2017-2018届北京市东城区示范校高三上学期综合能力测试理科数学试题及答案

北京市东城区 2017-2018 学年第一学期期末教学统一检 高三数学 （理科）本试卷共 5 页，150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

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第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合U  {1, 2,3, 4}，集合 A  {1,3, 4} ， B  {2, 4} ，那么集合 (C A) I B  U（A）{2}（B）{4}【考点】集合的运算（C） {1, 3}（D）{2, 4}【试题解析】 【答案】A，所以，故选 A（2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于333正（主）视图1侧（左）视图13俯视图3 （A） 2 cm3（B）3 cm3【考点】空间几何体的三视图与直观图（C）3 cm3【试题解析】由三视图可知，直观图为底面积为（D）9 cm3，高的三棱锥，所以体积为，故选 A 【答案】A（3）设 i 为虚数单位，如果复数 z 满足 (1 2i)z  5i ，那么 z 的虚部为（A） 1（B）1【考点】复数综合运算（C） i（D） i【试题解析】 【答案】B，虚部为 1，故选 B（4）已知 m  (0,1) ，令 a  logm 2 ， b  m2 ， c  2m ，那么 a,b, c 之间的大小关系为（A） b  c  a（B） b  a  c【考点】对数与对数函数指数与指数函数（C） a  b  c（D） c  a  b【试题解析】因为，所以，，【答案】C（5）已知直线 l 的倾斜角为 ，斜率为 k ，那么“   ”是“ k  3（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件3 ”的（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件，即，故选 C【试题解析】当时， ，当时，，所以“”是“”的必要而不充分条件，故选 B 【答案】B（6）已知函数f(x) 1 x1,0  x  2 ，如果关于 x 的方程 f (x)  k 有两个不同的实根，那么实数 k 的ln x, x  2取值范围是（A） (1, )（B）[ 3 , ) 23（C）[e2 , )【考点】零点与方程 【试题解析】在同一坐标系内作出函数与的图象（如图），（D）[ln 2, )关于 x 的方程有两个不同的实，等价于直线与图象有两个不同的交点，所以 的取值范围是，故选 B 【答案】B（7）过抛物线 y2  2 px（p  0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点，点 O 是原点，如果 BF  3 ，BF  AF ， BFO  2 ，那么 AF 的值为 3( A) 1【考点】抛物线3 (B)2(C) 3（D） 6【试题解析】由已知直线的斜率为，则方程为，联立方程得，即因为，所以，依题意，所以，则，故选A【答案】A（8）如图所示，正方体 ABCD  ABCD 的棱长为 1, E, F 分别是棱 AA ，CC 的中点，过直线 E, F 的平面分别与棱 BB、 DD 交于 M , N ，设 BM  x ， x  (0,1) ，给出以下四个命题：① 四边形 MENF 为平行四边形；D'② 若四边形 MENF 面积 s  f (x) , x  (0,1) ,则 f (x) 有最N小A'值；C'B' F③ 若四棱锥 A MENF 的体积V  p(x) ， x  (0,1) ，则 EDp(x) 常函数；C M④ 若多面体 ABCD MENF 的体积V  h(x) ， x  (1 ,1) ， AB2则 h(x) 为单调函数．其中假．命．题．为( A) ①(B) ②【考点】立体几何综合【试题解析】对①，因为平面(C) ③平面，平面（D）④ 平面，平面平面，所以，同理，所以四边形为平行四边形。

2017届东城区普通校⾼三第⼀学期联考理科数学试卷及答案东城区普通校2013-2014学年第⼀学期联考试卷⾼三数学（理科）命题校：北京市第⼆⼗⼆中学 2013年11⽉本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分，共150分，考试⽤时120分钟。

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祝各位考⽣考试顺利！第Ⅰ卷⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题列出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．若集合{}20M x x =->，{}(3)(1)0N x x x =--<，则M N =(A) {}23x x << （B ）{}1x x < （C ）{}3x x > （D ）{}12x x << 2. 命题“若a b >，则1a b +>”的逆否命题是（A ）若1a b +≤，则a b > （B ）若1a b +<，则a b > （C ）若1a b +≤，则a b ≤ （D ）若1a b +<，则a b <3. “2x >”是“24x >”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 4. 已知数列{}n a 为等差数列，且1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45 5. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（A ）lg y x = （B ）cos y x =（C ）||y x =（D ）sin y x =6．曲线 331x y =在x=1处切线的倾斜⾓为（A ）1 （B ）4π- （C ）4π（D ）54π7. 