电四极矩的物理图象

浅述电四极矩的物理图象姜云梅（玉溪师范学院物理与教育技术系 04级物理2班云南玉溪 653100）指导教师：陈洛恩摘要：本文比较了电四极矩的两种定义，讨论了电四极矩的特点及应用两种定义求解电势的异同，并使用Flash直观形象的呈现电四极矩的物理图象。

关键词：电势；多极展开；电多极矩；电四极矩；Flash1.引言求解静电场的方法是引入电势，电势的求解是一个经典问题[1]。

解法较多，诸如分离变量法、电象法、格林函数法、有限差分法、电势多极展开法等等[2]。

用电势多极展开法求解电势时，电势的多极展开式中，出现了包括电单极子在内的电多极子。

这些电多极子是数学推演的结果，而非真实存在。

原本是一定空间范围内的电荷系统(体系)在远处所激发(产生)的电势，却被想象中的电多极子激发同样电势所取代，对此，许多教材只言“等效”而不涉及等效的模型或物理图象。

Constantino Grosse 对电势的多极展开进行了分析研究[3]。

兰州师范高等专科学校的蒋德翰给出了电势多极展开的物理图象[4]。

在用电势的多极展开法解决实际问题时，经常会遇到电荷集中在一个小区域内的情况。

在处理这种问题时，作为初级近似，我们可以把原来的电荷体系集中起来看作是一个点电荷，但当体系的总电荷为零，或考虑某些进一步的效应需要更高的精确度时，就必须考虑到体系的电偶极矩，同样在体系的电偶极矩为零,或需要更高的精确度时，就要引入电四极矩或更高的极矩。

当然,在引入更高极矩的同时，给计算带来了很大的麻烦，传统的电动力学求解方法比较困难。

所以, 衡阳师范学院物理与电子信息科学系的陈秋成尝试利用数学物理方法的理论来求解，即用分离变量法求出电多极子所满足的拉普拉斯方程,导出勒让德多项式,从而解出电多极子所处的电场的电势[5]。

青岛建筑工程学院基础课教学二部的孙瑛，又做了进一步的工作，将电势的多极展开式与用分离变量法解拉普拉斯方程所得的通解进行比较，得出通解中各项的物理意义，加深了对电多极子的场的理解[6]。

在普通物理中，电势的多极展开法不便使用。

因此，程稼夫给出了电多极矩矢势的微商法及这种方法的应用[7]。

内蒙古师范大学物理系的徐守淳，对一些教科书中计算电四极子电势的习题答案中出现的错误作了分析和讨论，并给出一种计算任意电四极子的电势的简化方法，使电四极矩的概念更容易被学生接受和理解[8]。

随着科技的发展,电多极子的影响在科研前沿领域得到了发展[5]。

尤其是电四极矩，不仅可以用来求解电荷体系在远处的电势，还可以将其应用到原子核物理中。

因此，对电四极矩的理解和掌握就更重要了，但电四极矩的内容比较复杂、抽象，尤其是电四极矩的物理意义、特点和物理图象。

所以，本人针对这一问题，通过查找资料、综合分析、归纳概括等方法，整理出电四极矩的定义、物理意义、特点和物理图象，并使用Flash 动画直观、形象的呈现电四极矩的物理图象，希望使电四极矩的理解和掌握更简单一些。

本文包括四部分内容：第一部分描述了电势的多极展开（电四极矩的来源）；第二部分给出了电四极矩的两种定义及特点；第三部分是电四极矩的物理图景和电四极矩的应用举例，第四部分将Flash 动画呈现的物理图景应用于教学，并分析其对教学的促进作用。

2.电势的多极展开对于局限在一小区域内任意分布的电荷所激发的电场，电荷密度和电荷分布的区域的形状都是任意的，它的电势该如何求解呢？2.1.小区域的电荷分布的电势的多极展开根据文献[1][9]，真空中给定电荷密度()x'ρ的电荷激发的电势()()⎰''=V rV d x x 04περϕ（1）式中体积分遍及电荷分布区域，r 为场点x到源点x ' 的距离。

在许多物理问题 中，电荷只分布于一个小区域内，而需 要求电场强度的地点x距离电荷分布区 域比较远,即在(1)式中，r 远大于区域V 的线度l 。

所以，我们只需要将(1)式 表示为rl的展开式，由此得出各极子电势的近似值[9]。

即：()⎰∑'⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∂∂∂''+∇⋅'-'=V j i j j i i V d R x x x x R x R x x 1!2111)(412,0ρπεϕ （2）令P图1 小区域电荷分布()⎰''=VV d x Qρ (3)()⎰'''=VV d x x Pρ (4)()⎰''''=Vj i ij V d x x x Dρ3 (5)故(2)式可写为[1]:()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∂∂∂+∇⋅P -=∑j i j i ijR x x D R R Q x ,20161141πεϕ （6） 2.2.电势的多极展开式的物理意义（6）式是电荷体系激发的电势在远处的多极展开式。

现讨论展开式的各项的物理意义：展开式的第一项()RQ0041πεϕ=(7)等效于在坐标原点的点电荷Q 产生的电势。

因此，小电荷体系在电荷分布区外产生的电势，在零级近似下可视为将电荷集中于原点处产生的电势。

展开式的第二项()300141141R Rp R p⋅=∇⋅-=πεπεϕ (8) 等效于体系总电偶极矩集中于原点处，对场点产生的势，它作为体系在观察点的势的一级近似。

