矩阵与对角形矩阵相似的条件研究

第２４卷第１期　
２Ｏ１０年１月　
甘肃联合大学学报（自然科学版）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｇａｎｓｕ　Ｌｉａｎｈｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）　
Ｖｏ１．２４　ＮＯ．１　

Ｊａｎ．２０１０　

文章编号：１６７２—６９１Ｘ（２０１０）０１・０１１２－０２　
矩阵与对角形矩阵相似的条件研究　

车明刚　
（吉林师范大学数学学院，吉林四平１３６０００）　

摘要：对角形矩阵是最简单的一类矩阵，而相似矩阵有相同的特征根，特征多项式，特征向量，最小多项式，初　
等因子．因此，研究矩阵与对角形矩阵相似的条件十分重要．本文从不同角度讨论了若干个矩阵与对角形矩阵　
相似的条件．　
关键词：矩阵相似；特征向量；特征多项式；最小多项式；不变因子；初等因子　
中图分类号：Ｏ１５１．２２　文献标识码：Ａ　

Ｏ引言及引理　
文献Ｅ１￣３］从特征向量、特征值、最小多项式　
等角度对矩阵可对角化进行了研究．本文在此基　
础上进行推广，从更多侧面研究矩阵可对角化问　题．从而提供矩阵可对角化的更多理论依据，提高　判断矩阵可对角化的操作性．　定义设Ａ，Ｂ为数域Ｐ上两个ｎ级矩阵，如　果存在数域尸上的　级可逆矩阵ｘ，使得Ｂ＝　Ａｘ，则称Ａ相似于Ｂ，若Ａ与对角形矩阵相　似，则称Ａ可对角化．　引理１［１］　ｎ级矩阵Ａ可对角化的充分必要　条件是Ａ具有，ｚ个线性无关的特征向量．　引理２［２　数域Ｐ上的ｎ级矩阵Ａ可对角化　的充分必要条件是对每个特征值均有几何重数等　于代数重数．　引理３［３　数域Ｐ上的　级矩阵Ａ可对角化　的充分必要条件是Ａ的最小多项式是Ｐ上互素的　一次因式的乘积．　１　主要结论及证明　由引理１可以有下列结论：　定理１　数域Ｐ上的ｎ级方阵Ａ的特征多项　式在数域Ｐ中有ｎ个不同的根，即有，ｚ个不同的　特征值，则Ａ可对角化．　定理２　复数域上，ｚ级方阵Ａ的特征多项式　没有重根，则Ａ可对角化．　由引理２可以有下列结论：　定理３　级矩阵Ａ可对角化的充分必要条　件是：维　＋维　＋…＋维　一　（其中　，　。，…，　是Ａ的所有互不相同的特征根）．　证明　必要性　若Ａ可对角化，则维　＝　又由ｒ。十ｒ２＋　
…
＋ｒｋ：ｎ，故维Ｖ　＋维　，＋…＋维　。＝　．　
充分性　
若维　＋维　，＋…＋维　，：　，则Ａ有　
个线性无关的特征向量，故Ａ可对角化．　
定理４　级矩阵Ａ可对角化的充分必要条　
件是：Ｖ—　０　，④…ｏ　（其中　，　ｚ，…，　
是Ａ的所有互不相同的特征根）．　
证明　必要性　
令　ｌ，　２，…，．；ＩＩ的重数分别为ｒ１，ｒ２，…，　，　
是属于特征根．：【　的特征子空间，则ｎ＋ｒ２＋…　
＋　＝＝＝　，维　：＝＝ｒｉ，由子空间Ｗ＝　，＋　，＋　
…
＋　。是直和，于是维Ｗ＝维　＋维　，＋…　
＋维Ｖ＾。一ｒ１＋ｒ２＋…十　＝ｎ，从而维Ｖ＝＝：ｎ，　
所以Ｗ—　，即Ｖ—　④　：ｏ…ｏ　成立．　
充分性　
由Ｖ＝、，＾，④　０…ｏ　，则有维　＋　
维　，＋…＋维　。＝咒，故Ａ可对角化．　
由引理３可以有下列结论：　
定理５　复数域上　级方阵Ａ可对角化的充　
分必要条件是Ａ的最小多项式没有重根．　
证明　必要性　
若Ａ可对角化，则存在可逆矩阵ｒ，使得　
ｒ　ＡＴ—ｄｉａｇ（ａｌ，　：，…，　），又对任何多项式　