要得到函数sin24y x π=-（）的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移π（B ）向右平移π单位（C ）向右平移8π单位（D ）向左平移8π单位 8．下列函数中，在(1, 1)-内有零点且单调递增的是（A ）12log y x =（B ）21x y =- （C ）212y x =-(D) 3y x =- 9．设13log 2a =，2log 3b =，0.31()2c =，则（A ）a b c << （B ）a c b <<（C ）b c a << （D ）b a c <<10．如图，是函数)(x f y =的导函数)(x f '的图象，则下⾯判断正确的是（A ）在区间（－2,1）上)(x f 是增函数（B ）在（1,3）上)(x f 是减函数（C ）在（4,5）上)(x f 是增函数（D ）当4=x 时，)(x f 取极⼤值11．已知数列}{n a 为等⽐数列，274=+a a ，865-=?a a ，则101a a +的值为（A ）7 （B ）5- （C ）5 （D ）7-12. 设函数121()log ()2xf x x =-，2121()log ()2xf x x =-的零点分别为12,x x ，则（A ）1201x x << （B ）121x x = （C ）1212x x << （D ）122x x ≥⼆、填空题：本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分．13. 函数)1lg()(-=x x f 的定义域是______________.14. 已知53sin =α，且α为第⼆象限⾓，则αtan 的值为 . 15. 若曲线21232-+=x x y 的某⼀切线与直线341+-=x y 垂直，则切点坐标为 .16. 在ABC ?中，若3a b ==，3B 2π∠=，则c =____. 17．已知函数y ＝f (x ) (x ∈R)满⾜f (－x ＋2)＝f (－x )，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为________．18．①命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”；②函数2()2xf x x =-的零点有2个；③若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝0；④函数[]sin (,)y x x ππ=∈-图象与x 轴围成的图形的⾯积是π-πsin d S x x =；⑤若函数f (x )＝a x －5x >6 ，? ??4－a 2x ＋4 x ≤6 ，在R 上是单调递增函数，则实数a 的取值范围为（1，8）．其中真命题的序号是（写出所有正确命题的编号）．三、解答题：本⼤题共4⼩题，共60分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．19．（本⼩题满分14分）已知函数2()cos cos f x x x x -．（Ⅰ）求()f x 的最⼩正周期；（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最⼤值及相应的x 的值．20. （本⼩题满分14分）在锐⾓ABC ?中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-. （Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且b =a .21.（本⼩题共14分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，410a =，且3a ，6a ，10a 成等⽐数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2(*)n an b n =∈N ，求数列{}n b 的前n 项和公式.22.（本⼩题共18分）已知函数()ln f x x x =．（Ⅰ）求函数()f x 在[1,3]上的最⼩值；（Ⅱ）若存在1[,e]ex ∈（e 为⾃然对数的底数，且e =2.71828 ）使不等式22()3f x x ax ≥-+-成⽴，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若)(x F 的导函数为)(x f ，试写出⼀个符合要求的)(x F （⽆需过程）.东城区普通校2013-2014学年第⼀学期联考试卷答题纸⾼三数学（理科）命题校：北京市第⼆⼗⼆中学 2013年11⽉第Ⅰ卷1_______2_______3_______4_______5_______6_______7_______8_______9______10______11_______12______13. 14.15. 16学号17. 18. 19解：20. 解：21. 解：号学22. 解：东城区普通校2013-2014学年第⼀学期联考答案⾼三数学（理科）参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法⾃⼰根据情况相应地给分）命题校：北京市第⼆⼗⼆中学 2013年11⽉⼀.选择题1 A2 C3 A4 B5 D6 C7 C8 B9 B 10C 11D 12A⼆.填空题13. {x | x >1 } 14. 43-15. （1，2）16.①③（写对⼀个给2分，写错⼀个不得分）三．解答题19．解：（Ⅰ）因为11()2cos 2222--1sin(2)62x π=--，所以22T ππ==，故()f x 的最⼩正周期为π. …………………… 7分（Ⅱ）因为 02x π≤≤，所以52666x πππ--≤≤．所以当262ππ=-x ，即3x π=时，)(x f 有最⼤值12. ………………14分20．解：（Ⅰ）由已知可得2312sin 4C -=-.所以27sin 8C =.因为在ABC ?中，sin 0C >，所以sin 4C =. ……………………………………………7分（Ⅱ）因为2c a =，所以1sin sin 28A C ==.因为ABC ?是锐⾓三⾓形，所以cos C =，cos A =.