2019年北京市西城区期末试卷

2019北京市西城区高一（上）期末

数学 2019.1 试卷满分：150分考试时间：120分钟

A卷 [三角函数与平面向量] 本卷满分：100分

（A）向右平移

6个单位（B）向右平移

3

个单位

（C）向左平移π

6

个单位（D）向左平移

π

3

个单位

11．若

1

cos

2

θ=-，且θ为第三象限的角，则tanθ=______．

12．已知向量(1,2)

=

a．与向量a共线的一个非零向量的坐标可以是______．

13．如果π

tan()0(0)3

x x +=>，那么x 的最小值是______．

14．如图，已知正方形ABCD ．若AD AB AC λμ−−→

−−→

−−→

=+，其中λ，μ∈R ，则

λ

μ

=______． 15．在直角坐标系xOy 中，已知点(3,3)A ，(5,1)B ，(2,1)P ，M 是坐标平面内的一点．

① 若四边形APBM 是平行四边形，则点M 的坐标为______； ② 若2PA PB PM −−→

−−→

−−→

+=，则点M 的坐标为______．

16．设函数π()sin()3f x x ω=+．若()f x 的图象关于直线6

x π

=对称，则ω的取值集合是_____.

三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

已知(0,)2απ∈，且3

sin 5α=．

（Ⅰ）求π

sin()4

α-的值；

（Ⅱ）求2π

cos tan()24

α

α++的值．

18．（本小题满分12分）

函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，其中0,0,||πA ωϕ>><． （Ⅰ）求

()f x 的解析式；

（Ⅱ）求()f x 在区间[,]2

π

π上的最大值和最小值；

（Ⅲ）写出()f x 的单调递增区间．

在直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A -

，B ，(cos ,sin )C θθ，其中[0,]2

θπ

∈．

（Ⅰ）求AC BC ⋅

的最大值；

（Ⅱ）是否存在[0,]2

θπ

∈，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出θ的取值范围；若不

存在，说明理由．

B 卷 [学期综合]本卷满分：50分

1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B = _____． 2．函数21

()log f x x

=

的定义域为_____. 3．已知三个实数1

3a =，b =3log 2c =．将,,a b c 按从小到大排列为_____．

4．里氏震级M 的计算公式为：0lg lg M A A =-，其中00.005A =是标准地震的振幅，A 是测震仪记录的地

震曲线的最大振幅．在一次地震中，测震仪记录的地震曲线的最大振幅是500，则此次地震的里氏震级为_____级；8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_____倍．

5．已知函数21

,2,(),

3.x x x c f x x c x -⎧+-⎪

=⎨<⎪⎩≤≤≤

若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值 域是1[,2]4-，则实

数c 的取值范围是_____．

二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）

已知函数2

()1

x

f x x =

-． （Ⅰ）证明：()f x 是奇函数；

（Ⅱ）判断函数()f x 在区间(1,1)-上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．

已知函数2()f x ax x =+定义在区间[0,2]上，其中[2,0]a ∈-． （Ⅰ）若1a =-，求()f x 的最小值； （Ⅱ）求()f x 的最大值．

8．（本小题满分10分）

已知函数()f x 的定义域为D ．若对于任意12,x x D ∈，且12x x ≠，都有12

12()()2()2

x x f x f x f ++<，则称函数()f x 为“凸函数”．

（Ⅰ）判断函数1()2f x x =与2()f x （Ⅱ）若函数()2x f x a b =⋅+（,a b 为常数）是“凸函数”， 求a 的取值范围；

（Ⅲ）写出一个定义在1

(,)2

+∞上的“凸函数”()f x ，满足0()f x x <<．（只需写出结论）

数学试题答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1. D

2. C

3. B

4. C

5. B

6. D

7. D

8. B

9.A 10.A

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

(2,4)（答案不唯一） 13.

2π

3

14.1

- 15.(6,3)；(4,2) 16.{|61,}

k k

ωω=+∈Z 注：第15题每空2分.

三、解答题：本大题共3小题，共36分.

17.（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：因为

π

0,

2

α∈()，

3

sin

5

α=，

所以cosα……………………2分4

5

=．……………………3分

所以

π

sin()cos)

4

ααα

-=-……………………5分

=．……………………6分（Ⅱ）解：因为

3

sin

5

α=，

4

cos

5

α=，

所以

sin

tan

cos

α

α

α

=……………………8分

3

4

=．……………………9分所以2

π1cos1tan

cos tan()

2421tan

ααα

α

α

++

++=+

-

……………………11分

79

10

=．……………………12分