收稿日期：２００９—１１—０５．　
基金项目：吉林师范大学教研项目．　
作者简介：车明刚（１９７１一），男，吉林大安人，吉林师范大学讲师，主要从事微分流形和奇点理论研究．　
第１期　车明刚：矩阵与对角形矩阵相似的条件研究　１１３　
，（　），有Ｔ－　，（Ａ）Ｔ＝ｄｉａｇ（ｆ（２　），ｆ（２ｚ），…，　
ｆ（ａ　）），设　，　。，…，　是Ａ的所有互不相同的特　
征根，，（　）一（　－－ａ１）（　－２２）…（　——　），有ｆ（ａ　）　

一
ｆ（ａ２）一…＝ｆＯ，Ｉ）＝０，因此Ｔ－　－厂（Ａ）Ｔ—　
ｄｉａｇ（ｆＯ，１），ｆ（２２），…，ｆ（２　））一０，，（Ａ）一０，所　
以ｇ（　）Ｉ厂（　），又厂（　）｝ｇ（　），所以ｇ（　）＝厂（　），　
故Ａ的最小多项式无重根．　
充分性显然．　
定理６　复数域上　级方阵Ａ，厂（　）是Ａ的特　
征多项式，令＾（　）一厂（　）／（厂（　），厂　（　）），则Ａ可　
对角化的充分必要条件是　（Ａ）：：：０．　
证明　厂（　）一ｆ腰一Ａ　Ｉ一（．＝ｌ—　１）ｒ】（　一　｜：Ｉ２）ｒ２…（　一九）　，这里　，　２，…，扎是厂（　）的全部　相异特征根，　是　的重数，而ｎ十ｒ２＋…＋　一　ｎ，由　（　）一，（　）／（厂　），／（　）），可得　（　）恰是　，（　）经过分离重因式所得．因此＾（　）一（　－２　）（　－Ａ。）…（　一　），如果Ａ可对角化，则Ａ的最小多项　式ｇ　）无重根，又知特征根必是ｇ　）的根，所以　ｇ　）：＝＝　—　１）　～　２）…（　一九）＝＾　），因此　＾（Ａ）＝ｇ（Ａ）＝＝＝０，反之，如果＾（Ａ）一０，则ｇ　）是　以Ａ为根的，那么Ａ有最小多项式ｇ　）Ｉ＾（　），所以　ｇ　）没有重根．因此，Ａ可对角化．　定理７　复数域上ｎ级方阵Ａ可对角化的充　分必要条件是Ａ的不变因子都没有重根．　证明　由于Ａ的最后一个不变因子ｄ　（　）具　有性质ｄ　（　）ｆ　ｄ　（　），ｉ＝１，２，…，ｎ一１，所以　ｄ　（　）中包含了Ａ的初等因子中所有互异的指数　最高的一次因式的幂，它恰是Ａ的全部初等因子　的最小公倍式．Ａ的最小多项式是Ａ的初等因子　的最小公倍式，所以Ａ的最小多项式恰为Ａ的最　后一个不变因子，由Ａ可对角化的充要条件Ａ的　最小多项式无重根，可得Ａ可对角化的充要条件　为Ａ的不变因子都没有重根．　推论１　复数域上ｎ级方阵Ａ可对角化的充　分必要条件是Ａ的初等因子全为一次的．　推论２　复数域上ｎ级方阵Ａ的最小多项式　和Ａ的不变因子都相等，则Ａ可对角化．　定理８　复数域上　级方阵Ａ可对角化的充　分必要条件是对Ａ的每个特征值　，都有　ｒａｎｋ（ａ．ｉＥ—Ａ）。＝ｒａｎｋ（２ｆＥ—Ａ）．　证明　若Ａ可对角化，则Ａ的任意特征根必　为Ａ的最小多项式ｇ　）的单根，于是（（　一２ｉ）。，　ｇ（　））＝　—　，所以存在多项式“（　），　（　），使（　—　）。“（　）＋ｇ（　）　（　）＝　－－２ｉ，代入矩阵Ａ，得（Ａ　—　Ｅ）。“（Ａ）一Ａ—　Ｅ，所以ｒａｎｋ（２ｌＥ—Ａ）。≥　ｒａｎｋ（２ｆＥ—Ａ），但ｒａｎｋ（２ｆＥ—Ａ）。≤ｒａｎｋ（２　Ｅ—　
Ａ），故ｒａｎｋ（２ｉＥ—Ａ）　一ｒａｎｋ（２ｆＥ—Ａ）．反之，若　
Ａ的每个特征根　，都有ｒａｎｋ（２　Ｅ—Ａ）。＝　
ｒａｎｋ（２　Ｅ—Ａ），现在证明　是Ａ的最小多项式　
ｇ（　）的单根，这时显然有（　—　）ｆ　ｇ（　），若还有　
（　—　ｉ）　ｌ　ｇ（　），那么（　—Ｊ：【　）　＾（　）一ｇ（．：【），说明　
（Ａ—　Ｅ）ｈ（Ａ）≠０，（Ａ—　Ｅ）　＾（Ａ）一０，因为对　
前者必有非零列向量ｙ，使（Ａ一２ｉＥ）ｈ（Ａ）Ｙ≠０，　
所以列向量ｚ。一＾（Ａ）ｌ，≠０是线性方程组（Ａ—　
Ｅ）。Ｘ一０的解，这与假设条件矛盾，故ｇ（　）无　
重根，Ａ可对角化．　