所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+=+=A=，所以a =…………………………14分 21．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，⼜410a =，可得310a d =-，6102a d =+， 10106a d =+．由3a ，6a ，10a 成等⽐数列得23106a a a =，即2(10)(106)(102)d d d -+=+，整理得210100d d -=，解得0d =或1d =．由0d ≠,可得1d =．14310317a a d =-=-?=，所以1(1)6n a a n d n =+-=+． …………………7分（Ⅱ）由2(*)n an b n =∈N ，6n a n =+，可得62n n b +=.所以1612128b +==．因为716222n n n n b b +++==，所以数列{}n b 是⾸项为128，公⽐为2的等⽐数列．所以{}n b 的前n 项和公式为7128(12)212812n n n S +-==--．………14分 22．解：（Ⅰ）由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+，当1(0,)ex ∈时，()0,()f x f x '<单调递减；当1(,)ex ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增．所以函数)(x f 在[1,3]上单调递增．⼜(1)ln10f ==，所以函数()f x 在[1,3]上的最⼩值为0． …………………7分（Ⅱ）由题意知，22ln 3,x x x ax ≥-+-则32ln a x x x ≤++．若存在1[,e]ex ∈使不等式2只需a ⼩于或等于32ln x x x++的最⼤值．设()()32ln 0h x x x x x =++>，则()()()2231231x x h x x x x+-'=+-=．当1[,1)x e∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当(1,e]x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增．由11()23e e e h =-+ +，3(e)2e e h =++，12()(e)2e 40e eh h -=-->，可得1()(e)eh h >．所以，当1[,e]e x ∈时，)(x h 的最⼤值为11()23e e eh =-++．故123e ea ≤-++． ………………14分（Ⅲ）4ln 2)(22x x x x F -=………………18分。

东城区2017-2018学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）B （5）B （6）C （7）A （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）1- （10）40 （11）20 （12）(1,)+∞ （13）1，222x y -=等 （14）23π，②④ 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解:（Ⅰ）因为2a =，2sin sin A C =，由正弦定理sin sin a cA C=，得4c =． （Ⅱ）由21cos 22cos 14C C =-=-，得23cos 8C =.因为02C π<<，得cos 4C =．所以sin C ==方法一：因为2sin sin A C =，所以sin 88A A == 所以所以1sin 2ABC S ac B ∆== 方法二：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得2120b -=， 解得b =b =．sin sin[()]sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C =π-+=+=+=+=所以1sin 2ABC S ab C ∆==（16）（共13分）解：（I ）由于收盘价的中位数为169，且开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，所以a =169. （II ）由于只有周四和周五的开盘价比其收盘价低，所以ξ的所有可能取值为0,1,2.33351(0)10C P C ξ===，2132353(1)5C C P C ξ⋅===，1232353(2)10C C P C ξ⋅===. 所以ξ的分布列为故ξ的数学期望1336012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=. （III ）168.（17）（共14分） 证明：（Ⅰ）取线段AE 中点P .连接BP 、MP . 因为点M 为DE 中点，所以//MP AD ，12MP AD =. 又因为B C D O 为正方形，所以//BC AD ，BC AD =，所以//BC MP ，BC MP =.所以四边形BCMP 为平行四边形，所以//CM BP . 因为CM ⊄平面ABE ，BP ⊂平面ABE ， 所以//CM 平面ABE . （Ⅱ）连接EO .因为AE DE =，O 为AD 中点，所以EO AD ⊥.. 因为EO ⊂平面ADE ，平面ADE ⊥平面ABCD ， 平面ADE 平面ABCD AD =所以 ,EO OB EO OD ⊥⊥ 又因为正方形BCDO ，所以OB OD ⊥. 如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -.()0,1,0A -，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()0,0,1E ，110,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭.设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =，()1,1,0AB = ，()0,1,1AE =，则有0,0.AB m AE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.x y y z +=⎧⎨+=⎩ 令1y =-，则1x z ==，即平面ABE 的一个法向量为()1,1,1m =-.