2.1群的线性表示.ppt

– 剩余类的加法和乘法运算
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
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2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
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(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
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（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
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和
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联系在一起？
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例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
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• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。

基（矢）：
1 0 0 0 1 e1 , e2 , en 0 0 0 1
线性变换：
矢量：
x1 x2 x x n
封闭性 分配律
●
a(XY)=(aX)Y=X(aY) 数与矢量可对易
这样的线性空间V称为线性代数或代数。 (可)结合代数：满足 (XY)Z=X(YZ) 的代数
2) 群代数：
● （线性）代数是在线性空间上定义矢量乘法， 现 在群空间上定义矢量乘法 ● 规则 数与数： 普通数的乘法
群元素与群元素： 群元素的乘积规则 即
PG
给出了D(S)与S间一一对应关系
按惯例算符乘积定义为两个算符的相继作用 矩阵之间按照矩阵乘积规则相乘， 则 算符乘积和矩阵乘积仍按照上式一一对应 这种算符与其矩阵形式一一对应或多一对应关系在乘积中保 持不变的性质，在群论中会经常遇到，只给出这一次证明 证明：算符与其矩阵形式一一对应关系对它们乘积保持不变
2) 由乘法表写出群的正则表示 方法：♣ 群元素S的正则表示中，矩阵形式由 乘法表中S所在行的乘积元素决定
♣ 表示矩阵中第R列不为零的矩阵元素所在行 就是乘法表S行中R列的乘积元素标记的行
S R
E C4 C42 C43 mx my σu σv
按列写
σv
σv my σu mx C43 C4 C42 E
RG SG
矢量
矢量分量
基
自然基：以群元素作为基
3. 群代数
1) 线性代数： 若在线性空间引入矢量乘法， 则要求线性空间关于乘法是封闭的，且满足分配律，即 若V是数域K上的线性空间，在V中可以定义乘法
对 X,Y,Z∈V， a∈K 满足

例. 设A F
n
mn
, 则Ker( A) {x | Ax 0, x F }
n
是F 的一个子空间。
设 1 ,, s 是域F上线性空间V 的一组向量， 这个向量组的所有线性组合作成的集合记 为W ，即
W {k11 k s s | ki F , i 1,, s}
(2) Ker ( )是V 的子空间； (3) 是单映射 Ker ( ) {0}.
定理2.4.14 设 是域 F上线性空间V到 V 的同构 映射，则
(1) V中向量组1 , , m线性相关当且仅当其像
(1 ),, ( m )是V 中线性相关的向量组;
(2) 若V 是n维的，1 , , n是V的一组基, 则V 也 是n维的, 并且 (1 ),, ( n )是V 的一组基。
定理2.4.1 设V是域 F上的线性空间，则 (1) V 中零元素是唯一的； (2) V 中任一元素α的负元素是唯一的；
(3) 0 0, k 0 0, (1) ;
(4) k F , , V , k ( ) k k ;
(5) 如果k 0, 那么k 0, 或者 0。
向量组之间的等价是向量组之间的一种等价关系
定义2.4.4 设V 是域 F上的线性空间，
1 , 2 ,, r (r 1) 是V 中一组向量，如果存
在r个不全为零的元素 k1 ,, kr F，使得
k11 k2 2 kr r 0
则称 1 ,, r 线性相关(linearly dependent)；
定义2.4.5 设 1 ,, s 是线性空间V 中一组 向量，如果 1 ,, s 中存在 r 个线性无关的 向量 i , i ,, i (1 i j s, j 1,, r ) ，并且 1 ,, s中任一向量都可由向量组 i , i ,, i 线性表示，则称向量组 i , i ,, i 为向量组 1 ,, s 的一个极大线性无关组(maximal linearly independent subset)，数 r 称为向量 组 1 ,, s 的秩(rank)，记为

第二章 群表示理论基础§2.1 群表示【定义2.1】 （线性空间）数域K （实数域R 或复数域C ）上的线性空间V 是一个向量集合，}{x V=；该集合定义了加法和数乘两种二元运算，且集合V 在加法运算下构成交换群，满足：，唯一逆元）（）（唯一单位元，有o x x x x o x x o o x z y x z y x x y y x V z y x=+-=-+=+=+++=+++=+∈∀,)()(,, 数乘运算KV →V 满足：x x x b x a x b a ya x a y x a xb a x ab K b a=+=++=+=∈∀1)()()()(,,【定义2.2】 （线性无关和维数）线性空间V 中，任意n 个向量n x x x,,,21，其线性组合02211=+++n n x a x a x a当且仅当021====n a a a 时成立，则称此n 个向量线性无关，否则它们线性相关。

线性空间中线性无关向量的最大个数m ，称为空间V 的维数，记为dim V = m 。

【定义2.3】 （基矢）设V 是n 维线性空间，则V 中任意一组n 个线性无关的向量，称为空间V 的基矢，记为),,,(21n e e e 。

空间中任意矢量均可表示为n 个基矢的线性组合，∑=n ii i e x x。

矩阵形式：n i i i e e e e e e 0000121+++++=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0100][,0100),,(21i n i e e e e e⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑=n n n i ni i x x x x x x x e e e e x x 2121211][,),,,(【定义2.4】 （线性变换）线性变换A 是将V 映入V 的线性映射，满足：)()()(,)(,:,,,y A x aA y x a A V x A V V A K a V y x+=+∈→∈∈∀线性变换的矩阵形式：采用列矢量记法⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=='====∑∑∑∑∑∑∑∑n n n nn n n n i j ij j i iiij jj jj j nj j j n ii ij j j jjj j j j y y e e e x x A A A A e e e x a e e a x e x A x A a a a e e e e a e e A e y y e x x y x A 12111111212121),,,(),,,())()(),,,()(,,)(故有矩阵形式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n nn n n y y x x A A A A y x A 111111],[]][[ 若0]det[≠A ，则称线性变换A 非奇异，A 有逆变换A -1，[A -1]=[A ]-1。