第六章—成本最小化和成本函数——小

高级微观复习

第一章：

➢ P12-22:给出生产函数可求出技术替代率、替代弹性、规模报酬等（结合书上P13、P15和P19例题看+P21 CES生产函数)

1、技术替代率TRS:,假设维持产量水平不变，我们想增加要素1的投入量减少要素2的投入量.这就是这两种要素之间的技术替代率，是衡量等产量线的斜率。

二维情况下：

N维情况下，TRS（x1，x2）：

或者

柯布—道格拉斯函数下的技术替代率：

2、替代弹性

替代弹性衡量等产量线的曲率。更具体地说，替代弹性衡量在产量维持不变的情形下，要素投入比率的变动百分比除以TRS变动百分比。

根据公式推导,连锁法则（）

柯布-道格拉斯函数的替代弹性是1。

3、规模报酬

产量等比例增加,我们通常假设只要将以前的生产模式复制，就能生产出t倍的产量。定义(规模报酬不变)：某生产技术呈现规模报酬不变的现象，若它满足下列条件：

定义(规模报酬递增）：若f(tx) 〉tf（x)(其中t〉1)，则该技术是规模报酬递增的。

4、CES函数的相关概念 CES函数具有规模报酬不变性质。

(1）线性生产函数（ρ=1）。将ρ=1代入CES生产函数可得y =x1+x2，

，

第二章

➢ 利润最大化问题：求解要素需求函数、供给函数（参考P32柯布道格拉斯技术的例子）

基本原理:

对于每个价格向量（ p，w）,通常会存在要素的最优选择x *。要素最优选择是价格向量的函数，这个函数称为企业的要素需求函数.我们将该函数记为x（ p,w）。P是产品的价格，W是要素的价格。函数y （ p,w)=f(x（p,w))称为企业的供给函数.

柯布-道格拉斯函数：

简化:就是对生产函数求导，然后,要素需求函数X=。。。。Y=f(X）=。。。

利润函数:

第三章

➢ 霍特林引理（P46）

第四章

成本最小化问题：求条件需求函数、成本函数等(参考P57—58：柯布道格拉斯和CES成本函数，后面的例子也可以看看）

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第4章成本最小化

1．严格证明利润最大化意味着成本最小化。

Proverigorouslythatprofitmaximizationimpliescostminimization.

证明：令*x为价格,pw下利润最大化的一个投入向量。这意味着，对于所有可允许的

x，*x必须满足

**pfxwxpfxwx。

假设对于产出*fx，*x没有使成本最小化，即存在一个向量**x满足***fxfx与

w***0xx，因而在**x下所取得的利润必须大于在*x下所取得的利润：

*********pfxwxpfxwxpfxwx

这与*x使利润最大化的假设相矛盾，故假设不成立，因此利润最大化意味着成本最小

化。

2．使用库恩-塔克定理得出即使最优解涉及边界解时也是正确的成本最小化条件。

UsetheKuhn-Tuckertheoremtoderiveconditionsforcostminimizationthat

arevalideveniftheoptimalsolutioninvolvesaboundarysolution.

答：互补—松弛条件为：



*

*

*

*

*

*0

0

0

0

0

0jj

j

j

j

jfx

twx

x

fx

tw

x

x

yfxt

yfx

t



















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当*0

ix和*0

jx成立时，上式就隐含着：*

*ii

j

jfx

xw

wfx

x









这个不等式意味着用 

jx代替

ix时，可以降低成本，然而由于企业已经用完了它可以得

到的 

jx的所有数量，所以继续降低成本是不可能的。

3．一个厂商有两个车间，它们各自的成本函数为2

111/2Cyy和

222Cyy。该厂商

的成本函数是什么？

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第21章 成本最小化

21.1 复习笔记

1．成本最小化

（1）成本最小化问题的数学表示和成本函数

假定使用两种生产要素x

1和x

2，要素价格分别为w

1和w

2，f（x

1，x

2）表示厂商的生

产函数。对于给定的产量y，厂商追求成本最小化可以归结为如下最优化问题：

1211

12

22

,min

.. ,xxwxwx

sfxtxy



由于w

1、w

2和y是给定的参数，所以最小成本c可以表示成w

1、w

2和y的函数，从

而得到成本函数c（w

1，w

2，y），成本函数度量的是当要素价格为（w

1，w

2）时，生产y

单位产量的最小成本。如图21-1所示。

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图21-1 成本最小化

（2）成本最小化的一阶必要条件

对于上述最优化问题，利用拉格朗日乘数法，可以得到成本最小化问题的一阶必要条件：



**

112**1

12**

2212,

,

,MPxx

Tw

xx

MxRS

wPx

即边际技术替代率必须等于要素价格比率。

（3）条件要素需求函数

在成本最小化问题中，每一种要素的最优使用量x

1*、x

2*都可以表示成w

1、w

2和y的

函数，这就是条件要素需求函数。条件要素需求通常是观察不到的，它只是一个假设，用来

回答这样的一个问题：如果厂商想以最便宜的方式生产既定产量，它对每种要素的使用量应

是多少。

（4）条件要素需求和普通要素需求之间的区别

条件要素需求给出了既定产量水平的最小成本选择；普通要素需求则给出了既定产出价

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格下的利润最大化选择。

（5）特定技术下的成本最小化

①完全互补的技术（生产函数为f（x

1，x

2）＝min{x

1，x

.

完全竞争市场 P172-173

4、已知某完全竞争行业中的单个厂商的短期成本函数为STC=0.1Q3-2Q2+15Q+10。试求：

（1）当市场上产品的价格为P=55时，厂商的短期均衡产量和利润；

（2）当市场价格下降为多少时，厂商必须停产？

（3）厂商的短期供给函数。

.

5、已知某完全竞争的成本不变行业中的单个厂商的长期总成本函数LTC=Q3-12Q2+40Q。试求：

（1）当市场商品价格为P=100时，厂商实现MR=LMC时的产量、平均成本和利润；

（2）该行业长期均衡时的价格和单个厂商的产量；

（3）当市场的需求函数为Q=660-15P时，行业长期均衡时的厂商数量。

.

9、已知完全竞争市场上单个厂商的长期成本函数为LTC=Q3-20Q2+200Q，市场的产品价格为P=600。求：

（1）该厂商实现利润最大化时的产量、平均成本和利润各是多少？

（2）该行业是否处于长期均衡？为什么？

（3）该行业处于长期均衡时每个厂商的产量、平均成本和利润各为多少？

（4）判断（1）中的厂商是处于规模经济阶段，还是处于规模不经济阶段？

.

不完全竞争市场P206

6.已知某垄断厂商利用一个工厂生产一种产品，其产品在两个分割的市场上出售，他的成本函数为QQTC402，两个市场的需求函数分别为111.012PQ，224.020PQ。求：(1)当该厂商实行三级价格歧视时，他追求利润最大化前提下的两市场各自的销售量、价格以及厂商的总利润。

(2)当该厂商在两个市场实行统一的价格时，他追求利润最大化前提下的销售量、价格以及厂商的总利润。

(3)比较（1）和（2）的结果。

.

10.某寡头行业有两个厂商，厂商1的成本函数为118QC，厂商2的成本函数为2220.8QC，该市场的需求函数为P＝152－0.6Q。

求：该寡头市场的古诺模型解。(保留一位小数。)

11.某寡头行业有两个厂商，厂商1为领导者，其成本函数为C1＝13.8Q1，厂商2为追随 .