()0,1,1DE =-，cos ,DE DE DE⋅=== m m m . 所以直线DE 与平面ABE（Ⅲ）设ON OD λ= ，所以()0,,0N λ=，所以()1,,0NB λ=- ，111,,22MB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ .设平面BMN 的法向量为(),,n u v w =，则有0,0.NB n MB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,110.22u v u v w λ-=⎧⎪⎨--=⎪⎩ 令1v =，则()0,1,1n =. 因为0CN n ⋅=，则,21u w λλ==-.即平面BMN 的一个法向量为(),1,21n λλ=-.因为平面BMN ⊥平面ABE ，所以0m n ⋅=.解得23λ=，所以53AN =.（18）（本题满分共13分） 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞. 由已知得21ln 21)('2--=x x x f ，且32)1(=f . 所以0)1('=f .所以曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线方程为32=y . （Ⅱ）设()'()g x f x =，（1x e e<<） 则211'()x g x x x x-=-=.令'()0g x =得1x =.当x 变化时，'()g x 符号变化如下表：则()(1)0g x g ≥=，即'()0f x ≥，当且仅当1x =时，'()0f x =. 所以()f x 在1(,)e e上单调递增. 又e e e f 2161)(3-=， 所以a 的最小值为为31162e e -. （19）（本题满分共14分）解：（I ）由题意得22121.a ab ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得 1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的方程为2212x y +=. （II ）当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =+≠.由22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(12)4(22)0k x k x k +++-=. 易得0∆>.设1122(,),(,)M x y N x y ，则2122212241222.12k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 设(,0)Q t .由点,M N 在x 轴异侧，则问题等价于 “QF 平分MQN ∠ ”，且12,x t x t ≠≠，又等价于“12120QM QN y yk k x t x t+=+=--”，即1221()()0y x t y x t -+-=. 将1122(1),(1)y k x y k x =+=+代入上式，整理得12122()(1)20x x x x t t ++--=. 将①②代入上式，整理得20t +=，即2t =-，① ②所以(20)Q -，.当直线MN 的斜率不存在时，存在(20)Q -，也使得点F 到直线QM ，QN 的距离相等. 故在x 轴上存在定点(20)Q -，，使得点F 到直线QM ，QN 的距离总相等. （20）（共13分） 解：（I ）1，1，3，4，5.（II ）1i =时，由111a ≤≤知11a =，由题意知111b a =≥，结论成立；2i ≥时，设(1)i a k k i =≤≤，若1k =，则i i b a ≥；若2k i ≤≤，则由1211,2,,1k a a a k -≤≤≤- 知121,,,k a a a - 均不与i a 相等. 于是()1i a k τ≥-，()1i i i b a k a τ=+≥=. 综上，(1,2,,)ii b a i n ≥= .（III ）当1i =时，由111a ≤≤知11a =，结论成立； 当2i ≥时，假设121,,,i a a a - 中存在一项和i a 相等，设为k a .在数列121,,,,,,k i i a a a a a - 中，由1i i a a -≠，i k a a =可知，第i 项之前与i a 不相等的 项比第k 项之前与k a 不相等的项至少多了一项1i a -，则()()i k a a ττ>. 于是()1()1i i k k b a a b ττ=+>+=，可得i i k k a b b a =>=，与i k a a =矛盾. 于是121,,,i a a a - 均不与i a 相等，则()1i i i a b a i τ==+=. 综上，若数列A 相邻两项均不相等，且B 与A 为同一个数列， 则(1,2,,)i a i i n == .。

北京市东城区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={0，1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2}2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）（文）若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a9=4，则S11等于（）A．12 B．18 C．22 D．445．（5分）当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．6B．8C．14 D．306．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）＞，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．7．