椭圆知识点总结

1 圆锥曲线与方程

椭 圆

知识点

一．椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数212FFa的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；

这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。

（212FFa时为线段21FF，212FFa无轨迹）。

2．标准方程： 222cab

①焦点在x轴上：12222byax（a＞b＞0）； 焦点F（±c，0）

②焦点在y轴上：12222bxay（a＞b＞0）； 焦点F（0, ±c）

注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：221xymn 或者 mx2+ny2=1

二．椭圆的简单几何性质：

1.范围

（1）椭圆12222byax（a＞b＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b

（2）椭圆12222bxay（a＞b＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a

2.对称性

椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

3.顶点

（1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）

（2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭 2 圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率

（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22ca，即ac称为椭圆的离心率，

记作e（10e），22221()beaac

e0是圆；

e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆;

e越接近于1 （e越大），椭圆越扁；

注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。（edPF||）

①焦点在x轴上：12222byax（a＞b＞0）准线方程：cax2

②焦点在y轴上：12222bxay（a＞b＞0）准线方程：cay2

小结一：基本元素

（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量）， 特征三角形

（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）

（3）基本线：对称轴（共两条线）

5．椭圆的的内外部

（1）点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab.

（2）点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab.

6.几何性质

（1） 最大角12122max,FPFFBF

（2）最大距离，最小距离

例题讲解： 3 一.椭圆定义：

１．方程10222222yxyx化简的结果是

2．若ABC的两个顶点4,0,4,0AB，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程是

3.已知椭圆22169xy＋=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为

二．利用标准方程确定参数

1.若方程25xk+23yk=1（1）表示圆，则实数k的取值是 .

（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 .

（3）表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是 .

（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是 .

2.椭圆22425100xy的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 ,

3．椭圆2214xym的焦距为2，则m= 。

4．椭圆5522kyx的一个焦点是)2,0(，那么k 。

三．待定系数法求椭圆标准方程

1．若椭圆经过点(4,0)，(0,3)，则该椭圆的标准方程为 。

2．焦点在坐标轴上，且213a，212c的椭圆的标准方程为

3．焦点在x轴上，1:2:ba，6c椭圆的标准方程为

4. 已知三点P（5，2）、1F（－6，0）、2F（6，0），求以1F、2F为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

变式：求与椭圆224936xy共焦点，且过点(3,2)的椭圆方程。

4 四．焦点三角形

1．椭圆221925xy的焦点为1F、2F，AB是椭圆过焦点1F的弦，则2ABF的周长是 。

2．设1F，2F为椭圆400251622yx的焦点，P为椭圆上的任一点，则21FPF的周长是多少？21FPF的面积的最大值是多少？

3．设点P是椭圆2212516xy上的一点，12,FF是焦点，若12FPF是直角，则12FPF的面积为 。

变式：已知椭圆14416922yx，焦点为1F、2F，P是椭圆上一点． 若6021PFF，

求21FPF的面积．

五．离心率的有关问题

1.椭圆1422myx的离心率为21，则m

2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率e为

3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为

4.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。

5.在ABC△中，3,2||,300ABCSABA．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e ．

最值问题：

1.椭圆2214xy两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值为_____，最小值为_____

2、椭圆2212516xy两焦点为F1、F2，A(3，1)点P在椭圆上，则|PF1|+|PA|的最大值为_____，最小值为 ___ 5 3、已知椭圆2214xy，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小值 。

4.设F是椭圆322x＋242y=1的右焦点,定点A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P使|PA|+2|PF|最小,求P点坐标 最小值 .

同步测试

1已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为( )

A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线

2、椭圆221169xy左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，则CDF1的周长为______

3已知方程22111xykk表示椭圆，则k的取值范围是( )

A -10 C k≥0 D k>1或k<-1

4、求满足以下条件的椭圆的标准方程

(1)长轴长为10，短轴长为6

(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1)

(3) 经过点(5，1)，(3，2)

5、若⊿ABC顶点B、C坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC、AB边上的中线长之和为30，则⊿ABC的重心G的轨迹方程为______________________

6.椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别是F1、F2，过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点。

若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_________

7、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为_______

椭圆方程为 ___________________.

8已知椭圆的方程为22143xy，P点是椭圆上的点且1260FPF,求12PFF的面积

9.若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率为

10.椭圆13610022yx上的点P到它的左焦点的距离是12，那么点P到它的右焦点的距离是

11．已知椭圆)5(125222ayax的两个焦点为1F、2F，且821FF，弦AB过点1F，则△2ABF的周长 6

12.在椭圆252x+92y=1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍

13、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为4x,那么这个椭圆的方程为 。

14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率e=___________.

15、椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,准线方程为18y,椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和14,则椭圆方程为 ___________________.

16.已知P是椭圆90025922yx上的点,若P到椭圆右准线的距离为8.5,则P到左焦点的距离为_________.

17．椭圆1162522yx内有两点2,2A，0,3B，P为椭圆上一点，若使53PAPB最小，则最小值为

18、椭圆32x＋22y=1与椭圆22x＋32y=(0)有

(A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对

19、椭圆192522yx与125922yx（0

(A)相等的焦距 (B)相同的的焦点 (C)相同的准线 (D)有相等的长轴、短轴

20、椭圆12622yx上一点P到左准线的距离为2，则点P到右准线的距离为

21.点P为椭圆1162522yx上的动点,21,FF为椭圆的左、右焦点,则21PFPF的最小值为__________ ,此时点P的坐标为________________.