北京市西城区_学年高二数学上学期期末考试试题理

1 北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷

高二数学 2016.1

（理科）

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

题号 一 二 三

本卷总分

15 16 17 18 19 20

分数

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1．命题“若1a，则0a”的逆命题是（ ）

（A）若0a，则1a （B）若0a，则1a

（C）若0a，则1a （D）若0a，则1a

2．圆心为(1,2)，且与y轴相切的圆的方程是（ ）

（A）22(1)(2)4xy （B）22(1)(2)1xy

（C）22(1)(2)1xy （D）22(1)(2)4xy

3．在空间中，给出下列四个命题：

① 平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；

③ 平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．

其中真命题的序号是（ ）

（A）① （B）② （C）③ （D）④

4．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是（ ）

（A）2214yx （B）2214xy

（C）221416xy，或221416yx （D）2214yx，或2214xy

2 5．“直线l垂直于平面内无数条直线”是“直线l垂直于平面”的（ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

6. 某几何体的三视图如图所示．其中主视图中△ABC

是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该

几何体的左视图的面积为（ ）

（A）32 （B）3

（C）23 （D）3

7．已知椭圆22221(0)xyabab的两个焦点分别为1F，2F，若椭圆上存在点P使得

12FPF是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

（A）2(0,)2 （B）2(,1)2 （C）1(0,)2 （D）1(,1)2

8. 已知四面体ABCD的侧面展开图如图所示，

则其体积为（ ）

（A）2

（B）23

（C）34

（D）23

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二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.

9. 命题“xR，210x”的否定是_______.

10. 已知直线1l：210xay，2l：0axy. 若1l∥2l，则实数a _______.

11. 已知双曲线2221(0)yxbb的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为_______.

12. 如图，正方体1111ABCDABCD中，直线1BC和

11BD所成角的大小为_______；直线1BC和平面

11BDDB所成角的大小为_______.

13. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面的一个法向量是(1,1,2)n，且平面过点(0,3,1)A.若(,,)Pxyz是平面上任意一点，则点P的坐标满足的方程是_______.

14. 平面内到定点(0,1)F和定直线:1ly的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：

① 曲线C关于y轴对称；

② 若点(,)Pxy在曲线C上，则||2y；

③ 若点P在曲线C上，则1||4PF.

其中，所有正确结论的序号是_______.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，Q是棱PA的中点．

（Ⅰ）求证：PC∥平面BDQ；

（Ⅱ）若PBPD，求证：平面PAC平面BDQ．

4

16.（本小题满分13分）

已知抛物线22(0)ypxp的准线方程是12x.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）设直线(2)(0)ykxk与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：

OMON.

17.（本小题满分13分）

如图，在直三棱柱111ABCABC中，90BAC，23AC，13AA，2AB，点D在棱11BC上，且1114BCBD.

（Ⅰ）求证：1BDAC；

（Ⅱ）求二面角11BADB的大小.

18.（本小题满分13分）

如图，在直角坐标系xOy中，已知圆O：224xy．点B，C在圆O上，且关于x轴对称．

（Ⅰ）当点B的横坐标为3时，求OBOC的值；

（Ⅱ）设P为圆O上异于B，C的任意一点，直线PB，PC与x轴分别交于点M，N，证明：||||OMON为定值．

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19.（本小题满分14分）

如图1，四棱锥ABCDP中，PD底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图和左视图如图2所示．

（Ⅰ）求证：BC平面PBD；

（Ⅱ）求证：AM∥平面PBC；

（Ⅲ）线段CD上是否存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为43？若存在，找到所有符合要求的点N；若不存在，说明理由．

20.（本小题满分14分）

如图，已知四边形ABCD是椭圆223412xy的内接平行四边形，且BC，AD分别经过椭圆的焦点1F，2F.

（Ⅰ）若直线AC的方程为20xy，求AC的长；

（Ⅱ）求平行四边形ABCD面积的最大值.

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北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷

高二数学（理科）参考答案及评分标准 2016.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1.A 2.B 3.C 4. D 5.B 6.C 7. B 8.D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 2,10xxR 10. 2 11. 3yx

12. 60，30 13. 210xyz 14. ①②③

注：12题第一空2分，第二空3分；14题少选不给分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

15.（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：设AC交BD于点O，连结OQ． 【 1分】

因为 底面ABCD为菱形，

所以 O为AC中点．

因为 Q是PA的中点，

所以 OQ∥PC． 【 4分】

因为 OQ平面BDQ，PC平面BDQ，

所以PC∥平面BDQ． 【 5分】

（Ⅱ）证明：连结OP． 【 6分】

因为 底面ABCD为菱形，

所以 BDAC，O为BD中点． 【 8分】

因为 PBPD，

所以 BDPO． 【10分】

所以 BD平面PAC． 【11分】 7 因为 BD平面BDQ，

所以 平面PAC平面BDQ． 【13分】

16.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为抛物线22(0)ypxp的准线方程为2px， 【 2分】

所以 122p， 解得1p， 【 4分】

所以 抛物线的方程为22yx. 【 5分】

（Ⅱ）证明：设11(,)Mxy，22(,)Nxy.

将(2)ykx代入22yx，

消去y整理得 22222(21)40kxkxk. 【 7分】

所以 124xx. 【 8分】

由2112yx，2222yx，两式相乘，得 2212124yyxx， 【 9分】

注意到1y，2y异号，所以 124yy. 【10分】

所以直线OM与直线ON的斜率之积为12121yyxx， 【12分】

即 OMON. 【13分】

17.（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：因为 111ABCABC直三棱柱，

所以 1AAAB，1AAAC.

又 ABAC，

所以 AB，AC，1AA两两互相垂直. 【 1分】

如图，以A为原点，建立空间直角坐标系Axyz. 【 2分】

则 (2,0,0)B，(0,23,0)C，1(0,0,3)A，1(2,0,3)B，1(0,23,3)C.

由 111113(,,0)422BDBC，得33(,,3)22D. 【 3分】

所以 13(,,3)22BD，1(0,23,3)AC. 8 因为 1330BDAC， 【 4分】

所以 1BDAC. 【 5分】

（Ⅱ）解：13(,,3)22BD，1(2,0,3)AB.

设平面1ADB的一个法向量为111(,,)xyzm，则10,0.ABBDmm 【 7分】

所以 11111230,1330.22xzxyz 取11z，得33(,,1)22m. 【 9分】

又平面11ADB的一个法向量为(0,0,1)n， 【10分】

所以 11cos,239144mnmnmn， 【12分】