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．8．（5分）已知圆O：x2+y2=2，直线l：x+2y﹣4=0，点P（x0，y0）在直线l上．若存在圆C 上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），则x0的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点到其准线的距离为1，则该抛物线的方程为．10．（5分）若实数x，y满足则z=3x﹣y的最大值为．11．（5分）在△ABC中，a=3，，B=60°，则c=；△ABC的面积为．12．（5分）已知向量，不共线，若（λ+）∥（﹣2），则实数λ=．13．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）为偶函数．若f（1）=1，则f（8）+f（9）=．14．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=AD=2，M，N分别为线段AC上的点．若∠MBN=30°，则三棱锥M﹣PNB体积的最小值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）已知数列{a n}是等差数列，满足a2=3，a5=6，数列{b n﹣2a n}是公比为3等比数列，且b2﹣2a2=9．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n．17．（14分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求的值．18．（14分）已知函数f（x）=ax﹣（2a+1）lnx﹣，g（x）=﹣2alnx﹣，其中a∈R（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＞0时，求f（x）的单调区间；（3）若存在x∈，使不等式f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围．19．（13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．20．（13分）对于数列A：a1，a2，a3（a i∈N，i=1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中b i=|a i﹣a i+1|（i=1，2），且b3=|a3﹣a1|．这种“T变换”记作B=T（A）．继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问A：2，6，4经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）设A：a1，a2，a3，B=T（A）．若B：b，2，a（a≥b），且B的各项之和为2012．（ⅰ）求a，b；（ⅱ）若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由．北京市东城区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={0，1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+2）≤0，解得：﹣2≤x≤2，即B=，∵A={0，1}，∴A∩B={0，1}．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．解答：解：∵复数===，∴复数对应的点的坐标是（，）∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．点评：本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在2017-2018学年高考题的前几个题目中．3．（5分）（文）若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：运用充分必要条件定义判断求解．解答：解：∵a∈R，当a2＞a时，即a＞1或a＜0，a＞1不一定成立当a＞1时，a2＞a成立，∴充分必要条件定义可判断：“a2＞a”是“a＞1”的必要不充分条件，故选：B点评：本题考查了充分必要条件定义，很容易判断．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a9=4，则S11等于（）A．12 B．18 C．22 D．44考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质结合已知求得a6，再由S11=11a6得答案．解答：解：在等差数列{a n}中，由a3+a9=4，得2a6=4，a6=2．∴S11=11a6=11×2=22．故选：C．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．5．（5分）当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．6B．8C．14 D．30考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=5＞4，退出循环，输出s 的值为30．解答：解：由程序框图可知：k=1，s=2k=2，s=6k=3，s=14k=4，s=30k=5＞4，退出循环，输出s的值为30．故选：D．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．6．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）＞，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：将变量a按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．解答：解：当a≤0时，2a＞，解得，﹣1＜a≤0；当a＞0时，＞，解得，0＜a＜．∴a∈（﹣1，0]∪（0，），即为a∈（﹣1，）．