2019年定积分简单应用.ppt

第四节

定积分与微积分基本定理

高考概览：1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义．

[知识梳理]

1．定积分的概念

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

在abf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．

2．定积分的性质

3．微积分基本定理

4．定积分的几何和物理应用

[辨识巧记]

1．两个结论

(1)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．

(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程．

2．两个性质

函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有

[双基自测]

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则abf(x)dx＝abf(t)dt.( )

(2)若abf(x)dx<0，则由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．( )

[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√

[解析] －1 1|x|dx＝－1 0(－x)dx＋01xdx＝－12x2 0－1＋12x210＝12＋12＝1.

[答案] A

3．(选修2－2P65A组T5改编)曲线y＝x2＋2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为( )

A.16 B.13 C.56 D.23

[解析] 如图，两函数图象交点为(－1，－1)和(0,0)，所求面积S

＝－1 0[x－(x2＋2x)]dx

＝－1 0(－x2－x)dx

＝－13x3－12x2 0－1＝16.

1 1．5.3

定积分的概念

1.了解定积分的概念，会用定义求定积分．

2.理解定积分的几何意义．

3.掌握定积分的基本性质．

1．定积分的概念

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

2．定积分的几何意义

如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分abf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．

3．定积分的性质

(1)abkf（x）dx＝kabf（x）dx(k为常数)．

(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝abf1(x)dx±abf2(x)dx．

(3)abf(x)dx＝acf(x)dx＋cbf(x)dx(其中a

1．对定积分概念及几何意义的理解

(1)定积分abf(x)dx是一个常数——实数，一般情况下，被积函数y＝f(x)的图象可以在x轴的上方，也可以在x轴的下方，在积分区间[a，b]上，只有y＝f(x)≥0(图象不在x轴的下方)时，abf(x)dx才等于曲边梯形的面积，也就是说，在积分区间[a，b]上，当y＝f(x)<0(图象在x轴的下方)时，abf(x)dx<0，－abf(x)dx等于曲边梯形的面积，这是对定积分的几何意义的全面理解．

(2)对于具有公共区间[a，b]上的两个函数，若上界函数为f1(x)，下界函数为f2(x)，则

1 直线x＝a，x＝b与曲线y＝f1(x)，y＝f2(x)围成平面图形的面积为S＝ab[f1(x)－f2(x)]dx.

2．分段函数的定积分

分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加．

3．奇偶函数的定积分

(1)若奇函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续，则－aaf(x)dx＝0.

(2)若偶函数y＝g(x)的图象在[－a，a]上连续，则－aag(x)dx＝20ag(x)dx.

金版教程·高考总复习·数学·理（经典版）

第5讲 定积分与微积分基本定理

基础知识整合

1．定积分的概念

在abf(x)dx中，□01a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，□02f(x)叫做被积函数，□03x叫做积分变量，□04f(x)dx叫做被积式．

2．定积分的性质

(1)abkf(x)dx＝□05kabf(x)dx(k为常数)．

(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝□06abf1(x)dx±abf2xdx.

(3)□07abf(x)dx＝acf(x)dx＋cbf(x)dx(其中a＜c＜b)．

3．微积分基本定理

如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝□08F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．

为了方便，常把F(b)－F(a)记成□09F(x)|ba，即abf(x)dx＝□10F(x)|ba＝F(b)－F(a)．

1．定积分应用的常用结论

当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．

2．函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有

(1)若f(x)为偶函数，则-aaf(x)dx＝20af(x)dx.

(2)若f(x)为奇函数，则-aaf(x)dx＝0. 金版教程·高考总复习·数学·理（经典版）

1．已知t是常数，若0t(2x－2)dx＝8，则t＝( )

A．1 B．－2

C．－2或4 D．4

答案 D

解析 由0t(2x－2)dx＝8得，(x2－2x)t0＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．

2．(2019·南昌模拟)若1a2x＋1xdx＝3＋ln 2(a＞1)，则a的值是( )

一、二重积分（引例：求平面薄片的质量）

基本计算思路：把二重积分化为二次积分（定积分）

基本计算的两个步骤： 1）定限； 2）定积分的计算

基本计算方法： 1）在直角坐标下的计算方法： x 型区域、 y 型区域；

2）在极坐标下的计算方法：注意被积函数要乘一个 r 。

其他知识点：改变积分的次序

二重积分的应用：曲面 : z f x , y 的面积为 1 fx2 f y2 dxdy ，其中 D

D

为 在 xoy 面上的投影区域。

例 1： 2

y2

R2 , y 0 R 0 y x d , D : y R x , x2

D

解：原式 0 R x 2 2 d R

3 sin cos 2

dx

0 y x dy r dr

R 0 0

0 R 3

x 3 R

dx

2 1 sin2 d

r 3dr

R 3 3 0 0

R4 R4 1 R4

4 4 2 8

例 2：交换下列二次积分的次序

1 x2 3 1 3 x

f x , y dy 1 3 2 y f x , y dx 。 dx f x , y dy dx 2 dy

y 0 0 1 0 0

二、三重积分（引例：求空间立体的质量）

基本计算思路：把三重积分化为三次积分（定积分）基本计算的两个步骤： 1）定限； 2）定积分的计算

基本计算方法： 1）投影法； 2）切片法； 3）柱面坐标下计算法； 4）球面坐标下计算法

2 2

例 3：计算三重积分 zdv，式中 为由 z x y 所确定的圆台体。