展开式的第三项()∑∂∂∂=j i j i Rx x ,20216141πεϕ(9) 等效于体系总电四极矩集中于原点处，对场点产生的势，它作为体系在观察点的势的二级近似。

综上所述：一个小区域内连续分布的电荷在远处激发的场，等于一系列多极子在远处激发的场的迭加[10]。

由上述描述可知，电势的多极展开内容抽象、复杂，学生较难理解。

因此，考虑在教学中引入Flash 动画，以求直观、形象地呈现。

3.电四极矩的两种定义及特点电四极矩有两种定义，两种定义的物理意义各不相同，此外，电四极矩还具有其独特的特点。

3.1.电四极矩的定义一电四极矩在电势展开的第三项，是一个张量[11]。

定义张量()⎰''''=Vj i ij V d x x x Dρ3为体系的电四极矩。

电四极矩也可以用并矢形式写为()⎰''''=VV d x x x Dρ3 （10）电四极矩张量ij D 是对称张量，它有6个分量：11D ，22D ，33D ，2112D D =，3223D D =，1331D D =[1]。

其物理图象用Flash 动画呈现较直观，如图：电四极矩的第一个定义是直接从电势的多极展开式中提出的，每个分量都具有较明显的物理意义。

11D 表示分布在x 轴上的电荷体系对电四极矩的贡献，22D 表示分布在y 轴上的电荷体系对电四极矩的贡献，33D 表示分布在z 轴上的电荷体系对电四极矩的贡献，2112D D =表示分布在xy 平面上的电荷体系对电四极矩的贡献，3223D D =表示分布在yz 平面上的电荷体系对电四极矩的贡献，1331D D =表示分布在zx 平面上的电荷体系对电四极矩的贡献[12]。

图2 电四极矩的六个分量如图3所示，z 轴上一对正电荷和一对负电荷组成的体系，可视为一对电偶极子+p 和-p组成。

设正、负电荷分别位于b z ±=与a z ±=，它的电四极矩由（5）式算出()()()()()pl a b a b Q a b Q V d z z Q z z V d x z z D z z i V666332233=+-=-=''-''''=''''=⎰⎰+∞=-∞=δρ其中，()a b Q p -=是其中一对电荷的电偶极矩，a b l +=是两个电偶极子中心的距离。

这电荷体系产生的电势是一对反向电偶极子所产生的电势[1]。

3.2.电四极矩的定义二电四极矩有6个分量，但是只有5个分量是独立的。

现证明如下： 当0≠R 时，有)0( 012≠=∇R R(11) 引入符号ij δ，定义为⎩⎨⎧≠==j i ji ij 01δ （12）则（11）式可写为∑⋅=∂∂∂=∇j i j i ij Rx x R 0112δ （13） 则()2ϕ可写为()()()[]Rx x V d x r x x j i ij j i 1361412202∂∂∂'''-''=⎰ρδπεϕ（14）我们重新定义电四极矩张量()()⎰'''-''=Vij j i ij V d x r x x Dρδ23（15）图3 z 轴上一对正负电荷组成的电四极矩则()2ϕ仍可写为()R x D ji j i ij 161412,02∂∂∂=∑πεϕ（16） （15）式定义的电四极矩张量满足关系0332211=++D D D （17）由此可见电四极矩只有5个独立分量。

以后我们将沿用电四极矩的定义二()()V d x r x x D V ij j i ij '''-''=⎰ρδ23此式用并矢形式写为()()V d x r x x D V ''I '-''=⎰ ρ23 （18）其中I 为单位张量[10]。

电四极矩的第二个定义是考虑到)0( 012≠=∇R R恒成立的特点来定义的，由于0332211=++D D D ，使变量的个数在第一个定义的基础上减少一个，但11D 、22D 、33D 分量没有第一个定义中的明显的物理意义[12]。

3.3.电四极矩的特点电四极矩具有以下特点：（1）电四极矩是一个对称张量[1]。

（2）电四极矩只有五个分量是独立分量[1]。

（3）具有球对称分布的电荷体系的电四极矩为零[1]。

反之，若电荷分布偏离球对称性，一般就会出现电四极矩[13]。

电四极矩的出现标志着对球对称的偏离，因此我们测量远场的四极势项，就可以对电荷分布形状作出一定的推论。

（4）一般情况下，电四极矩与原点选取有关[9]。

任何电荷分布的最低阶非零的电多极矩才与原点的选择无关，而更高阶的电多极矩有赖于原点的位置[14]。

4. 电四极矩的物理图景通过对电四极矩的两种定义的比较及对电四极矩的特点的讨论，可知电四极矩的应用非常广泛。

4.1.利用电四极矩求解电荷体系在远处的电势电四极子是两个大小相等、方向相反，并有一微小距离l 的电偶极子的复合体，可用电四极矩求解其在远处的电势[2]。

上述是用电四极矩来求简单电荷体系的电势。

当然，我们也可用来求复杂体系的电势[2]。

以求解均匀带电的长形旋转椭球体的电四极矩和电势为例，利用电四极矩的两种定义求解电四极矩和电势。

均匀带电的长形旋转椭球体，半长轴为a ，半短轴为b ，总电荷Q ，求它的电四极矩和远处的势[1]。