故选D．点评：本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．7．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．解答：解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．几何体的直观图如图，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选A．点评：本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力．8．（5分）已知圆O：x2+y2=2，直线l：x+2y﹣4=0，点P（x0，y0）在直线l上．若存在圆C 上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），则x0的取值范围是（）A．B．C．D．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：根据条件若存在圆C上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），等价PO≤2即可，求出不等式的解集即可得到x0的范围解答：解：圆O外有一点P，圆上有一动点Q，∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值．如果OP变长，那么∠OPQ可以获得的最大值将变小．可以得知，当∠OPQ=45°，且PQ与圆相切时，PO=2，而当PO＞2时，Q在圆上任意移动，∠OPQ＜45°恒成立0．因此满足PO≤2，就能保证一定存在点Q，使得∠OPQ=45°，否则，这样的点Q是不存在的；∵点P（x0，y0）在直线x+2y﹣4=0上，∴x0+2y0﹣4=0，即y0=∵|OP|2=x02+y02=x02+（）2=x02﹣2x0+4≤4，∴x02﹣2x0≤0，解得，0≤x0≤，∴x0的取值范围是故选：B点评：本题考查点与圆的位置关系，利用数形结合判断出PO≤2，从而得到不等式求出参数的取值范围是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点到其准线的距离为1，则该抛物线的方程为y2=2x．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先，写出该抛物线的焦点坐标和准线方程，然后，根据它们之间的距离为为p，根据题意，得p=1，从而得到其方程．解答：解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），准线方程为x=﹣，它们之间的距离为p，根据题意，得p=1，所以抛物线的标准方程为：y2=2x故答案为：y2=2x．点评：本题重点考查了抛物线的定义、简单几何性质等知识，属于中档题．10．（5分）若实数x，y满足则z=3x﹣y的最大值为11．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时，直线y=3x﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（3，﹣2），此时z=3×3﹣（﹣2）=9+2=11，故答案为：11点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）在△ABC中，a=3，，B=60°，则c=4；△ABC的面积为3．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：根据已知和余弦定理可求c的值，从而有三角形的面积公式解得所求．解答：解：由余弦定理可得：cosB=，代入已知可得：=，解得c=4，c=﹣1（舍去），∴S△ABC=acsinB=3，故答案为：4，3．点评：本题主要考察了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．12．（5分）已知向量，不共线，若（λ+）∥（﹣2），则实数λ=﹣．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：用向量共线的充要条件是存在实数λ，及向量相等坐标分别相等列方程求解即可．解答：解：∵向量，不共线，若（λ+）∥（﹣2），∴λ+=k（﹣2），k﹣λ=0且1+2k=0解得k=﹣，故答案为：﹣．点评：考查向量共线的充要条件的应用．考查计算能力．13．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）为偶函数．若f（1）=1，则f（8）+f（9）=1．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），f（x+2）=f（﹣x+2）；即f（x）=﹣f（﹣x），f（x）=f（﹣x+4）；从而交替使用以化简．解答：解：∵f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）为偶函数，∴f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），f（x+2）=f（﹣x+2）；即∴f（x）=﹣f（﹣x），f（x）=f（﹣x+4）；故f（8）+f（9）==f（﹣8+4）+f（﹣9+4）=f（﹣4）+f（﹣5）=﹣（f（4）+f（5））=﹣（f（0）+f（﹣1））=﹣f（﹣1）=f（1）=1；故答案为：1．点评：本题考查了函数的性质的应用，属于基础题．14．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=AD=2，M，N分别为线段AC上的点．若∠MBN=30°，则三棱锥M﹣PNB体积的最小值为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：设∠MBH=α，∠NBH=β，根据三角函数关系得到，根据三棱锥的体积公式，结合三角函数的辅助角公式进行求解即可．