—2).J2a|> 2,答案：(—a, —2)7.当方程X6+ y2+ kx+ 2y+ k2= 0所表示的圆的面积取最大值时，直线y= (k—1)x + 2的倾斜角a= ________ .解析：由题意可知，圆的半径r= 1 k2+ 4—4k2= 2严—3k2w 1,当半径r取最大值时,圆的面积最大，此时k= 0, r = 1,所以直线方程为y=—x+ 2，则有tan a=—1，又a€ [0,n)故a=4答案：3n48. (2018滨海中学检测)已知点P(0,2)为圆C: (x —a) + (y—a) = 2a外一点，若圆C上存在点Q,使得/ CP Q= 30 °贝U正数a的取值范围是___________ .解由圆C: (x —a)2+ (y—a)2= 2a?,得圆心为C(a, a),半径r=；f2a, 析：CP= -：ja + a—2 ,设过P的一条切线与圆的切点是T ,则CT = 2a，当Q为切点时，/ CP Q最大.•••圆C上存在点Q使得/ CP Q=30°2'驚> sin 30°,即—2__2a~=CP a2+ a —26 \/7 —1 一"x/7一1整理可得3a + 2a—2>0，解得a> —或a< ------- 3—(舍去).又点P(0,2)为圆C：(x—a)2+ (y—a)2= 2a2外一点，二a2+ (2 —a)2> 2a2，解得a v 1.故正数a的取值范围是亠7—^, 1 .答案：一于,19.已知以点P为圆心的圆经过点A(—1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点 C 和D，且CD= 4 10.(1) 求直线CD的方程；(2) 求圆P的方程.解：(1)由题意知，直线AB的斜率k = 1,中点坐标为(1,2).则直线CD的方程为y—2=—(x —1)，即x + y—3= 0.(2)设圆心P(a, b),则由点P在CD上得a+ b—3= 0.①又因为直径CD = 4 10, 所以 PA = 2 10, 所以(a + 1)2+ b 2= 40.②a = — 3由①②解得<b = 6所以圆心 P( — 3,6)或P(5,— 2).所以圆 P 的方程为(x + 3)2+ (y — 6)2= 40 或(x — 5)2 + (y + 2)2= 40. 10.已知 M(m , n)为圆 C : x 2+ y 2— 4x — 14y + 45= 0 上任意一点. (1) 求m + 2n 的最大值； n 一 3(2) 求 -- 3的最大值和最小值.m + 2解：⑴因为 x 2 + y 2 — 4x — 14y + 45= 0 的圆心 C(2,7)，半径 r = 2,2,设 m + 2n = t ,将 m + 2n = t 看成直线方程，因为该直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离d = |2+ 22X 7— t|< 2 2,解上式得，16 — 2,10< t < 16+ 2 10, 所以所求的最大值为 16+ 2 10. (2)记点 Q (— 2,3),n 一 3因为表示直线M Q 的斜率k , m + 2所以直线 M Q 的方程为y — 3= k(x + 2), 即 kx — y + 2k + 3 = 0. 由直线M Q 与圆C 有公共点，1+ k可得2 — 3< k w 2 + 3,所以■n ■二3的最大值为2 + 3，最小值为2— 3.三上台阶，自主选做志在冲刺名校x +11. (2019宁海中学模拟)如果直线 2ax — by + 14= 0(a > 0, b > 0)和函数f(x)= m + 1(m >0, m z 1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆 (x — a + 1)2+ (y + b — 2)2= 25的内部或圆上，那么b 的取值范围是 _________ .a解析：函数f(x)= m x +1+ 1的图象恒过点(一1,2),代入直线 2ax — by + 14= 0, 可得—2a — 2b + 14 = 0，即卩a + b = 7.•定点始终落在圆 (x —或.b =— 2.m + 2解：(1)以EF 所在直线为x 轴，MN 所在直线为y 轴，1 m 为单E(— 3 3, 0), F(3,3,位长度建立如图所示的平面直角坐标系•则 0), M (0,3).EJ厂*oI 1J B NC Da + 1)2+ (y + b-2)2 = 25 的内部或圆上，• a 2+b 2w 25.设—=t ,贝U b = at ,代入 a + b = 7,可a得 a = 1+t , b = ft '代入 ••• 3w tw 4.故b 的取值范围是 4 3 a)已知点 A(0,2)为圆 M : x 2+ y 2— 2ax — 2ay = 0(a > 0)外一点，圆 M 上存在点T ,使得/ MAT = 45°贝U 实数a 的取值范围是 解析：圆M 的方程可化为(x — a)2 + (y —a)2= 2a 2.圆心为M(a , a),半径为 2a.当A , M , T 三点共线时，/ MAT = 0°最小, 当AT 与圆M 相切时，/ MAT 最大. 圆M 上存在点T ,使得/ MAT = 45°只需要当/ MAT 最大时，满足 45°W/ MAT V 90°即可. MA = p (a — 0 f + (a — 2 $ = p 2a 2— 4a + 4, 此时直线AT 与圆M 相切，所以皿 MAT =MA - 2a 2 — 4a + 4* 因为 45°w / MAT V 90° 所以警w sin / MAT V 1,所以B.百缶V1,解得3— 1 w a v 1. 答案：［3 — 1,1)3•如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成.已知隧道总宽度 AD 为6, 3 m ,行车道总宽度 BC 为 2 11 m ，侧墙EA , FD 高为2 m ，弧顶高 MN 为5 m.(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程;(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少 要有0.5 m .请计算车辆通过隧道的限制高度是多少.由于所求圆的圆心在 y 轴上， 所以设圆的方程为 x 2+ (y — b)2= r 2,答案:1 4A ，3：3 44, 3 2. (2018 •东中学检测 2aw 25,.・.12『—25t + 12W 0,a 2 +b 2w 25,可得(1+ t 2) x因为F(3.3, 0), M(0,3)都在圆上，所以吩丁；lO +(3 —b)= r ,解得b= —3, r2= 36.所以圆的方程是x2+ (y+ 3)2= 36.(2)设限高为h，作CP丄AD交圆弧于点P,贝U CP= h+ 0.5.将点P的横坐标x = 可代入圆的方程，得11+ (y+ 3)2= 36,解得y= 2或y=—8(舍去). 所以h= CP—0.5= (y+ DF)—0.5= (2 + 2) —0.5 = 3.5(m).答：车辆的限制高度为 3.5 m.。