参考文献：　
［１］王萼芳．高等代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９９．　
［２３谢国瑞．线性代数及应用［Ｍ］．北京：高等教育出版　
社，１９９６．　
［３３刘玉森。苏仲阳．高等代数应试训练［Ｍ］．北京：地质　
出版社，１９９５．　
［４］陈莉．计算两个相似矩阵的变换矩阵［Ｊ］．新疆师范大　
学学报，２００４（３）：２２—２４．　
［５３杨成，冯有前．关于方阵相似于对角阵定理的一个新　
证明［Ｊ］．西南师范大学学报，１９９６（３）：２４０—２４１．　

Ｔｈｅ　Ｔｅｒｍ　Ｔｈａｔ　Ｍａｔｒｉｘ　ｉｓ　Ｓｉｍｉｌａｒ　ｔｏ　Ｄｉａｇｏｎａｌ　Ｍａｔｒｉｘ　
ＣＨＥ　Ｍｉｎｇ—ｇａｎｇ　
（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｊｉｌｉｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｉｐｉｎｇ　１３６０００，Ｃｈｉｎａ）　
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｄｉａｇｏｎａｌ　ｍａｔｒｉｘ　ｃｏｎｔａｉｎｓ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｒｏｏｔ，ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａ１，ｅｌｅｍｅｎ－　
ｔａｒｙ　ｇｒａｄｅ　ｆａｃｔｏｒ，Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｓｔｕｄｙ　ｔｈｅ　ｔｅｒｍ　ｔｈａｔ　ｍａｔｒｉｘ　ｉｓ　ｔｏ　ｄｉａｇｏｎａｌ　ｍａｔｒｉｘ，ａｎｄ　ｔｈｅｎ　ｔｈａｔ　ｍａｔｒｉｘ　ｉｓ　
ｓｉｍｉｌａｒ　ｔｏ　ｄｉａｇｏｎａｌ　ｍａｔｒｉｘ，ａｎｄ　ｔｈｅｎ　ｓｅｅｍｓ　ｔｏ　ｂｅ　ｖｅｒｙ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ．ｔｈｅ　ｔｅｘｔ　ｅｎｕｍｅｒａｔｅｄ　ｔｈｅ　ｔｅｒｍ　ｍａｔｒｉｘ　ｉｓ　
ｓｉｍｉｌａｒ　ｔｏ　ｄｉａｇｏｎａｌ　ｍａｔｒｉｘ．　
Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｖｅｃｔｏｒ；ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ；ｍｉｎｉｍｕｍ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ；ｃｏｎｓｔａｎｔ　ｆａｃｔｏｒ；ｅｌｅ－　
ｍｅｎｔａｒｙ　ｇｒａｄｅ　ｆａｃｔｏｒ