解答：解：由题意值V M﹣PNB=V P﹣MNB=S△MNB=×，过B作BH⊥AC于H，如图：易知，当MN取最小值时，M，N一定在点H两边，不妨设∠MBH=α，∠NBH=β，由BH=知，V M﹣PNB==，，∴V M﹣PNB======，当且仅当时，取等号．故答案为：点评：本题主要考查空间三棱锥的体积的计算，利用三角函数法，结合三角函数辅助角公式以及三角函数的有界性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由图先求得A，T，ω的值，当x=时，f（x）=﹣1，可得φ的值，从而可求f（x）的解析式．（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（2x﹣），由x∈，可得﹣≤2x﹣≤，即可求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．解答：解：（1）由图可知，A=1，==，T=π，所以ω=2．当x=时，f（x）=﹣1，可得sin（2×+φ）=﹣1．∵|φ|＜∴φ=∴求f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x+）；（2）由（1）知f（x）=sin（2x+）．将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）=sin=sin（2x﹣）的图象，故g（x）=sin（2x﹣），∵x∈，∴﹣≤2x﹣≤当2x﹣=，即x=时，g（x）有最大值为1；当2x﹣=﹣，即x=0时，g（x）有最小值为﹣；点评：本题主要考察了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．16．（13分）已知数列{a n}是等差数列，满足a2=3，a5=6，数列{b n﹣2a n}是公比为3等比数列，且b2﹣2a2=9．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）分解等差数列和等比数列的性质建立方程关系即可求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和法即可求数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）由a2=3，a5=6得，解得a1=2，d=1，则a n=2+n﹣1=n+1．∵数列{b n﹣2a n}是公比为3等比数列，且b2﹣2a2=9．∴b1﹣2a1=b1﹣4=3，解得b1=7，则b n﹣2a n=3•3n﹣1=3n，则b n=2a n+3n=2（n+1）+3n；（Ⅱ）∵b n=2a n+3n=2（n+1）+3n；∴数列{b n}的前n项和S n=+（3+32+33+…+3n]=+=n（3+n）+（3n﹣1）．点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列和的求解，利用分组求和法以及等比数列和等差数列的求和公式是解决本题的关键．17．（14分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求的值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明AM⊥平面PBC；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）根据向量关系，以及直线垂直，利向量法进行求解即可．解答：证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．又AM⊂平面PAB，所以AM⊥BC．因为PA=AB，M为PB的中点，所以AM⊥PB．又PB∩BC=B，所以AM⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作AZ∥BC，则AP，AB，AZ两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．，，设平面APC的法向量为，则即令y=1，则z=﹣2．所以=（0，1，﹣2）．由（Ⅰ）可知=（1，1，0）为平面的法向量，设，的夹角为α，则cosα=．因为二面角A﹣PC﹣B为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．（Ⅲ）设D（u，v，w）是线段PC上一点，且，（0≤λ≤1）．即（u﹣2，v，w）=λ（﹣2，2，1）．所以u=2﹣2λ，v=2λ，w=λ．所以．由，得．因为，所以在线段PC存在点D，使得BD⊥AC．此时=．点评：本题主要考查空间位置关系的判断，以及利用向量法求二面角的大小以及空间线面垂直的判定，考查学生的推理能力．18．（14分）已知函数f（x）=ax﹣（2a+1）lnx﹣，g（x）=﹣2alnx﹣，其中a∈R（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＞0时，求f（x）的单调区间；（3）若存在x∈，使不等式f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=2代入函数解析式，求导后求得x=1处的导数值，进一步求得f（1），然后利用直线方程的点斜式求得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求出原函数的导函数=．然后分a=，a＞，0＜a＜三种情况求解函数的单调区间；（3）把f（x）≥g（x）转化为ax﹣lnx≥0，分离参数a得，构造函数，求函数h（x）在上的最小值得a的取值范围．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=2x﹣5lnx﹣，，f′（1）=﹣1，又f（1）=0，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣1=0；（2）=．当a=时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；当a＞时，当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当0＜a＜时，当时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（3）f（x）≥g（x）等价于ax﹣（2a+1）lnx﹣≥﹣2alnx﹣，即ax﹣lnx≥0，分离参数a得，．