2-6电四极矩

如何用于电势
(x)
( x)dV V 4 0r
？
以上泰勒级数展开式用于f (x)=1/r，r x x
r是 x, x的函数,场点 x 固定不变, 而源点 x变化
把 x在原点O附近展开，有 注意负号！
1 1 x (1) y (1) z (1)
r r x0
x r x0
y r x0
2 a cos 450
3
a
2
cos2
450
r1 4 r 2 r
4 r
r 1- 1 a 2 2 a cos - 450 3 a 2 cos2 - 450
r2 4 r 2 r
4 r
r
1-
1
a
2
2 a cos 450
3
a
2
cos2
450
r3 4 r 2 r
1 6
ij
5
1
2
2a2 2 sin2 cos2 b2 2 sin2 sin2 c2 2 cos2
abc 3 sin d d d
00 0
Dyy
1Q 5
2b2 a2 c2
, Dzz
1Q 5
2c2 a2 b2
可以验证Dxx+Dyy+Dzz=0
1
4 0
Q r
pr
1 r
对于三元函数f (x1,x2,x3),在原点 x1=0, x2=0,x3=0邻域
的泰勒级数是：
f (x1, x2 , x3 )
f
(0,
0,
0)
x1
x1
f (0, 0, 0) x2
x2
f
(0,
0,
0)

z2 a2
1
c.电四极矩 Dij V (3xi xj r2ij )(x)dV
b xydV dz
d b2

b2 a2
z2
3
2
sin cosd 0
V
b 0
0
V xydV V yzdV VzxdV 0
d. D12 D23 D31 0 e.由对称性得
电多极矩磁多极矩
电势的多极展开
1.真空中给定电荷密度 (x' ) 激发的电势
(x) (x' ) dV '
V 40r
z
V
P'(x' )
P( x) r
R
xO
y
2.某些问题中
场点离源点足够远 OP' r 或电荷源的线度 l r
z
P( x)
r
P'(x' )
R
y x OV
3. R x2 y2 z2
x' r 矢势 ~ 1 可作多极展开
r
3.矢势的多极展开
1
r
1 x x'

1 x' R
11 R 2! i, j
2 xi ' x j ' xix j
1 R
A(x)
4
V
J
(
x'
)
1
R

x'
1 R

1 2!
i, j
2 xi ' x j ' xix j
xi2
i
r x x' (x x')2 (y y')2 (z z')2 z

第8讲 静电势的多极展开第二章 电磁场的标势、矢势和电磁辐射(2)§2.2 静电势的多极展开1. 电势的多极展开 在§2.1中我们导出了真空中给定电荷密度 ρ（x '） 激发的电势 01()()'4VdV rρϕπε'=⎰x x （2.2---1）式中体积分遍及电荷分布区域，r 为场点x 和源点x ' 的距离。

在许多物理问题中，电荷只分布于一个小区域内，而需要求电场强度的地点x 又距离电荷分布区域比较远，即在（2.2---1）式中，r 远大于区域V 的线度l 。

在这种情况下，可以把（2.2---1）式表为 1/r 的展开式，由此得出电势 φ 的各级近似值。

例如原子核的电荷分布于 ~10 −15 m 线度的范围内，而原子内电子到原子核的距离 ~10 −10 m ，因此原子核作用到电子上的电场可以用本节方法求得各级近似值。

在区域V 内取一点O 作为坐标原点，以R 表示由原点到场点P 的距离，有R ='').r =-x x x ' 点在区域V 内变动。

由于区域线度远小于R ，可以把 x ' 各分量看作小参量，把 x −x ' 的函数对 x ' 展开。

设 f （x −x '）为 x −x ' 的任一函数，在 x 点附近 f （x −x '）的展开式为231,1(')()()()...2!i i j i i j i i j f f x f x x f x x x =∂∂'''-=-++∂∂∂∑∑x x x x x21()'()(')()...2!f x f x f =-⋅∇+⋅∇+x x x 取 f （x −x '）= 1 / | x −x ' | = 1 / r ,有2,1111'()...2!i j i j i j x f x x x r R x x R∂''=-⋅∇++∂∂∑ （2.2---2）把展开式（2.2---2）代入（2.2---1）式中得 0111()(')'4V RR ϕρπε⎡=-⋅∇⎢⎣⎰x x x2,11...'2!i j i j i j x x dV x x R ⎤∂''++⎥∂∂⎦∑ （2.2---3）令(')'VdVρ=⎰Q x （2.2---4） (')''VdV ρ=⎰p x x（2.2---5） D ij 3''(')'i j Vx x dV ρ=⎰x （2.2---6）（2.2---3）式可写为2,01111()...46i j i jQ D R R x x R ϕπε⎤∂⎡=-⋅∇++⎥⎢∂∂⎣⎦∑p ij x （2.2---7） 上式是电荷体系激发的势在远处的多级展开式。

偶极矩、四极矩、八极矩等的物理意义的电势展开法先注意一个比较容易忽视的问题，以避免证明误区：下式在a 为负数时不成立，类似这一系列在底数为负数时均不成立。

2323)(a a =k k j j i i e r e r e r r ++=r r r f '-='1)(3212])[(1)(r r r r r r r r r r r r f i i i i i '-'-='∂'-∂='∂'-∂='∂'∂-证明：注意以下矢量k k j j i i e r e r e r r ++=iii i i k k i j j i i i i e r e r r e r r e r r e r r r =∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂)()()()(32322322232212)()(])[()()(])[()(])[(21])[(1rr r r e r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r i i i i i i i i i '-'-='-'-='∂'-∂'-'--='∂'-∂'--='∂'-∂='∂'-∂----θcos )()(r r e r r i '-='-如果对这个矢量再进行偏导呢，如何计算？?)(2='∂'∂'∂i j r r r f ，同理计算如下：53252325232523225232323333))((3))((])[(3))((])[(3)())((])[(3])[()(])[(23])[()()()][(])[(r r r r r r r r r r r r r r r r e r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r j j i i ijj j i i ij j i i ij j i i ij j i i ij j i i ij j i i j i i j i i '-'-'-+'--='-'-'-+'--='-'-'-+'--='∂'-∂'-'-'--'--='∂'-∂'-'--'--='∂'-∂'-+'--='∂'-∂'-+'∂'-∂'-='∂'-'-∂-------------δδδδδδ所以可得：532))((3)(r r r r r r r r r r r f j j i i ij i j '-'-'-+'--='∂'∂'∂δ非点电荷情形电势表达式的展开：假设有以不规则形状的物体，其每处的带电密度不同且有正有负，则求此物体在无穷远处产生的电势时，可以把此物体看成一个点，即为把此物体看作点电荷，取物体带电的绝对值然后采用点电荷计算电势的公式即可。