椭圆知识点总结及经典习题

圆锥曲线与方程--椭圆

知识点

一．椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}；

这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。 （212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。 2．标准方程： 2

22c

a b =-

①焦点在x 轴上：122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0）

②焦点在y 轴上：122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ）

注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：22

1x y m n

+

= 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围

（1）椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b

（2）椭圆122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a

2.对称性

椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点

（1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）

（2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率

（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比

22c a ，即a

c

称为椭圆的离心率， 记作e （10<

2

2

1()b e a a

==-c e 0=是圆；

e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆;

e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；

注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

小结一：基本元素

（1）基本量：a 、b 、c 、e 、（共四个量）， 特征三角形 （2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线） 5．椭圆的的内外部

（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>的内部22

00221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22

22

1(0)x y

a b a b +=>>的外部2200

221x y a b

⇔+>.

6.几何性质

（1）点P 在椭圆上， 最大角()12122max ,F PF F B F ∠=∠ （2）最大距离，最小距离 7.直线与椭圆的位置关系

（1）位置关系的判定：联立方程组求根的判别式； （2）弦长公式： （3）中点弦问题：韦达定理法、点差法

例题讲解： 一.椭圆定义： １．方程

()()10222

22

2=+++

+-y x y x 化简的结果是

2．若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是

3.已知椭圆22

169

x y ＋=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为

二．利用标准方程确定参数

1.若方程25x k -+2

3y k -=1（1）表示圆，则实数k 的取值是 .

（2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 .

2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 ,

3．椭圆22

14x y m

+

=的焦距为2，则m = 。 4．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。 三．待定系数法求椭圆标准方程

1．若椭圆经过点(4,0)-，(0,3)-，则该椭圆的标准方程为 。 2．焦点在坐标轴上，且213a =，212c =的椭圆的标准方程为 3．焦点在x 轴上，1:2:=b a ，6=c 椭圆的标准方程为

4. 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0），求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；

变式：求与椭圆224936x y +=共焦点，且过点(3,2)-的椭圆方程。

四．焦点三角形

1．椭圆22

1925

x y +

=的焦点为1F 、2F ，AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF ∆的周长是 。 2．设1F ，2F 为椭圆400251622=+y x 的焦点，P 为椭圆上的任一点，则21F PF ∆的周长是多少？21F PF ∆的面积的最大值是多少？

3．设点P 是椭圆22

12516

x y +

=上的一点，12,F F 是焦点，若12F PF ∠是直角，则12F PF ∆的面积为 。

变式：已知椭圆14416922=+y x ，焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点． 若︒=∠6021PF F ， 求21F PF ∆的面积．

五．离心率的有关问题

1.椭圆1422=+

m y x 的离心率为2

1

，则=m 2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率e 为 3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为

4.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。

5.在ABC △中，3,2||,300===∠∆ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．

六、最值问题：

1、已知椭圆2

214

x y +=，A(1，0)，P 为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小值 。

2.椭圆2

214

x y +=两焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值为_____，