令，若存在x∈，使不等式f（x）≥g（x）成立，即a≥h（x）min．，当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数．而h（）=﹣e，h（e2）=．∴h（x）在上的最小值为﹣e，∴a≥﹣e．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，是压轴题．19．（13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程即可得到a=2，b=1，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）设P（m，0）（﹣2≤m≤2），设直线l的方程是y=（x﹣m）与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用两点间的距离公式即可证明．解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由短轴长为2，离心率为，则b=1，=，a2﹣b2=c2，解得a=2，c=，即有椭圆方程为+y2=1；（Ⅱ）证明：设P（m，0）（﹣2≤m≤2），∴直线l的方程是y=（x﹣m），联立椭圆x2+4y2=4，⇒2x2﹣2mx+m2﹣4=0（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，∴x1+x2=m，x1x2=，∴|PA|2+|PB|2=（x1﹣m）2+y12+（x2﹣m）2+y22=（x1﹣m）2+（x1﹣m）2+（x2﹣m）2+（x2﹣m）2=====5（定值）．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20．（13分）对于数列A：a1，a2，a3（a i∈N，i=1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中b i=|a i﹣a i+1|（i=1，2），且b3=|a3﹣a1|．这种“T变换”记作B=T（A）．继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问A：2，6，4经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）设A：a1，a2，a3，B=T（A）．若B：b，2，a（a≥b），且B的各项之和为2012．（ⅰ）求a，b；（ⅱ）若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由．考点：递归数列及其性质；数列的函数特性；数列的求和．专题：新定义．分析：（Ⅰ）首先要弄清“T变换”的特点，其次要尝试着去算几次变换的结果，看一下有什么规律，显然只有当变换到数列的三项都相等时，再经过一次“T变换”才能得到数列的各项均为零，否则“T变换”不可能结束．（Ⅱ）中（i）的解答要通过已知条件得出a是B数列的最大项，从而去掉绝对值符号得到数列A是单调数列，得到答案．（ii）的解答要抓住B经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“b，2，b+2”的数列，与数列B“结构”完全相同，且最大项减少12，从而数列和减少24，经过6×83+4=502次变换后使得各项的和最小，于是k的最小值为502．解答：（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列A：2，6，4不能结束，各数列依次为4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形．…（3分）（Ⅱ）解：（ⅰ）因为B的各项之和为2012，且a≥b，所以a为B的最大项，所以|a1﹣a3|最大，即a1≥a2≥a3，或a3≥a2≥a1．…（5分）当a1≥a2≥a3时，可得由a+b+2=2012，得2（a1﹣a3）=2012，即a=1006，故b=1004．…（7分）当a3≥a2≥a1时，同理可得a=1006，b=1004．…（8分）（ⅱ）方法一：由B：b，2，b+2，则B经过6次“T变换”得到的数列分别为：b﹣2，b，2；2，b﹣2，b﹣4；b﹣4，2，b﹣6；b﹣6，b﹣8，2；2，b﹣10，b﹣8；b﹣12，2，b﹣10．由此可见，经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“b，2，b+2”的数列，与数列B“结构”完全相同，但最大项减少12．因为1006=12×83+10，所以，数列B经过6×83=498次“T变换”后得到的数列为8，2，10．接下来经过“T变换”后得到的数列分别为：6，8，2；2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2，…从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过498+4=502次“T变换”得到的数列各项和最小，k的最小值为502．…（13分）方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B“结构相同”．若数列B的三项为x+2，x，2（x≥2），则无论其顺序如何，经过“T变换”得到的数列的三项为x，x﹣2，2（不考虑顺序）．所以与B结构相同的数列经过“T变换”得到的数列也与B结构相同，除2外其余各项减少2，各项和减少4．因此，数列B：1004，2，1006经过502次“T变换”一定得到各项为2，0，2（不考虑顺序）的数列．通过列举，不难发现各项为0，2，2的数列，无论顺序如何，经过“T变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过502次“T变换”，得到的数列各项和最小，故k的最小值为502．…（13分）点评：此题需要较强的逻辑思维能力及计算能力，通过计算发现和归纳出其规律，进而得出答案．。